(共81张PPT)
6.2 柱、锥、台的体积
必备知识·自主学习
1.棱柱和圆柱的体积
棱柱和圆柱的体积的计算公式:V柱体=___.
其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
特别地,V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)
导思
1.棱柱和圆柱的体积公式是什么?
2.棱锥和圆锥的体积公式是什么?
3.棱台和圆台的体积公式是什么?
Sh
2.棱锥和圆锥的体积
棱锥和圆锥的体积的计算公式:V锥体=____.
其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
特别地,V圆锥=
πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)
3.棱台和圆台的体积
棱台和圆台的体积的计算公式:
V台体=___________________.
S上,S下分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.
特别地,V圆台=_________________
(r′,r分别是上、下底面半径,h是高).
【思考】从运动的观点看,棱柱、棱锥、棱台的体积公式有什么关系?
提示:
V棱柱=Sh
V棱台=
(S′+
+S)h
V棱锥=
Sh.(其中S为下底面面
积,S′为上底面面积,h为高).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.( )
(2)
棱锥的体积等于底面面积与高之积.( )
(3)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB.( )
(4)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.( )
提示:(1)√.
(2)×.体积公式中缺少了一个
.
(3)√.(4)√.
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于( )
A.π
B.2
π
C.4
π
D.8
π
【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.
3.(教材二次开发:练习改编)正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48
B.64
C.16
D.96
【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台的体积(数学运算、逻辑推理)
【题组训练】
1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16
π,则圆锥的体积是( )
A.
B.
C.64π
D.128
π
2.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为( )
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
3.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是________.?
【解析】1.选A.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直
角三角形,
所以2r=
,即l=
r,
由题意得侧面积S侧=πr·l=
πr2=16
π,
所以r=4.所以l=4
,高h=
=4.
所以圆锥的体积V=
Sh=
π×42×4=
π.
2.选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,
如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积
为10π.
3.设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上=πr2=π,
S下=πR2=4π,所以r=1,R=2,S侧=π(r+R)l=6π,所以l=2,
所以h=
,所以V=
π(12+22+1×2)×
=
π.
答案:
π
【解题策略】
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出.
(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.
【补偿训练】
如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.
【解析】旋转得到一个圆锥和圆台的组合体,
V圆锥=
π×22×2=
π,
V圆台=
π×1×(22+12+2×1)=
π,
所以V=V圆锥+V圆台=5π.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体
积为( )
A.4
B.
C.
D.3
【思路导引】判断几何体的形状,利用棱锥的体积转化求解即可.
【解析】选B.由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成,四棱锥底面四边
形面积为正方形面积的一半为2,高为正方体棱长的一半为1,
所以V=
×2×1×2=
.
【解题策略】
求几何体体积的常用方法
【跟踪训练】
如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
【解析】
因为
EA1·A1D1=
a2,
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,
所以
所以
【拓展延伸】
棱柱、棱锥、棱台的体积与数学文化的融合
历史文明与数学文化的结合现在越来越密切,所以用学过的数学知识来求解历史文化中的问题也越来越普遍,特别是求解历史上有名的物体的体积.
【拓展训练】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为( )
【解析】选B.设下底面的长宽分别为x,y,
则2(x+y)=18,所以x+y=9,y=9-x,x≥9-x,即x≥
,
所以该“刍童”的体积为V=
×3[2(6+x)+(2x+3)y]=
(30+2xy+y)=
(-2x2+17x+39)
所以当x=
时,该“刍童”的体积取最大值.
Vmax=
类型三 柱、锥、台体积的实际应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 柱、锥、台体积的实际应用?
【典例】(2020·江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆
柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm,高为2
cm,内孔半径为
0.5
cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.?
【思路导引】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.
【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V,正六棱柱的体积为V1,圆柱的体积为V2,
则V1=6×
×2×2×sin
60°×2=12
(cm3),V2=π×(0.5)2×2=
(cm3),
所以V=V1-V2=12
-
(cm3).
答案:
角度2 空间几何体的体积和表面积的最值问题?
【典例】如图,已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.
(1)求出此圆锥的侧面积;
(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式;
(3)当此圆柱的侧面积最大时,求此圆柱的体积.
