(共88张PPT)
6.3 球的表面积和体积
必备知识·自主学习
1.球的相关概念
(1)球的大圆
球面被经过_____的平面截得的圆称为球的大圆.
(2)球的小圆
球面被不经过_____的平面截得的圆称为球的小圆.
导思
1.球的表面积公式是什么?
2.球的体积公式是什么?
球心
球心
(3)直线与球相切
直线与球有唯一_____时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.
(4)切线长
过球外一点的所有切线的切线长都_____.
2.球的表面积和体积公式
S球面=_____,V球=________.其中R为球的半径.
交点
相等
4πR2
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直.( )
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数.( )
提示:(1)√ (2)
√
2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的
体积为( )
A.
Q
B.Q
C.
Q
D.2Q
【解析】选C.4πR2=64π?R=4,所以V=
QR=
Q.
3.(教材二次开发:习题改编)已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长
为2,则这个球的表面积为( )
A.12π
B.16π
C.20π
D.24π
【解析】选A.正方体的棱长为2,正方体的体对角线的长为2
,即正方体外接
球的直径为2
,半径为
.所以球的表面积为S=4
π(
)2=12
π.
关键能力·合作学习
类型一 球的表面积(数学运算)
【题组训练】
1.若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是( )
D.2πC2
2.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A.S正方体>S球
B.S正方体C.S正方体=S球
D.无法确定
3.一个球受热膨胀,表面积增加21%,那么球的半径增加了( )
【解析】1.选C.由2πR=C,得R=
,
所以S球面=4πR2=
.
2.选A.设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意,得V=
πR3=a3,
所以
所以S正方体=6a2=
S球=4πR2=
3.选D.设因膨胀半径由r变为R,
则4πr2·(1+21%)=4πR2,
所以R=
所以球的半径增加了
.
【解题策略】
把握住球的表面积公式S球面=4
πR2是计算球的表面积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
【补偿训练】
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为( )
A.8
π B.8π C.4
π D.4π
【解析】选B.设截面圆的半径为r,球的半径为R,πr2=π,r=1,R2=r2+d2=1+1=2,
所以S球面=4πR2=4π×2=8π.
类型二 球的体积(数学运算)
【典例】一个球内有相距9
cm的两个平行截面,它们的面积分别为49
π
cm2和400π
cm2,求球的体积和表面积.
【思路导引】分截面在球心的同侧和截面在球心的两侧两种情况讨论.
【解析】
(1)当截面在球心的同侧时,如图①所示为球的轴截面,由截面性质知AO1∥BO2,O1,O2为两截面圆的圆心,且OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,
设球的半径为R,因为πO2B2=49π,
所以O2B=7
cm,同理得O1A=20
cm.设OO1=x
cm,
则OO2=(x+9)
cm,
在Rt△O1OA中,R2=x2+202,①
在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2,②
联立①②可得x=15,R=25.
所以S球=4πR2=2
500π
cm2,
V球=
(2)当截面在球心的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的截面性质知,O1A∥O2B,O1,O2分别为两截面圆的圆心,且OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.
设球的半径为R,因为π·O2B2=49π,
所以O2B=7
cm.因为π·O1A2=400π,
所以O1A=20
cm.
设O1O=x
cm,则OO2=(9-x)cm.
在Rt△OO1A中,R2=x2+400,
在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49,
所以
x2+400=(9-x)2+49,
解得x=-15(不合题意,舍去).
综上所述,球的表面积为2
500π
cm2.
球的体积为
cm3.
【解题策略】
1.把握住球的体积公式V球=
πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心
是确定球的条件.把握住公式,球的体积计算的相关题目也就迎刃而解了.
2.设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的
直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形求解,并常用过球心和截
面圆心的轴截面.
【跟踪训练】
已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的
,且AC=8,BC=6,
AB=10,求球的表面积与球的体积.
【解析】如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=
R.在△ABC中,
因为AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以O1是AB的中点,即O1B=O1A=5.
又
+O1A2=OA2,
所以
+52=R2,所以R2=100,R=10.
所以球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,
球的体积V球=
类型三 球的切接问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 内切球的体积及表面积?
