(共76张PPT)
§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
必备知识·自主学习
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
(1)圆柱的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图是矩形.如图:
圆柱的侧面积和表面积公式:S圆柱侧=_____,
S表面积=S圆柱侧+2S底面积=___________.
导思
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形?
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图有什么特点呢?
2πrl
2πrl+2πr2
(2)圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图是扇形.如图:
圆锥的侧面积和表面积公式:S圆锥侧=____,
S表面积=S圆锥侧+S底面积=_________.
πrl
πrl+πr2
(3)圆台的上底面半径为r1,下底面半径为r2,母线长为l,侧面展开图是扇环.
如图:
圆台的侧面积和表面积公式:S圆台侧=_________,
S表面积=S圆台侧+S上底面积+S下底面积=___________________.
π(r1+r2)l
【思考】从运动的角度看,圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎么样的联系?
提示:S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
S圆锥侧=πrl.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积
(1)直棱柱的底面周长为c,高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形.如图:
直棱柱的侧面积和表面积公式:S直棱柱侧=___,
S表面积=S直棱柱侧+2S底面积.
ch
(2)正棱锥的底面周长为c,斜高为h′.正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角
形.如图:
正棱锥的侧面积和表面积公式:S正棱锥侧=_____,
S表面积=S正棱锥侧+S底面积.
(3)正棱台的上底面周长为c1,下底面周长为c2,斜高为h′.正棱台的侧面展开图
是一些全等的等腰梯形.如图:
正棱台的侧面积和表面积公式:S正梭台侧=___________,
S表面积=S正棱台侧+S上底面积+S下底面积.
【思考】正棱锥、正棱台的斜高和高有什么区别?
提示:正棱锥、正棱台的斜高是正棱锥和正棱台侧面图形的高,而正棱锥的高是指顶点到底面的距离,正棱台的高是上下两个底面之间的距离.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
( )
(2)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.
( )
提示:(1)√.
(2)×.只有直棱柱才可以用cl来进行求解.
2.棱长为3的正方体的表面积为
( )
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的表面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
3.(教材二次开发:练习改编)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等
于
( )
A.15
B.15π
C.24π
D.30π
【解析】选B.S侧=πrl=15π.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的
平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12
π
B.12π
C.8
π
D.10π
2.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
,则这个圆锥的侧面积为
________.?
3.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积
为________.?
【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,
所以圆柱的高为2
,底面圆的直径为2
,所以该圆柱的表面积为2×π×
(
)2+2π×
×2
=12π.
2.由题意,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为π×1×2=2π.
答案:2π
3.先画轴截面,再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示,
设上底面半径为r,下底面半径为R,
则它的母线长为l=
=
=5r=10,所以r=2,R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
答案:168π
【解题策略】
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图.
(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各平面图形的面积相加.
【补偿训练】
如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5
cm,BC=16
cm,AD=4
cm.则以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为________cm2.?
【解析】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面圆的半径是
4
cm,下底面圆的半径是16
cm,母线DC=
=13
(cm).
故该几何体的表面积为
S表=π(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
答案:
532π
类型二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(数学运算、直观现象)
【典例】现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
【思路导引】求直四棱柱的侧面积,需要知道直四棱柱的底面周长和高,利用公式进行求解.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=
=64,
所以AB=8.
所以该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
【解题策略】
求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状,求出每个侧面的面积.
(2)求出其底面的面积.
(3)求和得到表面积.
注意:组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【跟踪训练】
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为________.?
【解析】如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,过点B1作B
1F⊥BC,垂足为点F,在Rt△B1FB中BF=
×(8-4)=2,B1B=8,故B1F=
=2
,
所以
故四棱台的侧面积S侧=4×12
=48
,
所以S表=48
+4×4+8×8=80+48
.
答案:80+48
类型三 柱、锥、台的侧面展开与表面积的实际应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 表面展开图解决距离最短问题?
【典例】有一根高为3π,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.
【思路导引】由圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕2圈,且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形,然后根据平面上求两点间距离最小值的办法,即可求解.
【解析】因为圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕2圈,且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,
则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形,如图所示.
