专题：勾股定理与等腰三角形综合
学生姓名：
年级：
科目：
得分：
练习内容
必会拓展等腰三角形的分类讨论：当腰长或底边长不确定时，需进行分类讨论。（题目指代不清）当顶角或底角不确定时，需进行分类讨论。（题目指代不清）当高的位置不确定时，需进行分类讨论。（不确定三角形的类型）由腰的垂直平分线引起的分类讨论。【随堂练习】1.已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角分别为
。2.
若等腰三角形的一个角为70°，则顶角为
3．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为
．4．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为
．5.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为（
）（A）40°
（B）50°
（C）40°或130°
（D）50°或130°6.
等腰三角形一腰的中线把它周长分成了15与21两部分，则它的底边长为（
）（A）8
（Ｂ）16 （C）８或16 （D）以上都不对7.在3×3网格中，网格线的交点称为格点。已知A、B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）（A）6
（B）7
（C）8
（D）9
8．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝3，ON＝7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有
个．新课内容：【例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒，问t为多少秒时，△BCP为等腰三角形．【变式】1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．当t为多少秒时，△BCP为等腰三角形．2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；
（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．练习一：勾股定理与等腰三角形综合
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．
（1）AB＝
cm，AB边上的高为
cm；
（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．
2．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
3．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．
（1）请在6×8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；
（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ＝BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
练习二：勾股定理与等腰三角形综合
1．学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）．
（1）如图①，∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC．
①求证：△ADE为等腰三角形．
②若∠B＝60°，求证：△ADE为等边三角形．
（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、点
D
满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）
2.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s和lcm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当运动时间t为多少秒时,△PBQ为直角三角形。
3、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A?C?B向点B运动,设运动时间为t秒(t＞0)
(1)在AC上是否存在点P，使得PA=PB?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(2)若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由。
5.(12分)已知:如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒。
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值。
6.（10分）如图,已知△ABC中,∠B=90°，AB=16，BC=12，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为t秒。
(1)出发2秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间。
7．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．专题：勾股定理与等腰三角形综合
学生姓名：
年级：
科目：
得分：
练习内容
必会拓展等腰三角形的分类讨论：当腰长或底边长不确定时，需进行分类讨论。（题目指代不清）当顶角或底角不确定时，需进行分类讨论。（题目指代不清）当高的位置不确定时，需进行分类讨论。（不确定三角形的类型）由腰的垂直平分线引起的分类讨论。【随堂练习】1.已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角分别为
。2.
若等腰三角形的一个角为70°，则顶角为
3．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 80°或40° ．4．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为
．5.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为（
）（A）40°
（B）50°
（C）40°或130°
（D）50°或130°6.
等腰三角形一腰的中线把它周长分成了15与21两部分，则它的底边长为（
）（A）8
（Ｂ）16 （C）８或16 （D）以上都不对7.在3×3网格中，网格线的交点称为格点。已知A，Ｂ是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得⊿ＡBC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）（A）6
（B）7
（C）8
（D）98．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝3，ON＝7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有 3 个．【分析】先求出点M、N到在OB的距离，再根据等腰三角形的判定逐个画出即可．【解答】解：过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，∵OM＝3，ON＝7，∠AOB＝45°，∴MN＝4，MM′＝OM×sin45°＝＜4，NN′＝ON×sin45°＝＞4，MH＝M′N′＝4×sin45°＝2＜4，所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，即有3个点P符合，故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键．新课内容：【例】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒，问t为多少秒时，△BCP为等腰三角形．【分析】先根据勾股定理计算出AC＝4cm，然后分类讨论：当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t＝3（s），若点P在AB上，则t＝5.4s；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝，易得t＝（s）；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，则AP＝AB﹣BP＝2，易得t＝6（s）．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t＝3（s）；若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CH⊥AB于H，如图，CH＝，在Rt△BCH中，BH＝＝，则PB＝2BH＝，∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，此时t＝5.4s；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，如图，则BD＝CD，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP，即AP＝AB＝，∴t＝4+＝（s）；当BP＝BC时，△BCP为等腰三角形，即BP＝BC＝3，∴AP＝AB﹣BP＝2，∴t＝4+2＝6（s），综上所述，t为3s或5s或6s或s时，△BCP为等腰三角形．故答案为3秒或5.4秒或6秒或．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理和分类讨论的思想．【变式】1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．则△BCP为等腰三角形时t的值是 3秒或5.4秒或6秒或6.5秒 ．【分析】△BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算．【解答】解：△BCP为等腰三角形时，当点P在边AC上时，CP＝CB，∵CP＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；当点P在边AB上时．①如图1，CP＝CB，作AB边上的高CD，∵AC×BC＝AB×CD．∴CD＝＝4.8，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝3.6，∴BP＝2DP＝7.2，∴AP＝2.8，∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）②BC＝BP，∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），∴t＝12÷2＝6（秒）；③PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．故答案为：3秒或5.4秒或6秒或6.5秒．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．2．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；
