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§5 垂
直
关
系
5.1 直线与平面垂直
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中直线与平面垂直的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面垂直的位置关系.
★水平一1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任何”两字的重要性.(直观想象、逻辑推理)2.理解直线和平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.(数学抽象、逻辑推理)3.理解直线和平面垂直的判定定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.(数学抽象、逻辑推理)★水平二了解直线与平面所成的角的含义,并知道其求法.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.直线与平面垂直的定义是什么?2.线面垂直能得到线线垂直吗?3.怎样理解直线与平面所成的角?
1.直线与平面垂直
(1)文字叙述:如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足.
(2)符号表示:任意a?α,都有l⊥a?l⊥α.
(3)图形表示:
过一点有几条直线和平面垂直呢?
提示:有且只有一条.
2.直线与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述:垂直于同一个平面的两条直线平行.
(2)符号表示:a⊥α,b⊥α?a∥b.
(3)图形表示:
两条异面直线能垂直于同一个平面吗?
提示:不能,由线面垂直的性质定理可得.
3.直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.
4.直线与平面所成的角
(1)定义:一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.
如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.
(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.
直线与平面所成的角范围是多少?
提示:直线与平面所成的角θ的范围:0°≤θ≤90°.
5.直线与平面垂直的判定定理
(1)文字叙述:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
(2)图形表示:
(3)符号表示:
a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A?l⊥α.
过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?
提示:有且仅有一条.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.
( )
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线
( )
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线
( )
(4)到已知平面距离相等的两条直线平行.
( )
(5)斜线与平面所成的角为锐角.
( )
提示:(1)√.
(2)√.因为梯形的两条腰所在的直线相交.
(3)×.梯形的上下底边平行,所以直线和平面不一定垂直.
(4)×.这两条直线可能平行、相交或异面.
(5)√.
2.直线n⊥平面α,n∥l,直线m?α,则l,m的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选D.由题意可知l⊥α,所以l⊥m.
3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.?
【解析】如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.
答案:45°
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面垂直的正确理解(直观想象、数学抽象)
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是
( )
A.若l⊥m,m?α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m?α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或平行
3.下列命题中,正确的序号是________.?
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
【解析】1.选B.根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,知选项B正确.
2.选B.由直线与平面垂直的性质定理可知,这条垂线与圆柱的母线所在直线平行.
3.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确.
答案:④⑤
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线线垂直?线面垂直.
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直?线线垂直.
【补偿训练】
一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
( )
A.平行
B.垂直
C.相交不垂直
D.不确定
【解析】选B.一条直线和三角形的两边同时垂直,则直线垂直三角形所在平面,从而垂直第三边.
类型二 直线与平面垂直的性质定理和判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】
如图所示,直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC.
四步
内容
理解题意
条件:直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.结论:直线SD⊥平面ABC.
思路探求
证明直线和平面垂直,必须在平面内找到两条相交直线和此直线垂直.
书写表达
【证明】因为SA=SC,点D为斜边AC的中点,所以SD⊥AC.如图,连接BD,在Rt△ABC中,则AD=DC=BD,所以△ADS≌△BDS,所以∠ADS=∠BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.注意书写的规范性:立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面垂直,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是相交这个条件.
题后反思
证明线面垂直的关键是找到线线垂直,还要注意“相交”.
线线垂直和线面垂直的相互转化
如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC.
【证明】取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE.因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,
所以CD∥AE.
又因为CD=AE.所以FG∥CD,FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.
又因为CG?平面ABC,DF?平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
【补偿训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.
证明:PC⊥平面BEF.
【证明】如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又BP==2=BC,
F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,
所以PC⊥平面BEF.
类型三 线面垂直中的计算问题(直观想象、数学运算)
角度1 求距离?
【典例】已知△ABC,AC=BC=1,AB=,S是△ABC所在平面外一点,SA=SB=2,SC=,点P是SC的中点,求点P到平面ABC的距离.
