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5.2 平面与平面垂直
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中平面与平面垂直的位置关系.2.掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面垂直的位置关系.
★水平一1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小.(直观想象、逻辑推理、数学运算)2.了解面面垂直的定义,理解并掌握面面垂直的性质定理及应用.(数学抽象、逻辑推理)3.掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.(数学抽象、逻辑推理)★水平二掌握线面、面面垂直的性质与判定定理,学会综合运用定理证明垂直关系.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.平面与平面垂直的定义是什么?2.面面垂直能得到线线垂直吗?能得到线面垂直吗?3.怎样理解二面角?
1.半平面
一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.
2.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
(2)相关概念:
①这条直线称为二面角的棱,②这两个半平面称为二面角的面.
(3)画法:
(4)记法:二面角α-AB-β或α-l-β.
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角.
如图:则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
(6)二面角的平面角θ的取值范围:0°≤θ≤180°.
两个平面相交成90°的二面角时,两个平面什么位置关系呢?
提示:两平面相交,平面角是直角的叫做直二面角,就说这两个平面互相垂直.
3.平面与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
(2)图形表示:
(3)符号表示:α⊥β,a?α,α∩β=l,a⊥l?a⊥β.
(4)作用:证明直线和平面垂直.
应用面面垂直的性质定理的关键点是什么呢?
提示:应用面面垂直的性质定理的关键是两个垂直的平面中,一个平面内的直线如果垂直于两个平面的交线即实现面面垂直向线面垂直的转化.
4.平面与平面垂直的判定定理
(1)语言叙述:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
(2)图形表示:
(3)符号表示:l?α,l⊥β?α⊥β.
从转化的角度看,空间中的垂直关系是怎样的呢?
提示:
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补.( )
(3)已知两个平面垂直,那么一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.( )
(4)已知两个平面垂直,那么过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.( )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线,则α⊥β.( )
提示:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)当这个点在两个平面的交线上时,
命题不正确;(5)平面α内的这一条直线和平面β垂直时,才有α⊥β.
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2.直线l⊥平面α,l?平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.可能重合
C.相交且垂直
D.相交不垂直
【解析】选C.由面面垂直的判定定理,得α与β垂直.
3.(教材二次开发:习题改编)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个.?
【解析】设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案:1个或无数个
关键能力·合作学习
类型一 平面与平面垂直性质定理及应用(直观想象、逻辑推理)
1.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l?α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
2.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是________三角形.?
3.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
【解析】1.选D.选项A缺少了条件l?α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.
2.设P在平面ABC上的射影为O,因为平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以O∈AB.
因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心,且是AB的中点,
所以△ABC是直角三角形.
答案:直角
3.(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,
所以PG⊥平面ABCD,由BG?平面ABCD,所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD.又AD∩PG=G,AD,PG?平面PAD,所以BG⊥
平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG?平面PBG,所以AD⊥平面PBG,
又PB?平面PBG,所以AD⊥PB.
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个:
①两个平面互相垂直;
②直线在其中一个平面内;
③直线与两平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直.
(3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.
【补偿训练】
如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,
BC=2.
求证:BF⊥平面ACFD.
【证明】延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,AC?平面ABC,
所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又CK∩AC=C,CK,AC?平面ACFD,所以BF⊥平面ACFD.
类型二 平面与平面垂直的判定(逻辑推理)
【典例】
如图所示,在四面体A-BCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
四步
内容
理解题意
条件:在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.结论:平面ABC⊥平面SBC.
思路探求
求证平面ABC⊥平面SBC,可证明二面角A-BC-S为直二面角,也可以证明AD⊥平面SBC,其中D为斜边BC的中点.
书写表达
【证明】方法一:(利用定义证明)因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC均是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD==a.在Rt△ABD中,AD=a,在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.方法二:(利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以△ASB和△ASC均是等边三角形,所以SA=AB=AC,所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形,所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因为AD?平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明面面垂直,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是“垂线在平面内”这个条件.
题后反思
证明面面垂直的关键是在一个平面内找到另一个平面的垂线.
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD.