【思路导引】(1)求出圆锥的母线长,计算圆锥的侧面积;
(2)利用相似三角形求出圆柱的底面圆半径r,计算圆柱的侧面积;
(3)利用二次函数的性质求出圆柱侧面积取最大值时x的值,再计算对应圆柱的体积.
【解析】(1)圆锥的底面半径R与高H均为2,则圆锥的母线长为L=2
,所以圆锥
的侧面积为S圆锥侧=πRL=π×2×2
=4
π.
(2)设圆柱的半径为r,
则
,解得r=2-x,且0所以圆柱的侧面积为S圆柱侧=2πrx=2π(2-x)x
=-2πx2+4πx(0(3)S圆柱侧=-2πx2+4πx=2π[-(x-1)2+1],0当x=1时,S圆柱侧取得最大值为2π,
此时r=1,圆柱的体积为V圆柱=πr2x=π·12·1=π.
【解题策略】
求与最值有关的体积和表面积,要将体积或表面积表示成相关量的函数,利用函数的最值确定取值,进而求最值.
【题组训练】
1.将两个棱长为10
cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5
cm的正四棱柱,则
该四棱柱的高为( )
A.8
cm
B.80
cm
C.40
cm
D.
cm
【解析】选B.设正四棱柱的高为h
cm,依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm).
2.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为
,SA与
圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5
,则该圆锥的侧面积为________.?
【解析】如图,设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,
所以l=
r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=
r2,
AB=
r,AB边上的高为
因为△SAB的面积为5
,
所以
,解得r=2
,
所以该圆锥的侧面积为πrl=π
r2=40
π.
答案:40
π
3.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位:米),浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计,精确到0.01立方米)?
【解析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩
下的几何体.
S底=0.6×1.1-
×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米),
V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
【补偿训练】
一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1如图所示,H,J分别是C1D1,BB1的中点,由于某种原因,在D,H,J三点处各有一个小洞,为使此容器内存水最多,问容器中水的上表面的形状是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.如图,连接DH并延长交CC1
的延长线于S,连接SJ交B1C1于K,延长SJ交CB的延长线于T,连接DT交AB于G,则五边形DGJKH为过三点D,H,J的平面被正方体ABCD-A1B1C1D1所截得的平面图形,所以为使此容器内存水最多,容器中水的上表面的形状是五边形.
1.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
【解析】选C.因为VC-A′B′C′=
VABC-A′B′C′=
,所以VC-AA′B′B=1-
=
.
课堂检测·素养达标
2.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,点E是棱BB1的中点,点F是棱CC1上靠近C1的三等分点,且三棱锥A1-AEF的体积为2,则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为( )
A.12
B.8
C.20
D.18
【解析】选A.设点F到平面ABB1A1的距离为h,
由题意得
=
所以
=6×2=12.
所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为12.
3.(教材二次开发:习题改编)若长方体的长、宽、高分别为3
cm,4
cm,5
cm,则长方体的体积为( )
A.27
cm3
B.60
cm3
C.64
cm3
D.125
cm3
【解析】选B.V长方体=3×4×5=60(cm3).
4.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1-ABC
的体积为________.?
【解析】由题意,锥体的高为BB1,底面积S△ABC=
,所以
答案:
5.已知圆台的母线长为13
cm,两底面面积分别为4π
cm2和49π
cm2,则该圆台的体积为__________.?
【解析】如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,
由上、下底面面积分别为4π
cm2,49π
cm2得,
上底半径O1A=2
cm,下底半径OB=7
cm,
又因为腰长为13
cm,
所以圆台的高AM=
=12(cm),
所以圆台的体积V台=
(S上+
+S下)h
=
(4π+
+49π)×12=268π(cm3).
答案:268π
cm3
四十九 柱、锥、台的体积
基础通关—水平一
(15分钟 30分)
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3,则长方体的体积与表面积分别
为
( )
A.12,32
B.12,24
C.22,12
D.12,11
【解析】选A.V=2×2×3=12,S=2×(2×2)+2×(2×3)+2×(2×3)=32.
课时素养评价
【补偿训练】
若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是
( )
A.12π B.6π C.4π D.3π
【解析】选A.由已知圆锥的高h=4,
所以V圆锥=
π×32×4=12π.
