(共80张PPT)
§4 平
行
关
系
4.1 直线与平面平行
必备知识·自主学习
1.直线与平面平行的性质定理
文字叙述:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么
该直线与_____平行.
符号表示:l∥α,l?β,α∩β=a?l∥a.
图形表示:
导思
1.线面平行能得到线线平行吗?
2.怎样判定直线与平面平行呢?
交线
【思考】
“线线平行”是“线面平行”的什么条件呢?
提示:“线面平行”的性质定理推出了“线线平行”,所以“线线平行”是“线面平行”的必要条件.
2.直线与平面平行的判定定理
文字叙述:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该直线与此
平面平行.
符号表示:l?α,a?α,且l∥a?l∥α.
图形表示:
作用:证明直线与平面平行.
平行
【思考】
由“线线平行”判定了“线面平行”,那么“线线平行”是“线面平行”的什么条件?
提示:由“线线平行”判定了“线面平行”,即“线线平行”是“线面平行”的充分条件.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
( )
(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.
( )
(3)若直线a∥b,直线b?α,则a∥α.
( )
(4)直线l∥平面α,直线a?平面α,直线l与直线a一定平行.
( )
提示:(1)×.也有可能这条直线在这个平面内;
(2)×.直线在平面内也可以和平面内的无数条直线平行;
(3)×.直线a必须在平面外;
(4)×.直线l与直线a可能平行也可能异面.
2.能保证直线a与平面α平行的条件是
( )
A.b?α,a∥b
B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a?α,b?α,a∥b
【解析】选D.由线面平行的判定定理可知,D正确.
3.(教材二次开发:例题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为________.?
【解析】因为A1C1∥AC,A1C1?平面ACE,AC?平面ACE,
所以A1C1∥平面ACE.
答案:平行
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.AC在此平面内
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是
( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b?α
D.b∥α或b与α相交
3.如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α,
且AB,CD在α的两侧,若AC,BD分别与α相交于M,N两点,
求证:
.
【解析】1.选A.如图所示,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,不难得出EF∥AC.
显然EF?平面EFG,AC?平面EFG,
所以有AC∥平面EFG.
2.选D.如图,正方体的面ABCD为平面α,A1B1为直线a,若B1C1为直线b,则b∥α,若B1B为直线b,则b与α相交.
3.如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD∥α,平面ACD∩α=PM,
所以CD∥PM,所以在△ACD中有
.
同理,在△DAB中,有
,所以
【解题策略】
如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决问题的过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行.
类型二 直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
四步
内容
理解
题意
条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.
结论:EF∥平面AD1G.
思路
探求
证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线.
书写
表达
证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线.连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点,知EF∥BC1.
四步
内容
书写
表达
又AB∥A1B1∥D1C1,且AB=A1B1=D1C1,
所以四边形ABC1D1是平行四边形,
所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.
又EF?平面AD1G,AD1?平面AD1G,
所以EF∥平面AD1G.
注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面平行,条件一定要写全,不能有遗漏.
题后
反思
证明线面平行的关键是找到线线平行.
【解题策略】
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
①空间直线平行关系的传递性法;
②三角形中位线法;
③平行四边形法;
④线段成比例法.
提醒:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
【跟踪训练】
在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.求证:EH∥BD.
【证明】
因为EH∥FG,FG?平面BCD,EH?平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH?平面ABD,平
面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
类型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系?
【典例】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
【思路导引】由线面平行推导线线平行,需要先写出已知和求证,注意规范符号语言.
【证明】已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.
证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,因为a∥α,所以a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c,则b∥c.
又因为b?β,c?β,所以b∥β.
又因为b?α,α∩β=l,所以b∥l.又因为a∥b,所以a∥l.
【变式探究】
过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB1∥EE1.
【证明】如图所示,因为CC1∥BB1,CC1?平面BEE1B1,BB1?平面BEE1B1,
所以CC1∥平面BEE1B1.
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1,
所以CC1∥EE1.由于CC1∥BB1,所以BB1∥EE1.
角度2 由平行关系进行相关的计算?
