(共52张PPT)
§4 正弦函数和余弦函数的概念及
其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、
余弦函数定义
必备知识·自主学习
1.单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
导思
1.正弦、余弦函数的自变量、函数值分别是什么?
2.正弦、余弦函数的函数值如何计算?
2.正弦函数、余弦函数的定义
(1)定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原
点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标
v是角α的正弦函数值,记作v=______;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作
u=______.?
sinα
cosα
(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解
①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数).
②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即
实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v
正弦
实数α(弧度)对应于点P的横坐标u
余弦
③三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.角与实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如图所示.
④sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,单独的“sin”“cos”是没有意义的.
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展
任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角
的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.
设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是
r(r=
>0),如图
那么,比值
叫作α的正弦,记作sinα,即sinα=
;比值
叫作α的余弦,
记作cosα,即cosα=
.
4.正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义域为全体实数,值域为[-1,1].
【思考】
对于任意角α,sinα,cosα都有意义吗?
提示:由三角函数的定义可知,对于任意角α,sinα,cosα都有意义.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若sinα>0,则角α的终边在第一或第二象限.
( )
(2)若sinα=sinβ,则α=β.
( )
提示:(1)×.因为sinα>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上.
(2)×.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin
60°=sin
120°,但60°≠120°
2.若角α的终边与单位圆相交于点
,则sin
α的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.利用任意角三角函数的定义可知,点
到原点的距离为1,
则sin
α=
=
.
3.(教材二次开发:练习改编)已知P(3,4)是α终边上一点,则sin
α等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为r=
=5,所以sinα=
关键能力·合作学习
类型一 利用正、余弦函数的定义求值(数学抽象、数学运算)
【题组训练】
1.设角α的终边上有一点P(4,-3),则2sinα+cosα的值是
( )
A.-
B.
C.-
或
D.1
2.已知P(-2,y)是角α终边上一点,且sinα=-
,
则cos
α=______.?
3.已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sinα,cosα的值.
【解析】1.选A.由三角函数的定义可知sin
α=
=-
,
cos
α=
=
,
所以2sinα+cosα=2×
+
=-
.
2.因为r=
,所以sinα=
=
=-
.
所以y<0,所以y=-1,r=
,
所以cosα=
=
=-
.
答案:-
3.方法一:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0,y0),则
解得
即P
,所以sinα=y0=
,cos
α=x0=
.
方法二:设点P(a,2a)是角α终边上任意一点,其中a>0.因为r=|OP|=
=
a(O为坐标原点),所以sinα=
=
=
,
cosα=
=
=
.
【解题策略】
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该
角的正弦、余弦值.
方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点O不重合);
第二步,计算r:r=|OP|=
(r>0);
第三步,求值:由sin
α=
,cos
α=
求值.
类型二 单位圆中的角(直观想象)
【典例】在直角坐标系的单位圆中,已知α=
π.
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦函数值.
【思路导引】(1)利用终边相同的角找到α的终边;
(2)利用直角三角形中的边角关系求交点坐标;
(3)利用三角函数定义求正弦函数值.
【解析】(1)因为α=
π=2π+
π,
所以角α的终边与
π的终边相同.
以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转
π,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)因为α=
π,所以点P在第二象限,由(1)知∠AOP=
过点P作PM⊥x轴于
点M.
则在Rt△OMP中,∠OMP=
,∠MOP=
,OP=1,
由直角三角形的边角关系,得OM=
,MP=
,
所以得点P的坐标为
.
(3)根据正弦函数的定义有sin
=
.
【解题策略】
(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π<β≤π,k∈Z)的形式,则角β的终边即为角α的终边,k为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数.
(2)求角α与单位圆的交点坐标,应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解,进而得角α的正弦、余弦值.
【跟踪训练】
1.已知角α的终边和单位圆的交点为P
,则sinα=______,
cos
α=______.?
2.在直角坐标系的单位圆中,已知α=
-
π.