【证明】(1)连接BD交AC于点O,连接EO,
因为O为BD中点,E为PD中点,所以EO∥PB,
又EO?平面AEC,PB?平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
所以PA⊥CD,又AD⊥CD,且AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD,
所以CD⊥AE.
因为PA=AD,E为PD中点,
所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC,
又AE?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC.
【拓展延伸】
垂直关系的综合应用
1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
【拓展训练】
如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,
AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.
(1)求证:BF∥平面ADP;
(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.
【证明】(1)如图,取PD的中点为G,连接FG,AG.
因为F是CE的中点,所以FG是梯形CDPE的中位线,
因为CD=3PE,所以FG=2PE,FG∥CD.
因为CD∥AB,AB=2PE,所以AB∥FG,AB=FG,
即四边形ABFG是平行四边形,
所以BF∥AG,又BF?平面ADP,AG?平面ADP,
所以BF∥平面ADP.
(2)延长AO交CD于M,连接BM,FM.
因为BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,
所以四边形ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE,
所以FM∥PD.因为PD⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD,
所以FM⊥BD,因为AM∩FM=M,AM,FM?平面AMF,所以BD⊥平面AMF,所以BD⊥
平面AOF.
类型三 平面与平面相交的综合问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 求二面角?
【典例】如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
【思路导引】求二面角P-BC-A的大小,需要先找到二面角P-BC-A的平面角,再进行求解.
【解析】由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,且点C在圆周上,
所以AC⊥BC.又因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以PC⊥BC.
又因为BC是二面角P-BC-A的棱,
所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
又因为PA=AC,所以△PAC是等腰直角三角形,
所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
将本例变为:四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求二面角B-PA-C的大小.
【解析】因为PA⊥平面ABCD,
所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,
所以∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.
角度2 平面与平面相交的平行和垂直问题?
【典例】在四面体D-ABC中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点.
求证:(1)直线EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.
【思路导引】(1)证明线面平行,需要在平面ACD内找到EF的平行线;(2)证明面面垂直的关键是转化到线面垂直上.
【证明】(1)因为E,F分别是AB,BD的中点,
所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD,
因为EF?平面ACD,AD?平面ACD,
所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD,EF∥AD,所以EF⊥BD.
因为CB=CD,F是BD的中点,所以CF⊥BD.
又EF∩CF=F,所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
(2)求二面角的大小的方法:
一作:即先作出二面角的平面角;
二证:即说明所作角是二面角的平面角;
三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.
1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD?平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
【解析】选B.因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,所以PD⊥平面ABC.
2.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=________.?
【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以PA⊥平面ABC,又AB?平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB===.
答案:
3.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【解析】因为SA⊥平面ABC,
所以SA⊥BD.由已知SC⊥ED,SE=EC,SB=BC.
所以SC⊥BE,BE∩DE=E,所以SC⊥平面BED,所以SC⊥BD.
又因为BD⊥SA,SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC.
因为AC?平面SAC,所以BD⊥AC,所以BD⊥CD.
同理BD⊥DE,即∠EDC是二面角E-BD-C的平面角,
设SA=1,则SA=AB=1,
因为AB⊥BC,所以SB=BC=,
可证得CB⊥SB,所以SC=2,
所以在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°.即二面角E-BD-C的大小为60°.
【补偿训练】
在四面体A-BCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证:平面ABD⊥平面BCD.
【证明】取BD的中点E,连接AE,CE,
因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,
所以AE⊥BD,CE⊥BD,
即∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,
在△ABD中,AB=a,BE=BD=a,所以AE==a,同理CE=a.
在△AEC中,AE=CE=a,AC=a,
故AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,即∠AEC=90°,所以二面角A-BD-C的平面角为90°,
所以平面ABD⊥平面BCD.
备选类型 面面垂直的性质在探究性问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图1,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2,点E是线段AM的中点.
(1)求四棱锥D-ABCM的体积;
(2)求证:平面BDE⊥平面ABCM;
(3)过B点是否存在一条直线l,同时满足以下两个条件:①l?平面ABCM;②l⊥AD,请说明理由.
【解析】(1)由已知DA=DM,E是AM的中点,
所以DE⊥AM.因为平面ADM⊥平面ABCM,
平面ADM∩平面ABCM=AM,
所以DE⊥平面ABCM.四棱锥D-ABCM的体积
V=S四边形ABCM·DE=×××=.
