27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆 课件（共51张PPT）

(共51张PPT)
第二十七章
圆
27.2
与圆有关的位置关系
3.
切线
第2课时
切线长定理及三角形的内切圆
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
1.掌握切线长定理及其应用
2.理解三角形内切圆的有关概念
3.学会作三角形的内切圆
【过程与方法】
通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法.探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生研究问题的能力；
【情感态度】
通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心.
【教学重点】
切线长定理及应用.
【教学难点】
切线长定理及应用.
情景导学
2
情景导学
同学们玩过空竹和悠悠球吗?在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形?
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
切线长定理及应用
互动探究
问题1
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢?过圆外的一点作圆的切线，可以作几条?
P
O
B
A
O.
P
A
B
新课进行时
P
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里?
知识要点
新课进行时
问题2
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗?
PB是☉O的切线吗?
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系?
∠APO和∠BPO有何关系?
O.
P
A
B
新课进行时
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
知识要点
新课进行时
O.
P
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴
OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
A
B
新课进行时
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
新课进行时
想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
新课进行时
典例精析
例1
已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
O
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
E
F
G
H
∴
AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
新课进行时
例2
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
新课进行时
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O
Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
新课进行时
1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
△AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
新课进行时
B
P
O
A
2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
;
（2）若∠BPA=60
°,则OP=
.
5
6
新课进行时
3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵
∠DOE=
.
⑴
△PDE的周长是
；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
新课进行时
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=CB.
O
P
A
B
C
E
D
∵D，E是切线PA，PB上的点，
∴∠DOC=∠DOA=
∠AOC.
∠DOE=∠DOC+∠COE=
(∠AOC+∠COB)=70°.
∴∠COE=∠BOE=
∠AOC.
∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
新课进行时
切线长问题辅助线添加方法：
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
方法归纳
新课进行时
核心知识点二
三角形的内切圆及作法
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?
互动探究
新课进行时
问题1
如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系?
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
新课进行时
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
问题2
如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切?
(1)
如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件?
(2)
在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢?
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
新课进行时
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
做一做
新课进行时
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆。
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形。
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
知识要点
新课进行时
核心知识点三
三角形的内心的性质
B
A
C
I
问题1
如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB
,OC有什么特点?
互动探究
线段OA，OB
,OC
分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
新课进行时
B
A
C
I
问题2
如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系?
E
F
G
IE=IF=IG
新课进行时
知识要点
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.
新课进行时
例3
如图，△ABC中，∠
B=43°，∠C=61
°，点I是△ABC的内心，求∠
BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠
B，∠C的平分线，
在△IBC中，
新课进行时
例4
如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.
圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
新课进行时
C
A
B
r
O
D
解：
如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
∵圆O是△ABC的内切圆,
∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线
∵
△ABC是等边三角形,
∴
∠OAB=∠OBA=30o
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD=
AB=1.5(cm)
∴OD=AD·
tan30o=
(cm)
答:圆柱底面圆的半径为
cm.
新课进行时
例5
△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段?理由是什么?
B
A
C
E
D
F
O
新课进行时
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由
BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴
AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得
x=4.
A
C
E
D
F
O
新课进行时
比一比
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
新课进行时
C
A
B
O
D
1.求边长为6
cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,
∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
练一练
新课进行时
变式：
求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。
sin∠OBD
=
sin30°=
C
A
B
R
r
O
D
新课进行时
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2.设△ABC的面积为S，周长为L，
△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系?
新课进行时
A
B
C
O
c
D
E
r
3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、b、c的代数式表示r）.
解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.
F
则AD=AC-DC=b-r,
BF=BC-CE=a-r,
因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,
所以a-r+b-r=c,
所以
知识小结
4
知识小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
随堂演练
5
随堂演练
A
2.如图，已知点O是△ABC
的内心，且∠ABC=
60
°,
∠ACB=
80
°,则∠BOC=
.
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB=
40
°
,则∠APO=
,PB=
.
B
P
O
A
第1题
B
C
O
第2题
20
°
4
110
°
随堂演练
（3）若∠BIC=100
°，则∠A
=
度.
（2）若∠A=80
°，则∠BIC
=
度.
130
20
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索：
∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系?
120°
随堂演练
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
方法一：
证明：连接OD，
∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，
OD＝OB
，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
随堂演练
方法二：
证明：连接BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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