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦、余弦值.
【解析】1.根据正弦函数和余弦函数的定义知,sinα=-
,cosα=
.
答案:-
2.(1)因为α=-
π=-2π-
,所以角α的终边与-
的终边相同,如图,以原
点为角的顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,顺时针旋转
π,与单位圆交于
点P,则角α如图所示.
(2)因为α=-
π,所以点P在第四象限.
由(1)知,∠AOP=
,过点P作PM⊥x轴于点M,
则在Rt△MOP中,∠OMP=
,∠MOP=
,OP=1,
由直角三角形的边角关系,得OM=
,MP=
,
所以得点P的坐标为
.
(3)根据正弦、余弦函数的定义,得
sin
=-
,cos
=
.
1.若角α的终边过点
,则cosα的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.易知点
在单位圆上,故cosα=
.
课堂检测·素养达标
2.角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=-
,则b的值为
( )
A.3
B.-3
C.±3
D.5
【解析】选A.因为r=
,
cosα=
=
=-
.所以b=3.
3.已知角α的终边上一点的坐标为
,则角α的最小正值
为______.?
【解析】由题意知,角α的终边上一点的坐标为
,
所以cosα=
=
.
又α的终边在第四象限,所以α的最小值为
.
答案:
π
4.(教材二次开发:练习改编)设a=sin
105°·cos
230°,b=sin
2·cos
1,
则
( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
【解析】选C.因为sin
105°>0,cos
230°<0,
所以a=sin
105°·cos
230°<0.因为0<1<
<2<π,所以sin
2>0,cos
1>0,
所以b=sin
2·cos
1>0.
5.已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a,b),若sinα=-
,求a,b的值,
并说明α是第几象限角.
【解析】由正弦函数的定义可知b=sinα=-
.
又a2+b2=1,所以a2=1-b2=
,所以a=±
.
故a=±
,b=-
.当a=
,b=-
时,点P在第四象限,此时角α是第四象限
角;当a=-
,b=-
时,点P在第三象限,此时角α是第三象限角.
四 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【基础通关一水平一】
(15分钟 30分)
1.已知sinα=
,cosα=-
,则角α所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.由sinα=
得角α的终边在第一或第二象限;由cosα=-
得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第二象限.
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2.若α是第二象限角,则点P(sin
α,cos
α)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为α是第二象限角,所以cos
α<0,sin
α>0.
所以点P在第四象限.
3.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则
的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.x=cos
(-300°)=cos
(-360°+60°)=cos
60°=
,
y=sin
(-300°)=sin
(-360°+60°)=sin
60°=
.所以
=
.
4.求值sin
420°cos
750°+sin(-690°)·cos(-660°)=_______.?
【解析】原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+
sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin
60°cos
30°+
sin
30°cos
60°=
×
+
×
=1.
答案:1
5.如果α的终边过点(2sin
30°,-2cos
30°),则sin
α的值等于 .?
【解析】因为2sin
30°=2×
=1,-2cos
30°=-2×
=-
,
所以α的终边过点(1,-
),所以sin
α=
=
.
答案:-
6.已知点M是单位圆上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-
,
求cos
α的值.
【解析】设点M的坐标为(x,y).
由题意,可知sin
α=-
,即y=-
.
因为点M在单位圆上,
所以x2+y2=1,即x2+
=1,
解得x1=
或x2=-
.所以cosα=
或cos
α=-
.
【能力进阶一水平二】(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.如图,过原点的直线与单位圆交于P,Q两点,其中P点在角
的终边上,则P
点的横坐标是
( )
【解析】选B.cos
=-
.
2.若α=-5,则
( )
A.sin
α>0,cos
α>0
B.sin
α>0,cos
α<0
C.sin
α<0,cos
α>0
D.sin
α<0,cos
α<0
【解析】选A.因为-5(弧度制)为第一象限角,所以其正弦、余弦值都是正的,
即sin
α>0,cos
α>0.
