(共87张PPT)
4.2 平面与平面平行
必备知识·自主学习
1.平面与平面平行的性质定理
文字叙述:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面_____,那么两条交线平
行.
符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
图形表示:
作用:证明两直线平行.
导思
1.面面平行能得到线线平行吗?
2.面面平行能得到线面平行吗?
3.怎样判定平面与平面平行呢?
相交
【思考】
两个平面平行,一个平面内的直线和另一个平面什么关系呢?
提示:平行.
2.平面与平面平行的判定定理
文字叙述:如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行,那么这两个平
面平行.
符号表示:
a?α,b?α,a∩b=A,α∥β,b∥β?α∥β.
图形表示:
作用:证明平面与平面平行.
相交直线
【思考】
“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么
条件?
提示:不共线的三点有可能不在平面β同一侧,所以应该是“必要不充分”条件.
【思考】
从转化的角度看,空间中的平行关系是怎样的呢?
提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.
( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
( )
(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
( )
(4)若平面α∥平面β,l?平面β,m?平面α,则l∥m.
( )
(5)夹在两平行平面间的平行线段相等.
( )
提示:(1)×.这无数条直线相互平行时,这两个平面可能相交;
(2)√.
(3)√.平面的平行具有传递性;
(4)×.这两条直线可能平行也可能异面;
(5)√.
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列结论正确的是
( )
A.平面ABCD∥平面ABB′A′
B.平面ABCD∥平面ADD′A′
C.平面ABCD∥平面CDD′C′
D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′
【解析】选D.由长方体的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.
3.(教材二次开发:练习改编)已知平面α∥平面β,直线l∥α,则
( )
A.l∥β
B.l?β
C.l∥β或l?β
D.l,β相交
【解析】选C.假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l?β.
关键能力·合作学习
类型一 平面与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
2.已知平面α∥β,直线a?α,有下列命题:
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是________.?
3.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
【解析】1.选A.因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′,所以EF∥E′F′.
2.由面面平行的性质可知,过a与β相交的平面与β的交线才与a平行,故①错误;
②正确;平面β内的直线与直线a平行,异面均可,其中包括异面垂直,故③错误.
答案:②
3.(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ.
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD,所以
,
所以
=
,所以CD=
.所以PD=PC+CD=
.
【解题策略】
常用的面面平行的性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面;(2)平行于同一个平面的两个平面平行;(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的线段长成比例;(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
类型二 平面与平面平行的判定(逻辑推理)
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.
四步
内容
理解
题意
条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点.
结论:平面MNP∥平面A1BD.
思路
探求
证明平面和平面平行,必须在平面内找到两条相交直线和此平面平行,要证两次线面平行,关键还是找平行线.
四步
内容
书写
表达
【证明】如图所示,连接B1D1,B1C.
因为P,N分别是D1C1,B1C1的中点,所以PN∥B1D1.
又B1D1∥BD,所以PN∥BD.
又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD,
所以PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD,又PN∩MN=N,
所以平面MNP∥平面A1BD.
注意书写的规范性:在立体几何的证明问题中,需要特别注意符号语言的规范性,证明面面平行,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是相交这个条件.
题后
反思
证明面面平行的关键是找到线线平行,还有注意“相交”.
【解题策略】
判定平面与平面平行的常用方法
(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.
(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
【跟踪训练】
如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE?平面ABC,AB?平面ABC,
所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,
平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.
类型三 面面平行的性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 利用面面平行的性质定理和判定定理证明平行关系?
【典例】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证:MN∥平面α.
【思路导引】证明MN∥平面α.,需要先找到一个平面和α平行,并且这个平面
要包含直线MN,注意规范符号语言.
【证明】如图,过A作AE∥CD交平面α于点E,取AE的中点P,
连接MP,PN,BE,ED,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩平面α=DE,平面AEDC∩平面β=AC.
因为α∥β,所以AC∥DE.