【典例】球与棱长为2的正方体的面都相切,求此球的体积.
【思路导引】正方体内切球的半径是正方体的棱长.
【解析】正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,
经过四个切点及球心作截面,
如图:
所以球的直径是正方体的棱长,
即2R=2,所以R=1,所以球的体积V=
.
【变式探究】
将条件改为“球与棱长为
的正四面体的每一个面都相切”,该如何求解.
【解析】如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心O1,连接SO1,O1A,则SO1⊥O1A.
又AO1=
所以SO1=
.
所以正四面体的体积V=
设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC.
所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC=
所以r=
,
所以球的体积V球=
角度2 外接球的体积和表面积?
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )
A.64π
B.48π
C.36π
D.32π
【思路导引】由已知可得等边△ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球的截面性质,求出球的半径,即可得出结论.
【解析】选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,
得πr2=4π,所以r=2,
由正弦定理可得AB=2rsin
60°=2
,
所以OO1=AB=2
,
根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA=
=4,
所以球O的表面积S=4πR2=64π.
【解题策略】
1.解决与球有关的“切”“接”问题关键是把空间问题平面化.
(1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,通过作截面来解决.
(2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
2.球与其他几何体切接问题一般有下列结论
(1)长方体的8个顶点在同一球面上,则长方体的体对角线是球的直径.
(2)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长.
(3)球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.
(4)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
(5)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
【题组训练】
1.已知底面半径为1,高为
的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则此
球的表面积为( )
【解析】选D.设球的半径为R,由于圆锥的高h=
,
底面圆的半径r=1,
所以R2=(R-h)2+r2,即R2=(R-
)2+1,
解得R=
,所以该球的表面积
S=4πR2=4π×
2.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为
,则该半球的
表面积为________.?
【解析】如图,连接AC,BD交点为O,设球的半径为r,
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r.
则AB=
r,四棱锥的体积为
V=
,解得r=
,
所以该半球的表面积为
S=
×4πr2+πr2=3πr2=6π.
答案:6π
备选类型 球的实际应用(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8
cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计杯子使其所用材料面积最小,并求面积的最小值.
【思路导引】由题意知V圆锥≥V半球,列不等式求出高h的取值范围,再计算圆锥
的侧面积S圆锥侧的最小值.
【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,
必须有V圆锥≥V半球,而V半球=
V圆锥=
Sh=
πr2h=
π×42×h,
则有
π×42×h≥
π×43,解得h≥8.
即当圆锥形杯子的高大于或等于8
cm时,
冰淇淋融化后不会溢出杯子;
又因为S圆锥侧=πrl=πr·
=4π
,
所以当高为8
cm时,制造的杯子最省材料,
最小值是16
π
cm2.
答案:16
π
cm2
【解题策略】
利用球来解决问题,要把握住球的体积和表面积在具体问题中的对应量.
【跟踪训练】
圆柱形容器的内壁底半径是10
cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出
这个铁球(水的损耗不计),测得容器的水面下降了
cm,则这个铁球的表面
积为( )
A.50π
cm2
B.500π
cm2
C.
cm2
D.100π
cm2
【解析】选D.设实心铁球的半径为R,则
πR3=π×102×
,解得R=5,故这个
铁球的表面积为S=4πR2=100π
cm2.
1.已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上,且该正三棱柱的底面边长为2,高
为
,则球O的表面积为( )
A.
B.5π
C.
D.25π
课堂检测·素养达标
【解析】选C.由题意可知,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球
心,底面中心到顶点的距离为r=
.正三棱柱的高为h=
,
所以外接球的半径为R=
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×
2.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为( )
A.1
B.3
C.2
D.
【解析】选B.4πR2=
πR3,R=3.
3.(教材二次开发:习题改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球
的表面积为( )
A.12π
B.
C.8π
D.4π
【解析】选A.由正方体的体积为8可知,正方体的棱长a=2.又正方体的体对角
线是其外接球的一条直径,即2R=
a(R为正方体外接球的半径),所以R=
,
故所求球的表面积S=4πR2=12π.
4.一个底面直径是32
cm的圆柱形水桶装入一些水,将一个球放入桶内完全淹
没,水面上升了9
cm且无溢出,则这个球的表面积是________.?
