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4.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
必备知识·自主学习
导思
1.诱导公式是如何推导的?2.诱导公式如何记忆?
1.诱导公式(-α,π±α)的推导
在直角坐标系中
α与-α角的终边关于x轴对称;
α与π+α的终边关于原点对称;
α与π-α的终边关于y轴对称.
2.诱导公式的推导
①-α的终边与α的终边关于直线y=x对称.
②公式
sin=cos
α,cos=sin
α
用-α代替α并用前面公式
sin=cos
α,cos=-sin
α
设α为任意角,则2kπ+α,2kπ-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?
提示:
相关角
终边之间的对称关系
2kπ+α与α
终边相同
2kπ-α与α
关于x轴对称
3.2kπ±α,-α,π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α.
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α.
sin(2π-α)=-sin
α,cos(2π-α)=cos
α.
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α.
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.
视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么?
提示:
角
2kπ+α
π-α
π+α
-α
2π-α
所在象限
一
二
三
四
四
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(2π-α)=cos
α.( )
(2)sin(2π-α)=sin
α.( )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角.( )
(4)sin=cos
α.( )
(5)若α为第二象限角,则sin=cos
α.( )
(6)sin=cos.( )
提示:(1)
√.cos(2π-α)=cos(-α)=cos
α.
(2)
×.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin
α.
(3)
×.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.
(4)
×.因为sin=-sin=-cos
α,所以sin=cos
α是错误的.
(5)
√.诱导公式中的角α为任意角,在化简时先限定α为锐角.
(6)
√.因为-α++α=,所以成立.
2.cos
300°+sin
450°的值是( )
A.-1+
B.
C.-1-
D.
【解析】选D.原式=cos(360°-60°)+sin(360°+90°)
=cos(-60°)+sin
90°=cos
60°+1=.
3.cos的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选D.cos=cos=-cos=-.
4.(教材二次开发:习题改编)已知sin
x=,则cosx-=( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选A.cos=cos=cos=sin
x=.
关键能力·合作学习
类型一 知角求值(数学运算)
【典例】求下列三角函数值:
(1)cos(-1
290°);
(2)sin
1
230°;(3)cos;
(4)sincos+sincos.
【思路导引】利用诱导公式求解
【解析】(1)cos(-1
290°)=cos
1
290°
=cos(210°+3×360°)=cos
210°
=cos(180°+30°)=-cos
30°=-.
(2)sin
1
230°=sin(150°+3×360°)=sin
150°
=sin(180°-30°)=sin
30°=.
(3)cos=cos=cos
=cos=-cos=-.
(4)sincos+sincos
=sincos+sin·cos
=-sincos+sin
=-×+×=0.
利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:
可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.
求下列三角函数值.
(1)sin·cos;(2)sin.
【解析】(1)sin·cos=sin·cos
=-sin·cos=-·=-.
(2)sin=sin
=sin=.
类型二 给值求值问题(数学运算)
1.已知sin=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
2.已知cos=,求cos的值.
3.已知cos=,求cos·sin.
【思路导引】1.直接利用诱导公式求解,注意角α所在的象限.
2.利用复合角之间的关系及诱导公式求解.
3.要注意到+=π,
-α=π-,+=等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值.
【解析】1.选B.因为sin=,
且sin=cos
α,
所以cos(α-2π)=cos
α=.
2.因为cos=cos
=-cos=-.
3.方法一:因为+=,
所以sin=sin
=cos=.
所以sin=sin
=sin=.
因为+=π,
所以cos=cos
=-cos=-,
所以cossin=-×=-.
方法二:设-α=β,则α=-β,
所以cos
sin
=cos
(π-β)sin
=-cos2
β=-=-.
1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键.
2.对于有条件的三角函数求值题,一般求解的基本方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式而完成求值.
3.当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
【补偿训练】
已知sin=,那么cos
α=( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.sin=sin
=sin=cos
α=.
类型三 三角函数式的化简(逻辑推理)
角度1 直接用诱导公式化简、求值?
【典例】化简求值
(1);
(2).
【思路导引】(1)利用诱导公式化简;
(2)用诱导公式把角化成锐角求解.
【解析】(1)原式===cos
α.
(2)原式=
====-.
角度2 分类讨论化简?
【典例】设k为整数,化简下面的式子:.
【思路导引】对k分奇数和偶数进行分类讨论.
【解析】方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式====-1;
当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理可得,原式=-1.故不论k为奇数还是偶数,原式=-1.