【思路导引】求点到平面的距离,需要过此点找到平面的垂线,垂线段的长度即为所求.
【解析】如图所示,连接PA,PB.易知△SAC,△ACB是直角三角形,所以SA⊥AC,BC⊥AC.
取AB,AC的中点E,F,连接PF,EF,PE,则EF∥BC,PF∥SA.所以EF⊥AC,PF⊥AC.
因为PF∩EF=F,所以AC⊥平面PEF.
又PE?平面PEF,所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点,所以PA=PB.而E是AB的中点,所以PE⊥AB.
因为AB∩AC=A,所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.
在Rt△AEP中,AP=SC=,AE=AB=,
所以PE===,
即点P到平面ABC的距离为.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,BB1=2.
(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值;
(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.
【解析】(1)因为B1C1∥BC,所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成角.
因为BC⊥AB,BC⊥BB1,AB∩BB1=B,
所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥A1B.
在Rt△A1BC中,tan∠A1CB===,
所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为.
(2)因为B1C1∥平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离,设B1到平面A1BC的距离为d,因为=,
所以×d=×BC,可得d=,
直线B1C1与平面A1BC的距离为.
角度2 求直线与平面所成的角?
【典例】如图所示,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值.
【思路导引】求直线和平面所成的角,需要先找到这个角,并将其放到三角形中进行求解.
【解析】由题意知,AB是MB在平面ABC内的射影,所以MA⊥平面ABC,
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又因为在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×=.
在Rt△MAB中,MA===3.
在Rt△MAC中,sin∠MCA===.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是
( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
【解析】选A.∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角,
在Rt△AOB中,AB=2BO,
所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.
2.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=________.?
【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以AF∥DE.
又因为AF=DE,所以四边形ADEF是平行四边形.
所以EF=AD=6.
答案:6
3.三棱锥S
-ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
【解析】如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,则SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.
因为SA=SB=SC=a,
所以△SOA≌△SOB≌△SOC,所以AO=BO=CO,
所以O为△ABC的外心.因为△ABC为正三角形,
所以O为△ABC的中心.因为SO⊥平面ABC,
所以∠SAO即为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SAO中,SA=a,AO=×a=a,
所以cos∠SAO==,
所以SA与底面ABC所成角的余弦值为.
【补偿训练】
线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.?
【解析】如图,
设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,所以MM1=4.
答案:4
备选类型 直线与平面垂直的综合应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.
【思路导引】线面垂直作为已知条件,而要证明线线垂直,所以用线面垂直的性质即可.
【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE,所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC,所以AE⊥SB.
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G”改为“过A作AF⊥SC于点F,过点F作EF⊥SC交SB于点E”,结论不变,如何证明?
【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB,所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F,EF⊥SC交SB于点E,
所以SC⊥平面AEF,所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC,所以AE⊥SB.
课堂检测·素养达标
1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
【解析】选A.因为直线l⊥平面α,所以l与α相交,
又因为m?α,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
2.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为
( )
A.a
B.a
C.a
D.a
【解析】选C.点P到平面ABC的距离即以△ABC为底的三棱锥的高h,以△PAB为底,三棱锥的体积为V=×,同样以△ABC为底得到三棱锥体积为V=×(a)2×h,三棱锥体积不变,则×(a)2×h=×,解得h=.
3.(教材二次开发:练习改编)直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是
( )
A.l和平面α平行
B.l和平面α垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
【解析】选D.如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.
4.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于________.?
【解析】因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角,
又直线l与平面α所成的角为70°,
所以m与α所成的角为70°.
答案:70°
5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D?PC,证明:DE∥平面PAC.
【证明】因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,
所以DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
课时素养评价
四十六 直线与平面垂直
(15分钟 30分)
1.下列说法正确的是
( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.垂直于同一条直线的两直线垂直
C.垂直于同一个平面的两直线平行
D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
【解析】选C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确;D中这条直线可能在平面内,故D错误.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有
( )
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面
D.B1B与l相交
【解析】选B.因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B.