【解析】上升的水的体积即为球的体积,
即
πR3,解得R=12,
故这个球的表面积S球=4π×R2=4π×122=576π.
答案:576π
cm2
5.如图,已知正三棱柱底面边长是2,外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为________.?
【解析】因为该三棱柱外接球的表面积是16π,
所以该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2,
所以底面三角形的外接圆半径
r=
所以该三棱柱的侧棱长是
答案:
五十 球的表面积和体积
基础通关—水平一
(15分钟 30分)
1.圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是
( )
A.
cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
课时素养评价
【解析】选D.设球的半径为r,则V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.
【补偿训练】
已知正方体外接球的体积是
π,则此正方体的棱长为
( )
【解析】选C.因为该正方体外接球的体积是
π,
则该正方体外接球的半径R=2,正方体的体对角线的长为4,棱长等于
.
2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,
则此三棱锥的外
接球的表面积为
( )
A.6π
B.12π
C.18π
D.24π
【解析】选A.由题意,三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,
看成是长方体的长宽高分别为1,
所以长方体的外接球半径R=
所以此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=6π.
3.
(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为
的等边三角形,且其顶点都在球O
的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为
( )
【解析】选C.设△ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径
为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=
,可得a=3,于是r=
,由题知,球
O的表面积为16π,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.
4.面积为
的正六边形的六个顶点都在球O的球面上,球心O到正六边形所在
平面的距离为
,则球O的表面积为________.?
【解析】如图△O′AB是正六边形的六分之一,
为正三角形,设其边长为a,
则6×
,解得a=1,
所以OB=
,所以S球=4π×OB2=
π.
答案:
π
5.中国古代数学经典《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鐅臑.若三棱锥P-ABC为鐅臑,且PA⊥平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB⊥BC,则该鐅臑的外接球的表面积为__________.?
【解析】因为AB⊥BC,所以,直角三角形ABC的外接圆直径为AC=
=5,
由于PA⊥平面ABC,则该鐅臑的外接球的直径为2R=
因此,该鐅臑的外接球的表面积为
4πR2=π×(2R)2=29π.
答案:29π
6.一倒置圆锥体的母线长为10
cm,底面半径为6
cm.
(1)求圆锥体的高;
(2)一球刚好放进该圆锥体中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.
【解析】(1)设圆锥体的高为h,底面半径为R,母线长为l,则h=
=8(cm).
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示,设球的半径为r,由△OCD∽△ACO1得,
所以
,解得r=3.
圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积,即V圆锥-V球=
×π×62×8-
π×33
=96π-36π=60π(cm3).
能力进阶—水平二
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为
( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【解析】选B.按旋转体的定义得到的是选项B所描述的几何体.
2.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则
该圆柱的体积是
( )
A.π
B.
C.
D.6π
【解析】选D.如图所示,
圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,
所以该圆柱底面圆周半径为r=
所以该圆柱的体积为:V=Sh=π·(
)2·2=6π.
3.一个棱长为6
的正四面体内部有一个任意旋转的正方体,当正方体的棱
长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是
( )
A.4π
B.6π
C.12π
D.24π
【解析】选C.因为正方体在正四面体内部任意旋转,当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球即为正四面体的内切球.
点O为正四面体内切球的圆心,连接PO并延长交底面ABC于点D,点D是底面三角形ABC的中心,
所以PD⊥底面ABC,所以OD为该正四面体内切球的半径.
连接BO,则BO=OP.
在Rt△BDP中,BD=
PD=
在Rt△BDO中,
OB2=(PD-OB)2+BD2得OB=3
,所以OD=
,即正四面体的内切球半径为
,
即正方体的外接球半径为
.
所以当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是S=4πr2=4π×(
)2=12π.
【补偿训练】
设四棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱长为2,底面是边长为3的等边三角形,则该三棱柱外接球的体积为
( )
【解析】选A.设三棱柱外接球的球心为O,球半径为r,三棱柱的底面三角形ABC
的中心为D,
如图,有OA=r.由于三棱柱的高为2,所以OD=1.