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2π,长为圆柱的高3π,则大矩形的对角线
长即为铁丝的长度的最小值.此时铁丝的长度最小值为
=5π,即铁丝
的最短长度为5π.
【变式探究】
将本例条件“用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端”变为“用一段铁丝在铁管上缠绕1圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端”求铁丝的最短长度.
【解析】因为圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕1圈,且铁
丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则我们可以得到将圆柱侧面展开后
的平面图形,如图所示.
其中矩形的宽为圆柱的周长2π,长为圆柱的高3π,则对角线的长即为铁丝的长
度的最小值.此时铁丝的长度最小值为:
即铁丝的最短长度为
π.
角度2 表面积的实际应用?
【典例】用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,求所需纸的最小面积.
【思路导引】将实际问题具体化,建立适当的数学模型,利用正方体表面积进行求解.
【解析】如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展
成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知
正方形的边长为2
,其面积为8.
【解题策略】
求组合体的表面积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.
【题组训练】
1.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是
( )
A.4πS
B.2πS
C.πS
D.
πS
【解析】选A.底面半径是
,所以正方形的边长是2π
=2
,故圆柱的
侧面积是(2
)2=4πS.
2.已知圆锥底面半径为1,高为
,则该圆锥的侧面积为__________.?
【解析】由已知可得r=1,h=
,则圆锥的母线长l=
=2,所以圆锥的
侧面积S=πrl=2π.
答案:2π
3.已知一块正方形薄铁片的边长为8
cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥,则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米?
【解析】由已知,可得这个无底的圆锥的母线长为8
cm,设底面半径为r
cm,则
2πr=
×8,
所以r=2
cm,所以圆锥的表面积即侧面积
S侧面积=πrl=2×8π=16π
(cm2).
【补偿训练】
若正方体的棱长为
,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的
表面积为( )
【解析】选B.所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为
的四棱锥
的侧面积之和,如图,
四棱锥的侧棱长l=
=1,
所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S=8×
×1×1×
sin
60°=2
.
1.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于( )
A.12
B.48
C.64
D.72
【解析】选D.该六棱柱的6个侧面是全等的矩形,则S侧=6×(3×4)=72.
课堂检测·素养达标
2.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
【解析】选D.正四棱锥的斜高h′=
=4,S侧=4×
×6×4=48.
3.(教材二次开发:练习改编)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长
为a时,该三棱锥的表面积是( )
【解析】选A.因为侧面都是等腰直角三角形,
故侧棱长等于
a,
所以S表=
4.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.
该圆柱的表面积为________.?
【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.
答案:6π
5.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,对角线长为2
,则这个
长方体的表面积是________.?
【解析】设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a,2a,3a,则
,即14a2=56,得a=2.所以长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2,4,6.
所以这个长方体的表面积是2(2×4+2×6+4×6)=88.
答案:88
四十八 柱、锥、台的侧面展开与面积
基础通关—水平一
(15分钟 30分)
1.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为
( )
A.7
B.6
C.5
D.3
【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
课时素养评价
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是
( )
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
3.若一个圆柱的轴截面是面积为S的正方形,则该圆柱的表面积为________.?
【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
因为l=2r,所以S=2r·l=4r2.所以r2=
.
所以S表=2πr2+2πrl=6πr2=
S.
答案:
S
4.若五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积是25,则两底面面积的和为________.?
【解析】S表=S侧+S两底,则S两底=S表-S侧=30-25=5.
答案:5
5.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°,探究圆锥的表面积和底面积的关系.
【解析】设圆锥底面半径为r,母线长为R.
由圆锥底面周长为2πr=
×2πR,解得R=3r,
所以圆锥的表面积S表=πr2+πrR=4πr2,
圆锥的底面积S底=πr2,
所以圆锥的表面积是底面积的4倍.
能力进阶—水平二(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为
( )
A.12π
B.24π
C.15π
D.30π
【解析】选C.由已知得圆锥的母线长为
=5,于是侧面积S=π×3×5
=15π.