3.点P(cos
2
018°,sin
2
018°)所在的象限是
( )
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】选C.2
018°=5×360°+218°,即角2
018°与角218°的终边相同,218°=180°+38°,所以角218°在第三象限,即角2
018°也在第三象限.所以cos
2
018°<0,
sin
2
018°<0,所以点P在第三象限.
【补偿训练】
已知角α的终边过点P(-8m,-6sin
30°),且cos
α=-
,
则m的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为r=
,
所以cos
α=
=-
,
所以m>0,所以
=
,即m=
.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若角α的终边上有一点P(-4,a),且sin
α·cos
α=
,
则a的值为
( )
A.4
B.
C.-4
D.-
【解题指南】先利用正弦函数、余弦函数定义列出关系式,再代入式子解方程.
【解析】选CD.依题意,可知sin
α=
,
cos
α=
.又sin
α·cos
α=
,所以
=
,
即
a2+16a+16
=0,解得a=-4
或-
.
【补偿训练】
已知α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos
α≤0,sin
α>0,则a的取值可
以是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选ABC.由题意知
解得-2
【光速解题】把答案代入正弦函数、余弦函数定义检验.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知角α的终边上的点P(x,y)满足y=
x,则sin
α+cos
α的值
为______.?
【解析】因为y=
x,当x>0时,r=
=
x,
sin
α+cos
α=
+
=
+
=
,
当x<0时,r=
=-
x,
sin
α+cos
α=
+
=-
-
=-
.
答案:±
【误区警示】本题容易把直线当成射线求解,从而造成漏解错误发生.
6.已知
<1且2cos
θ<1,则θ为第______象限角.?
【解析】因为
<1=
,所以sin
θ>0.
又2cos
θ<1=20,所以cos
θ<0.所以θ为第二象限角.
答案:二
四、解答题
7.(10分)已知
=-
,且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M
,求m的值及sin
α的值.
【解析】(1)由
=-
可知sin
α<0,
所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角.由lg
cos
α有意义可知
cos
α>0,
所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角.综上可知,角α是第四象限
角.
(2)因为点M
在单位圆上,
所以
+m2=1,解得m=±
.
又α是第四象限角,故m<0,从而m=-
.
根据正弦函数的定义,可知sin
α=-
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§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
必备知识·自主学习
导思
1.正弦、余弦函数的自变量、函数值分别是什么?2.正弦、余弦函数的函数值如何计算?
1.单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
2.正弦函数、余弦函数的定义
(1)定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=sin
α;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=cos
α.?
(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解
①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是一个实数(弧度数).
②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际上给出了两个对应关系,即
实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦
实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦
③三角函数可以看成以实数为自变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的函数.角与实数是一对一的.角和实数与三角函数值之间是多对一的,如图所示.
④sin
α是一个整体,不是sin与α的乘积,单独的“sin”“cos”是没有意义的.
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展
任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.
设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),如图
那么,比值叫作α的正弦,记作sin
α,即sin
α=;比值叫作α的余弦,记作cos
α,即cos
α=.
4.正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义域为全体实数,值域为[-1,1].
对于任意角α,sin
α,cos
α都有意义吗?
提示:由三角函数的定义可知,对于任意角α,sin
α,cos
α都有意义.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若sin
α>0,则角α的终边在第一或第二象限.( )
(2)若sin
α=sin
β,则α=β.( )
提示:(1)×.因为sin
α>0,所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上.
(2)×.正弦值相等,但两角不一定相等,如sin
60°=
sin
120°,但60°≠120°.
2.若角α的终边与单位圆相交于点,则sin
α的值为( )
A.
B.-
C. D.-
【解析】选B.利用任意角三角函数的定义可知,点到原点的距离为1,则sin
α==-.
3.(教材二次开发:练习改编)已知P(3,4)是α终边上一点,则sin
α等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为r==5,所以sin
α=.