2.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于
( )
A.6+
B.3+2
C.6+2
D.6
【解析】选C.V棱台=
3.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的
,且其轴截面的周长为24,则该圆
柱的体积为
( )
A.16π
B.27π
C.36π
D.54π
【解析】选D.设圆柱的高为h,底面圆半径为r,
因为圆柱的侧面积等于其表面积的
,
且其轴截面的周长为24,
所以
解得r=3,h=6,
所以该圆柱的体积为V=πr2h=π×32×6=54π.
4.已知圆柱的底面周长为c,侧面展开图矩形的面积为S,则它的体积为________.?
【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,
则
所以r=
,h=
,
所以V=πr2h=π×
答案:
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2,则V1∶V2=________.?
【解析】
答案:1∶24
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的高为6
cm,底面三角形的边长分别为3
cm,4
cm,
5
cm.以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的
表面积和体积.
【解析】因为32+42=52,
所以底面是直角三角形.
所以上、下底面内切圆半径r=
=1(cm).
所以S表=(3+4+5)×6+2×
-2π×12+2π×1×6=72+12-2π+12π
=(84+10π)(cm2),
V=
×3×4×6-π×12×6=(36-6π)(cm3).
故剩余部分形成几何体的表面积是(84+10π)(cm2),
体积是(36-6π)(cm3).
能力进阶—水平二
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形,四棱锥的高为3,则该四棱锥
的体积为
( )
A.12
B.24
C.4
D.30
【解析】选C.由题意得四棱锥的底面积为S=
×2×4=4.故四棱锥的体积V=
Sh=
×4×3=4.
2.《九章算术》卷五《商功》记载一个问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一
丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而
一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而
一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=
×(底面圆的周长的平方×高)则
由此可推得圆周率π的取值为
( )
A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
【解析】选A.因为圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=
×(底面圆的周长的平方×
高),
所以
×(2πr)2×h=πr2×h,解得π=3.
3.《九章算术》是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,由此估算出堆放的米约有
( )
A.21斛
B.34斛
C.55斛
D.63斛
【解析】选A.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,
则
×2πr=8,解得r=
,所以米堆的体积为
V=
≈33.95,
所以米堆的斛数是
≈21.
【补偿训练】
我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》,其中卷五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题:“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?”其意思是:“今有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少?”若π取3,估算小城堡的体积为
( )
A.1
998立方尺
B.2
012立方尺
C.2
112立方尺
D.2
324立方尺
【解析】选C.设圆柱形城堡的底面半径为r,则由题意得2πr=48,所以r=
≈8尺.又城堡的高h=11尺,所以城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2
112立方尺.
4.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连
接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需
要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直
径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的
(细管长度忽
略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.
这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为
( )
【解析】选A.细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为
h,设圆
锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为
r,
所以细沙的体积为V=
细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径r,设高为h′,则V=
πr2·h′=
πr2h,
得h′=
h.所以
.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2
,则下列叙述正确的是
( )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
【解析】选ABD.在正三棱锥S-ABC中,底面△ABC是边长为3的等边三角形,侧棱
长为SA=SB=SC=2
,取BC中点D,连接SD,AD,过S作SO⊥平面ABC,交AD于O,AD=
所以正三棱锥的高为
SO=
=3,故A正确;
正三棱锥的斜高为SD=
故B正确;
正三棱锥的体积为V=
故C错误;
正三棱锥的侧面积为S=
,故D正确.
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=
a,以下结论正确的有
( )
A.AC⊥BE
B.点A到△BEF所在平面的距离为定值
C.三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
【解析】选AB.对于A,根据题意,AC⊥BD,AC⊥DD1,又因为BD∩DD1=D,所以AC⊥
平面BDD1B1,所以AC⊥BE,故A正确;
对于B,A到平面DD1B1B的距离是定值,
所以点A到△BEF所在平面的距离为定值,故B正确;
对于C,三棱锥A-BEF的体积为
V三棱锥A-BEF=
×EF×BB1×AB×sin
45°=
×a×a×
=
a3,所
以三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的
,故C错误;
对于D,取特例:由图可知,当F与B1重合时,令上底面中心为O,则此时两异面直线所成的角为∠A1AO,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,此时二角不相等,故异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
【光速解题】选项逐一验证,对图形进行充分把握.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形,则该圆柱的体积为________.?