方法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α).
故原式==-1.
利用诱导公式化简的原则
(1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法.
(2)化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简.常见的一些关于参数k的结论有①sin(kπ+α)=(-1)ksin
α(k∈Z).
②cos(kπ+α)=(-1)kcos
α(k∈Z).
③sin(kπ-α)=(-1sin
α(k∈Z).
④cos(kπ-α)=(-1)kcos
α(k∈Z).
1.化简求值.
;
【解析】原式===1.
2.化简cos(nπ+x)+cos(nπ-x)(n∈Z).
【解析】当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),
原式=cos
[(2k+1)π+x]+cos
[(2k+1)π-x]=cos(π+x)+cos(π-x)=-cos
x-cos
x=-2cos
x;
当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),
原式=cos(2kπ+x)+cos(2kπ-x)=cos
x+cos(-x)=2cos
x,故原式=
课堂检测·素养达标
1.当α∈R时下列各式恒成立的是( )
A.sin=-cos
α
B.sin(π-α)=-sin
α
C.cos
(210°+α)=cos
(30°+α)
D.cos
(-α-β)=cos
(α+β)
【解析】选D.由诱导公式知D正确.
2.sin
210°=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.sin
210°=sin(180°+30°)=-sin
30°=-.
3.在△ABC中,已知sin=,则cos
的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为A+B+C=π,所以=-,
所以cos=cos=sin
=.
4.已知cos=,则cos=______.?
【解析】cos=cos=
cos=.
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)化简:
【解析】原式==1.
六 诱导公式与对称 诱导公式与旋转
(15分钟 30分)
1.sin(-390°)的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.sin(-390°)=sin
(-360°-30°)=sin
(-30°)=-sin
30°=-.
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为( )
A.-
B.-
C.-
D.-4
【解析】选A.因为角α的终边上有一点P(1,3),在第一象限,所以由三角函数的定义知sin
α=,cos
α=.因为
===-.
3.已知sin
10°=k,则cos
620°的值等于( )
A.k
B.-k
C.±k
D.不能确定
【解析】选B.cos
620°=cos
(360°+260°)=cos
260°=cos
(180°+80°)
=-cos
80°=-sin
10°=-k.
4.sin
(-1
200°)·cos
1
290°+cos
(-1
020°)·sin
(-1
050°)= .?
【解析】原式=-sin
1
200°·cos
1
290°-cos
1
020°·
sin
1
050°=-sin
(-60°+7×180°)·cos
(30°+7×180°)-cos
(-60°+3×360°)·sin
(-30°+3×360°)=sin
(-60°)(-cos
30°)-cos
(-60°)sin
(-30°)=-×(-)-×(-)=1.
答案:1
5.已知cos
(75°+α)=,求cos
(105°-α)+sin
(15°-α)的值.
【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°,
(15°-α)+(α+75°)=90°,
所以cos
(105°-α)=cos
[180°-(75°+α)]
=-cos
(75°+α)=-,
sin
(15°-α)=sin
[90°-(α+75°)]=cos
(75°+α)=.
所以cos
(105°-α)+sin
(15°-α)=-+=0.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=cos
,则下列等式成立的是( )
A.f(2π-x)=f(x)
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x)
D.f(-x)=f(x)
【解析】选D.因为f(x)=cos
,所以f(-x)=
cos
(-)=cos
,所以C不对;
又f(2π-x)=cos
=cos
(π-)=-cos
=-f(x).所以A不对.
因为f(2π+x)=cos
=cos
(π+)=-cos
≠f(x),B不对.
2.若sin(π+α)+cos
(+α)=-m,则cos
(-α)+2sin
(6π-α)的值为( )
A.-m
B.-m
C.m
D.m
【解析】选B.因为sin
(π+α)+cos
(+α)=-m,
所以-sin
α-sin
α=-2sin
α=-m,所以sin
α=.
所以cos
(-α)+2sin
(6π-α)=-sin
α-2sin
α
=-3sin
α=-m.
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是( )
A.cos
(A+B)=cos
C
B.sin
(A+B)=-sin
C
C.cos
(+C)=sin
B
D.sin
=cos
【解析】选D.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,
所以cos
(A+B)=-cos
C,sin
(A+B)=sin
C.
所以A,B都不正确;sin
B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=cos,所以C选项无法证明成立.B+C=π-A,
所以sin
=sin
(-)=cos
,因此D是正确的.