(2)由(1)可得,DE⊥平面ABCM,DE?平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCM.
(3)过B点存在一条直线l,同时满足以下两个条件:
①l?平面ABCM;②l⊥AD.
理由:
在平面ABCM中,过点B作直线l,使l⊥AM,
因为平面ADM⊥平面ABCM,
平面ABCM∩平面ADM=AM,
所以l⊥平面ADM,所以l⊥AD.
1.证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.
因为AB?平面ABC,EF?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC?平面BCD,
所以BC⊥平面ABD.因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
因为AB⊥AD,BC,AB?平面ABC,BC∩AB=B,
所以AD⊥平面ABC,
又AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
课堂检测·素养达标
1.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】选D.由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.
2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面( )
A.有一个
B.有两个
C.有无数个
D.不存在
【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直.
3.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-D的平面角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所以BC⊥平面D1C.
又D1C?平面D1C,所以BC⊥D1C,
所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.
在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,
所以∠D1CD=45°,即二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°.
4.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有________对.?
【解析】平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
答案:3
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB,AD⊥CD,E为棱PD的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)试判断PB与平面AEC是否平行?并说明理由.
【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,
DC?底面ABCD,所以PD⊥DC.
又AD⊥DC,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
又AE?平面PAD,所以CD⊥AE.
(2)PB与平面AEC不平行.
假设PB∥平面AEC,设BD∩AC=O,连接OE,
则平面EAC∩平面PDB=OE,
又PB?平面PDB,
所以PB∥OE.
所以在△PDB中有=,
由E是PD中点可得==1,
即OB=OD.
因为AB∥DC,所以==,
这与OB=OD矛盾,
所以假设错误,PB与平面AEC不平行.
课时素养评价
四十七 平面与平面垂直
(15分钟 30分)
1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.由已知得BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,
CD⊥AD,故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°.
2.如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.
所以△ABC为直角三角形.
又PA⊥圆O所在平面,AC,AB,BC都在圆O所在平面内,
所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
所以△PAC,△PAB是直角三角形,
又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
因为PC?平面PAC,所以BC⊥PC,
所以△PBC是直角三角形,
从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角三角形.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,
因为C1D=C1B,O为BD中点,
所以C1O⊥BD,因为AC⊥BD,
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=,
可以计算C1O=2,
所以sin∠C1OC==,所以∠C1OC=30°.
4.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.?
【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,
所以MN==.
答案:
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)?
【解析】由题意可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,
即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(答案不唯一)
6.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.
(1)求证:DE∥PA;
(2)求证:DE∥平面PAC;
(3)求证:AB⊥PB.
【证明】(1)因为D,E分别是AB,PB的中点,所以DE∥PA.
(2)因为PA?平面PAC,DE∥PA,且DE?平面PAC,所以DE∥平面PAC.
(3)因为PC⊥平面ABC,且AB?平面ABC,
所以AB⊥PC.
又因为AB⊥BC,且PC∩BC=C.
所以AB⊥平面PBC.
又因为PB?平面PBC,所以AB⊥PB.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;
②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
④若m∥n,n?α,则m∥α.
其中正确命题的序号是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【解析】选A.对于①,若α∥β,α∥γ,根据面面平行的性质容易得到β∥γ,故①正确;
对于②,若α⊥β,m∥α,m与β的关系不确定,故②错误;对于③,若m⊥α,m∥β,可以在β找到一条直线n与m平行,所以n⊥α,故α⊥β,故③正确;
对于④,若m∥n,n?α,那么m与α的位置关系为m∥α或者m?α,故④错误.
2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?
平面PAC,
所以AC⊥平面PBC.
又因为BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
3.已知m是平面α的一条斜线,点A?α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( )
A.l∥m,l⊥α
B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥α
D.l∥m,l∥α
【解析】选C.如图l可以垂直m,且l平行α.
【补偿训练】
在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】选B.如图所示,因为PO⊥底面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
在Rt△POA和Rt△POB中,PA=PB,PO=PO,
所以△POA≌△POB,所以OA=OB.
同理可证OB=OC,所以OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心.