【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则母线长为h,由题意,2πr=h=6,则
r=
.
所以该圆柱的体积为V=π×
答案:
【补偿训练】
长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,则四面体P-CDQ的体积为________.?
【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=abc.
由题意知PD=
c,S△CDQ=
CD·AD=
ab,
所以VP-CDQ=
答案:
V
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别为C1D1,BB1的中点,则△AEF在底面ABCD上投影的面积是________;四棱锥F-ABC1E的体积是________.?
【解析】如图,设E在底面上的射影为G,则G为DC的中点,连接AG,BG,可得△AEF
在底面ABCD上投影的面积是
×2×2=2;由AB⊥平面BCC1B1,可得平面ABC1E⊥
平面BCC1B1,且平面ABC1E∩平面BCC1B1=BC1,
过F作FH⊥BC1,则FH⊥平面ABC1E,
所以
答案:2 1
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5
m,公共面ABCD是边长为1
m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01
m3)?
【解析】由题意知V长方体ABCD-A′B′C′D′=1×1×0.5=0.5(m3),
VP-ABCD=
×1×1×0.5=
(m3),
所以这个漏斗的容积V=
≈0.67(m3).
10.一块边长为12
cm的正三角形薄铁片,按如图所示设计方案,裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角),然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器.
(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数,并标明其定义域;
(2)若加工人员为了充分利用边角料,考虑在加工过程中,使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”.
请指出此时x的值(不用说明理由),并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S.
【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图,求得三棱柱的高
h=
cm,
其底面积S=
x2cm2,
则三棱柱容器的容积V=Sh=
即所求函数关系式为V=
(0(2)此时x=6
cm,而相应棱柱的高h=
cm,
故S侧=3×6×
=18
cm2.温馨提示：
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6.2 柱、锥、台的体积
新课程标准
学业水平要求
1.借助生活中的实物进行演示,理解柱、锥、台的体积的求法.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的体积的求法.
★水平一通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的体积的求法.(直观想象、逻辑推理、数学运算)★水平二会求组合体的体积.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.棱柱和圆柱的体积公式是什么?2.棱锥和圆锥的体积公式是什么?3.棱台和圆台的体积公式是什么?
1.棱柱和圆柱的体积
棱柱和圆柱的体积的计算公式:V柱体=Sh.
其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.
特别地,V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)
2.棱锥和圆锥的体积
棱锥和圆锥的体积的计算公式:V锥体=Sh.
其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
特别地,V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)
3.棱台和圆台的体积
棱台和圆台的体积的计算公式:
V台体=(S上+S下+)h.
S上,S下分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.
特别地,V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′,r分别是上、下底面半径,h是高).
从运动的观点看,棱柱、棱锥、棱台的体积公式有什么关系?
提示:
V棱柱=ShV棱台=(S′++S)hV棱锥=Sh.(其中S为下底面面积,S′为上底面面积,h为高).
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.( )
(2)
棱锥的体积等于底面面积与高之积.( )
(3)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB.( )
(4)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.( )
提示:(1)√.
(2)×.体积公式中缺少了一个.
(3)√.(4)√.
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于( )
A.π
B.2
π
C.4
π
D.8
π
【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.
3.(教材二次开发:练习改编)正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48
B.64
C.16
D.96
【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.
关键能力·合作学习
类型一 圆柱、圆锥、圆台的体积(数学运算、逻辑推理)
1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是( )
A.
B.
C.64π
D.128π
2.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为( )
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
3.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是________.?
【解析】1.选A.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,
所以2r=,即l=r,
由题意得侧面积S侧=πr·l=πr2=16π,
所以r=4.所以l=4,高h==4.
所以圆锥的体积V=Sh=π×42×4=π.
2.选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
3.设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上=πr2=π,S下=πR2=4π,所以r=1,R=2,S侧=π(r+R)l=6π,所以l=2,
所以h=,所以V=π(12+22+1×2)×=π.
答案:π
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出.
(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.
【补偿训练】
如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.