4.已知sin
(-α)=,那么cos
(-α)=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.cos
(-α)=cos
[+(-α)]=-sin
(-α)=-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如果α+β=180°,那么下列等式中不成立的是( )
A.cos
α=cos
β
B.cos
α=-cos
β
C.sin
α=-sin
β
D.sin
α=cos
β
【解析】选ACD.由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得sin
α=sin(180°-β)=sin
β,两边同时取余弦函数得cos
α=cos(180°-β)=
-cos
β.
【光速解题】令α=60o,β=120o求解.
6.已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin数值相同的是( )
A.sin
B.cos
C.sin
D.cos
【解题指南】对n进行分类讨论,然后利用诱导公式求解.
【解析】选BC.A中n为偶数时sin=-sin;
B中cos=cos=sin;
C中sin=sin;
D中cos=-cos=-sin.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.sin= .?
【解析】sin=-sin
=-sin
=-sin
=sin
=.
答案:
8.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,且满足f(2
015)=2,则f(2
016)=_______.?
【解析】因为f(2
015)=asin(2
015π+α)+bcos(2
015π+β)=2,
所以f(2
016)=asin(2
016π+α)+b·cos(2
016π+β)
=asin[π+(2
015π+α)]+bcos
[π+(2
015π+β)]
=-[asin(2
015π+α)+bcos(2
015π+β)]=-2.
答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α为第四象限角且sin=,求f(α)的值;
(3)若α=-π,求f(α).
【解析】(1)f(α)==-cos
α.
(2)因为sin=sin=cos
α=,
所以f(α)=-cos
α=-.
(3)f=-cos
=-cos=-cosπ=-cos=-.
10.化简求值:(1)cos
+cos
+cos
+cos
;
(2)sin·cos(n∈Z).
【解析】(1)cos
+cos
+cos
+cos
=cos
+cos
+cos+cos=cos
+cos
-cos
-cos
=0.
(2)①当n为奇数时,
原式=sin·=sin·cos
=-sin
·cos
=-×=-;
②当n为偶数时,原式=-sin
·cos
=-sin·cos=sin
·cos
=.
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4.3 诱导公式与对称
4.4 诱导公式与旋转
必备知识·自主学习
1.诱导公式(-α,π±α)的推导
在直角坐标系中
α与-α角的终边关于____对称;
α与π+α的终边关于_____对称;
α与π-α的终边关于____对称.
x轴
原点
y轴
2.诱导公式
的推导
①
-α的终边与α的终边关于直线____对称.
②公式
sin
=cos
α,cos
=sin
α
用-α代替α并用前面公式
sin
=cos
α,cos
=-sin
α
y=x
【思考】
设α为任意角,则2kπ+α,2kπ-α的终边与α的终边有怎样的对应关系?
提示:
相关角
终边之间的对称关系
2kπ+α与α
终边相同
2kπ-α与α
关于x轴对称
3.2kπ±α,-α,π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α.
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α.
sin(2π-α)=-sin
α,cos(2π-α)=cos
α.
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α.
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.
【思考】
视α为锐角,则诱导公式中各角所在象限是什么?
提示:
角
2kπ+α
π-α
π+α
-α
2π-α
所在象限
一
二
三
四
四
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(2π-α)=cos
α.
( )
(2)sin(2π-α)=sin
α.
( )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角.
( )
(4)sin
=cos
α.
( )
(5)若α为第二象限角,则sin
=cos
α.
( )
(6)sin
=cos
.
( )
提示:(1)
√.cos(2π-α)=cos(-α)=cos
α.
(2)
×.sin(2π-α)=sin(-α)=-sin
α.
(3)
×.诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任意角.
(4)
×.因为sin
=-sin
=-cos
α,所以sin
=cos
α是错误的.
(5)
√.诱导公式中的角α为任意角,在化简时先限定α为锐角.
(6)
√.因为
-α+
+α=
,所以成立.
2.cos
300°+sin
450°的值是
( )
A.-1+
B.
C.-1-
D.
【解析】选D.原式=cos(360°-60°)+sin(360°+90°)
=cos(-60°)+sin
90°=cos
60°+1=
.
3.cos
的值是
( )
【解析】选D.
4.(教材二次开发:习题改编)已知sin
x=
,则cos
=
( )
【解析】选A.
