27.1.2 第2课时 垂径定理 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
第二十七章
圆
27.1
圆的认识
2.圆的对称性
第2课时
垂径定理
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
掌握垂径定理及其推论.学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题.
【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法.
【情感态度】
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识.
【教学重点】
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明.
【教学难点】
垂径定理及其推论的运用.
情景导学
2
情景导学
问题:你知道赵州桥吗?
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新课进行时
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
归纳总结
新课进行时
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是，请说明为什么?
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
新课进行时
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
新课进行时
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心
；②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧
；
⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?
思考探索
新课进行时
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
①
CD是直径
②
CD⊥AB，垂足为E
③
AE=BE
④
AC=BC
⑤
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
新课进行时
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗?为什么?
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗?
AD与BD相等吗?为什么?
⌒
（2）由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
⌒
新课进行时
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
新课进行时
核心知识点二
垂径定理及其推论的计算
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB=
cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
典例精析
新课进行时
例2
如图，
⊙
O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得
x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
新课进行时
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
新课进行时
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
新课进行时
核心知识点三
垂径定理的实际应用
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
新课进行时
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴
AD=
AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
新课进行时
练一练：如图a、b,一弓形弦长为
　
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿＿＿＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
新课进行时
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
知识小结
4
知识小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
随堂演练
5
随堂演练
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°则弦AC=
.
10
3
cm
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
14cm或2cm
随堂演练
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形。
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
随堂演练
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么?
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法。
随堂演练
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
随堂演练
拓展提升：
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3cm≤OP≤5cm
B
A
O
P
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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