一元二次方程学案

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九年级数学讲义
一元二次方程（上）
第一讲
一元二次方程的解法
一、知识衔接
1、因式分解：
（1）-2x2+x+3
（2）
x4-2x2-8
（3）
x3-4x2-12x
2、分式方程：
（1）
（2）
（3）-
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\
MERGEFORMATINET
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\
MERGEFORMATINET
=
EMBED
Equation.KSEE3
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MERGEFORMAT
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\
MERGEFORMATINET
二、知识全解
知识点1
一元二次方程的定义及一般形式
（1）等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：
。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
注意：三个要点，①
；②
；③
。
【例1】下列方程中是一元二次方程的序号是
．
③
【例2】已知，关于x的方程（a+5）x2-2ax=1是一元二次方程，则a的取值为
.
【例3】已知关于方程；
（1）取何值时，原方程是一元二次方程？
（2）取何值时，原方程是一元一次方程？
知识点2
一元二次方程的根与解的估算
（1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
（2）将一元二次方程的解代入到方程式的左右两边，看是否相等。若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根。
（3）在解决某些实际问题的时候，由于可根据实际的情况确定方程解的大致的取值范围，因此可用二分法近似地求出一元二次方程的近似解。
【例4】一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式，试判断x=2是不是一元二次方程x2+cx-2=0的根.
【精题演练I】
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（
）
A.
B.
C.
D.
2.把方程
2（x-1）（x+1）+（x-3）?=8化成一般形式为
，该方程二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
。
3.当
时，方程不是关于x的一元二次方程.
4.已知关于x的方程（a-1）x?+x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（
）
A.a≠1
B.a＞-1且a≠1
C.a≥-1且a≠1
D
.a为任意实数
5.已知一长方形草坪的宽为x
m（x>0），长为3x
m，面积为36m2，则x的值介于（
）
2和3之间
B.
3和4之间
C.
4和5之间
D.
5和6之间
6.方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=
.
7.一元二次方程有一个解为0，试求的解
8.若a是方程x2+x-1=0的一个根，求a3-2a+2016的值.
知识点3
用直接开平方法解一元二次方程
1.说出下列平方根的意义。
4
的平方根是
，81的平方根是
，100的算术平方根是
.
2.如何解方程呢？
由平方根的定义可知即此一元二次方程两个根为。我们把这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
形如方程可变形为
的形式，用直接开平方法求解。
3.形如的方程的解法。
解析：（1）解形如的方程时，可把看成整体，然后直开平方程；
（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；
（3）如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；
（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。
【例5】解方程（1）
（x＋1）2－4＝0；
（2）(1－3x)2＝1
；
【配练1】解方程：
（1）45－x2＝0；
（2）12y2－25＝0；
（3）(2x＋3)2－25＝0
；
【配练2】思考：如何解下例方程？
（1）
（2）
（3）
知识点4
用配方法解一元二次方程
当二次项的系数为1时，可先把
移到方程的右边，然后在方程的两边都加上
，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法适用于任何一个一元二次方程的求解，它的理论依据是完全平方公式；配方的目的是为了降次，把二次方程转化为一次方程来求解。
解一元二次方程的一般步骤：
①一除：将方程两边都除以二次项系数，把二次项系数化为1：；
②二移：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
④四开：用直接开平方法解变形后的方程。（注意：当n<0时，方程无解。）
【例6】解方程：（1）
（2）
（3）(1+x)2+(1+x)=2.64
【配练3】
1.将下列各式进行配方：
（1）＋8x＋_____＝（
x
+
____）
（2）－5x＋_____＝（
x-
____）
（3）－6x＋_____＝（
x
-
_____）
2.用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
(x+1)2+2(x+1)=8
3.试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。
【配练4】思考：用配方法解下列方程：
（1）
（2）
知识点5
用公式法解一元二次方程
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c
=
0（a≠0）当时，它的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
【例7】把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为
，b2-4ac=
.
【例8】利用求根公式解下列方程：
（1）
x2＋3x＋2
=
0
（2）
2
x2－7x
=
4
【配练5】
1.用公式法解方程：
（1）x2-3x-6=0
（2）
y?=
4y
-
12
（3）3x(3x-2)+1=0
2.已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
知识点6
用因式分解法解一元二次方程
因式分解法：通过因式分解，把方程变形为，则有或。
步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的根。
依据：若a·b=0，那么a=0或b=0
特别注意：并不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。用因式分解法解一元二次方程时，易丢根，要避免这一错误需注意两边不能同除以含有未知数的项。
【例9】用因式分解法解方程
（1）5x(x-3)=(x+1)(x-3)
（2）
9（x
-
2）?
=
4（x+1）?
【配练6】
（1）
（x
+1）?-
4（x
+1）=5
（2）
（x?-3）2-
3(3-x?)+2=0
（3）
(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)
（4）
（2x
-
1）?
=（3
-
x）?