4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
【解析】选B.设等腰直角三角形△ABC的腰为a,则斜边BC=a,
①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,
又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD?平面ABD,
所以BD⊥平面ADC,又AC?平面ADC,
所以BD⊥AC,故①正确;
②由①知,BD⊥平面ADC,CD?平面ADC,
所以BD⊥CD,又BD=CD=a,
所以由勾股定理得:BC=×a=a,
又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;
③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,
所以三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确.
④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,
又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,
所以∠BFD为平面ADC与平面ABC所成二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,
故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误;
综上所述,正确的结论是①②③.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
【解析】选ABD.由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.
6.如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系成立的有( )
A.SG⊥平面EFG
B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE
D.EF⊥平面SEG
【解析】选AC.由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,同理可证GF⊥平面GSE,
所以平面EFG,SFG,SEG两两垂直,所以选项A,C正确;若SE⊥平面EFG,则SE⊥EG,
这与SG⊥EG矛盾,同理可知EF⊥平面SEG不正确,所以B,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB?α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.?
【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l,则∠ACO为二面角α-l-β的平面角,∠ABC为AB与l所成的角.
设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ.
由图得sin
θ==·=sin
30°·sin
60°=.
答案:
【补偿训练】
在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.?
【解析】如图,连接CD,则在Rt△ABC中,CD=AB.
因为AC=6,BC=8,所以AB==10.
所以CD=5.
因为EC⊥平面ABC,CD?平面ABC,
所以EC⊥CD.
所以ED===13.
答案:13
8.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了________.?
【解析】如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β,且OB∩OC=O,
根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,
又OA?α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:面面垂直的判定定理
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
【证明】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,
所以A1O1∥OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,
所以A1O∥O1C,又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM∥AC,
所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,
因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
10.如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=a,设E,F分别为PC,BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PDC;
(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小.
【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,
连接AC,则AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点,
所以在△CPA中EF∥PA,且PA?平面PAD,
EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,且四边形ABCD为正方形,
所以CD⊥AD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA,
又PA=PD=AD,
所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=90°,
即PA⊥PD,CD∩PD=D,且CD,PD?平面PDC,
所以PA⊥平面PDC,
又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.
(3)因为EF∥PA,
所以直线EF与平面ABCD所成角的大小等于直线PA与平面ABCD所成角的大小,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,
所以∠PAD就是直线PA与平面ABCD所成角,在△APD中,PA=PD=AD,
所以∠PAD=45°,
所以直线EF与平面ABCD所成角的大小为45°.
如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是弧DF的中点.
(1)设P是弧EC上的一点,且AP⊥BE,
求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,
AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,
所以BE⊥平面ABP,又BP?平面ABP,
所以BE⊥BP,又∠EBC=120°,
因此∠CBP=30°.
(2)如图,取弧EC的中点H,连接EH,GH,CH.
因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,
所以AE=GE=AC=GC==.
取AG中点M,连接EM,CM,EC,
则EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM==2.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos
120°=12,
所以EC=2,因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
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5.2 平面与平面垂直
必备知识·自主学习
1.半平面
一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.
2.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.
(2)相关概念:
①这条直线称为二面角的棱,②这两个半平面称为二面角的面.
导思
1.平面与平面垂直的定义是什么?
2.面面垂直能得到线线垂直吗?能得到线面垂直吗?
3.怎样理解二面角?
(3)画法:
(4)记法:二面角α-AB-β或α-l-β.
(5)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为
端点,在两个半平面内分别作_____于棱的两条
射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角.
如图:则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
(6)二面角的平面角θ的取值范围:0°≤θ≤180°.
垂直
【思考】
两个平面相交成90°的二面角时,两个平面什么位置关系呢?
提示:两平面相交,平面角是直角的叫做直二面角,就说这两个平面互相垂直.
3.平面与平面垂直的性质定理
(1)文字叙述:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的
_____,那么这条直线与另一个平面垂直.
(2)图形表示:
交线
(3)符号表示:α⊥β,a?α,α∩β=l,a⊥l?a⊥β.
(4)作用:证明直线和平面垂直.
【思考】
应用面面垂直的性质定理的关键点是什么呢?