又因为P,N分别为AE,CD的中点,所以PN∥DE.
因为PN?平面α,DE?平面α,所以PN∥平面α.
又因为M,P分别为AB,AE的中点,
所以MP∥BE.又因为MP?平面α,BE?平面α,
所以MP∥α.因为MP,PN?平面MPN,且MP∩PN=P,
所以平面MPN∥平面α.
又因为MN?平面MPN,所以MN∥平面α.
【变式探究】
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.
【解析】(1)如图所示.
连接AC,CD1,因为P,Q分别是AD1,AC的中点,
所以PQ∥CD1.
又因为PQ?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ=
D1C=
a.
(3)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,B1D1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,因为FE1∩E1E=E1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又因为EF?平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.
角度2 线线平行与面面平行的综合问题?
【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
【思路导引】O为正方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD的中心,P是DD1的中点,猜测Q为CC1的中点.
【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
连接PQ,因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,
所以PQ∥DC.
又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,
所以四边形ABQP为平行四边形,所以QB∥PA.
又PA?平面PAO,QB?平面PAO,
所以BQ∥平面PAO.连接BD,则O∈BD,
又O为DB的中点,P为D1D的中点,
所以PO∥D1B.PO?平面PAO,D1B?平面PAO,
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
【解题策略】
1.面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,符号表示为α∥β,a?α?a∥β.这是证明线面平行的另一种方法.
2.利用线面平行和面面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行、线面平行和面面平行的相互转化.
【题组训练】
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.?
【解析】由EF∥平面AB1C可知,EF∥AC,
所以EF=
AC=
×
=
×2
=
.
答案:
2.平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD相交于P,已知AP=8,
BP=9,CD=34,则CP=________.?
【解析】当AB与CD交点P位于α,β之间时,如图.
由题意知AC∥BD,
=
.
又CP+PD=CD=34,所以CP=16.
当交点位于BA延长线上时,AC∥BD.
所以
=
,
,CP=272.
答案:16或272
3.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上
取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
【证明】如图,连接AC交BD于O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.
又因为M是PC的中点,所以AP∥OM.
因为OM?平面BMD,PA?平面BMD,
所以PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD=GH.
PA?平面PAHG,所以PA∥GH.
备选类型 平行关系的相互转化(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,
点D,D1分别为AC,A1C1上的点.
若平面BC1D∥平面AB1D1,求
的值.
【思路导引】平面BC1D∥平面AB1D1作为已知条件,利用面面平行的性质可以得到线线平行,进而得到线段长度之间的关系.
【解析】由已知得平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,
同理AD1∥DC1.所以
.
又因为
=1,所以
=1,即
=1.
【解题策略】
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的.
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系之间的转化.
【跟踪训练】
下列说法正确的个数为
( )
①若点A不在平面α内,则过点A只能作一条直线与α平行;
②若直线a与平面α平行,则a与α内的直线的位置关系有平行和异面两种;
③若a,b是两条异面直线,则过a且与b平行的平面有且只有一个;
④若直线a与平面α平行,且a与直线b平行,则b也一定平行于α.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.①错误,过A可作一平面β与α平行,在β内过点A的直线都与α平行;②正确,a与α平行,则a与α内的所有直线无公共点;③正确,假设过a且与b平行的平面有两个:α和β,则过b作一平面γ,设γ∩α=a′,γ∩β=b′,则a′,b′与a共点,由线面平行性质定理可得,b∥a′,b∥b′,所以a′∥b′,这与a′,b′与a共点矛盾;④错误,b可能与α平行,也可能在α内.
1.能够判断两个平面α,β平行的条件是
( )
A.平面α,β都和第三个平面相交,且交线平行
B.夹在两个平面间的线段相等
C.平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
【解析】选D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α,β无公共点.
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2.(教材二次开发:习题改编)给出下列命题:①m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β;
②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③α∥β,l?α?l∥β;
④α内的任一直线都平行于β?α∥β.