关键能力·合作学习
类型一 利用正、余弦函数的定义求值(数学抽象、数学运算)
1.设角α的终边上有一点P(4,-3),则2sin
α+cos
α的值是( )
A.-
B.
C.-或
D.1
2.已知P(-2,y)是角α终边上一点,且sin
α=-,
则cos
α=______.?
3.已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin
α,cos
α的值.
【解析】1.选A.由三角函数的定义可知sin
α==-,
cos
α==,
所以2sin
α+cos
α=2×+=-.
2.因为r=,所以sin
α===-.
所以y<0,所以y=-1,r=,
所以cosα===-.
答案:-
3.方法一:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0,y0),则解得即P,所以sin
α=y0=,cos
α=x0=.
方法二:设点P(a,2a)是角α终边上任意一点,其中a>0.因为r=|OP|==a(O为坐标原点),所以sin
α===,
cos
α===.
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦值.
方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点O不重合);
第二步,计算r:r=|OP|=(r>0);
第三步,求值:由sin
α=,cos
α=求值.
类型二 单位圆中的角(直观想象)
【典例】在直角坐标系的单位圆中,已知α=π.
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦函数值.
【思路导引】(1)利用终边相同的角找到α的终边;
(2)利用直角三角形中的边角关系求交点坐标;
(3)利用三角函数定义求正弦函数值.
【解析】(1)因为α=π=2π+π,
所以角α的终边与π的终边相同.
以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋转π,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)因为α=π,所以点P在第二象限,由(1)知∠AOP=过点P作PM⊥x轴于点M.
则在Rt△OMP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,
由直角三角形的边角关系,得OM=,MP=,
所以得点P的坐标为.
(3)根据正弦函数的定义有sin
=.
(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π<β≤π,k∈Z)的形式,则角β的终边即为角α的终边,k为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数.
(2)求角α与单位圆的交点坐标,应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解,进而得角α的正弦、余弦值.
1.已知角α的终边和单位圆的交点为P,则sin
α=______,
cos
α=______.?
2.在直角坐标系的单位圆中,已知α=-π.
(1)画出角α;
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标;
(3)求出角α的正弦、余弦值.
【解析】1.根据正弦函数和余弦函数的定义知,sin
α=-,cos
α=.
答案:-
2.(1)因为α=-π=-2π-,所以角α的终边与-的终边相同,如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为角的始边,顺时针旋转π,与单位圆交于点P,则角α如图所示.
(2)因为α=-π,所以点P在第四象限.
由(1)知,∠AOP=,过点P作PM⊥x轴于点M,
则在Rt△MOP中,∠OMP=,∠MOP=,OP=1,
由直角三角形的边角关系,得OM=,MP=,
所以得点P的坐标为.
(3)根据正弦、余弦函数的定义,得
sin=-,cos=.
课堂检测·素养达标
1.若角α的终边过点,则cos
α的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.易知点在单位圆上,故cos
α=.
2.角α的终边经过点P(-b,4)且cos
α=-,则b的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.5
【解析】选A.因为r=,
cos
α===-.所以b=3.
3.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值
为______.?
【解析】由题意知,角α的终边上一点的坐标为,所以
cos
α==.
又α的终边在第四象限,所以α的最小值为.
答案:π
4.(教材二次开发:练习改编)设a=sin
105°·cos
230°,b=sin
2·cos
1,
则( )
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
【解析】选C.因为sin
105°>0,cos
230°<0,
所以a=sin
105°·cos
230°<0.因为0<1<<2<π,所以sin
2>0,cos
1>0,所以b=sin
2·cos
1>0.
5.已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a,b),若sin
α=-,求a,b的值,并说明α是第几象限角.
【解析】由正弦函数的定义可知b=sin
α=-.
又a2+b2=1,所以a2=1-b2=,所以a=±.
故a=±,b=-.当a=,b=-时,点P在第四象限,此时角α是第四象限角;当a=-,b=-时,点P在第三象限,此时角α是第三象限角.