【典例】
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的
中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD
上,求PQ的长.
【思路导引】求PQ的长,只需要将PQ的长放到三角形中解三角形就可以.
【解析】因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,MN?平面PMN,
所以MN∥PQ,易知DP=DQ=
,
故PQ=
.
【解题策略】
利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是AB的中点,点F在BC上,则BF等于多少
时,EF∥平面A1C1D( )
A.1 B.
C.
D.
【解析】选B.当F为BC的中点,即BF=
时,EF∥A1C1,则EF∥平面A1C1D.
2.三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系是________.?
【解析】如图,取BC中点F,连接SF.
因为G为△ABC的重心,
所以A,G,F共线且AG=2GF.
又因为AE=2ES,所以EG∥SF.
又SF?平面SBC,EG?平面SBC,所以EG∥平面SBC.
答案:平行
3.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH.
因为GH?平面ABD,EF?平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因为EF?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,
所以EF∥AB.
又因为AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,
所以AB∥平面EFGH.
备选例题 线面平行性质定理和判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.当
等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
【思路导引】BC1∥平面AB1D1作为已知条件,利用线面平行的性质可以得到线线平行,进而得到线段长度之间的关系.
【解析】如图,取D1为线段A1C1的中点,
此时
=1,连接A1B交AB1于点O,
连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1.
所以
=1时BC1∥平面AB1D1.
【解题策略】
转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:
线线
平行
线面
平行
线线
平行
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的
( )
A.唯一一条直线不相交
B.仅两条相交直线不相交
C.仅一组平行直线不相交
D.任意一条直线都不相交
【解析】选D.根据直线和平面平行定义,易排除A,B.
对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,所以D正确.
课堂检测·素养达标
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为
( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
3.(教材二次开发:习题改编)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是
( )
A.m∥α,m∥n?n∥α
B.m∥α,n∥α?m∥n
C.m∥α,m?β,α∩β=n?m∥n
D.m∥α,n?α?m∥n
【解析】选C.A中n还有可能在平面α内;
B中m,n可能相交、平行、异面;
由线面平行的性质定理可知C正确;D中m,n可能异面.
4.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________.?
【解析】因为AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,
由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案:CD∥α
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,连接AD,DC1,A1B,AC1,求证:A1B∥平面ADC1.
【证明】如图,连接A1C,
设A1C∩AC1=O,连接OD.
由题意知,A1ACC1是平行四边形,所以O是A1C的中点,
又D是CB的中点,
因此OD是△A1CB的中位线,即OD∥A1B.
又A1B?平面ADC1,OD?平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
四十四 直线与平面平行
【基础通关-水平一】
(15分钟 35分)
1.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
课时素养评价
【解析】选D.由直线与平面平行的判定定理知,EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
【补偿训练】
一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.在平面α内
D.平行或在平面α内
【解析】选D.在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD?α.
2.在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.直线AC在平面DEF内
D.不能确定
【解析】选A.因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,所以EF∥AC.又EF?平面DEF,
AC?平面DEF,所以AC∥平面DEF.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别在AD,CD上,且满足
,则直线EF与平
面ABC的位置关系是
( )
A.EF∥平面ABC
B.EF?平面ABC
C.EF与平面ABC相交
D.以上都有可能
【解析】选A.如图,因为
,所以EF∥AC.
又因为AC?平面ABC,EF?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.所以EF∩平面ABC=?.
因而B,C,D均错.
4.已知m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个________.?
【解析】若m∥n,m∥α,则n∥α.
同样,若m∥n,n∥α,则m∥α.
答案:①②?③(或①③?②)
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.?
【解析】在①中由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行,所以AB∥平面
MNP,故①成立;
②若下底面中心为O,则NO∥AB,NO∩面MNP=N,所以AB与平面MNP不平行,故②不
成立;
③过P作与AB平行的直线PO,则PO与平面MNP相交,所以AB与面MNP不平行,故③
不成立;
④AB与PN平行,所以AB∥平面MNP,故④成立.