其中正确的命题是
( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.②③
【解析】选C.①错误,m与n应为相交直线;
②错误,m,n分别位于两平行平面内,则m与n无公共点,可能平行,可能异面;
③正确;④正确.
3.六棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的位置关系是________.?
【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD,又α∥β,所以AB∥CD.
答案:平行
4.如图所示,四边形ABCD是矩形,P?平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形.
【证明】因为BC∥AD,AD?平面PAD,BC?平面PAD.
所以BC∥平面PAD.又因为BC?平面BCFE,
平面BCFE∩平面PAD=EF.
所以BC∥EF.
又因为EF≠BC.所以四边形BCFE是梯形.
四十五 平面与平面平行
【基础通关-水平一】
(15分钟 30分)
1.下列说法中正确的是
( )
A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
C.如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行
D.如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行
课时素养评价
【解析】选C.如图所示,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC∥平面A1C1,但平面A1C1与平面BC1相交,故A错误;同理平面BC1中有无数条直线与平面A1C1平行,但平面A1C1与平面BC1相交,故B错误;又AD∥平面A1C1,AD∥平面BC1,但平面BC1与平面A1C1相交,故D错误.
【补偿训练】
在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中,因为E1G1∥EG,FG1∥EH1,且E1G1∩FG1=G1,EG∩EH1=E,故平面E1FG1∥平面EGH1.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线
( )
A.不存在 B.有1条
C.有2条
D.有无数条
【解析】选D.显然平面D1EF与平面ADD1A1相交,则在平面ADD1A1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条,这些直线都与平面D1EF平行.
3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是
( )
A.平面
B.直线
C.线段,但只含1个端点
D.圆
【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,
平面BDM∩平面A1B1C1=DM,
平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,
过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.?
【解析】因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
答案:平行
5.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)?
①一般的平行四边形;②矩形;
③菱形;④正方形;⑤梯形.
【解析】当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.
答案:②⑤
6.如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P?平面ABCD.求证:平面PAB∥平面EFG.
【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,
又因为CD∥AB,所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是
( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a?α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
【解析】选D.对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故A错误;
对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B错误;
对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C错误;
对于D,两个平面中的两条异面直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是
( )
A.AD1∥平面EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
【解析】选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点.
在A中,AD1∥BC1,BC1与EF异面,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;
在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;
在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;
在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.
3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为
( )
A.梯形
B.平行四边形
C.可能是梯形也可能是平行四边形
D.不确定
【解析】选B.长方体的两组相对的面与截面分别相交,交线分别平行,则四边形EFGH为平行四边形.
【补偿训练】
平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的
( )
A.一个侧面平行
B.底面平行
C.仅一条棱平行
D.某两条相对的棱都平行
【解析】选C.当平面α∥平面ABC时,如图(1)所示,截面是三角形,不是梯形,所以A,B不正确;
当平面α∥SA时,如图(2)所示,此时截面是四边形DEFG.又SA?平面SAB,平面SAB∩α=DG,
所以SA∥DG.同理,SA∥EF,所以EF∥DG.
同理,当平面α∥BC时,GF∥DE,但是截面是梯形,则四边形DEFG中仅有一组对边平行,所以平面α仅与一条棱平行.所以D不正确,C正确.
4.下列说法正确的是
( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
D.若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
【解析】选B.平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错误;B显然正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为在过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是
( )
A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β
B.若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β
D.若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
【解析】选BD.A,C中,α与β都可能相交,正确的是B,D.
6.已知a∥α,b∥β,α∥β,则a与b的位置关系可能是
( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.不确定
【解析】选ABC.如图(1),(2),(3)所示,a与b的关系分别是平行、异面、相交.
【光速解题】作图和在自己生活的空间中找原型是解决此类问题的一个不错的方法.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=________,ED与AF相交于点H,则GH=________.?
【解析】因为ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,且AB=CD.
又E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.