2.水平放置的△ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′,
其中O′A′=O′B′=1,O′C′=
,则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的
几何体的表面积为( )
【解析】选B.根据“斜二测画法”
可得AO=BO=1,OC=
,
所以AC=BC=
=2,如图所示,
所以△ABC是边长为2的等边三角形.△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几
何体是两个相同圆锥的组合体,它的表面积为S=2πrl=2π×
×2=4
π.
3.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是
( )
A.27π B.27
π C.9
π D.36
π
【解析】选B.设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.
S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3
=27
π.
【补偿训练】
《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑
堵”的底面是斜边为2
的等腰三角形,高为2,则该“堑堵”的表面积为( )
A.4
B.6+4
C.4+4
D.2
【解析】选B.由已知可得,该几何体的底面面积为
×2×1=1,底面周长为
2+2×
=2+2
,所以棱柱的表面积S=2×1+2×(2+2
)=6+4
.
4.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2
,则它的表面积
为
( )
A.4(3
+4)
B.12(
+2)
C.12(2
+1)
D.3(
+8)
【解析】选B.正六棱柱的底面边长为2,
最长的一条对角线长为2
,
则高BB1=
=2,
它的表面积为S表面积=2S底面积+6S矩形=2×6×
×2×2×sin
+6×2×2=
12
+24=12(
+2).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选
错的得0分)
5.圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为
180°,则圆台的
( )
A.母线长是20
B.表面积是1
100π
C.高是10
D.轴截面为等腰梯形
【解析】选ABD.如图所示,设圆台的上底面周长为C,因为扇环的圆心角为
180°,
所以C=π·SA,又C=10×2π,
所以SA=20,同理SB=40,
故圆台的母线AB=SB-SA=20,
高h=
表面积S=π(10+20)×20+100π+400π=1
100π.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比不
可能是
( )
A.1∶1
B.1∶
C.1∶
D.1∶2
【解析】选ABD.由题意可知三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形.其边长为正方
体侧面对角线.
设正方体的棱长为a,则面对角线长为
a,
S锥=
a2,S正方体=6a2,
故S锥∶S正方体=1∶
.
【光速解题】掌握从正方体中截出正四面体,进而掌握正四面体的棱长和正方体棱长的关系.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知正四棱台两底面边长分别为4
cm,8
cm,侧棱长为8
cm,则它的侧面积为__________
cm2.?
【解析】作出正四棱台的一个侧面如图,
设E,F分别为AD,BC的中点,
过D作DG⊥BC于点G.
由题知AD=4
cm,BC=8
cm,CD=8
cm,
得DE=2
cm,FC=4
cm,解得GC=2
cm,
在Rt△DGC中,DG=
(cm),
即斜高为2
cm,
所以所求侧面积为
×(16+32)×2
=48
(cm2).
答案:48
【补偿训练】
母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
,则该圆锥的底面圆的
半径为________.?
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r,高为h.
因为母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
,所以侧面展开图的弧
长为5×
=8π.
又弧长=底面周长,即8π=2πr,所以r=4.
答案:4
8.已知正四棱锥底面正方形的边长为4
cm,高与斜高夹角为30°,其侧面积为______cm2,全面积为______cm2.
?
【解析】如图所示,
正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE=2
cm,∠OPE=30°,
所以斜高h′=PE=
=4(cm).
所以S正四棱锥侧=
ch′=
×4×4×4=32(cm2),
S正四棱锥全=42+32=48(cm2).
答案:32 48
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,求所形成的几何体的表面积.
【思路导引】将平面图形绕直线进行旋转时,一定要把握住哪条直线是旋转轴.
【解析】若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线
长l=
,
这时表面积为
·2π·1·l+π·12=(1+
)π;
若绕斜边旋转一周时,旋转体则为两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意知
底面半径为
,
一个圆锥的母线长为1,
所以表面积S=2·
·2π·
·1=
π,
综上所述该几何体的表面积为(1+
)π或
π.
【补偿训练】
某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图),则该几何体共有______个面;如果被截正方体的棱长是50
cm,那么石凳的表面积是______cm2.?
【解析】由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,几何体有8个底面三
角形,再加上6个小正方形,所以该几何体共有14个面;
如果被截正方体的棱长是50
cm,
那么石凳的表面积是S表面积=8×
×25
×25
×sin
60°+6×25
×25
=(7
500+2
500
)(cm2).