3.如图,?ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=
( )
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,
所以AF∥DE且AF=DE.
因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.
所以DE⊥DC.
因为AF=2,所以DE=2.
又CD=3,所以CE===.
4.一条与平面α相交的线段,其长度为10
cm,两端点到平面的距离分别是2
cm,3
cm,这条线段与平面α所成的角大小是________.?
【解析】如图,作出AC⊥α,BD⊥α,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,所以∠AOC=∠BOD=30°.
答案:30°
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.?
【解析】取BC的中点F,连接EF,DF.
则EF∥C1C,且EF=C1C=1.
又因为C1C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
所以∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角.
又因为DF==,
所以tan∠EDF===.
答案:
6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求点B1到平面ABC的距离.
【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.
因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.
由于BC1∩AO=O,故B1C⊥平面ABO.
又因为AB?平面ABO,所以B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.
由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O,
故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.
又OH⊥AD,且AD∩BC=D,所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=.
因为AC⊥AB1,所以OA=B1C=.
由OH·AD=OD·OA,且AD==,
得OH=.
又O为B1C的中点,
所以点B1到平面ABC的距离为2OH=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是
( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB1
【解析】选D.因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1DB1.
2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是
( )
A.异面
B.平行
C.垂直
D.不确定
【解析】选C.因为BA⊥α,α∩β=l,l?α,所以BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.因为AC?平面ABC,所以l⊥AC.
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为
( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数学文化,考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心素养.
【解析】选B.
晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50°,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40°.
【补偿训练】
1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为
( )
A.1 B. C.2 D.2
【解析】选B.如图,连接AC,DB交于点O,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
所以点C到平面BDD1B1的距离为CO,
CO=AC=.
2.在△ABC中∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为
( )
A.2
B.7
C.
D.
【解析】选A.如图所示,
因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,
所以当CM⊥AB时,CM最小,
此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4,
故CM的最小值为2,
又PC=4,则PM的最小值为=2.
4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是
( )
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ?平面α,
所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ?平面β,得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领会线面垂直的性质和判定定理的内容.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列命题正确的是
( )
A.?b⊥α
B.?a∥b
C.?b∥α
D.?b⊥α
【解析】选AB.由性质定理可得A,B正确.
6.如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有
( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面ABCD所成的角是∠SAD
D.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
【解析】选ABCD.因为SD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以SD⊥AC.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC,
又SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,而SB?平面SBD,所以AC⊥SB,故①正确.
因为AB∥CD,AB?平面SDC,CD?平面SDC,
所以AB∥平面SCD,故②正确.
因为SD⊥平面ABCD,所以SA在底面上的射影为AD,
所以SA与底面ABCD所成的角为∠SAD,③正确.
因为AB∥CD,故④也正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.?
【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
答案:45° 0°
【补偿训练】
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).?
【解析】当BD⊥AC时,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面AA1C,从而BD⊥A1C,
又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1.
答案:BD⊥AC
8.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.
①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;
②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
③若m?α,n?β,且α∥β,则m∥n;
④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是________.(填序号)?
【解析】①若m∥α,m⊥n,则n与α位置关系不确定,故为假命题.
②若n∥α,则α内存在直线l与n平行.因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n.故为真命题.
③若m?α,n?β,且α∥β,则m,n可能异面.故为假命题.
④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面,则m,n平行”,为真命题,所以原命题为真命题,所以②④为真命题.
答案:②④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,求线段B1F的长.
【解析】设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=.
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.
又2×=h,所以h=,
DE=.
在Rt△DB1E中,B1E==.
在Rt△DB1F中,由面积相等得×=x,解得x=,即线段B1F的长为.
10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
证明:l⊥平面PDC.