答案:①④
6.如图,O是长方体ABCD-A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点,求证:B1O∥平面
A1C1D.
【证明】如图,连接B1D1交A1C1于点O1,连接DO1,
因为B1B∥D1D,B1B=D1D,
所以四边形B1BDD1为平行四边形,
所以O1B1∥DO,O1B1=DO,
所以O1B1OD为平行四边形,
所以B1O∥O1D,
因为B1O?平面A1C1D,O1D?平面A1C1D,
所以B1O∥平面A1C1D.
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面
( )
A.不存在
B.只能作出1个
C.能作出无数个
D.以上都有可能
【解析】选D.设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个.
2.若直线l不平行于平面α,且l?α,则
( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】选B.由题意可得α内不存在与l平行的直线.若α内存在直线m与l平行,由于l不在α内,则可得到l与α平行,与已知矛盾.
3.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上且PD=
DA,过点D作平行于底面ABC的平面,
交PB,PC于点E,F,若△ABC的面积为9,则△DEF的面积为
( )
A.1
B.2
C.4
D.
【解析】选A.如图易知△DEF∽△ABC,
由PD=
DA,知PD=
PA.
所以
.
所以
.
又S△ABC=9,所以S△DEF=1.
【补偿训练】
正方体ABCD-A1B1C1D1中P,Q分别是棱AA1与CC1的中点,则经过P,B,Q三点的截面是
( )
A.邻边不相等的平行四边形
B.菱形但不是正方形
C.矩形
D.正方形
【解析】选B.如图所示,设经过P,B,Q三点的截面为平面γ,
由平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
知γ与两组平面的交线平行.所以截面为平行四边形.
又因为△ABP≌△CBQ,
所以PB=QB,知截面为菱形.
又PQ≠BD1,知截面不可能为正方形.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G分别是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG=GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是
( )
A.CE
B.CF
C.CG
D.CC1
【解析】选B.如图,连接AC,使AC交BD于点O,连接A1O,CF,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
由于A1F
AC,
又OC=
AC,可得A1F?OC,
即四边形A1OCF为平行四边形,
可得A1O∥CF,又A1O?平面A1BD,CF?平面A1BD,可得CF∥平面A1BD.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则
( )
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分别是线段DC,AD的中点
【解析】选AB.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;
由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN,故B正确.
6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则下列四个结论正确的是( )
A.直线A1C1与AD1为异面直线
B.A1C1∥平面ACD1
C.直线BD1与AC为异面直线
D.BC∥平面ACD1
【解析】选ABC.对于A,直线A1C1?平面A1B1C1D1,AD1?平面ADD1A1,D1?直线A1C1,则易得直线A1C1与AD1为异面直线,故A正确;
对于B,因为A1C1∥AC,A1C1?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,故B正确;
对于C,直线AC?平面ABCD,BD1?平面BB1D1D,B?AC,则直线AC与BD1为异面直线,故C正确;
对于D,显然错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与CF的位置关系是________,MN与平面ADE的位置关系是________.?
【解析】因为M,N分别是BF,BC的中点,
所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,所以CF∥DE,
所以MN∥DE.又MN?平面ADE,DE?平面ADE,所以MN∥平面ADE.
答案:平行 平行
【补偿训练】
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是BC,C1D1的中点,如图,则EG与平面BDD1B1的位置关系是________.?
【解析】如图,取BD的中点F,连接EF,D1F.因为E为BC的中点,所以EF为△BCD的
中位线,则EF∥DC且EF=
CD.因为G为C1D1的中点,
所以D1G∥CD且D1G=
CD,
所以EF∥D1G且EF=D1G,
所以四边形EFD1G为平行四边形,
所以D1F∥EG,而D1F?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1.
答案:平行
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件________时A1P∥平面BCD(答案不唯一,填一个满足题意的条件即可).?
【解析】如图,取CC1中点P,连接A1P.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,
所以当点P满足条件P是CC1中点时A1P∥CD.
因为A1P?平面BCD,CD?平面BCD,
所以当点P满足条件P是CC1中点时A1P∥平面BCD.