【解析】旋转得到一个圆锥和圆台的组合体,
V圆锥=π×22×2=π,
V圆台=π×1×(22+12+2×1)=π,
所以V=V圆锥+V圆台=5π.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算、逻辑推理)
【典例】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A.4
B.
C.
D.3
【思路导引】判断几何体的形状,利用棱锥的体积转化求解即可.
【解析】选B.由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成,四棱锥底面四边形面积为正方形面积的一半为2,高为正方体棱长的一半为1,
所以V=×2×1×2=.
求几何体体积的常用方法
如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
【解析】=,
因为=EA1·A1D1=a2,
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,
所以=×a×a2=a3,
所以=a3.
【拓展延伸】
棱柱、棱锥、棱台的体积与数学文化的融合
历史文明与数学文化的结合现在越来越密切,所以用学过的数学知识来求解历史文化中的问题也越来越普遍,特别是求解历史上有名的物体的体积.
【拓展训练】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为( )
A.
B.
C.39
D.
【解析】选B.设下底面的长宽分别为x,y,
则2(x+y)=18,所以x+y=9,y=9-x,x≥9-x,即x≥,
所以该“刍童”的体积为V=×3[2(6+x)+(2x+3)y]=(30+2xy+y)=(-2x2+17x+39)
=-x-2+,
所以当x=时,该“刍童”的体积取最大值.
Vmax=--2+=.
类型三 柱、锥、台体积的实际应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 柱、锥、台体积的实际应用?
【典例】(2020·江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm,高为2
cm,内孔半径为0.5
cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.?
【思路导引】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.
【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V,正六棱柱的体积为V1,圆柱的体积为V2,则V1=6××2×2×sin
60°×2=12(cm3),V2=π×(0.5)2×2=(cm3),
所以V=V1-V2=12-(cm3).
答案:
角度2 空间几何体的体积和表面积的最值问题?
【典例】如图,已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.
(1)求出此圆锥的侧面积;
(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式;
(3)当此圆柱的侧面积最大时,求此圆柱的体积.
【思路导引】(1)求出圆锥的母线长,计算圆锥的侧面积;
(2)利用相似三角形求出圆柱的底面圆半径r,计算圆柱的侧面积;
(3)利用二次函数的性质求出圆柱侧面积取最大值时x的值,再计算对应圆柱的体积.
【解析】(1)圆锥的底面半径R与高H均为2,则圆锥的母线长为L=2,所以圆锥的侧面积为S圆锥侧=πRL=π×2×2=4π.
(2)设圆柱的半径为r,
则=,解得r=2-x,且0所以圆柱的侧面积为S圆柱侧=2πrx=2π(2-x)x
=-2πx2+4πx(0(3)S圆柱侧=-2πx2+4πx=2π[-(x-1)2+1],0当x=1时,S圆柱侧取得最大值为2π,
此时r=1,圆柱的体积为V圆柱=πr2x=π·12·1=π.
求与最值有关的体积和表面积,要将体积或表面积表示成相关量的函数,利用函数的最值确定取值,进而求最值.
1.将两个棱长为10
cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5
cm的正四棱柱,则该四棱柱的高为( )
A.8
cm
B.80
cm
C.40
cm
D.
cm
【解析】选B.设正四棱柱的高为h
cm,依题意得5×5×h=2×103,解得h=80(cm).
2.(2018·全国Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.?
【解析】如图,设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,所以l=r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=r2,
AB=r,AB边上的高为=r,因为△SAB的面积为5,
所以·r·r=5,解得r=2,
所以该圆锥的侧面积为πrl=πr2=40π.
答案:40π
3.一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位:米),浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计,精确到0.01立方米)?
【解析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底=0.6×1.1-×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米),
V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
【补偿训练】
一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1如图所示,H,J分别是C1D1,BB1的中点,由于某种原因,在D,H,J三点处各有一个小洞,为使此容器内存水最多,问容器中水的上表面的形状是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.如图,连接DH并延长交CC1
的延长线于S,连接SJ交B1C1于K,延长SJ交CB的延长线于T,连接DT交AB于G,则五边形DGJKH为过三点D,H,J的平面被正方体ABCD-A1B1C1D1所截得的平面图形,所以为使此容器内存水最多,容器中水的上表面的形状是五边形.