【证明】在正方形ABCD中,AD∥BC,
因为AD?平面PBC,BC?平面PBC,
所以AD∥平面PBC,
又因为AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以AD∥l,
因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以l⊥DC,
且PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD,所以l⊥PD,
因为CD∩PD=D所以l⊥平面PDC.
如图,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
求证:平面β必与平面α相交.
【证明】假设平面α与平面β平行.
因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾,
所以平面β必与平面α相交.
【补偿训练】
如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=a.
(1)证明:EB⊥FD;
(2)求点B到平面FED的距离.
【解析】(1)因为FC⊥平面BED,BE?平面BED,
所以EB⊥FC.又点E为弧AC的中点,B为直径AC的中点,所以EB⊥BC.
又因为FC∩BC=C,所以EB⊥平面FBD.
因为FD?平面FBD,所以EB⊥FD.
(2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED⊥平面FCH.
因为Rt△DHC∽Rt△DBE,所以=.
在Rt△DBE中,
DE===a,
所以CH===a.
因为FB=a,BC=a,所以FC=2a.
在平面FCH内过C作CK⊥FH,
则CK⊥平面FED,
因为FH2=FC2+CH2=4a2+=a2,
所以FH=a.
所以CK===a.
因为C是BD的中点,
所以B到平面FED的距离为2CK=a.
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§5 垂
直
关
系
5.1 直线与平面垂直
必备知识·自主学习
1.直线与平面垂直
(1)文字叙述:如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直,记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面,它们唯一的公共点P称为垂足.
(2)符号表示:任意a?α,都有l⊥a?l⊥α.
导思
1.直线与平面垂直的定义是什么?
2.线面垂直能得到线线垂直吗?
3.怎样理解直线与平面所成的角?
(3)图形表示:
【思考】
过一点有几条直线和平面垂直呢?
提示:有且只有一条.
2.直线与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述:垂直于同一个平面的两条直线_____.
(2)符号表示:a⊥α,b⊥α?a∥b.
(3)图形表示:
平行
【思考】
两条异面直线能垂直于同一个平面吗?
提示:不能,由线面垂直的性质定理可得.
3.直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行,那么这条直线上_________到平面的距离就是这条直
线到这个平面的距离.
任意一点
4.直线与平面所成的角
(1)定义:一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.
如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.
(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.
(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.
【思考】
直线与平面所成的角范围是多少?
提示:直线与平面所成的角θ的范围:0°≤θ≤90°.
5.直线与平面垂直的判定定理
(1)文字叙述:如果一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与
此平面垂直.
(2)图形表示:
(3)符号表示:
a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A?l⊥α.
两条相交直线
【思考】
过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?
提示:有且仅有一条.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.
( )
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.
( )
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.
( )
(4)到已知平面距离相等的两条直线平行.
( )
(5)斜线与平面所成的角为锐角.
( )
提示:(1)√.
(2)√.因为梯形的两条腰所在的直线相交.
(3)×.梯形的上下底边平行,所以直线和平面不一定垂直.
(4)×.这两条直线可能平行、相交或异面.
(5)√.
2.直线n⊥平面α,n∥l,直线m?α,则l,m的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选D.由题意可知l⊥α,所以l⊥m.
3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.?
【解析】如图所示,因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,
∠B1AB=45°,故所求角为45°.
答案:45°
关键能力·合作学习
类型一 直线与平面垂直的正确理解(直观想象、数学抽象)
【题组训练】
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是
( )
A.若l⊥m,m?α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m?α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或平行
3.下列命题中,正确的序号是________.?
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
④若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
【解析】1.选B.根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,知选项B正确.
2.选B.由直线与平面垂直的性质定理可知,这条垂线与圆柱的母线所在直线平行.
3.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以⑤正确.
答案:④⑤
【解题策略】
直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线线垂直?线面垂直.
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直?线线垂直.
【补偿训练】
一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是
( )
A.平行
B.垂直
C.相交不垂直
D.不确定
【解析】选B.一条直线和三角形的两边同时垂直,则直线垂直三角形所在平面,从而垂直第三边.