提示:应用面面垂直的性质定理的关键是两个垂直的平面中,一个平面内的直线如果垂直于两个平面的交线即实现面面垂直向线面垂直的转化.
4.平面与平面垂直的判定定理
(1)语言叙述:如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直.
(2)图形表示:
(3)符号表示:l?α,l⊥β?α⊥β.
垂线
【思考】
从转化的角度看,空间中的垂直关系是怎样的呢?
提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补.
( )
(3)已知两个平面垂直,那么一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
( )
(4)已知两个平面垂直,那么过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
( )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线,则α⊥β.
( )
提示:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)当这个点在两个平面的交线上时,命题不正确;(5)平面α内的这一条直线和平面β垂直时,才有α⊥β.
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2.直线l⊥平面α,l?平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.可能重合
C.相交且垂直
D.相交不垂直
【解析】选C.由面面垂直的判定定理,得α与β垂直.
3.(教材二次开发:习题改编)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个.?
【解析】设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案:1个或无数个
关键能力·合作学习
类型一 平面与平面垂直性质定理及应用(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l?α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l?α,l⊥m,则l⊥β
2.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是________三角形.?
3.如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
【解析】1.选D.选项A缺少了条件l?α;选项B缺少了条件α⊥β;选项C缺少了条件α∩β=m,l⊥m;选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件.
2.设P在平面ABC上的射影为O,因为平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以O∈AB.
因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心,且是AB的中点,
所以△ABC是直角三角形.
答案:直角
3.(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,所以PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,
所以PG⊥平面ABCD,由BG?平面ABCD,所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,所以BG⊥AD.又AD∩PG=G,AD,PG?平面PAD,所以BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG?平面PBG,所以AD⊥平面PBG,
又PB?平面PBG,所以AD⊥PB.
【解题策略】
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个:
①两个平面互相垂直;
②直线在其中一个平面内;
③直线与两平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直.
(3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.
【补偿训练】
如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2.
求证:BF⊥平面ACFD.
【证明】延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,
且AC⊥BC,AC?平面ABC,所以AC⊥平面BCK,因此
BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为
等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又CK∩
AC=C,CK,AC?平面ACFD,所以BF⊥平面ACFD.
类型二 平面与平面垂直的判定(逻辑推理)
【典例】
如图所示,在四面体A-BCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
四步
内容
理解
题意
条件:在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
结论:平面ABC⊥平面SBC.
思路
探求
求证平面ABC⊥平面SBC,可证明二面角A-BC-S为直二面角,也可以证明AD⊥平面SBC,其中D为斜边BC的中点.
四步
内容
书写
表达
【证明】方法一:(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC均是等边三角形,则有SA=SB=SC
=AB=AC,令其值为a,
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的
中点D,如图所示,
连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=
a,BD=
=
a.
在Rt△ABD中,AD=
a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
四步
内容
书写
表达
方法二:(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以△ASB和△ASC均是等边三角形,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,所以AD⊥平面SBC.又因为AD?平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.
注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明面面垂直,条件一定要写全,不能有遗漏,特别是“垂线在平面内”这个条件.
题后
反思
证明面面垂直的关键是在一个平面内找到另一个平面的垂线.
【解题策略】
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PCD.
【证明】(1)连接BD交AC于点O,连接EO,
因为O为BD中点,E为PD中点,所以EO∥PB,
又EO?平面AEC,PB?平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
所以PA⊥CD,又AD⊥CD,且AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD,
所以CD⊥AE.
因为PA=AD,E为PD中点,
所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC,
又AE?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC.
【拓展延伸】
垂直关系的综合应用
1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的综合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
【拓展训练】
如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,
AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.
(1)求证:BF∥平面ADP;
(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.
【证明】(1)如图,取PD的中点为G,连接FG,AG.
因为F是CE的中点,所以FG是梯形CDPE的中位线,
因为CD=3PE,所以FG=2PE,FG∥CD.
因为CD∥AB,AB=2PE,所以AB∥FG,AB=FG,
即四边形ABFG是平行四边形,
所以BF∥AG,又BF?平面ADP,AG?平面ADP,
所以BF∥平面ADP.
(2)延长AO交CD于M,连接BM,FM.