关键能力·合作学习
类型一 知角求值(数学运算)
【典例】求下列三角函数值:
(1)cos(-1
290°);
(2)sin
1
230°;(3)cos
【思路导引】利用诱导公式求解
【解析】(1)cos(-1
290°)=cos
1
290°
=cos(210°+3×360°)=cos
210°
=cos(180°+30°)=-cos
30°=-
.
(2)sin
1
230°=sin(150°+3×360°)=sin
150°
=sin(180°-30°)=sin
30°=
.
【解题策略】
利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为:
可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.
【跟踪训练】
求下列三角函数值.
【解析】
类型二 给值求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.已知sin
,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是
( )
2.已知cos
,求cos
的值.
3.已知cos
,求
【思路导引】1.直接利用诱导公式求解,注意角α所在的象限.
2.利用复合角之间的关系及诱导公式求解.
3.要注意到
等角之间的关系,恰当运用诱导公式求值.
【解析】1.选B.因为sin
且sin
=cos
α,
所以cos(α-2π)=cos
α=
.
2.因为
3.方法一:因为
方法二:设
-α=β,则α=
-β,
所以
【解题策略】
1.观察已知角与未知角之间的关系,运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数,将不同的角化为相同的角,是解决问题的关键.
2.对于有条件的三角函数求值题,一般求解的基本方法是从角的关系上寻求突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合诱导公式,进而把待求式转化到已知式而完成求值.
3.当所给的角是复合角时,不易看出已知角与所求角的联系,可将已知角看成一个整体,用这个整体去表示所求角,便可发现它们之间的关系.
【补偿训练】
已知sin
,那么cos
α=
( )
【解析】选C.
类型三 三角函数式的化简(逻辑推理)
角度1 直接用诱导公式化简、求值?
【典例】化简求值
【思路导引】(1)利用诱导公式化简;
(2)用诱导公式把角化成锐角求解.
【解析】
角度2 分类讨论化简?
【典例】设k为整数,化简下面的式子:
【思路导引】对k分奇数和偶数进行分类讨论.
【解析】方法一:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式=
当k为奇数时,可设k=2m+1(m∈Z),同理可得,原式=-1.故不论k为奇数还是偶数,原式=-1.
方法二:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ,[(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,
得sin(kπ-α)=-sin(kπ+α),cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]
=-cos(kπ+α),sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α).
故原式=
【解题策略】
利用诱导公式化简的原则
(1)化简三角函数式的过程,实质上是“统一角”“统一函数名”的过程,所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法.
(2)化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式时,需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论,然后再正确运用诱导公式进行化简.常见的一些关于参数k的结论有①sin(kπ+α)=(-1)ksin
α(k∈Z).
②cos(kπ+α)=(-1)kcos
α(k∈Z).
③sin(kπ-α)=(-1）k+1sin
α(k∈Z).
④cos(kπ-α)=(-1)kcos
α(k∈Z).
【题组训练】
1.化简求值.
【解析】原式=
2.化简cos(nπ+x)+cos(nπ-x)(n∈Z).
【解析】当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),
原式=cos
[(2k+1)π+x]+cos
[(2k+1)π-x]=cos(π+x)+cos(π-x)
=-cos
x-cos
x=-2cos
x;
当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),
原式=cos(2kπ+x)+cos(2kπ-x)=cos
x+cos(-x)=2cos
x,故原式=
1.当α∈R时下列各式恒成立的是
( )
A.sin
=-cos
α
B.sin(π-α)=-sin
α
C.cos
(210°+α)=cos
(30°+α)
D.cos
(-α-β)=cos
(α+β)
【解析】选D.由诱导公式知D正确.
课堂检测·素养达标
2.sin
210°=
( )
【解析】选D.sin
210°=sin(180°+30°)=-sin
30°=-
.
3.在△ABC中,已知sin
,则cos
的值为( )
【解析】选C.因为A+B+C=π,所以
所以
4.已知cos
,则cos
=______.?
【解析】
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)化简:
【解析】原式=
六 诱导公式与对称 诱导公式与旋转
【基础通关一水平一】(15分钟 30分)
1.sin(-390°)的值为
( )
【解析】选D.sin(-390°)=sin
(-360°-30°)=
sin
(-30°)=-sin
30°=-
.
课时素养评价
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则
的值为
( )
【解析】选A.因为角α的终边上有一点P(1,3),在第一象限,
所以由三角函数的定义知sin
α=
,cos
α=
.