因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,
所以GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,故λ=1.因为PA=AB=PB=2,所以PE=
,GH=
PE=
.
答案:1
【补偿训练】
如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________.?
【解析】由题意得A1E∥BE1,A1E?平面BCF1E1,
BE1?平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.
同理,A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1?平面EFD1A1,
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案:平行
8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.?
【解析】展开图可以折成如图(1)所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图(2)所示.
因为AB∥MN,且AB=MN,
所以四边形ABMN是平行四边形,
所以BM∥AN,所以BM∥平面DE.
同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;
如图(3)所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,
可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,
则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
答案:①②③④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.
(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?
(2)所画的线之间有什么位置关系?
【解析】(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.
(2)因为DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D1D∥EF.
所以D1D与EF确定一个平面α.
又因为平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,
α∩平面A1C1=D1E,所以D1E∥DF.
显然DF,D1E都与EF相交.
10.如图,平面α∥β,线段AB分别交α,β于M,N,线段AD分别交α,β于C,D,线段BF分别交α,β于F,E.若AM=9,MN=11,NB=15,S△FMC=78.求△END的面积.
【解析】因为平面α∥β,又平面AND∩平面α=MC,
平面AND∩平面β=ND,
所以MC∥ND,同理EN∥FM.
又AM=9,MN=11,NB=15,所以
,
.
又∠FMC=∠END,所以
,因为S△FMC=78,所以
△END的面积S△END=100.
【创新迁移】
如图所示:ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论.
【解析】当点E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.证明如下:
如图,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1,
因为AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE?平面EFD,DE?平面AB1C1,
所以DE∥平面AB1C1.温馨提示：
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4.2 平面与平面平行
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中平面与平面平行的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平行的位置关系.
★水平一1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理及应用.(直观想象、逻辑推理)2.理解并掌握平面与平面平行的判定定理,明确定理中“相交”两字的重要性,能利用平面与平面平行的判定定理证明面面平行问题.(数学抽象、逻辑推理)★水平二能用图形、文字、符号三种语言描述平面与平面平行的性质定理、判定定理,理解其地位与作用.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.面面平行能得到线线平行吗?2.面面平行能得到线面平行吗?3.怎样判定平面与平面平行呢?
1.平面与平面平行的性质定理
文字叙述:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
图形表示:
作用:证明两直线平行.
两个平面平行,一个平面内的直线和另一个平面什么关系呢?
提示:平行.
2.平面与平面平行的判定定理
文字叙述:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
符号表示:
a?α,b?α,a∩b=A,α∥β,b∥β?α∥β.
图形表示:
作用:证明平面与平面平行.
“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么条件?
提示:不共线的三点有可能不在平面β同一侧,所以应该是“必要不充分”条件.
从转化的角度看,空间中的平行关系是怎样的呢?
提示:
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.
( )
(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
( )
(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
( )
(4)若平面α∥平面β,l?平面β,m?平面α,则l∥m.
( )
(5)夹在两平行平面间的平行线段相等.
( )
提示:(1)×.这无数条直线相互平行时,这两个平面可能相交;
(2)√.
(3)√.平面的平行具有传递性;
(4)×.这两条直线可能平行也可能异面;
(5)√.
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,下列结论正确的是
( )
A.平面ABCD∥平面ABB′A′
B.平面ABCD∥平面ADD′A′
C.平面ABCD∥平面CDD′C′
D.平面ABCD∥平面A′B′C′D′
【解析】选D.由长方体的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.
3.(教材二次开发:练习改编)已知平面α∥平面β,直线l∥α,则
( )
A.l∥β
B.l?β
C.l∥β或l?β
D.l,β相交
【解析】选C.假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l?β.
关键能力·合作学习
类型一 平面与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A′B′C′D′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
2.已知平面α∥β,直线a?α,有下列命题:
①a与β内的所有直线平行;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是________.?
3.如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.
(1)求证:AC∥BD;
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.
