27.1.3 圆周角 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
第二十七章
圆
27.1
圆的认识
3.
圆周角
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用.
2.理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用.
【过程与方法】
运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题.
【情感态度】
激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
运用圆周角定理及其推论解决问题.
【教学难点】
运用圆周角定理及其推论解决问题.
情景导学
2
情景导学
问题1
什么叫圆心角?指出图中的圆心角?
顶点在圆心的角叫圆心角,
∠BOC.
问题2
如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
复习引入
情景导学
C
A
E
D
B
思考：
图中过球门A、C两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、D、E有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利?
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
新课进行时
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
新课进行时
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是
☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角?
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴
∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵
∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴
∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
新课进行时
圆周角和直径的关系
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
知识要点
新课进行时
典例精析
例1
如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
新课进行时
核心知识点二
圆周角定理及其推论
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
测量与猜测
新课进行时
圆心O
在∠BAC的
内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
新课进行时
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
新课进行时
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
新课进行时
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
新课进行时
核心知识点三
圆周角定理的推论
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
,D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由.
D
互动探究
∴∠BAC=∠BDC
相等
新课进行时
D
A
B
O
C
E
F
问题2
如图，若
∠A与∠B相等吗?
相等
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗?
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗?
A1
A2
新课进行时
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理
A3
要点归纳
推论1：90°的圆周角所对的
弦是直径.
新课进行时
试一试：
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)∠BOC=
?，理由
是
;
(2)∠BDC=
?，理由是
.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
新课进行时
(1)完成下列填空：
∠1=
.
∠2=
.
∠3=
.
∠5=
.
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
新课进行时
例2
如图，分别求出图中∠x的大小。
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
新课进行时
例3：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
新课进行时
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵
AC是直径,
∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
,
∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解。
归纳
新课进行时
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题。
练一练
C
新课进行时
例4
如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,
∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
新课进行时
核心知识点四
圆内接四边形
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆.这个多边形叫做圆的内接多边形.
新课进行时
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C,
∠B与∠D之间
的关系为：
∠A+
∠C=180?，
∠B+
∠D=180?
想一想：
如何证明你的猜想呢?
新课进行时
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
证明猜想
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
新课进行时
C
O
D
B
A
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
新课进行时
归纳总结
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
新课进行时
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
70?
100?
90?
练一练
新课进行时
例5：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
新课进行时
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
练一练
A
新课进行时
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
例6
在圆内接四边形ABCD中，
∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴
∠A+
∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴
x=22.5°.
∴
∠A=45°，
∠B=67.5°，
∠C
=135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
知识小结
4
知识小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
随堂演练
5
随堂演练
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等
（
）
（3）同弦所对的圆周角相等
（
）
√
×
×
随堂演练
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°,
则∠AOB=
．
B
A
C
O
166°
随堂演练
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
随堂演练
A
B
C
D
O
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（
）
A
115°
B
130°
C
65°
D
50°
5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=
.
A
B
C
P
C
120°
随堂演练
6.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ACB=
，∠ADB=
.
D
A
O
C
B
130°
50°
7.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，
则⊙O的半径是
.
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30
°
，∴∠AOB=60
°
又∵OA=OB
，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
随堂演练
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8.
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
随堂演练
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系?
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外）
，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
随堂演练
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证：
.
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.
解:BD=CD.理由是:连接AD,
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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