因为
3.已知sin
10°=k,则cos
620°的值等于
( )
A.k
B.-k
C.±k
D.不能确定
【解析】选B.cos
620°=cos
(360°+260°)=cos
260°=cos
(180°+80°)
=-cos
80°=-sin
10°=-k.
4.sin
(-1
200°)·cos
1
290°+cos
(-1
020°)·sin
(-1
050°)
=______.?
【解析】原式=-sin
1
200°·cos
1
290°-cos
1
020°·
sin
1
050°=-sin
(-60°+7×180°)·cos
(30°+7×180°)-
cos
(-60°+3×360°)·sin
(-30°+3×360°)=sin
(-60°)(-cos
30°)
-cos
(-60°)sin
(-30°)=-
×(-
)-
×(-
)=1.
答案:1
5.已知cos
(75°+α)=
,求cos
(105°-α)+sin
(15°-α)的值.
【解析】因为(105°-α)+(75°+α)=180°,
(15°-α)+(α+75°)=90°,
所以cos
(105°-α)=cos
[180°-(75°+α)]
=-cos
(75°+α)=-
,
sin
(15°-α)=sin
[90°-(α+75°)]=cos
(75°+α)=
.
所以cos
(105°-α)+sin
(15°-α)=-
+
=0.
【能力进阶一水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=cos
,则下列等式成立的是
( )
A.f(2π-x)=f(x)
B.f(2π+x)=f(x)
C.f(-x)=-f(x)
D.f(-x)=f(x)
【解析】选D.因为f(x)=cos
,
所以f(-x)=cos(-
)=cos
,所以C不对;
又f(2π-x)=cos
=cos
(π-
)=-cos
=-f(x).
所以A不对.
因为f(2π+x)=cos
=cos
(π+
)=-cos
≠f(x),B不对.
2.若sin(π+α)+cos
(
+α)=-m,则cos
(
-α)+2sin
(6π-α)
的值为
( )
【解析】选B.因为sin
(π+α)+cos
(
+α)=-m,
所以-sin
α-sin
α=-2sin
α=-m,所以sin
α=
.
所以cos
(
-α)+2sin
(6π-α)=-sin
α-2sin
α
=-3sin
α=-
m.
3.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式中一定成立的是
( )
A.cos
(A+B)=cos
C
B.sin
(A+B)=-sin
C
C.cos
(
+C)=sin
B
D.sin
【解析】选D.因为A+B+C=π,所以A+B=π-C,
所以cos
(A+B)=-cos
C,sin
(A+B)=sin
C.
所以A,B都不正确;sin
B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=cos
,
所以C选项无法证明成立.B+C=π-A,
所以sin
=sin
(
)=cos
,因此D是正确的.
4.已知sin
(
-α)=
,那么cos
(
-α)=
( )
【解析】选D.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,
有选错的得0分)
5.如果α+β=180°,那么下列等式中不成立的是
( )
A.cos
α=cos
β
B.cos
α=-cos
β
C.sin
α=-sin
β
D.sin
α=cos
β
【解析】选ACD.由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得
sin
α=sin(180°-β)=sin
β,两边同时取余弦函数得cos
α=cos(180°
-β)=-cos
β.
【光速解题】令α=60o,β=120o求解.
6.已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin
数值相同的是
( )
A.sin
B.cos
C.sin
D.cos
【解题指南】对n进行分类讨论,然后利用诱导公式求解.
【解析】选BC.A中n为偶数时sin
=-sin
;
B中cos
=cos
=sin
;
C中sin
=sin
;
D中cos
=-cos
=-sin
.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.sin
=______.?
【解析】sin
=-sin
=-sin
=-sin
=sin
答案:
8.若函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,
且满足f(2
015)=2,则f(2
016)=________.?
【解析】因为f(2
015)=asin(2
015π+α)+bcos(2
015π+β)=2,
所以f(2
016)=asin(2
016π+α)+b·cos(2
016π+β)
=asin[π+(2
015π+α)]+bcos
[π+(2
015π+β)]
=-[asin(2
015π+α)+bcos(2
015π+β)]=-2.
答案:-2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(α)=
(1)化简f(α);
(2)若α为第四象限角且sin
求f(α)的值;
(3)若α=-
π,求f(α).
【解析】(1)f(α)=
(2)因为sin
=sin
=cos
α=
,
所以f(α)=-cos
α=-
.
(3)
10.化简求值:
【解析】
(2)①当n为奇数时,
原式=
=-sin
②当n为偶数时,原式=-sin
·cos