答案:14 7
500+2
500
10.圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
【解析】如图所示,
设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,圆锥母线长为l,则
即
所以R=2r,l=
R.
所以温馨提示：
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§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物进行演示,理解柱、锥、台的侧面展开,理解面积的求法.2.掌握柱、锥、台的表面积的求法.
★水平一通过对柱、锥、台的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法.(直观想象、逻辑推理、数学运算)★水平二会求柱、锥、台的表面积.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形?2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图有什么特点呢?
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
(1)圆柱的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图是矩形.如图:
圆柱的侧面积和表面积公式:S圆柱侧=2πrl,
S表面积=S圆柱侧+2S底面积=2πrl+2πr2.
(2)圆锥的底面半径为r,母线长为l,侧面展开图是扇形.如图:
圆锥的侧面积和表面积公式:S圆锥侧=πrl,
S表面积=S圆锥侧+S底面积=πrl+πr2.
(3)圆台的上底面半径为r1,下底面半径为r2,母线长为l,侧面展开图是扇环.如图:
圆台的侧面积和表面积公式:S圆台侧=π(r1+r2)l,
S表面积=S圆台侧+S上底面积+S下底面积=π(r1+r2)l+π+π.
从运动的角度看,圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间存在怎么样的联系?
提示:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r1+r2)lS圆锥侧=πrl.
2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积
(1)直棱柱的底面周长为c,高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形.如图:
直棱柱的侧面积和表面积公式:S直棱柱侧=ch,
S表面积=S直棱柱侧+2S底面积.
(2)正棱锥的底面周长为c,斜高为h′.正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形.如图:
正棱锥的侧面积和表面积公式:S正棱锥侧=ch′,
S表面积=S正棱锥侧+S底面积.
(3)正棱台的上底面周长为c1,下底面周长为c2,斜高为h′.正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.如图:
正棱台的侧面积和表面积公式:S正梭台侧=(c1+c2)h′,
S表面积=S正棱台侧+S上底面积+S下底面积.
正棱锥、正棱台的斜高和高有什么区别?
提示:正棱锥、正棱台的斜高是正棱锥和正棱台侧面图形的高,而正棱锥的高是指顶点到底面的距离,正棱台的高是上下两个底面之间的距离.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.( )
(2)三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.( )
提示:(1)√.
(2)×.只有直棱柱才可以用cl来进行求解.
2.棱长为3的正方体的表面积为( )
A.27
B.64
C.54
D.36
【解析】选C.根据表面积的定义,组成正方体的表面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.
3.(教材二次开发:练习改编)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于( )
A.15
B.15π
C.24π
D.30π
【解析】选B.S侧=πrl=15π.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积(数学运算、直观想象)
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π
B.12π
C.8π
D.10π
2.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积为________.?
3.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为________.?
【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.
2.由题意,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为π×1×2=2π.
答案:2π
3.先画轴截面,再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,
则它的母线长为l=
==5r=10,所以r=2,R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
答案:168π
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图.
(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各平面图形的面积相加.
【补偿训练】
如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5
cm,BC=16
cm,AD=4
cm.则以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为________cm2.?
【解析】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面圆的半径是
4
cm,下底面圆的半径是16
cm,母线DC==13
(cm).
故该几何体的表面积为
S表=π(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
答案:
532π
类型二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(数学运算、直观现象)
【典例】现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
【思路导引】求直四棱柱的侧面积,需要知道直四棱柱的底面周长和高,利用公式进行求解.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=2+2===64,
所以AB=8.
所以该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤
(1)清楚各侧面的形状,求出每个侧面的面积.
(2)求出其底面的面积.
(3)求和得到表面积.
注意:组合体的表面积应注意重合部分的处理.
已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为________.?
【解析】如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,过点B1作B
1F⊥BC,垂足为点F,在Rt△B1FB中BF=×(8-4)=2,B1B=8,故B1F==2,
所以=×(8+4)×2=12,
故四棱台的侧面积S侧=4×12=48,
所以S表=48+4×4+8×8=80+48.