又在正三角形ABC中,AB=3,则AD=
,
所以在直角三角形ADO中,OA2=OD2+AD2,有r2=12+(
)2,所以r=2,
则这个三棱柱的外接球的体积为
V=
4.两个半径都是r(r>1)的球O1和球O2相切,且均与直二面角α-l-β的两个半平面都相切,另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切,同时与球O1和球O2都外切,则r的值为
( )
【解析】选D.如图所示,过点O1,O2分别作O1M⊥l,O2N⊥l,垂足分别为点M,N,过点
O分别作OA⊥l,OB⊥O1O2,
则|O1M|=|O2N|=
r,
|OA|=
,|O1B|=|O2B|=r,
|OO1|=|OO2|=r+1,
|OB|=
|AB|=|OA|+|OB|=
所以
等式两边平方得2r+1=2r2-4r+2,
化简得2r2-6r+1=0,由于r>1,
解得r=
.
【误区警示】一定要画出正确的截面图.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是图中的
( )
【解析】选AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧棱相离.
6.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的说法正确的是
( )
A.半径是3
B.体积为18π
C.表面积为27π
D.表面积为18π
【解析】选ABC.由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对
角线为球的直径2R,
所以正方形的边长a=
所以方锥的体积V=
·R=18,
解得R=3,所以A选项正确;所以半球的表面积为S=
·4πR2+πR2=3πR2=27π,
所以C选项正确;
半球体积为球的体积的一半,即V半球=
πR3=18π,B选项正确.
【光速解题】选项逐一验证,计算准确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是__________.
?
【解析】设大球的半径为R,则有
πR3=2×
π×13,R3=2,所以R=
.
答案:
8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,则该三棱锥的外接球的表
面积为________,该三棱锥的体积的最大值为________.
【解析】因为在三棱锥A-BCD中AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,所以AC=
取AC中点O,连接OB,OD,
则OA=OB=OC=OD=
,
所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,
球半径r=
,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=4×π×
=5π.
当平面ADC⊥平面ABC时,
三棱锥A-BCD的体积最大,
设D到平面ABC的距离为h,
则
×AD×DC=
×AC×h,
解得h=
所以该三棱锥的体积的最大值为:
V=
×S△ABC×h=
×
×AB×BC×h
=
答案:5π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.
【解析】因为AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形,
其外接圆为过A,B,C的平面截球所得截面,
2r=30,r=15.由题意得
+152=R2,
解得R2=300,R=10
.
所以S=4πR2=1
200π,
V=
10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3
dm,水面直径2
dm,放入一个铁球后,
水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积.
【解析】设铁球的半径为r,则放入铁球后水深为3r,上底面半径为
r,此时
铁球与水的体积和为
·π·(
r)2·3r=3
πr3.原来水的体积为
·π·(
)2·3=3
π,铁球的体积为
πr3,
则3
π+
πr3=3πr3,解得r3=
.
所以铁球的体积V=
所以该铁球的体积为
.
【创新迁移】
1.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为
、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内
接于球O,已知OA⊥OB,AC⊥BC,则三棱锥V-ABC的体积的最大值为________.?
【解析】圆锥的母线长为
设球O的半径为r,则
,解得r=1.
因为OA⊥OB,OA=OB=1,所以AB=
,
因为AC⊥BC,所以C在以AB为直径的圆上,
所以当平面OAB⊥平面ABC时,
O到平面ABC的距离最大为
,
故V到平面ABC的最大距离为
+1.
又C到AB的最大距离为
,△ABC面积最大为
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为
.
答案:
2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上.
若圆锥的底面面积是这个球表面积的
,则这两个圆锥中,体积较小者与体
积较大者的高的比值为多少?
【解析】该几何体的轴截面如图,
设球的半径为R,圆锥底面半径为r,
由题意得πr2=
×4πR2,所以r=
R.
所以OO1=
体积较小的圆锥的高AO1=R-
R=
R,
体积较大的圆锥的高BO1=R+
R=
R,
所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
.温馨提示：
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6.3 球的表面积和体积
新课程标准
学业水平要求
了解并掌握球的体积和表面积公式.
★水平一通过对球的研究,掌握球的表面积和体积的求法.(直观想象、逻辑推理、数学运算)★水平二掌握与球有关的切接问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.球的表面积公式是什么?2.球的体积公式是什么?