（5）
x?-6x+5=0
（6）
（3x
+2）?-8（3x
+2）+15=0
三、课后练习
1.下列方程:①x2=0,②
-2=0,③2+3x=(1+2x)(2+x),④3-=0,⑤-8x+
1=0中,一元二次方程的个数是（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
2.把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（
）
A.
5x2-4x-4=0
B.
x2-5=0
C.
5x2-2x+1=0
D.
5x2-4x+6=0
3.方程x2=6x的根是（
）
A.
x1=0，x2=-6
B.
x1=0，x2=6
C.
x=6
D.
x=0
4.方程2x2-3x+1=0经为(x+a)2=b的形式,正确的是（
）
A.
B.
C.
D.以上都不对
5.不解方程判断下列方程中无实数根的是（
）
A.
-x2=2x-1
B.
4x2+4x+=0
C.
D.
(x+2)(x-3)
=
-5
6.三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为（
）
A.
11
B.
17
C.
17或19
D.
19
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
）
A.
B.3
C.6
D.9
8.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相反数,则x的值为________.
9.
10.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则a、b、c的关系是
.
11.解下列方程
（1）
（2）
x（x-1）=x
（3）
x2＋8x－6＝0
（4）
（5）
2x2+3=7x
（6）（x
2-1）?-
5（x2
-1）+4=0
（7）
（8）
4x2-20x+25=7
（9）
(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)
课后拓展选练：
12.阅读下面的例题与解答过程:
例:解方程:x2-|x|-2＝0
解:原方程可化为|x|2-|x|-2＝0，设|x|＝y，则y2-y-2＝0.解得y1＝2，y2＝-1.
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2；
当y＝-1时，|x|＝-1，∴无实数解
∴原方程的解是x1＝2，x2＝-2.
在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰.这是解决数学问题的一种重要方法——换元法.请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：
（1）x2-2|x|＝0；
（2）x2-2x-4|x-1|＋5＝0.
13.为了解方程（x2-1）2-5（x2-1）＋4＝0，我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x2-1＝y，则原方程可化为y2-5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4
当y＝1时，x2-1＝1，即x2＝2，∴x＝2；
当y＝4时，x2-1＝4，即x2＝5，∴x＝±5.
∴原方程的解为x1＝，x2＝-，x3＝，x4＝-.
仿照上述解题过程解方程:x4-6x2＋8＝0.
答案解析
一、知识衔接
1、（1）=(3-2x)(x+1)
（2）=(x2-2)(x+2)(x-2)
（3）
=x(x-6)(x+2)
2、（1）解得：x=2
，经检验，x=2是原方程的根.
（2）解得：x=2
，经检验，x=2是原方程的根.
（3）
解得：x=-2，
经检验，x=-2为增根，原方程无解.
二、知识全解
【例1】①③④⑤
【例2】a≠-5.
【例3】（1）m=-√3
（2）m=±√2或-√3或-1
【例4】一元二次方程的一个根为1，且a、b满足等式，试判断x=2是不是一元二次方程x2+cx-2=0的根.
【精题演练I】
A
；2.
3x2-6x-1=0
，3，-6，-1
；3.
±2
；4.C
；
5.
B
；6.
2
；7.
1
；8.
2015；
【例5】（1）x1=1，x2=-3；
（2）x1=0，x2=2/3；
【配练1】（1）x1=3√5，x2=-3√5；
（2）y1=
，y2=-；
（3）x1=1，x2=-4；
【配练2】（1）x1=6，x2=-2
（2）x1=8，x2=2
（3）x1=√5-3，x2=-√5-3
【例6】（1）x1=3+3√3，x2=3-3√3
（2）x1=，x2=
（3）x1=0.2，x2=-3.2
【配练3】1.（1）16
，4
（2）
，
（3）
18
，
3√2
2.（1）x1=5+√10，x2==5-√10；
（2）x1=4，x2=-
（3）x1=1，x2=-5
3.
证明：
x2+3x-=（x+）2。
∵（x+）2≥0
∴（x+）2≥
∴
代数式x2+3x-的值不小于
【配练4】（1）
（2）
【例7】x2+3x-4=0
，25.
【例8】（1）x1=-1，x2=-2
（2）x1=4，x2=-
【配练5】1.（1）x1=，x2=
（2）y1=y2=
（3）x1=x2=；
2.
21
【例9】（1）x1=3，x2=
（2）x1=，x2=8
【配练6】
（1）x1=4，x2=-2
（2）x1=1，x2=-1，x3=，x4=-
（3）x1=2，x2=-2
（4）x1=-2，x2=4/3
（5）x1=5，x2=1
（6）
x1=1/3，x2=1
三、课后练习
1.
B
2.
A
3.
B
4.
C
5.
B
6.
D
7.
B
8.
1或-2/3
9.
9/4
,
3/2
10.
a+c=b.
11.（1）x1=2，x2=1
（2）x1=0，x2=2
（3）x1=-4，x2=--4
（4）
x1=x2=
（5）x1=1/2，x2=3
（6）x1=，x2=-,x1=，x2=-
（7）x1=2，x2=1
（8）x1=，x2=
（9）x1=2，x2=-2
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