因为BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O为BD的中点,
所以四边形ABMD是正方形,则BD⊥AM,MD=2PE,
所以FM∥PD.因为PD⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD,
所以FM⊥BD,因为AM∩FM=M,AM,FM?平面AMF,所以BD⊥平面AMF,所以BD⊥
平面AOF.
类型三 平面与平面相交的综合问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 求二面角?
【典例】如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
【思路导引】求二面角P-BC-A的大小,需要先找到二面角P-BC-A的平面角,再进行求解.
【解析】由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以PA⊥BC.因为AB是☉O的直径,且点C在圆周上,
所以AC⊥BC.又因为PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以PC⊥BC.
又因为BC是二面角P-BC-A的棱,
所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
又因为PA=AC,所以△PAC是等腰直角三角形,
所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
【变式探究】
将本例变为:四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求二面角B-PA-C的大小.
【解析】因为PA⊥平面ABCD,
所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,
所以∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.
角度2 平面与平面相交的平行和垂直问题?
【典例】在四面体D-ABC中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点.
求证:(1)直线EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.
【思路导引】(1)证明线面平行,需要在平面ACD内找到EF的平行线;(2)证明面面垂直的关键是转化到线面垂直上.
【证明】(1)因为E,F分别是AB,BD的中点,
所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD,
因为EF?平面ACD,AD?平面ACD,
所以直线EF∥平面ACD.
(2)因为AD⊥BD,EF∥AD,所以EF⊥BD.
因为CB=CD,F是BD的中点,所以CF⊥BD.
又EF∩CF=F,所以BD⊥平面EFC.
因为BD?平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.
【解题策略】
解决二面角问题的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
(2)求二面角的大小的方法:
一作:即先作出二面角的平面角;
二证:即说明所作角是二面角的平面角;
三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.
【题组训练】
1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则
( )
A.PD?平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
【解析】选B.因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,
所以PD⊥平面ABC.
2.如图,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则
PB=________.?
【解析】因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以PA⊥
平面ABC,又AB?平面ABC,所以PA⊥AB,所以PB=
=
=
.
答案:
3.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【解析】因为SA⊥平面ABC,
所以SA⊥BD.由已知SC⊥ED,SE=EC,SB=BC.
所以SC⊥BE,BE∩DE=E,所以SC⊥平面BED,所以SC⊥BD.
又因为BD⊥SA,SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC.
因为AC?平面SAC,所以BD⊥AC,所以BD⊥CD.
同理BD⊥DE,即∠EDC是二面角E-BD-C的平面角,
设SA=1,则SA=AB=1,
因为AB⊥BC,所以SB=BC=
,
可证得CB⊥SB,所以SC=2,
所以在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°.即二面角E-BD-C的大小为60°.
【补偿训练】
在四面体A-BCD中,BD=
a,AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证:平面ABD⊥平面BCD.
【证明】取BD的中点E,连接AE,CE,
因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,
所以AE⊥BD,CE⊥BD,
即∠AEC为二面角A-BD-C的平面角,
在△ABD中,AB=a,BE=
BD=
a,所以AE=
=
a,同理CE=
a.
在△AEC中,AE=CE=
a,AC=a,
故AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,即∠AEC=90°,所以二面角A-BD-C的平面角为90°,
所以平面ABD⊥平面BCD.
备选类型 面面垂直的性质在探究性问题中的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图1,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿
AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2,点E是线段AM的中点.
(1)求四棱锥D-ABCM的体积;
(2)求证:平面BDE⊥平面ABCM;
(3)过B点是否存在一条直线l,
同时满足以下两个条件:①l?平面ABCM;②l⊥AD,请说明理由.
【解析】(1)由已知DA=DM,E是AM的中点,
所以DE⊥AM.因为平面ADM⊥平面ABCM,
平面ADM∩平面ABCM=AM,
所以DE⊥平面ABCM.四棱锥D-ABCM的体积
(2)由(1)可得,DE⊥平面ABCM,DE?平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCM.
(3)过B点存在一条直线l,同时满足以下两个条件:
①l?平面ABCM;②l⊥AD.
理由:
在平面ABCM中,过点B作直线l,使l⊥AM,
因为平面ADM⊥平面ABCM,
平面ABCM∩平面ADM=AM,
所以l⊥平面ADM,所以l⊥AD.