1.球的相关概念
(1)球的大圆
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆.
(2)球的小圆
球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
(3)直线与球相切
直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点.
(4)切线长
过球外一点的所有切线的切线长都相等.
2.球的表面积和体积公式
S球面=4πR2,V球=.其中R为球的半径.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直.( )
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数.( )
提示:(1)√ (2)
√
2.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的体积为( )
A.Q
B.Q
C.Q
D.2Q
【解析】选C.4πR2=64π?R=4,所以V=QR=Q.
3.(教材二次开发:习题改编)已知各个顶点都在同一个球面上的正方体的棱长为2,则这个球的表面积为( )
A.12π
B.16π
C.20π
D.24π
【解析】选A.正方体的棱长为2,正方体的体对角线的长为2,即正方体外接球的直径为2,半径为.所以球的表面积为S=4
π()2=12
π.
关键能力·合作学习
类型一 球的表面积(数学运算)
1.若球的过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是( )
A.
B.
C.
D.2πC2
2.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A.S正方体>S球
B.S正方体C.S正方体=S球
D.无法确定
3.一个球受热膨胀,表面积增加21%,那么球的半径增加了( )
A.
B.
C.
D.
【解析】1.选C.由2πR=C,得R=,
所以S球面=4πR2=.
2.选A.设正方体的棱长为a,球的半径为R,由题意,得V=πR3=a3,所以a=,R=,
所以S正方体=6a2=6=,
S球=4πR2=<.
3.选D.设因膨胀半径由r变为R,
则4πr2·(1+21%)=4πR2,
所以R==r=r1+,
所以球的半径增加了.
把握住球的表面积公式S球面=4
πR2是计算球的表面积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.
【补偿训练】
一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为( )
A.8π
B.8π
C.4π
D.4π
【解析】选B.设截面圆的半径为r,球的半径为R,πr2=π,r=1,R2=r2+d2=1+1=2,所以S球面=4πR2=4π×2=8π.
类型二 球的体积(数学运算)
【典例】一个球内有相距9
cm的两个平行截面,它们的面积分别为49
π
cm2和400π
cm2,求球的体积和表面积.
【思路导引】分截面在球心的同侧和截面在球心的两侧两种情况讨论.
【解析】
(1)当截面在球心的同侧时,如图①所示为球的轴截面,由截面性质知AO1∥BO2,O1,O2为两截面圆的圆心,且OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,
设球的半径为R,因为πO2B2=49π,
所以O2B=7
cm,同理得O1A=20
cm.设OO1=x
cm,
则OO2=(x+9)
cm,
在Rt△O1OA中,R2=x2+202,①
在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2,②
联立①②可得x=15,R=25.
所以S球=4πR2=2
500π
cm2,
V球=πR3=
cm3.
(2)当截面在球心的两侧时,如图②所示为球的轴截面,由球的截面性质知,O1A∥O2B,O1,O2分别为两截面圆的圆心,且OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.
设球的半径为R,因为π·O2B2=49π,
所以O2B=7
cm.因为π·O1A2=400π,
所以O1A=20
cm.
设O1O=x
cm,则OO2=(9-x)cm.
在Rt△OO1A中,R2=x2+400,
在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49,
所以
x2+400=(9-x)2+49,
解得x=-15(不合题意,舍去).
综上所述,球的表面积为2
500π
cm2.
球的体积为
cm3.
1.把握住球的体积公式V球=
πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积计算的相关题目也就迎刃而解了.
2.设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形,解答球的截面问题时,常用该直角三角形求解,并常用过球心和截面圆心的轴截面.
已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的,且AC=8,BC=6,
AB=10,求球的表面积与球的体积.
【解析】如图,设球的半径为R,球心为O,截面圆心为O1,则OO1=R.在△ABC中,因为AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,所以O1是AB的中点,即O1B=O1A=5.
又O+O1A2=OA2,
所以R2+52=R2,所以R2=100,R=10.
所以球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π,
球的体积V球=πR3=π×103=π.
类型三 球的切接问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 内切球的体积及表面积?