答案:P是CC1中点
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知正方形ABCD,如图1.E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图2所
示,求证:BF∥平面ADE.
【证明】因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EB=FD.
又因为EB∥FD,所以四边形EBFD为平行四边形,
所以BF∥ED.因为DE?平面ADE,而BF?平面ADE,
所以BF∥平面ADE.
10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱AB,BC,A1C1的中点,求证:EF∥平面A1CD.
【证明】连接DE.
因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC且DE=
AC.
因为ABC-A1B1C1是三棱柱,
所以AA1∥CC1且AA1=CC1,
所以四边形AA1C1C是平行四边形,
所以AC∥A1C1且AC=A1C1.
因为F是A1C1的中点,
所以A1F∥AC且A1F=
AC,
所以DE∥A1F且DE=A1F,
所以四边形A1DEF是平行四边形,
所以EF∥A1D.
又EF?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
所以EF∥平面A1CD.
【创新迁移】
1.下列三个说法:
①若直线a在平面α外,则a∥α;
②若直线a∥b,直线a?α,b?α,则a∥α;
③若a∥b,b?α,则a与α内任意直线平行.
其中正确的有________.?
【解析】直线a在平面α外,包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况,①不正确;由直线与平面平行的判定定理知②正确;
③中a与α内的直线可能平行,相交、异面,③不正确.
答案:②
2.如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
求证:(1)l∥BC;
(2)MN∥平面PAD.
【证明】(1)因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,BC?平面PBC,所以BC∥l.
(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,
则NE∥CD,且NE=
CD,
又因为AM∥CD,且AM=
CD,
所以NE∥AM,且NE=AM.
所以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为AE?平面PAD,MN?平面PAD,
所以MN∥平面PAD.温馨提示：
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§4 平
行
关
系
4.1 直线与平面平行
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中直线与平面平行的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系.
★水平一1.理解并掌握直线与平面平行的性质定理及应用.(直观想象、逻辑推理)2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理,能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.(数学抽象、逻辑推理)★水平二能用图形、文字、符号三种语言描述直线与平面平行的性质定理、判定定理,理解其地位与作用.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.线面平行能得到线线平行吗?2.怎样判定直线与平面平行呢?
1.直线与平面平行的性质定理
文字叙述:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
符号表示:l∥α,l?β,α∩β=a?l∥a.
图形表示:
“线线平行”是“线面平行”的什么条件呢?
提示:“线面平行”的性质定理推出了“线线平行”,所以“线线平行”是“线面平行”的必要条件.
2.直线与平面平行的判定定理
文字叙述:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
符号表示:l?α,a?α,且l∥a?l∥α.
图形表示:
作用:证明直线与平面平行.
由“线线平行”判定了“线面平行”,那么“线线平行”是“线面平行”的什么条件?
提示:由“线线平行”判定了“线面平行”,即“线线平行”是“线面平行”的充分条件.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
( )
(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.
( )
(3)若直线a∥b,直线b?α,则a∥α.
( )
(4)直线l∥平面α,直线a?平面α,直线l与直线a一定平行.
( )
提示:(1)×.也有可能这条直线在这个平面内;
(2)×.直线在平面内也可以和平面内的无数条直线平行;
(3)×.直线a必须在平面外;
(4)×.直线l与直线a可能平行也可能异面.
2.能保证直线a与平面α平行的条件是
( )
A.b?α,a∥b
B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a?α,b?α,a∥b
【解析】选D.由线面平行的判定定理可知,D正确.
3.(教材二次开发:例题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为________.?
【解析】因为A1C1∥AC,A1C1?平面ACE,AC?平面ACE,
所以A1C1∥平面ACE.
答案:平行
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.AC在此平面内
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是
( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b?α
D.b∥α或b与α相交
3.
如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD在α的两侧,若AC,BD分别与α相交于M,N两点,求证:=.
【解析】1.选A.如图所示,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,不难得出EF∥AC.
显然EF?平面EFG,AC?平面EFG,
所以有AC∥平面EFG.
