人教A版（2019）必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（2）-课件（38张PPT）

等式性质与不等式性质（２）
性质1：如果a=b,那么b=a.
一、等式性质
性质2：如果a=b,b=c,那么a=c.
问题1：请你回忆一下，等式都有哪些性质？

性质3：如果a=b,那么a c=b ± c.
一、等式性质
性质4：如果a=b,那么a c=b c.
性质5：如果a=b,c ≠0,那么
问题2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了
哪些思想方法吗？
一、等式性质
“相等关系自身的特点”和
“相等关系对运算保持不变”.
二、不等式性质
问题3：初中我们通过由特殊到一般的方法，
归纳过一些不等式的性质，现在你打算如何
研究不等式的性质？

追问：从什么视角来研究不等式的性质？
二、不等式性质
问题4：类比等式的基本性质蕴含你的“自身
特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式
的基本性质吗？

二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
　　　　如果b ＜a，那么a >b．

即： a ＞ b b ＜a;
追问1：你打算怎么证明？

追问2：此性质与等式性质1有何异同？

二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
　　　　如果b ＜a，那么a ＜b．

即： a ＞ b b ＜a．
追问3：你还有什么结论？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
　　　　如果b ＜a，那么a ＜b．

即： a ＞ b b ＜a;
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.

即： a ＞ b，b ＞c a ＞ c．
分析：若要证明a>c，只需要证明a?c >0

联系a ? b >0,b ? c>0
a ? c=(a ? b)+(b ? c)>0
追问:如何证明

(a ? b)+(b ? c)>0
二、不等式性质
证明：由两个实数大小关系的基本事实知:

性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.

即： a ＞ b，b ＞c a ＞ c；
二、不等式性质
问题3：类比等式性质中蕴含的“运算中
的不变性”的思想方法，你能猜想并证明
不等式的基本性质吗？
性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.

分析：要证a+c ＞b+c，只需要证明（ a+c )?(b+c)>0
即： a ? b与0的大小关系
证明：由a>b，得a ? b>0, 所以 （a+c ) ?(b+c)>0
即 a+c ＞b+c．
二、不等式性质
追问1：用文字语言怎样表达此性质？
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.

二、不等式性质
由性质3可得
a+b>c
二、不等式性质
追问3：你能从性质3中得到什么结论吗？
追问4：是否还有其他结论？
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．

问题6：不等式的两边同乘一个数，
为何要分类讨论？
二、不等式性质
二、不等式性质
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．

分析：要判断ac 与bc的大小关系，
即要判断 ac?bc =（ab）c 与0的大小关系
?
由于a ??b>0, （a ??b）c 的正负由c的正负决定，
从而需要分类讨论 ．
?
追问1：用文字语言怎样表述此性质？
不等式两边同乘一个正数，
所得不等式与原不等式同向；
不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向．
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．

二、不等式性质
性质1：如果a=b,那么b=a．
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.

.
性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.
性质4：如果 a＞b, c>0 , 那么 ac ＞bc;
如果 a>b, c<0 , 那么 ac < bc
二、不等式性质
问题7：不等式与等式基本性子的共性
与差异有哪些？
.
二、不等式性质
问题8：利用不等式的基本性质，
你还可以猜想并证明不等式的其
他性质吗？
.
二、不等式性质
.
性质3：如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c.
追问：在基本性质3中，不等式的两边同
加同一个实数。如果两边同加不同的实
数，即不等式两边分别加上不相等的两
个数，能得到什么不等关系呢？
二、不等式性质
.
性质5：如果a ＞b，c>d ，那么a+c ＞b+d.
问题9：你能想出几种证明方法？
二、不等式性质
.
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
【法1】：
分析:若要证明a+c ＞b+d，只需要证明
（ a+c ) ? (b+d)>0
由已知a ? b>0,c ? d > 0,由“正数加正数是
正数”这一基本事实，得证
二、不等式性质
.
性质5：如果a＞b ， c>d ， 那么a+c ＞b+d.
【法2】：
由性质3，得a+c ＞b+c，b+c > b+d ;
由性质2，得 a+c > b+d
二、不等式性质
.
问题10：在基本性质4中，不等式的两边同
乘同一个实数，如果乘不同的实数，你有
何结论？
性质4：如果 a＞b， c>0， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ，那么 ac < bc．
二、不等式性质
.
猜想：如果 a＞b，c>d ，那么 ac ＞bd；

追问：在不等式的基本性质中，乘法运算
不具备“保号性”，你认为上述猜想是否
正确？如何修正？
二、不等式性质
.
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
追问：如果性质6中a=c，b=d ，
你有何新的结论？
如果 a＞b>0，那么
性质7：如果 a＞b>0，那么
????∈?????,????≥2
?
二、不等式性质
三、不等式的简单应用
.
例：已知a＞b>0, c<0 , 求证：
分析：要证明 ，因为c<0，

所以可以先证明 ，

利用已知a＞b>0和性质3，即可证明
三、不等式的简单应用
.
例：已知a＞b>0， c<0 ， 求证：
证明：因为a＞b>0，所以
于是 . 即
由c<0,得
四、课堂小结
.
问题9：本节课我们重点学习了不等式的基本性
质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的
性质的？
梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法;
从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明
不等式的基本性质;
由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质.
四、课堂小结
.
追问：类比探究都要经历什么过程？
前备经验
推理证明（修正）
理解表达
探究个性
应用反思