【典例】球与棱长为2的正方体的面都相切,求此球的体积.
【思路导引】正方体内切球的半径是正方体的棱长.
【解析】正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,
经过四个切点及球心作截面,
如图:
所以球的直径是正方体的棱长,
即2R=2,所以R=1,所以球的体积V=.
将条件改为“球与棱长为的正四面体的每一个面都相切”,该如何求解.
【解析】如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心O1,连接SO1,O1A,则SO1⊥O1A.
又AO1=××=1.
所以SO1=.
所以正四面体的体积V=××()2×=.
设内切球球心为O,半径为r,连接OS,OA,OB,OC.
所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC=×4××()2×r=r=,所以r=,
所以球的体积V球=r3=×3=.
角度2 外接球的体积和表面积?
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )
A.64π
B.48π
C.36π
D.32π
【思路导引】由已知可得等边△ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球的截面性质,求出球的半径,即可得出结论.
【解析】选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,
得πr2=4π,所以r=2,
由正弦定理可得AB=2rsin
60°=2,
所以OO1=AB=2,
根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA===4,
所以球O的表面积S=4πR2=64π.
1.解决与球有关的“切”“接”问题关键是把空间问题平面化.
(1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时要找准切点,通过作截面来解决.
(2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
2.球与其他几何体切接问题一般有下列结论
(1)长方体的8个顶点在同一球面上,则长方体的体对角线是球的直径.
(2)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长.
(3)球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.
(4)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
(5)球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.
1.已知底面半径为1,高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,则此球的表面积为( )
A.
B.12π
C.4π
D.
【解析】选D.设球的半径为R,由于圆锥的高h=,
底面圆的半径r=1,
所以R2=(R-h)2+r2,即R2=(R-)2+1,
解得R=,所以该球的表面积
S=4πR2=4π×2=.
2.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的表面积为________.?
【解析】如图,连接AC,BD交点为O,设球的半径为r,
由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r.
则AB=r,四棱锥的体积为
V=×(r)2×r=,解得r=,
所以该半球的表面积为
S=×4πr2+πr2=3πr2=6π.
答案:6π
备选类型 球的实际应用(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8
cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计杯子使其所用材料面积最小,并求面积的最小值.
【思路导引】由题意知V圆锥≥V半球,列不等式求出高h的取值范围,再计算圆锥的侧面积S圆锥侧的最小值.
【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,
必须有V圆锥≥V半球,而V半球=×πr3=π×43,
V圆锥=Sh=πr2h=π×42×h,
则有π×42×h≥π×43,解得h≥8.
即当圆锥形杯子的高大于或等于8
cm时,
冰淇淋融化后不会溢出杯子;
又因为S圆锥侧=πrl=πr·=4π,
所以当高为8
cm时,制造的杯子最省材料,
最小值是16π
cm2.
答案:16π
cm2
利用球来解决问题,要把握住球的体积和表面积在具体问题中的对应量.
圆柱形容器的内壁底半径是10
cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球(水的损耗不计),测得容器的水面下降了
cm,则这个铁球的表面积为( )
A.50π
cm2
B.500π
cm2
C.
cm2
D.100π
cm2
【解析】选D.设实心铁球的半径为R,则πR3=π×102×,解得R=5,故这个铁球的表面积为S=4πR2=100π
cm2.
课堂检测·素养达标
1.已知正三棱柱的所有顶点都在球O的球面上,且该正三棱柱的底面边长为2,高为,则球O的表面积为( )
A.
B.5π
C.
D.25π
【解析】选C.由题意可知,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,底面中心到顶点的距离为r=×.正三棱柱的高为h=,
所以外接球的半径为R==,
所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×=.
2.若球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径为( )
A.1
B.3
C.2
D.
【解析】选B.4πR2=πR3,R=3.
3.(教材二次开发:习题改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12π
B.
C.8π
D.4π
【解析】选A.由正方体的体积为8可知,正方体的棱长a=2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径,即2R=a(R为正方体外接球的半径),所以R=,故所求球的表面积S=4πR2=12π.
4.一个底面直径是32
cm的圆柱形水桶装入一些水,将一个球放入桶内完全淹没,水面上升了9
cm且无溢出,则这个球的表面积是________.?