2.选D.如图,正方体的面ABCD为平面α,A1B1为直线a,若B1C1为直线b,则b∥α,若B1B为直线b,则b与α相交.
3.如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD∥α,平面ACD∩α=PM,
所以CD∥PM,所以在△ACD中有=.
同理,在△DAB中,有=,所以=.
如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决问题的过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行.
类型二 直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
四步
内容
理解题意
条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.结论:EF∥平面AD1G.
思路探求
证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线.
书写表达
连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点,知EF∥BC1.又AB∥A1B1∥D1C1,且AB=A1B1=D1C1,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1.又EF?平面AD1G,AD1?平面AD1G,所以EF∥平面AD1G.注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面平行,条件一定要写全,不能有遗漏.
四步
内容
题后反思
证明线面平行的关键是找到线线平行.
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
①空间直线平行关系的传递性法;
②三角形中位线法;
③平行四边形法;
④线段成比例法.
提醒:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.求证:EH∥BD.
【证明】
因为EH∥FG,FG?平面BCD,EH?平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
类型三 线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系?
【典例】求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
【思路导引】由线面平行推导线线平行,需要先写出已知和求证,注意规范符号语言.
【证明】已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.
证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,因为a∥α,所以a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c,则b∥c.
又因为b?β,c?β,所以b∥β.
又因为b?α,α∩β=l,所以b∥l.又因为a∥b,所以a∥l.
过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB1∥EE1.
【证明】如图所示,
因为CC1∥BB1,CC1?平面BEE1B1,BB1?平面BEE1B1,
所以CC1∥平面BEE1B1.
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1,
所以CC1∥EE1.由于CC1∥BB1,所以BB1∥EE1.
角度2 由平行关系进行相关的计算?
【典例】
如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,求PQ的长.
【思路导引】求PQ的长,只需要将PQ的长放到三角形中解三角形就可以.
【解析】因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,MN?平面PMN,
所以MN∥PQ,易知DP=DQ=,
故PQ==DP=a.
利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是AB的中点,点F在BC上,则BF等于多少时,EF∥平面A1C1D( )
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.当F为BC的中点,即BF=时,EF∥A1C1,则EF∥平面A1C1D.
2.三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系是________.?
【解析】如图,取BC中点F,连接SF.
因为G为△ABC的重心,
所以A,G,F共线且AG=2GF.
又因为AE=2ES,所以EG∥SF.
又SF?平面SBC,EG?平面SBC,所以EG∥平面SBC.
答案:平行
3.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.
【证明】因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH.
因为GH?平面ABD,EF?平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因为EF?平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,
所以EF∥AB.
又因为AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,
所以AB∥平面EFGH.
备选例题 线面平行性质定理和判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
【思路导引】BC1∥平面AB1D1作为已知条件,利用线面平行的性质可以得到线线平行,进而得到线段长度之间的关系.
【解析】如图,取D1为线段A1C1的中点,
此时=1,连接A1B交AB1于点O,
连接OD1.由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1.
又因为OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1.
所以=1时BC1∥平面AB1D1.
转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:
课堂检测·素养达标
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的
( )
A.唯一一条直线不相交
B.仅两条相交直线不相交
C.仅一组平行直线不相交
D.任意一条直线都不相交
【解析】选D.根据直线和平面平行定义,易排除A,B.
对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,排除C.与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a与平面α平行,所以D正确.
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为
( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
3.(教材二次开发:习题改编)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是
( )
A.m∥α,m∥n?n∥α
B.m∥α,n∥α?m∥n
C.m∥α,m?β,α∩β=n?m∥n
D.m∥α,n?α?m∥n
【解析】选C.A中n还有可能在平面α内;
B中m,n可能相交、平行、异面;
由线面平行的性质定理可知C正确;D中m,n可能异面.
4.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________.?
【解析】因为AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,
由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案:CD∥α
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,连接AD,DC1,A1B,AC1,求证:A1B∥平面ADC1.
【证明】如图,连接A1C,
设A1C∩AC1=O,连接OD.