【解题策略】
1.证明或判定线面垂直的常用方法
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
【跟踪训练】
如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.
因为AB?平面ABC,EF?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因为BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC?平面BCD,
所以BC⊥平面ABD.因为AD?平面ABD,所以BC⊥AD.
因为AB⊥AD,BC,AB?平面ABC,BC∩AB=B,
所以AD⊥平面ABC,
又AC?平面ABC,所以AD⊥AC.
1.下列命题中错误的是
( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【解析】选D.由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.
课堂检测·素养达标
2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面
( )
A.有一个
B.有两个
C.有无数个
D.不存在
【解析】选C.经过l的任一平面都和α垂直.
3.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-D的平面角的大小为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所以BC⊥
平面D1C.
又D1C?平面D1C,所以BC⊥D1C,
所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.
在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,
所以∠D1CD=45°,即二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°.
4.在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四
个面中,互相垂直的面有________对.?
【解析】平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.
答案:3
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB,AD⊥CD,E为棱PD的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)试判断PB与平面AEC是否平行?并说明理由.
【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,
DC?底面ABCD,所以PD⊥DC.
又AD⊥DC,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
又AE?平面PAD,所以CD⊥AE.
(2)PB与平面AEC不平行.
假设PB∥平面AEC,设BD∩AC=O,连接OE,
则平面EAC∩平面PDB=OE,
又PB?平面PDB,
所以PB∥OE.
所以在△PDB中有
=
,
由E是PD中点可得
=
=1,
即OB=OD.
因为AB∥DC,所以
=
=
,
这与OB=OD矛盾,
所以假设错误,PB与平面AEC不平行.
四十七 平面与平面垂直
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将
△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
课时素养评价
【解析】选C.由已知得BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,
CD⊥AD,故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°.
2.如图所示,AB是圆O的直径,C是异于A,B两点的圆周上的任意一点,PA垂直于圆O所在的平面,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.
所以△ABC为直角三角形.
又PA⊥圆O所在平面,AC,AB,BC都在圆O所在平面内,
所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
所以△PAC,△PAB是直角三角形,
又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
因为PC?平面PAC,所以BC⊥PC,
所以△PBC是直角三角形,
从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC均为直角三角形.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2
,CC1=
,二面角C1-BD-C的大小为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,
因为C1D=C1B,O为BD中点,
所以C1O⊥BD,因为AC⊥BD,
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=
,
可以计算C1O=2
,
所以sin∠C1OC=
=
,所以∠C1OC=30°.
4.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段MN的长等于________.?
【解析】取CD的中点G,连接MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,NG=
.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,
所以MN=
=
.
答案:
5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)?
【解析】由题意可知,BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,
即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:DM⊥PC(答案不唯一)
6.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.
(1)求证:DE∥PA;
(2)求证:DE∥平面PAC;
(3)求证:AB⊥PB.
【证明】(1)因为D,E分别是AB,PB的中点,所以DE∥PA.
(2)因为PA?平面PAC,DE∥PA,且DE?平面PAC,所以DE∥平面PAC.
(3)因为PC⊥平面ABC,且AB?平面ABC,
所以AB⊥PC.
又因为AB⊥BC,且PC∩BC=C.
所以AB⊥平面PBC.
又因为PB?平面PBC,所以AB⊥PB.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;
②若α⊥β,m∥α,则m⊥β;
③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;
④若m∥n,n?α,则m∥α.
其中正确命题的序号是
( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【解析】选A.对于①,若α∥β,α∥γ,根据面面平行的性质容易得到β∥γ,故①正确;
对于②,若α⊥β,m∥α,m与β的关系不确定,故②错误;对于③,若m⊥α,m∥β,可以在β找到一条直线n与m平行,所以n⊥α,故α⊥β,故③正确;
对于④,若m∥n,n?α,那么m与α的位置关系为m∥α或者m?α,故④错误.
2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是
( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?
平面PAC,
所以AC⊥平面PBC.
又因为BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
3.已知m是平面α的一条斜线,点A?α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中
可能出现的是
( )
A.l∥m,l⊥α
B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥α
D.l∥m,l∥α
【解析】选C.如图l可以垂直m,且l平行α.