四
单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
(15分钟 30分)
1.已知sin
α=,cos
α=-,则角α所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.由sin
α=得角α的终边在第一或第二象限;由cos
α=-得角α的终边在第二或第三象限.综上,角α所在的象限是第二象限.
2.若α是第二象限角,则点P(sin
α,cos
α)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为α是第二象限角,所以cos
α<0,sin
α>0.
所以点P在第四象限.
3.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.x=cos
(-300°)=cos
(-360°+60°)=cos
60°=,y=
sin
(-300°)=sin
(-360°+60°)=sin
60°=.所以=.
4.求值sin
420°cos
750°+sin(-690°)·cos(-660°)=_______ .?
【解析】原式=sin(360°+60°)cos(720°+30°)+
sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin
60°cos
30°+
sin
30°cos
60°=×+×=1.
答案:1
5.如果α的终边过点(2sin
30°,-2cos
30°),则sin
α的值等于 .?
【解析】因为2sin
30°=2×=1,-2cos
30°=-2×=-,所以α的终边过点(1,-),所以sin
α==-.
答案:-
6.已知点M是单位圆上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为-,求cos
α的值.
【解析】设点M的坐标为(x,y).
由题意,可知sin
α=-,即y=-.
因为点M在单位圆上,
所以x2+y2=1,即x2+=1,
解得x1=或x2=-.所以cosα=或cos
α=-.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.如图,过原点的直线与单位圆交于P,Q两点,其中P点在角的终边上,则P点的横坐标是( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.cos=-.
2.若α=-5,则( )
A.sin
α>0,cos
α>0
B.sin
α>0,cos
α<0
C.sin
α<0,cos
α>0
D.sin
α<0,cos
α<0
【解析】选A.因为-5(弧度制)为第一象限角,所以其正弦、余弦值都是正的,即sin
α>0,cos
α>0.
3.点P(cos
2
018°,sin
2
018°)所在的象限是( )
A.一
B.二
C.三
D.四
【解析】选C.2
018°=5×360°+218°,即角2
018°与角218°的终边相同,
218°=180°+38°,所以角218°在第三象限,即角2
018°也在第三象限.所以cos
2
018°<0,
sin
2
018°<0,所以点P在第三象限.
【补偿训练】
已知角α的终边过点P(-8m,-6sin
30°),且cos
α=-,则m的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为r=,
所以cos
α==-,
所以m>0,所以=,即m=.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若角α的终边上有一点P(-4,a),且sin
α·cos
α=,则a的值为( )
A.4
B.
C.-4
D.-
【解题指南】先利用正弦函数、余弦函数定义列出关系式,再代入式子解方程.
【解析】选CD.依题意,可知sin
α=,
cos
α=.又sin
α·cos
α=,所以=,即a2+16a+16=0,解得a=-4或-.
【补偿训练】
已知α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos
α≤0,sin
α>0,则a的取值可以是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选ABC.由题意知解得-2【光速解题】把答案代入正弦函数、余弦函数定义检验.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知角α的终边上的点P(x,y)满足y=x,则sin
α+cos
α的值为 .?
【解析】因为y=x,当x>0时,r==x,
sin
α+cos
α=+=+=,
当x<0时,r==-x,
sin
α+cos
α=+=--=-.
答案:±
【误区警示】本题容易把直线当成射线求解,从而造成漏解错误发生.
6.已知<1且<1,则θ为第 象限角.?
【解析】因为<1=,所以sin
θ>0.
又2cos
θ<1=20,所以cos
θ<0.所以θ为第二象限角.
答案:二
四、解答题
7.(10分)已知=-,且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M,求m的值及sin
α的值.
【解析】(1)由=-可知sin
α<0,
所以α是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角.由lg
cos
α有意义可知cos
α>0,
所以α是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角.综上可知,角α是第四象限角.
(2)因为点M在单位圆上,
所以+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.
根据正弦函数的定义,可知sin
α=-.
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