答案:80+48
类型三 柱、锥、台的侧面展开与表面积的实际应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 表面展开图解决距离最短问题?
【典例】有一根高为3π,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.
【思路导引】由圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕2圈,且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形,然后根据平面上求两点间距离最小值的办法,即可求解.
【解析】因为圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕2圈,且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,
则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形,如图所示.
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2π,长为圆柱的高3π,则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值.此时铁丝的长度最小值为=5π,即铁丝的最短长度为5π.
将本例条件“用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端”变为“用一段铁丝在铁管上缠绕1圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端”求铁丝的最短长度.
【解析】因为圆柱型铁管的高为3π,底面半径为1,铁丝在铁管上缠绕1圈,且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形,如图所示.
其中矩形的宽为圆柱的周长2π,长为圆柱的高3π,则对角线的长即为铁丝的长度的最小值.此时铁丝的长度最小值为:=π,
即铁丝的最短长度为π.
角度2 表面积的实际应用?
【典例】用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住,不将纸撕开,求所需纸的最小面积.
【思路导引】将实际问题具体化,建立适当的数学模型,利用正方体表面积进行求解.
【解析】如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.
求组合体的表面积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.
1.圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( )
A.4πS
B.2πS
C.πS
D.πS
【解析】选A.底面半径是,所以正方形的边长是2π=2,故圆柱的侧面积是(2)2=4πS.
2.已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为__________.?
【解析】由已知可得r=1,h=,则圆锥的母线长l==2,所以圆锥的侧面积S=πrl=2π.
答案:2π
3.已知一块正方形薄铁片的边长为8
cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥,则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米?
【解析】由已知,可得这个无底的圆锥的母线长为8
cm,设底面半径为r
cm,则2πr=×8,
所以r=2
cm,所以圆锥的表面积即侧面积
S侧面积=πrl=2×8π=16π
(cm2).
【补偿训练】
若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选B.所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为的四棱锥的侧面积之和,如图,
四棱锥的侧棱长l==1,
所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S=8××1×1×
sin
60°=2.
课堂检测·素养达标
1.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于( )
A.12
B.48
C.64
D.72
【解析】选D.该六棱柱的6个侧面是全等的矩形,则S侧=6×(3×4)=72.
2.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
【解析】选D.正四棱锥的斜高h′==4,S侧=4××6×4=48.
3.(教材二次开发:练习改编)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【解析】选A.因为侧面都是等腰直角三角形,
故侧棱长等于a,
所以S表=a2+3××a2=a2.
4.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.
该圆柱的表面积为________.?
【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.
答案:6π
5.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,对角线长为2,则这个长方体的表面积是________.?
【解析】设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a,2a,3a,则=2,即14a2=56,得a=2.所以长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2,4,6.所以这个长方体的表面积是2(2×4+2×6+4×6)=88.
答案:88
课时素养评价
四十八 柱、锥、台的侧面展开与面积
(15分钟 30分)
1.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为( )
A.7
B.6
C.5
D.3
【解析】选A.设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
3.若一个圆柱的轴截面是面积为S的正方形,则该圆柱的表面积为________.?
【解析】设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
因为l=2r,所以S=2r·l=4r2.所以r2=.
所以S表=2πr2+2πrl=6πr2=S.
答案:S
4.若五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积是25,则两底面面积的和为________.?
【解析】S表=S侧+S两底,则S两底=S表-S侧=30-25=5.
答案:5
5.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为120°,探究圆锥的表面积和底面积的关系.
【解析】设圆锥底面半径为r,母线长为R.
由圆锥底面周长为2πr=×2πR,解得R=3r,
所以圆锥的表面积S表=πr2+πrR=4πr2,
圆锥的底面积S底=πr2,
所以圆锥的表面积是底面积的4倍.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为( )
A.12π
B.24π
C.15π
D.30π
【解析】选C.由已知得圆锥的母线长为=5,于是侧面积S=π×3×5
=15π.
2.水平放置的△ABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的△A′B′C′,其中O′A′=O′B′=1,O′C′=,则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )
A.2π
B.4π
C.2+π
D.(4+3)
π
【解析】选B.根据“斜二测画法”
可得AO=BO=1,OC=,
所以AC=BC==2,如图所示,
所以△ABC是边长为2的等边三角形.△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,它的表面积为S=2πrl=2π××2=4π.