【解析】1.选A.因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′,所以EF∥E′F′.
2.由面面平行的性质可知,过a与β相交的平面与β的交线才与a平行,故①错误;②正确;平面β内的直线与直线a平行,异面均可,其中包括异面垂直,故③错误.
答案:②
3.(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ.
则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD,所以=,
所以=,所以CD=.所以PD=PC+CD=.
常用的面面平行的性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面;(2)平行于同一个平面的两个平面平行;(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的线段长成比例;(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
类型二 平面与平面平行的判定(逻辑推理)
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.
四步
内容
理解题意
条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点.结论:平面MNP∥平面A1BD.
思路探求
证明平面和平面平行,必须在平面内找到两条相交直线和此平面平行,要证两次线面平行,关键还是找平行线.
书写表达
【证明】如图所示,连接B1D1,B1C.因为P,N分别是D1C1,B1C1的中点,所以PN∥B1D1.又B1D1∥BD,所以PN∥BD.又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD,所以PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD,又PN∩MN=N,所以平面MNP∥平面A1BD.注意书写的规范性:在立体几何的证明问题中,需要特别注意符号语言的规范性,证明面面平行,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是相交这个条件.
题后反思
证明面面平行的关键是找到线线平行,还有注意“相交”.
判定平面与平面平行的常用方法
(1)定义法:证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.
(2)利用判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
【证明】因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE?平面ABC,AB?平面ABC,
所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,
平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.
类型三 面面平行的性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 利用面面平行的性质定理和判定定理证明平行关系?
【典例】如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于B,A和D,C,M,N分别是AB,CD的中点.求证:MN∥平面α.
【思路导引】证明MN∥平面α.,需要先找到一个平面和α平行,并且这个平面要包含直线MN,注意规范符号语言.
【证明】如图,过A作AE∥CD交平面α于点E,取AE的中点P,
连接MP,PN,BE,ED,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩平面α=DE,平面AEDC∩平面β=AC.因为α∥β,所以AC∥DE.
又因为P,N分别为AE,CD的中点,所以PN∥DE.
因为PN?平面α,DE?平面α,所以PN∥平面α.
又因为M,P分别为AB,AE的中点,
所以MP∥BE.又因为MP?平面α,BE?平面α,
所以MP∥α.因为MP,PN?平面MPN,且MP∩PN=P,
所以平面MPN∥平面α.
又因为MN?平面MPN,所以MN∥平面α.
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D.
【解析】(1)如图所示.
连接AC,CD1,因为P,Q分别是AD1,AC的中点,
所以PQ∥CD1.
又因为PQ?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ=D1C=a.
(3)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,B1D1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,因为FE1∩E1E=E1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又因为EF?平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.
角度2 线线平行与面面平行的综合问题?
【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
【思路导引】O为正方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD的中心,P是DD1的中点,猜测Q为CC1的中点.
【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
连接PQ,因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,
所以PQ∥DC.
又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,
所以四边形ABQP为平行四边形,所以QB∥PA.
又PA?平面PAO,QB?平面PAO,
所以BQ∥平面PAO.连接BD,则O∈BD,
又O为DB的中点,P为D1D的中点,
所以PO∥D1B.PO?平面PAO,D1B?平面PAO,
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
1.面面平行的性质:两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,符号表示为α∥β,a?α?a∥β.这是证明线面平行的另一种方法.
2.利用线面平行和面面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行、线面平行和面面平行的相互转化.
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.?
【解析】由EF∥平面AB1C可知,EF∥AC,
所以EF=AC=×=×2=.
答案:
2.平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD相交于P,已知AP=8,BP=9,CD=34,则CP=________.?
【解析】当AB与CD交点P位于α,β之间时,如图.
由题意知AC∥BD,==.
又CP+PD=CD=34,所以CP=16.
当交点位于BA延长线上时,AC∥BD.
所以==,=,CP=272.
答案:16或272
3.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.
