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相似三角形
一、知识点过关
（一）知识框架
（二）知识概念：
1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形
2.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
3.直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
4.相似三角形的性质:
.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
相似三角形周长的比等于相似比。
.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是或写成a：b=m：n.
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（交换内项）
（交换外项）
（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项、后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3、黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫
2.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；
.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
3.直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.
考点二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
考点三、相似三角形
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
二、实战训练
一、选择题
1．如图所示，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.
如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m
B．10m
C．8m
D．7m
4．如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．如图，在长为8
cm、宽为4
cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（
）
A.
2
cm2
B.
4
cm2
C.
8
cm2
D.
16
cm2
6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（
）
A．
B．
C．
D．
7.
如图，AB是的直径，点C在圆上，，则图中与相似的三角形的个数有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（
）
A．只有1个
B．可以有2个
C．有2个以上但有限
D．有无数个
二、填空题
1.锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y
＞0）,当x
＝
，公共部分面积y最大，y最大值
＝
.
2．如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10，则的长约为
．（结果精确到0.1）
3.
如图，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
（填写所有正确结论的序号）．
4.
如图，中，直线交于点交于点交于点若则
．
5．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是
．
6．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3的面积分别是4，9
和49．则△ABC的面积是
．
7．
如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则=__________m．
8．
如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．
三、解答题
1.
如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
2.
小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．
如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，（2）求BC的长
如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．27
相似三角形
一、选择题
1．如图所示，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.
如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m
B．10m
C．8m
D．7m
4．如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．如图，在长为8
cm、宽为4
cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（
）
A.
2
cm2
B.
4
cm2
C.
8
cm2
D.
16
cm2
6．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（
）
A．
B．
C．
D．
7.
如图，AB是的直径，点C在圆上，，则图中与相似的三角形的个数有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（
）
A．只有1个
B．可以有2个
C．有2个以上但有限
D．有无数个
二、填空题
1.锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y
＞0）,当x
＝
3
，公共部分面积y最大，y最大值
＝
6
.
2．如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10，则的长约为
6.2
．（结果精确到0.1）
3.
如图，与中，交于．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
①③④（填写所有正确结论的序号）．
4.
如图，中，直线交于点交于点交于点若则
．
5．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是
．
6．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3的面积分别是4，9
和49．则△ABC的面积是
144
．
7．
如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则=__40___m．
如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度x=
2.5
mm．
三、解答题
1.
如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．
2.
小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．
如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值，（2）求BC的长.
如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．
（1）求证：；
（2）当为边中点，时，如图2，求的值；
（3）当为边中点，时，请直接写出的值．