（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位可知，当t＝6秒时，DP＝6，AQ＝3即可画出线段PQ；（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t个单位，Q运动了t个单位，由题意得
PQ＝BQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可．【解答】解：（1）如图所示，由勾股定理得PQ＝＝5；（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ，即（t﹣t）2+42＝（8﹣t）2，解得t＝6（秒）．答：当t为6秒时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．练习：勾股定理与等腰三角形综合
学生姓名：
年级：
科目：
得分：
练习内容
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝ 50
cm，AB边上的高为
24
cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，得出2t＝30，即可得出结果；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得出CE＝24，由勾股定理求出BE，即可得出结果；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，证明DA＝DC，得出AD＝DB＝AB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB?CE＝AC?BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果．2．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．3．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）请在6×8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ＝BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，分别求出PE、QE，再利用勾股定理即可求出PQ其长度．（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得
PQ＝BQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可．【解答】解：（1）∵点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，运动时间t为2秒，∴由图中可知PQ的位置如下图2，则由已知条件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．
设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得
PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的长为2；（2）能，运动时间t为．【点评】此题主要考查勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于难题．4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则
2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．练习二：勾股定理与等腰三角形综合1．学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）．（1）如图①，∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC．①求证：△ADE为等腰三角形．②若∠B＝60°，求证：△ADE为等边三角形．（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM与BN上分别作点C、点
D
满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）①先根据∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，判定△ABD≌DCE，得出AB＝DC，进而得到△ADE为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD＝∠CDE，再根据∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，得到∠ADE＝∠B＝60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP＝BD，BP＝AC；第二种情况：使得AC＝AB，CE＝AP，BD＝AE；第三种情况：使得BD＝AB，DF＝BP，AC＝BF．【解答】解：（1）①证明：∵∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，∴△ABD≌DCE，∴AB＝DC，∴△ADE为等腰三角形；②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC，又∵∠BAD＝∠CDE．∴∠ADE＝∠B＝60°，∴等腰△ADE为等边三角形．（2）有三种结果，如图所示：2.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s和lcm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当运动时间t为多少秒时,△PBQ为直角三角形。3、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A?C?B向点B运动,设运动时间为t秒(t＞0)(1)在AC上是否存在点P，使得PA=PB?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(2)若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由。4.（1）t=t=2或3.5或或5.(12分)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以lcm/s的速度移动,设运动的时间为t秒。(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时,求t的值。5.解答：1.
【答案】BC=4cm【解析】在Rt△ABC中，∴BC=4cm2.
【答案】由题意知，BP=t①当∠APB=90°时，点P与点C重合，BP=BC=4，即t=4；②当∠BAP=90°时，BP=t，CP=t-4，AC=3在Rt△ACP中，在Rt△BAP中，，即
解得综上所述：或。3.【答案】①当AB=BP时，t=5；②当AB=AP时，BP=2BC=8，t=8；③当BP=AP时，AP=BP=t，CP=|t-4|,AC=3在Rt△ACP中，，∴
∴综上所述：当t=5或t=8或是，△ABP为等腰三角形。6.（10分）如图,已知△ABC中,∠B=90°，AB=16，BC=12，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2，它们同时出发，设出发的时间为t秒。(1)出发2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形?(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间。6.解答：(1)∵BQ=2×2=4(),BP=AB?AP=16?2×1=14(),∠B=90°，∴PQ=；(2)BQ=2t，BP=16?t，根据题意得：2t=16?t，解得：t=，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；(3)①当CQ=BQ时,如图1所示,则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11秒。②当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24，∴t=24÷2=12秒。③当BC=BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E,则，∴，∴CQ=2CE=14.4，∴BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2秒。综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形。7．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝24﹣AM﹣BN＝18﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（18﹣x）2＝x2+36，解得x＝8；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝36+（18﹣x）2，解得x＝10，综上所述，BN＝8或10．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