课堂检测·素养达标
1.如图,ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为VC-A′B′C′=VABC-A′B′C′=,所以VC-AA′B′B=1-=.
2.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,点E是棱BB1的中点,点F是棱CC1上靠近C1的三等分点,且三棱锥A1-AEF的体积为2,则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为( )
A.12
B.8
C.20
D.18
【解析】选A.设点F到平面ABB1A1的距离为h,
由题意得==·h
=×AA1·AB·h=(AA1·AB)·h
=··h=,
所以=6=6×2=12.
所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为12.
3.(教材二次开发:习题改编)若长方体的长、宽、高分别为3
cm,4
cm,5
cm,则长方体的体积为( )
A.27
cm3
B.60
cm3
C.64
cm3
D.125
cm3
【解析】选B.V长方体=3×4×5=60(cm3).
4.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B1-ABC的体积为________.?
【解析】由题意,锥体的高为BB1,底面积S△ABC=,所以=Sh=××3=.
答案:
5.已知圆台的母线长为13
cm,两底面面积分别为4π
cm2和49π
cm2,则该圆台的体积为__________.?
【解析】如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,
由上、下底面面积分别为4π
cm2,49π
cm2得,
上底半径O1A=2
cm,下底半径OB=7
cm,
又因为腰长为13
cm,
所以圆台的高AM==12(cm),
所以圆台的体积V台=(S上++S下)h
=(4π++49π)×12=268π(cm3).
答案:268π
cm3
课时素养评价
四十九 柱、锥、台的体积
(15分钟 30分)
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为2,2,3,则长方体的体积与表面积分别为( )
A.12,32
B.12,24
C.22,12
D.12,11
【解析】选A.V=2×2×3=12,S=2×(2×2)+2×(2×3)+2×(2×3)=32.
【补偿训练】
若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是( )
A.12π B.6π C.4π D.3π
【解析】选A.由已知圆锥的高h=4,
所以V圆锥=π×32×4=12π.
2.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于( )
A.6+
B.3+2
C.6+2
D.6
【解析】选C.V棱台=×(2+4+)×3
=×3×(6+2)=6+2.
3.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的,且其轴截面的周长为24,则该圆柱的体积为( )
A.16π
B.27π
C.36π
D.54π
【解析】选D.设圆柱的高为h,底面圆半径为r,
因为圆柱的侧面积等于其表面积的,
且其轴截面的周长为24,
所以
解得r=3,h=6,
所以该圆柱的体积为V=πr2h=π×32×6=54π.
4.已知圆柱的底面周长为c,侧面展开图矩形的面积为S,则它的体积为________.?
【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,
则
所以r=,h=,
所以V=πr2h=π×2·=.
答案:
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2,则V1∶V2=________.?
【解析】===.
答案:1∶24
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的高为6
cm,底面三角形的边长分别为3
cm,4
cm,
5
cm.以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的表面积和体积.
【解析】因为32+42=52,
所以底面是直角三角形.
所以上、下底面内切圆半径r==1(cm).
所以S表=(3+4+5)×6+2××3×4-2π×12+2π×1×6=72+12-2π+12π=(84+10π)(cm2),
V=×3×4×6-π×12×6=(36-6π)(cm3).
故剩余部分形成几何体的表面积是(84+10π)(cm2),
体积是(36-6π)(cm3).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形,四棱锥的高为3,则该四棱锥的体积为( )
A.12
B.24
C.4
D.30
【解析】选C.由题意得四棱锥的底面积为S=×2×4=4.故四棱锥的体积V=Sh=×4×3=4.
2.《九章算术》卷五《商功》记载一个问题:“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=×(底面圆的周长的平方×高)则由此可推得圆周率π的取值为( )
A.3
B.3.1
C.3.14
D.3.2
【解析】选A.因为圆堡瑽(圆柱体)的体积为V=×(底面圆的周长的平方×高),
所以×(2πr)2×h=πr2×h,解得π=3.
3.《九章算术》是我国古代数学著作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,由此估算出堆放的米约有( )
A.21斛
B.34斛
C.55斛
D.63斛
【解析】选A.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,
则×2πr=8,解得r=,所以米堆的体积为
V=××πr2×5=≈33.95,
所以米堆的斛数是≈21.