【补偿训练】
在四面体P-ABC中,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的
( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
【解析】选B.如图所示,因为PO⊥底面ABC,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
在Rt△POA和Rt△POB中,PA=PB,PO=PO,
所以△POA≌△POB,所以OA=OB.
同理可证OB=OC,所以OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心.
4.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是
( )
A.①②④
B.①②③
C.②③④
D.①③④
【解析】选B.设等腰直角三角形△ABC的腰为a,则斜边BC=
a,
①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,
又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD?平面ABD,
所以BD⊥平面ADC,又AC?平面ADC,
所以BD⊥AC,故①正确;
②由①知,BD⊥平面ADC,CD?平面ADC,
所以BD⊥CD,又BD=CD=
a,
所以由勾股定理得:BC=
×
a=a,
又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;
③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,
所以三棱锥D-ABC是正三棱锥,故③正确.
④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,
又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,
所以∠BFD为平面ADC与平面ABC所成二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,
∠BDF为直角,∠BFD不是直角,
故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误;
综上所述,正确的结论是①②③.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是
( )
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
【解析】选ABD.由面面垂直的判定定理知,平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.
6.如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现在沿SE,SF,EF把这个正
方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系成立的
有
( )
A.SG⊥平面EFG
B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE
D.EF⊥平面SEG
【解析】选AC.由SG⊥GE,SG⊥GF,得SG⊥平面EFG,
同理可证GF⊥平面GSE,所以平面EFG,SFG,SEG两两垂直,所以选项A,C正确;
若SE⊥平面EFG,则SE⊥EG,这与SG⊥EG矛盾,同理可知EF⊥平面SEG不正确,所以B,D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB?α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是________.?
【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l,则∠ACO为二面角
α-l-β的平面角,∠ABC为AB与l所成的角.
设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ.
由图得sin
θ=
=
·
=
sin
30°·sin
60°=
.
答案:
【补偿训练】
在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC,且EC=12,则ED=________.?
【解析】如图,连接CD,则在Rt△ABC中,CD=
AB.
因为AC=6,BC=8,所以AB=
=10.
所以CD=5.
因为EC⊥平面ABC,CD?平面ABC,
所以EC⊥CD.
所以ED=
=
=13.
答案:13
8.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,其原理是利用了________.?
【解析】如图所示,因为OA⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β,且OB∩OC=O,
根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥β,
又OA?α,根据面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:面面垂直的判定定理
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形
ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
【证明】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,
所以A1O1∥OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,
所以A1O∥O1C,又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM∥AC,
所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD,
因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,
又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1?平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
10.如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,
且PA=PD=
a,设E,F分别为PC,BD的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PDC;
(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小.
【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,
连接AC,则AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点,
所以在△CPA中EF∥PA,且PA?平面PAD,
EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.
(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,且四边形ABCD为正方形,
所以CD⊥AD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PA,
又PA=PD=
AD,
所以△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=90°,
即PA⊥PD,CD∩PD=D,且CD,PD?平面PDC,
所以PA⊥平面PDC,
又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PDC.
(3)因为EF∥PA,
所以直线EF与平面ABCD所成角的大小
等于直线PA与平面ABCD所成角的大小,
因为侧面PAD⊥底面ABCD,
所以∠PAD就是直线PA与平面ABCD所成角,在△APD中,PA=PD=
AD,
所以∠PAD=45°,
所以直线EF与平面ABCD所成角的大小为45°.
【创新迁移】
如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是弧DF的中点.
(1)设P是弧EC上的一点,且AP⊥BE,
求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
【解析】(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,
AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,
所以BE⊥平面ABP,又BP?平面ABP,
所以BE⊥BP,又∠EBC=120°,
因此∠CBP=30°.
(2)如图,取弧EC的中点H,连接EH,GH,CH.
因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,
所以AE=GE=AC=GC=
=
.
取AG中点M,连接EM,CM,EC,
则EM⊥AG,CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角.
又AM=1,所以EM=CM=
=2
.
在△BEC中,由于∠EBC=120°,
由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos
120°=12,
所以EC=2
,因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