【解析】上升的水的体积即为球的体积,
即π2×9=πR3,解得R=12,
故这个球的表面积S球=4π×R2=4π×122=576π.
答案:576π
cm2
5.如图,已知正三棱柱底面边长是2,外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为________.?
【解析】因为该三棱柱外接球的表面积是16π,
所以该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2,
所以底面三角形的外接圆半径
r==,
所以该三棱柱的侧棱长是2=.
答案:
课时素养评价
五十 球的表面积和体积
(15分钟 30分)
1.圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( )
A.cm
B.2
cm
C.3
cm
D.4
cm
【解析】选D.设球的半径为r,则V水=8πr2,V球=4πr3,加入小球后,液面高度为6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.
【补偿训练】
已知正方体外接球的体积是π,则此正方体的棱长为( )
A.1 B. C. D.
【解析】选C.因为该正方体外接球的体积是π,
则该正方体外接球的半径R=2,正方体的体对角线的长为4,棱长等于.
2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,,,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.6π
B.12π
C.18π
D.24π
【解析】选A.由题意,三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,,,
看成是长方体的长宽高分别为1,,,
所以长方体的外接球半径R==,
所以此三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=6π.
3.
(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选C.设△ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=a2=,可得a=3,于是r=,由题知,球O的表面积为16π,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.
4.面积为的正六边形的六个顶点都在球O的球面上,球心O到正六边形所在平面的距离为,则球O的表面积为________.?
【解析】如图△O′AB是正六边形的六分之一,
为正三角形,设其边长为a,
则6×a2=,解得a=1,
所以OB=,所以S球=4π×OB2=π.
答案:π
5.中国古代数学经典《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鐅臑.若三棱锥P-ABC为鐅臑,且PA⊥平面ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB⊥BC,则该鐅臑的外接球的表面积为__________.?
【解析】因为AB⊥BC,所以,直角三角形ABC的外接圆直径为AC==5,
由于PA⊥平面ABC,则该鐅臑的外接球的直径为2R==,
因此,该鐅臑的外接球的表面积为
4πR2=π×(2R)2=29π.
答案:29π
6.一倒置圆锥体的母线长为10
cm,底面半径为6
cm.
(1)求圆锥体的高;
(2)一球刚好放进该圆锥体中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.
【解析】(1)设圆锥体的高为h,底面半径为R,母线长为l,则h===8(cm).
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示,设球的半径为r,由△OCD∽△ACO1得,=.
所以=,解得r=3.
圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积,即V圆锥-V球=×π×62×8
-π×33
=96π-36π=60π(cm3).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
【解析】选B.按旋转体的定义得到的是选项B所描述的几何体.
2.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( )
A.π
B.
C.
D.6π
【解析】选D.如图所示,
圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,
所以该圆柱底面圆周半径为r==,
所以该圆柱的体积为:V=Sh=π·()2·2=6π.
3.一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体,当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是( )
A.4π
B.6π
C.12π
D.24π
【解析】选C.因为正方体在正四面体内部任意旋转,当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球即为正四面体的内切球.
点O为正四面体内切球的圆心,连接PO并延长交底面ABC于点D,点D是底面三角形ABC的中心,
所以PD⊥底面ABC,所以OD为该正四面体内切球的半径.
连接BO,则BO=OP.
在Rt△BDP中,BD=××6=2,
PD==4.
在Rt△BDO中,
OB2=(PD-OB)2+BD2得OB=3,所以OD=,即正四面体的内切球半径为,即正方体的外接球半径为.
所以当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是S=4πr2=4π×()2=12π.
【补偿训练】
设四棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱长为2,底面是边长为3的等边三角形,则该三棱柱外接球的体积为( )
A.π
B.π
C.8π
D.36π
【解析】选A.设三棱柱外接球的球心为O,球半径为r,三棱柱的底面三角形ABC的中心为D,
如图,有OA=r.由于三棱柱的高为2,所以OD=1.
又在正三角形ABC中,AB=3,则AD=,
所以在直角三角形ADO中,OA2=OD2+AD2,有r2=12+()2,所以r=2,
则这个三棱柱的外接球的体积为
V=π×r3=.