【补偿训练】
我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》,其中卷五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题:“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?”其意思是:“今有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少?”若π取3,估算小城堡的体积为( )
A.1
998立方尺
B.2
012立方尺
C.2
112立方尺
D.2
324立方尺
【解析】选C.设圆柱形城堡的底面半径为r,则由题意得2πr=48,所以r=≈8尺.又城堡的高h=11尺,所以城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2
112立方尺.
4.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度(h)的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h,设圆锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为r,
所以细沙的体积为V=π·r2·h
=πr2h.
细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径r,设高为h′,则V=πr2·h′=πr2h,
得h′=h.所以=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥高为3
B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为
D.正三棱锥的侧面积为
【解析】选ABD.在正三棱锥S-ABC中,底面△ABC是边长为3的等边三角形,侧棱长为SA=SB=SC=2,取BC中点D,连接SD,AD,过S作SO⊥平面ABC,交AD于O,AD==,AO=AD=×=,
所以正三棱锥的高为
SO===3,故A正确;
正三棱锥的斜高为SD=
==,故B正确;
正三棱锥的体积为V=S△ABC·SO=××3××3=,故C错误;
正三棱锥的侧面积为S=3××3×=,故D正确.
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=a,以下结论正确的有( )
A.AC⊥BE
B.点A到△BEF所在平面的距离为定值
C.三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
【解析】选AB.对于A,根据题意,AC⊥BD,AC⊥DD1,又因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BE,故A正确;
对于B,A到平面DD1B1B的距离是定值,
所以点A到△BEF所在平面的距离为定值,故B正确;
对于C,三棱锥A-BEF的体积为
V三棱锥A-BEF=××EF×BB1×AB×sin
45°=××a×a×a×=a3,所以三棱锥A-BEF的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的,故C错误;
对于D,取特例:由图可知,当F与B1重合时,令上底面中心为O,则此时两异面直线所成的角为∠A1AO,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,此时二角不相等,故异面直线AE,BF所成角不是定值,故错误.
【光速解题】选项逐一验证,对图形进行充分把握.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形,则该圆柱的体积为________.?
【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则母线长为h,由题意,2πr=h=6,则r=.
所以该圆柱的体积为V=π×2×6=.
答案:
【补偿训练】
长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,则四面体P-CDQ的体积为________.?
【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=abc.
由题意知PD=c,S△CDQ=CD·AD=ab,
所以VP-CDQ=S△CDQ·PD=×ab×c=abc=V.
答案:V
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,E,F分别为C1D1,BB1的中点,则△AEF在底面ABCD上投影的面积是________;四棱锥F-ABC1E的体积是________.?
【解析】如图,设E在底面上的射影为G,则G为DC的中点,连接AG,BG,可得△AEF在底面ABCD上投影的面积是×2×2=2;由AB⊥平面BCC1B1,可得平面ABC1E⊥平面BCC1B1,且平面ABC1E∩平面BCC1B1=BC1,
过F作FH⊥BC1,则FH⊥平面ABC1E,
所以=×(1+2)×2×=1.
答案:2 1
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5
m,公共面ABCD是边长为1
m的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01
m3)?
【解析】由题意知V长方体ABCD-A′B′C′D′=1×1×0.5=0.5(m3),
VP-ABCD=×1×1×0.5=(m3),
所以这个漏斗的容积V=+=≈0.67(m3).
10.一块边长为12
cm的正三角形薄铁片,按如图所示设计方案,裁剪下三个全等的四边形(每个四边形中有且只有一组对角为直角),然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器.
(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数,并标明其定义域;
(2)若加工人员为了充分利用边角料,考虑在加工过程中,使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”.
请指出此时x的值(不用说明理由),并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S.
【解析】(1)结合平面图形数据及三棱柱直观图,求得三棱柱的高h=6-cm,
其底面积S=x2cm2,
则三棱柱容器的容积V=Sh=x2·6-
=6-=-+x2,
即所求函数关系式为V=-+x2(0(2)此时x=6
cm,而相应棱柱的高h=
cm,
故S侧=3×6×=18
cm2.
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