由题意知,A1ACC1是平行四边形,所以O是A1C的中点,
又D是CB的中点,
因此OD是△A1CB的中位线,即OD∥A1B.
又A1B?平面ADC1,OD?平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
课时素养评价
四十四 直线与平面平行
(15分钟 35分)
1.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由直线与平面平行的判定定理知,EF与平面AB′、平面BC′、平面CD′、平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
【补偿训练】
一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块矩形木板绕AB转动,在转动的过程中,AB的对边CD与平面α的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.在平面α内
D.平行或在平面α内
【解析】选D.在旋转过程中,CD∥AB,易得CD∥α或CD?α.
2.在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=2∶5,则直线AC与平面DEF的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.直线AC在平面DEF内
D.不能确定
【解析】选A.因为AE∶EB=CF∶FB=2∶5,
所以EF∥AC.
又EF?平面DEF,AC?平面DEF,
所以AC∥平面DEF.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别在AD,CD上,且满足=,则直线EF与平面ABC的位置关系是
( )
A.EF∥平面ABC
B.EF?平面ABC
C.EF与平面ABC相交
D.以上都有可能
【解析】选A.如图,因为=,所以EF∥AC.
又因为AC?平面ABC,EF?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.所以EF∩平面ABC=?.
因而B,C,D均错.
4.已知m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个________.?
【解析】若m∥n,m∥α,则n∥α.
同样,若m∥n,n∥α,则m∥α.
答案:①②?③(或①③?②)
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.?
【解析】在①中由正方体性质得到平面MNP与AB所在平面平行,所以AB∥平面MNP,故①成立;
②若下底面中心为O,则NO∥AB,NO∩面MNP=N,所以AB与平面MNP不平行,故②不成立;
③过P作与AB平行的直线PO,则PO与平面MNP相交,所以AB与面MNP不平行,故③不成立;
④AB与PN平行,所以AB∥平面MNP,故④成立.
答案:①④
6.如图,O是长方体ABCD-A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点,求证:B1O∥平面A1C1D.
【证明】如图,连接B1D1交A1C1于点O1,连接DO1,
因为B1B∥D1D,B1B=D1D,
所以四边形B1BDD1为平行四边形,
所以O1B1∥DO,O1B1=DO,
所以O1B1OD为平行四边形,
所以B1O∥O1D,
因为B1O?平面A1C1D,O1D?平面A1C1D,
所以B1O∥平面A1C1D.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面
( )
A.不存在
B.只能作出1个
C.能作出无数个
D.以上都有可能
【解析】选D.设直线l外两点确定直线AB,①当AB与l相交时,满足题意的平面不存在;②当AB与l异面时,满足题意的平面只能作一个;③当AB∥l时,满足题意的平面有无数多个.
2.若直线l不平行于平面α,且l?α,则
( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
【解析】选B.由题意可得α内不存在与l平行的直线.若α内存在直线m与l平行,由于l不在α内,则可得到l与α平行,与已知矛盾.
3.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上且PD=DA,过点D作平行于底面ABC的平面,交PB,PC于点E,F,若△ABC的面积为9,则△DEF的面积为
( )
A.1
B.2
C.4
D.
【解析】选A.如图易知△DEF∽△ABC,
由PD=DA,知PD=PA.
所以==.
所以==.
又S△ABC=9,所以S△DEF=1.
【补偿训练】
正方体ABCD-A1B1C1D1中P,Q分别是棱AA1与CC1的中点,则经过P,B,Q三点的截面是
( )
A.邻边不相等的平行四边形
B.菱形但不是正方形
C.矩形
D.正方形
【解析】选B.如图所示,设经过P,B,Q三点的截面为平面γ,
由平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
平面ADD1A1∥平面BCC1B1,
知γ与两组平面的交线平行.所以截面为平行四边形.
又因为△ABP≌△CBQ,
所以PB=QB,知截面为菱形.