类型二 直线与平面垂直的性质定理和判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图所示,直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.求证:直线SD⊥平面ABC.
四步
内容
理解
题意
条件:直角△ABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
结论:直线SD⊥平面ABC.
思路
探求
证明直线和平面垂直,必须在平面内找到两条相交直线和此直线垂直.
四步
内容
书写
表达
【证明】因为SA=SC,点D为斜边AC的中点,
所以SD⊥AC.
如图,连接BD,在Rt△ABC中,则AD=DC=BD,
所以△ADS≌△BDS,所以∠ADS=∠BDS,
所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
注意书写的规范性:立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面垂直,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是相交这个条件.
题后
反思
证明线面垂直的关键是找到线线垂直,还要注意“相交”.
【解题策略】
线线垂直和线面垂直的相互转化
【跟踪训练】
如图,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC.
【证明】取AB的中点G,连接FG,CG,可得FG∥AE,FG=
AE.因为CD⊥平面
ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.又因为CD=
AE.所以FG∥CD,FG=CD.
所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.又因为CG?平面ABC,DF?平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
【补偿训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,
BC=2
,E,F分别是AD,PC的中点.
证明:PC⊥平面BEF.
【证明】如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又BP=
=2
=BC,F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F,BF,EF?平面BEF,所以PC⊥平面BEF.
类型三 线面垂直中的计算问题(直观想象、数学运算)
角度1 求距离?
【典例】已知△ABC,AC=BC=1,AB=
,S是△ABC所在平面外一点,SA=SB=2,
SC=
,点P是SC的中点,求点P到平面ABC的距离.
【思路导引】求点到平面的距离,需要过此点找到平面的垂线,垂线段的长度即
为所求.
【解析】如图所示,连接PA,PB.易知△SAC,△ACB是直角三角形,所以
SA⊥AC,BC⊥AC.
取AB,AC的中点E,F,连接PF,EF,PE,
则EF∥BC,PF∥SA.所以EF⊥AC,PF⊥AC.
因为PF∩EF=F,所以AC⊥平面PEF.
又PE?平面PEF,所以PE⊥AC.
易证△SAC≌△SBC.因为P是SC的中点,所以PA=PB.而E是AB的中点,所以PE⊥AB.
因为AB∩AC=A,所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.
在Rt△AEP中,AP=
SC=
,AE=
AB=
,
所以PE=
,
即点P到平面ABC的距离为
.
【变式探究】
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,BB1=2.
(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值;
(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.
【解析】(1)因为B1C1∥BC,所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成角.
因为BC⊥AB,BC⊥BB1,AB∩BB1=B,
所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥A1B.
在Rt△A1BC中,tan∠A1CB=
,
所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为
.
(2)因为B1C1∥平面A1BC,所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离,
设B1到平面A1BC的距离为d,因为
,
所以
,可得d=
,
直线B1C1与平面A1BC的距离为
.
角度2 求直线与平面所成的角?
【典例】如图所示,在Rt△BMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,∠MBC=60°,求MC与平面CAB所成角的正弦值.
【思路导引】求直线和平面所成的角,需要先找到这个角,并将其放到三角形
中进行求解.
【解析】由题意知,AB是MB在平面ABC内的射影,所以MA⊥平面ABC,
所以MC在平面CAB内的射影为AC.
所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又因为在Rt△MBC中,BM=5,∠MBC=60°,
所以MC=BMsin∠MBC=5sin60°=5×
.
在Rt△MAB中,MA=
.
在Rt△MAC中,sin∠MCA=
.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为
.
【解题策略】
求直线与平面所成角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
【题组训练】
1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是
( )
A.60° B.45° C.30° D.120°
【解析】选A.∠ABO即是斜线段AB与平面α所成的角,
在Rt△AOB中,AB=2BO,
所以cos∠ABO=
,即∠ABO=60°.