4.两个半径都是r(r>1)的球O1和球O2相切,且均与直二面角α-l-β的两个半平面都相切,另有一个半径为1的小球O与这二面角的两个半平面也都相切,同时与球O1和球O2都外切,则r的值为( )
A.+1
B.+3
C.
D.
【解析】选D.如图所示,过点O1,O2分别作O1M⊥l,O2N⊥l,垂足分别为点M,N,过点O分别作OA⊥l,OB⊥O1O2,
则|O1M|=|O2N|=r,
|OA|=,|O1B|=|O2B|=r,
|OO1|=|OO2|=r+1,
|OB|==,
|AB|=|OA|+|OB|=+=r,
所以=r-,
等式两边平方得2r+1=2r2-4r+2,
化简得2r2-6r+1=0,由于r>1,
解得r=.
【误区警示】一定要画出正确的截面图.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是图中的( )
【解析】选AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧棱相离.
6.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面上,若方锥的体积为18,则半球的说法正确的是( )
A.半径是3
B.体积为18π
C.表面积为27π
D.表面积为18π
【解析】选ABC.由题意可得方锥的高为球的半径R,且方锥的底面正方形的对角线为球的直径2R,
所以正方形的边长a==R,
所以方锥的体积V=(R)2·R=18,
解得R=3,所以A选项正确;所以半球的表面积为S=·4πR2+πR2=3πR2=27π,所以C选项正确;
半球体积为球的体积的一半,即V半球=V球=·πR3=18π,B选项正确.
【光速解题】选项逐一验证,计算准确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是__________.
?
【解析】设大球的半径为R,则有πR3=2×π×13,R3=2,所以R=.
答案:
8.在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,则该三棱锥的外接球的表面积为________,该三棱锥的体积的最大值为________.?
【解析】因为在三棱锥A-BCD中AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,所以AC==,
取AC中点O,连接OB,OD,
则OA=OB=OC=OD=,
所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,
球半径r=,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πr2=4×π×=5π.
当平面ADC⊥平面ABC时,
三棱锥A-BCD的体积最大,
设D到平面ABC的距离为h,
则×AD×DC=×AC×h,
解得h===.
所以该三棱锥的体积的最大值为:
V=×S△ABC×h=××AB×BC×h
=××1×2×=.
答案:5π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积.
【解析】因为AB2+BC2=AC2,
所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形,
其外接圆为过A,B,C的平面截球所得截面,
2r=30,r=15.由题意得2+152=R2,
解得R2=300,R=10.
所以S=4πR2=1
200π,
V=πR3=π·(10)3=4
000π.
10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深3
dm,水面直径2
dm,放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积.
【解析】设铁球的半径为r,则放入铁球后水深为3r,上底面半径为r,此时铁球与水的体积和为·π·(r)2·3r=3
πr3.原来水的体积为·π·()2·3=3
π,铁球的体积为
πr3,
则3
π+πr3=3πr3,解得r3=.
所以铁球的体积V=π×=.
所以该铁球的体积为.
1.球O的球心为点O,球O内切于底面半径为、高为3的圆锥,三棱锥V-ABC内接于球O,已知OA⊥OB,AC⊥BC,则三棱锥V-ABC的体积的最大值为________.?
【解析】圆锥的母线长为=2,
设球O的半径为r,则=,解得r=1.
因为OA⊥OB,OA=OB=1,所以AB=,
因为AC⊥BC,所以C在以AB为直径的圆上,
所以当平面OAB⊥平面ABC时,
O到平面ABC的距离最大为,
故V到平面ABC的最大距离为+1.
又C到AB的最大距离为,△ABC面积最大为××,
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为
××××+1=.
所以三棱锥V-ABC的体积的最大值为.
答案:
2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上.若圆锥的底面面积是这个球表面积的,则这两个圆锥中,体积较小者与体积较大者的高的比值为多少?
【解析】该几何体的轴截面如图,
设球的半径为R,圆锥底面半径为r,
由题意得πr2=×4πR2,所以r=R.
所以OO1==R.
体积较小的圆锥的高AO1=R-R=R,
体积较大的圆锥的高BO1=R+R=R,
所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
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