27.2.3 第1课时 切线的判定与性质 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
第二十七章
圆
27.2
与圆有关的位置关系
3.
切线
第1课时
切线的性质与判定
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
1.理解切线的性质定理.
2.通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理.
【过程与方法】
经历探索切线的判定的过程，培养学生的观察能力、说理意识、逻辑思维能力.
【情感态度】
在探索学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、逻辑性、趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心.
【教学重点】
理解切线的判定定理.
【教学难点】
切线的性质定理、判定定理的综合应用.
情景导学
2
情景导学
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的?
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢?学完这节课，你就都会明白.
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
切线的判定定理
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线?
观察：（1）
圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?
（2）二者位置有什么关系?为什么？
O
新课进行时
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC
⊥
OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
新课进行时
判一判：下列各直线是不是圆的切线?如果不是，请说明为什么?
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
新课进行时
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
新课进行时
例1
如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，点A,且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.
∵AB是☉O的直径，
∴
AC是☉O的切线.
A
O
C
B
新课进行时
例2
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵
OA＝OB,CA＝CB,
∴
OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴
AB⊥OC.
∵
OC是⊙O的半径,
∴
AB是⊙O的切线.
新课进行时
例3
如图,△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC的中点，⊙O
与AB
相切于E.求证：AC
是⊙O
的切线。
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
新课进行时
证明：连接OE
，OA,
过O
作OF
⊥AC.
∵⊙O
与AB
相切于E
，
∴OE
⊥
AB.
又∵△ABC
中，AB
＝AC
，
　　O
是BC
的中点．
∴AO
平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE
＝OF.
∵OE
是⊙O
半径，OF
＝OE，OF
⊥
AC.
∴AC
是⊙O
的切线．
又OE
⊥AB
，OF⊥AC.
新课进行时
如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB=5，AB＝8,
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
C
B
A
O
对比思考
？
作垂直
连接
方法归纳
新课进行时
(1)
有交点，连半径,证垂直;
(2)
无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
要点归纳
有切线时常用辅助线添加方法
(1)
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
新课进行时
核心知识点二
切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O
的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗?
A
l
O
∵直线l是⊙O
的切线，A是切点，
∴直线l
⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
新课进行时
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
新课进行时
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD
⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
新课进行时
1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=
.
2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，
若⊙O的半径长1cm，则CD=
cm.
60°
练一练
新课进行时
利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
方法总结
新课进行时
例4
如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝
，求⊙O的半径．
解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
新课进行时
(1)求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
∴∠OAP＝90°.
新课进行时
(2)若AP＝
，求⊙O的半径．
O
A
B
P
C
∴AO＝1，
∴CB＝OP＝2，
∴OB＝1，即⊙O的半径为1.
(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝
，
知识小结
4
知识小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
随堂演练
5
随堂演练
1.判断下列命题是否正确.
(1)
经过半径外端的直线是圆的切线.
（
）
(2)
垂直于半径的直线是圆的切线.
（
）
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
（
）
(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
（
）
(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（
）
×
×
√
√
√
随堂演练
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（
）
A．40°
B．35°
C．30°
D．45°
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是
.
A
P
O
第2题
相切
C
P
O
第3题
D
A
B
C
随堂演练
4.如图,
⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少?
O
P
B
A
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得
r=3，
即⊙O的半径为3.
随堂演练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
随堂演练
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
随堂演练
7.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；②
_____________
.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
随堂演练
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴
∠D+
∠DAC=90
°,
∵
∠D与∠B同对
,
∴
∠D=
∠B,
又∵
∠CAE=
∠B,
∴
∠D=
∠CAE,
∴
∠DAC+
∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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