2.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=______.?
【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE.
又因为AF=DE,所以四边形ADEF是平行四边形.所以EF=AD=6.
答案:6
3.三棱锥S
-ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
【解析】如图,过S作SO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,则SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.
因为SA=SB=SC=a,
所以△SOA≌△SOB≌△SOC,所以AO=BO=CO,
所以O为△ABC的外心.因为△ABC为正三角形,
所以O为△ABC的中心.因为SO⊥平面ABC,
所以∠SAO即为SA与平面ABC所成的角.
在Rt△SAO中,SA=a,AO=
×
a=
a,
所以cos∠SAO=
=
,
所以SA与底面ABC所成角的余弦值为
.
【补偿训练】
线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.?
【解析】如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,所以MM1=4.
答案:4
备选类型 直线与平面垂直的综合应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.
【思路导引】线面垂直作为已知条件,而要证明线线垂直,所以用线面垂直的性质即可.
【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE,所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC,所以AE⊥SB.
【解题策略】
线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.
【跟踪训练】
本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G”改为“过A作AF⊥SC于点F,过点F作EF⊥SC交SB于点E”,结论不变,如何证明?
【证明】因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB,所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F,EF⊥SC交SB于点E,
所以SC⊥平面AEF,所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC,所以AE⊥SB.
课堂检测·素养达标
1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
【解析】选A.因为直线l⊥平面α,所以l与α相交,
又因为m?α,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
2.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的
距离为
( )
A.a
B.
a
C.
a
D.
a
【解析】选C.点P到平面ABC的距离即以△ABC为底的三棱锥的高h,以△PAB为
底,三棱锥的体积为V=
×
,同样以△ABC为底得到三棱锥体积为
V=
×
(
a)2×h,三棱锥体积不变,则
×
(
a)2×h=
×
,
解得h=
.
3.(教材二次开发:练习改编)直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是
( )
A.l和平面α平行
B.l和平面α垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
【解析】选D.如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.
4.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于________.?
【解析】因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角,
又直线l与平面α所成的角为70°,
所以m与α所成的角为70°.
答案:70°
5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D?PC,证明:DE∥平面PAC.
【证明】因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,
所以DE∥PA.又DE?平面PAC,PA?平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
四十六 直线与平面垂直
【基础通关-水平一】
(15分钟 30分)
1.下列说法正确的是
( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.垂直于同一条直线的两直线垂直
C.垂直于同一个平面的两直线平行
D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
课时素养评价
【解析】选C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确;D中这条直线可能在平面内,故D错误.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则有( )
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面
D.B1B与l相交
【解析】选B.因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B1B.
3.如图,?ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=
( )
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,
所以AF∥DE且AF=DE.
因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.
所以DE⊥DC.
因为AF=2,所以DE=2.
又CD=3,所以CE=
.
4.一条与平面α相交的线段,其长度为10
cm,两端点到平面的距离分别是2
cm,3
cm,这条线段与平面α所成的角大小是________.?
【解析】如图,作出AC⊥α,BD⊥α,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,所以∠AOC=∠BOD=30°.
答案:30°
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.?
【解析】取BC的中点F,连接EF,DF.
则EF∥C1C,且EF=
C1C=1.
又因为C1C⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
所以∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角.
又因为DF=
,
所以tan∠EDF=
.
答案:
6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求点B1到平面ABC的距离.
【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.
因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.
由于BC1∩AO=O,故B1C⊥平面ABO.
又因为AB?平面ABO,所以B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.
由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O,
故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.
又OH⊥AD,且AD∩BC=D,所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=
.
因为AC⊥AB1,所以OA=
B1C=
.
由OH·AD=OD·OA,且AD==
,
得OH=
.
又O为B1C的中点,
所以点B1到平面ABC的距离为2OH=
.
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB1
【解析】选D.因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,
所以AD1⊥平面A1DB1.