【证明】如图,连接AC交BD于O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.
又因为M是PC的中点,所以AP∥OM.
因为OM?平面BMD,PA?平面BMD,
所以PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD=GH.
PA?平面PAHG,所以PA∥GH.
备选类型 平行关系的相互转化(直观想象、逻辑推理)
【典例】
如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
【思路导引】平面BC1D∥平面AB1D1作为已知条件,利用面面平行的性质可以得到线线平行,进而得到线段长度之间的关系.
【解析】由已知得平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,
同理AD1∥DC1.所以=,=.
又因为=1,所以=1,即=1.
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略
立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的.
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系之间的转化.
下列说法正确的个数为
( )
①若点A不在平面α内,则过点A只能作一条直线与α平行;
②若直线a与平面α平行,则a与α内的直线的位置关系有平行和异面两种;
③若a,b是两条异面直线,则过a且与b平行的平面有且只有一个;
④若直线a与平面α平行,且a与直线b平行,则b也一定平行于α.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.①错误,过A可作一平面β与α平行,在β内过点A的直线都与α平行;②正确,a与α平行,则a与α内的所有直线无公共点;③正确,假设过a且与b平行的平面有两个:α和β,则过b作一平面γ,设γ∩α=a′,γ∩β=b′,则a′,b′与a共点,由线面平行性质定理可得,b∥a′,b∥b′,所以a′∥b′,这与a′,b′与a共点矛盾;④错误,b可能与α平行,也可能在α内.
课堂检测·素养达标
1.能够判断两个平面α,β平行的条件是
( )
A.平面α,β都和第三个平面相交,且交线平行
B.夹在两个平面间的线段相等
C.平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
【解析】选D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α,β无公共点.
2.(教材二次开发:习题改编)给出下列命题:①m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β;
②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③α∥β,l?α?l∥β;
④α内的任一直线都平行于β?α∥β.
其中正确的命题是
( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.②③
【解析】选C.①错误,m与n应为相交直线;
②错误,m,n分别位于两平行平面内,则m与n无公共点,可能平行,可能异面;
③正确;④正确.
3.六棱柱的两底面为α,β,且A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,AD∥BC,则AB与CD的位置关系是________.?
【解析】因为AD∥BC,且平面ABCD∩α=AB,平面ABCD∩β=CD,又α∥β,所以AB∥CD.
答案:平行
4.如图所示,四边形ABCD是矩形,P?平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形.
【证明】因为BC∥AD,AD?平面PAD,BC?平面PAD.
所以BC∥平面PAD.又因为BC?平面BCFE,
平面BCFE∩平面PAD=EF.
所以BC∥EF.
又因为EF≠BC.所以四边形BCFE是梯形.
课时素养评价
四十五 平面与平面平行
(15分钟 30分)
1.下列说法中正确的是
( )
A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
C.如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行
D.如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行
【解析】选C.如图所示,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC∥平面A1C1,但平面A1C1与平面BC1相交,故A错误;同理平面BC1中有无数条直线与平面A1C1平行,但平面A1C1与平面BC1相交,故B错误;又AD∥平面A1C1,AD∥平面BC1,但平面BC1与平面A1C1相交,故D错误.
【补偿训练】
在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是
( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中,因为E1G1∥EG,FG1∥EH1,且E1G1∩FG1=G1,EG∩EH1=E,故平面E1FG1∥平面EGH1.
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线
( )
A.不存在 B.有1条
C.有2条
D.有无数条
【解析】选D.显然平面D1EF与平面ADD1A1相交,则在平面ADD1A1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条,这些直线都与平面D1EF平行.
3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是
( )
A.平面
B.直线
C.线段,但只含1个端点
D.圆
【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,
平面BDM∩平面A1B1C1=DM,
平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,
过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).
4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.?
【解析】因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
答案:平行
5.用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)?
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
【解析】当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.