3.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是( )
A.27π
B.27π
C.9π
D.36π
【解析】选B.设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.
S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3=27π.
【补偿训练】
《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的底面是斜边为2
的等腰三角形,高为2,则该“堑堵”的表面积为( )
A.4
B.6+4
C.4+4
D.2
【解析】选B.由已知可得,该几何体的底面面积为×2×1=1,底面周长为2+2×=2+2,所以棱柱的表面积S=2×1+2×(2+2)=6+4.
4.正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2,则它的表面积为( )
A.4(3+4)
B.12(+2)
C.12(2+1)
D.3(+8)
【解析】选B.正六棱柱的底面边长为2,
最长的一条对角线长为2,
则高BB1==2,
它的表面积为S表面积=2S底面积+6S矩形=2×6××2×2×sin+6×2×2=
12+24=12(+2).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的( )
A.母线长是20
B.表面积是1
100π
C.高是10
D.轴截面为等腰梯形
【解析】选ABD.如图所示,设圆台的上底面周长为C,因为扇环的圆心角为180°,
所以C=π·SA,又C=10×2π,
所以SA=20,同理SB=40,
故圆台的母线AB=SB-SA=20,
高h==10,
表面积S=π(10+20)×20+100π+400π=1
100π.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比不可能是( )
A.1∶1
B.1∶
C.1∶
D.1∶2
【解析】选ABD.由题意可知三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形.其边长为正方体侧面对角线.
设正方体的棱长为a,则面对角线长为a,
S锥=4×(a)2×=2
a2,S正方体=6a2,
故S锥∶S正方体=1∶.
【光速解题】掌握从正方体中截出正四面体,进而掌握正四面体的棱长和正方体棱长的关系.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知正四棱台两底面边长分别为4
cm,8
cm,侧棱长为8
cm,则它的侧面积为__________
cm2.?
【解析】作出正四棱台的一个侧面如图,
设E,F分别为AD,BC的中点,
过D作DG⊥BC于点G.
由题知AD=4
cm,BC=8
cm,CD=8
cm,
得DE=2
cm,FC=4
cm,解得GC=2
cm,
在Rt△DGC中,DG==2(cm),
即斜高为2
cm,
所以所求侧面积为×(16+32)×2=48(cm2).
答案:48
【补偿训练】
母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于,则该圆锥的底面圆的半径为________.?
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r,高为h.
因为母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于,所以侧面展开图的弧长为5×=8π.
又弧长=底面周长,即8π=2πr,所以r=4.
答案:4
8.已知正四棱锥底面正方形的边长为4
cm,高与斜高夹角为30°,其侧面积为______cm2,全面积为______cm2.
?
【解析】如图所示,
正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE=2
cm,∠OPE=30°,
所以斜高h′=PE===4(cm).
所以S正四棱锥侧=ch′=×4×4×4=32(cm2),
S正四棱锥全=42+32=48(cm2).
答案:32 48
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,求所形成的几何体的表面积.
【思路导引】将平面图形绕直线进行旋转时,一定要把握住哪条直线是旋转轴.
【解析】若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,
这时表面积为·2π·1·l+π·12=(1+)π;
若绕斜边旋转一周时,旋转体则为两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意知底面半径为,
一个圆锥的母线长为1,
所以表面积S=2··2π··1=π,
综上所述该几何体的表面积为(1+)π或π.
【补偿训练】
某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图),则该几何体共有______个面;如果被截正方体的棱长是50
cm,那么石凳的表面积是______cm2.?
【解析】由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,几何体有8个底面三角形,再加上6个小正方形,所以该几何体共有14个面;
如果被截正方体的棱长是50
cm,
那么石凳的表面积是S表面积=8××25×25×sin
60°+6×25×25=(7
500+2
500)(cm2).
答案:14 7
500+2
500
10.圆锥的高和底面半径相等,它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等,求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
【解析】如图所示,
设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,圆锥母线长为l,则=,即=.
所以R=2r,l=R.
所以====-1.
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