2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是( )
A.异面
B.平行
C.垂直
D.不确定
【解析】选C.因为BA⊥α,α∩β=l,l?α,所以BA⊥l.
同理BC⊥l.
又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC,所以l⊥AC.
3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为( )
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数学文化,考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心素养.
【解析】选B.
晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50°,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40°.
【补偿训练】
1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A.1 B. C.2 D.2
【解析】选B.如图,连接AC,DB交于点O,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,
所以AC⊥平面BDD1B1.
所以点C到平面BDD1B1的距离为CO,
CO=
AC=
.
2.在△ABC中∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为( )
A.2
B.7
C.
D.
【解析】选A.如图所示,
因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,
则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,
所以当CM⊥AB时,CM最小,
此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4
,
故CM的最小值为2
,
又PC=4,则PM的最小值为
=2
.
4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( )
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ?平面α,
所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ?平面β,得EF⊥PQ.
又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.
【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领会线面垂直的性质和判定定理的内容.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列命题正确的是( )
【解析】选AB.由性质定理可得A,B正确.
6.如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面ABCD所成的角是∠SAD
D.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
【解析】选ABCD.因为SD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以SD⊥AC.
因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC,
又SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,而SB?平面SBD,所以AC⊥SB,故①正确.
因为AB∥CD,AB?平面SDC,CD?平面SDC,
所以AB∥平面SCD,故②正确.
因为SD⊥平面ABCD,所以SA在底面上的射影为AD,
所以SA与底面ABCD所成的角为∠SAD,③正确.
因为AB∥CD,故④也正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________.?
【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.
答案:45° 0°
【补偿训练】
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).?
【解析】当BD⊥AC时,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面AA1C,从而BD⊥A1C,
又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1.
答案:BD⊥AC
8.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.
①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;
②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;
③若m?α,n?β,且α∥β,则m∥n;
④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是________.(填序号)?
【解析】①若m∥α,m⊥n,则n与α位置关系不确定,故为假命题.
②若n∥α,则α内存在直线l与n平行.因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n.故为真命题.
③若m?α,n?β,且α∥β,则m,n可能异面.故为假命题.
④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面,则m,n平行”,为真命题,所以原命题为真命题,所以②④为真命题.
答案:②④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,求线段B1F的长.
【解析】设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=
.
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=
h.
又2×
=h
,所以h=
,
DE=
.
在Rt△DB1E中,B1E=.
在Rt△DB1F中,由面积相等得
×
,解得x=
,即线段B1F的长
为
.
10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
证明:l⊥平面PDC.
【证明】在正方形ABCD中,AD∥BC,
因为AD?平面PBC,BC?平面PBC,
所以AD∥平面PBC,
又因为AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以AD∥l,
因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以l⊥DC,
且PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD,所以l⊥PD,
因为CD∩PD=D所以l⊥平面PDC.
【创新迁移】
如图,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.
求证:平面β必与平面α相交.
【证明】假设平面α与平面β平行.
因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β.
因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾,
所以平面β必与平面α相交.
【补偿训练】
如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=
a.
(1)证明:EB⊥FD;
(2)求点B到平面FED的距离.
【解析】(1)因为FC⊥平面BED,BE?平面BED,
所以EB⊥FC.又点E为弧AC的中点,B为直径AC的中点,所以EB⊥BC.
又因为FC∩BC=C,所以EB⊥平面FBD.
因为FD?平面FBD,所以EB⊥FD.
(2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED⊥平面FCH.
因为Rt△DHC∽Rt△DBE,所以=
.
在Rt△DBE中,
DE=
,
所以CH=
.
因为FB=
a,BC=a,所以FC=2a.
在平面FCH内过C作CK⊥FH,
则CK⊥平面FED,
因为FH2=FC2+CH2=4a2+=
,
所以FH=
a.
所以CK=
.
因为C是BD的中点,
所以B到平面FED的距离为2CK=
.