答案:②⑤
6.如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将△PDC折起,使点P?平面ABCD.求证:平面PAB∥平面EFG.
【证明】因为PE=EC,PF=FD,所以EF∥CD,
又因为CD∥AB,所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是
( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a?α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
【解析】选D.对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故A错误;
对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B错误;
对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C错误;
对于D,两个平面中的两条异面直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是
( )
A.AD1∥平面EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
【解析】选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点.
在A中,AD1∥BC1,BC1与EF异面,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;
在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B错误;
在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;
在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.
3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为
( )
A.梯形
B.平行四边形
C.可能是梯形也可能是平行四边形
D.不确定
【解析】选B.长方体的两组相对的面与截面分别相交,交线分别平行,则四边形EFGH为平行四边形.
【补偿训练】
平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的
( )
A.一个侧面平行
B.底面平行
C.仅一条棱平行
D.某两条相对的棱都平行
【解析】选C.当平面α∥平面ABC时,如图(1)所示,截面是三角形,不是梯形,所以A,B不正确;
当平面α∥SA时,如图(2)所示,此时截面是四边形DEFG.又SA?平面SAB,平面SAB∩α=DG,
所以SA∥DG.同理,SA∥EF,所以EF∥DG.
同理,当平面α∥BC时,GF∥DE,但是截面是梯形,则四边形DEFG中仅有一组对边平行,所以平面α仅与一条棱平行.所以D不正确,C正确.
4.下列说法正确的是
( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
D.若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
【解析】选B.平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错误;B显然正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为在过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是
( )
A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β
B.若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β
D.若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
【解析】选BD.A,C中,α与β都可能相交,正确的是B,D.
6.已知a∥α,b∥β,α∥β,则a与b的位置关系可能是
( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.不确定
【解析】选ABC.如图(1),(2),(3)所示,a与b的关系分别是平行、异面、相交.
【光速解题】作图和在自己生活的空间中找原型是解决此类问题的一个不错的方法.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=________,ED与AF相交于点H,则GH=________.?
【解析】因为ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,且AB=CD.
又E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.
因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,
所以GH∥PE,则G是PD的中点,即PG=GD,故λ=1.因为PA=AB=PB=2,所以PE=,GH=PE=.
答案:1
【补偿训练】
如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________.?
【解析】由题意得A1E∥BE1,A1E?平面BCF1E1,
BE1?平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.
同理,A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1?平面EFD1A1,
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案:平行
8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;
③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.?
【解析】展开图可以折成如图(1)所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图(2)所示.
因为AB∥MN,且AB=MN,
所以四边形ABMN是平行四边形,
所以BM∥AN,所以BM∥平面DE.
同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;
如图(3)所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,
同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.
答案:①②③④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.
如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.
(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?
(2)所画的线之间有什么位置关系?
【解析】(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.
(2)因为DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D1D∥EF.
所以D1D与EF确定一个平面α.
又因为平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,
α∩平面A1C1=D1E,所以D1E∥DF.
显然DF,D1E都与EF相交.
10.如图,平面α∥β,线段AB分别交α,β于M,N,线段AD分别交α,β于C,D,线段BF分别交α,β于F,E.若AM=9,MN=11,NB=15,S△FMC=78.求△END的面积.
【解析】因为平面α∥β,又平面AND∩平面α=MC,
平面AND∩平面β=ND,
所以MC∥ND,同理EN∥FM.
又AM=9,MN=11,NB=15,所以==,==.
又∠FMC=∠END,
所以==×=,因为S△FMC=78,所以△END的面积S△END=100.
如图所示:ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?证明你的结论.
【解析】当点E为棱AB的中点时,
DE∥平面AB1C1.证明如下:
如图,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,
因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,
所以EF∥AB1,
因为AB1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,
所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
因为EF∩FD=F,所以平面EFD∥平面AB1C1.
因为DE?平面EFD,DE?平面AB1C1,
所以DE∥平面AB1C1.
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