又PQ≠BD1,知截面不可能为正方形.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G分别是线段A1C1上的点,且A1E=EF=FG=GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是
( )
A.CE
B.CF
C.CG
D.CC1
【解析】选B.如图,连接AC,使AC交BD于点O,连接A1O,CF,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
由于A1F?AC,
又OC=AC,可得A1F?OC,
即四边形A1OCF为平行四边形,
可得A1O∥CF,又A1O?平面A1BD,CF?平面A1BD,可得CF∥平面A1BD.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则
( )
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分别是线段DC,AD的中点
【解析】选AB.由题意知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;
由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN,故B正确.
6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则下列四个结论正确的是
( )
A.直线A1C1与AD1为异面直线
B.A1C1∥平面ACD1
C.直线BD1与AC为异面直线
D.BC∥平面ACD1
【解析】选ABC.对于A,直线A1C1?平面A1B1C1D1,AD1?平面ADD1A1,D1?直线A1C1,则易得直线A1C1与AD1为异面直线,故A正确;
对于B,因为A1C1∥AC,A1C1?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以A1C1∥平面ACD1,故B正确;
对于C,直线AC?平面ABCD,BD1?平面BB1D1D,B?AC,则直线AC与BD1为异面直线,故C正确;
对于D,显然错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与CF的位置关系是________,MN与平面ADE的位置关系是________.?
【解析】因为M,N分别是BF,BC的中点,
所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,所以CF∥DE,
所以MN∥DE.又MN?平面ADE,DE?平面ADE,所以MN∥平面ADE.
答案:平行 平行
【补偿训练】
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是BC,C1D1的中点,如图,则EG与平面BDD1B1的位置关系是________.?
【解析】如图,取BD的中点F,连接EF,D1F.因为E为BC的中点,所以EF为△BCD的中位线,
则EF∥DC且EF=CD.因为G为C1D1的中点,
所以D1G∥CD且D1G=CD,
所以EF∥D1G且EF=D1G,
所以四边形EFD1G为平行四边形,
所以D1F∥EG,而D1F?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1,所以EG∥平面BDD1B1.
答案:平行
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,当点P满足条件________时A1P∥平面BCD(答案不唯一,填一个满足题意的条件即可).?
【解析】如图,取CC1中点P,连接A1P.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,
所以当点P满足条件P是CC1中点时A1P∥CD.
因为A1P?平面BCD,CD?平面BCD,
所以当点P满足条件P是CC1中点时A1P∥平面BCD.
答案:P是CC1中点
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知正方形ABCD,如图1.E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图2所示,求证:BF∥平面ADE.
【证明】因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EB=FD.
又因为EB∥FD,所以四边形EBFD为平行四边形,
所以BF∥ED.
因为DE?平面ADE,而BF?平面ADE,
所以BF∥平面ADE.
10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱AB,BC,A1C1的中点,求证:EF∥平面A1CD.
【证明】连接DE.
因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE∥AC且DE=AC.
因为ABC-A1B1C1是三棱柱,
所以AA1∥CC1且AA1=CC1,
所以四边形AA1C1C是平行四边形,
所以AC∥A1C1且AC=A1C1.
因为F是A1C1的中点,
所以A1F∥AC且A1F=AC,
所以DE∥A1F且DE=A1F,
所以四边形A1DEF是平行四边形,
所以EF∥A1D.
又EF?平面A1CD,A1D?平面A1CD,
所以EF∥平面A1CD.
1.下列三个说法:
①若直线a在平面α外,则a∥α;
②若直线a∥b,直线a?α,b?α,则a∥α;
③若a∥b,b?α,则a与α内任意直线平行.
其中正确的有________.?
【解析】直线a在平面α外,包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况,①不正确;
由直线与平面平行的判定定理知②正确;
③中a与α内的直线可能平行,相交、异面,③不正确.
答案:②
2.
如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
求证:(1)l∥BC;
(2)MN∥平面PAD.
【证明】(1)因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,BC?平面PBC,所以BC∥l.
(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,
则NE∥CD,且NE=CD,
又因为AM∥CD,且AM=CD,
所以NE∥AM,且NE=AM.
所以四边形AMNE是平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为AE?平面PAD,MN?平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
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