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§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
新课程标准
学业水平要求
1.借助单位圆能画出正弦函数的图象;2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;3.借助图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质.
水平一1.能借助教材实例了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值、零点.(数学抽象)2.能借助单位圆、科学计算器了解正弦函数的图象,能利用五点法作简单的与正弦函数有关的函数图象.(直观想象)3.能借助教材实例,会利用正弦函数的图象与性质解决简单问题.(数学运算)水平二会用五点法作出与正弦函数有关的函数的图象,会利用正弦函数的图象、性质解决相关的问题.(直观想象)
必备知识·自主学习
导思
1.三角函数的定义是怎样的?2.怎么作正弦函数y=sin
x的图象?3.正弦函数y=sin
x有哪些性质?
1.正弦函数的图象
(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下:
第一步:如图所示,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;
第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0,,,,…,2π等分点的正弦值;
第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;
第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合;
第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象.
(2)五点法作正弦函数的图象,五个点为
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
2.正弦函数的性质
(1)定义域:R.
(2)周期性:最小正周期为2π.
(3)单调性:单调增区间:(k∈Z),
单调减区间:(k∈Z).
(4)值域:[-1,1].
当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,正弦函数y=sin
x取得最大值1;
当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,正弦函数y=sin
x取得最小值-1.
(5)奇偶性:正弦函数y=sin
x在R上是奇函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ+,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
(1)-2π是正弦函数的周期吗?
提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期.
(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?
提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦函数在区间上是递增的.( )
(2)若存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)为周期函数.( )
(3)函数f(x)=sin
x-1的一个对称中心为(π,-1).( )
提示:(1)×.正弦函数在区间上先递增,再递减.
(2)×.应为非零常数T.
(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π,0),函数f(x)=sin
x-1即将正弦函数向下平移一个单位,故一个对称中心为(π,-1).
2.函数y=sin
x是( )
A.增函数
B.减函数
C.偶函数
D.周期函数
【解析】选D.由正弦曲线y=sin
x的图象,可得函数y=sin
x的增区间是(k∈Z),减区间是(k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数.
3.(教材二次开发:例题改编)下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°
10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】选C.sin
168°=sin(180°-12°)=sin
12°,cos
10°=sin
80°.因为正弦函数y=sin
x在区间上为增函数,所以sin
11°12°80°,即sin
11°168°10°.
4.函数y=2-sin
x的最大值为________,取最大值时x的值为________.?
答案:3 -+2kπ,k∈Z
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数的图象(直观想象、数学运算)
【典例】
用五点法作出函数y=1-2sin
x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin
x有两个交点,求a的取值范围;
(3)求函数y=1-2sin
x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin
x,x∈[-π,π]的简图解题.
【解析】按五个关键点列表
x
-π
0
π
sin
x
0
-1
0
1
0
1-2sin
x
1
3
1
-1
1
描点连线得:
(1)由图象可知函数y=1-2sin
x在y=1上方的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin
x有两个交点时,1所以a的取值范围是{a|1(3)由图象可知ymax=3,此时x=-;ymin=-1,此时x=.
(1)解答本题的关键是要抓住五个关键点,使函数中x取-π,-,0,,π,然后求出相应的y值,作出图象.
(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点,连线要保持光滑,注意凸凹方向.
(3)仔细观察图象,找出函数图象与y=1,y=a的交点及最大值,最小值点正确解答问题.
用“五点法”画出函数y=+sin
x,x∈[0,2π]上的图象.
【解析】取值列表如下:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
+sin
x
-
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)
类型二 正弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.比较下列各组数的大小:
(1)sin与sin;
(2)sin与cos
.
2.求函数y=-2sin
x-1的单调递增区间.
【思路导引】1.利用诱导公式将各个角化到一个单调区间,利用正弦函数的单调性比较.
2.由题意,需求正弦函数y=sin
x的单调递减区间.
【解析】1.(1)因为-<-<-<0,正弦函数y=sin
x在区间上是增函数,
所以sin>sin.
(2)因为cos
=sin
,又<<+<,
而正弦函数y=sin
x在上是减函数
所以sin
>sin
,即sin
>cos
.
2.因为y=-2sin
x-1,
所以函数y=-2sin
x-1的递增区间就是函数y=sin
x的递减区间.所以+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),
所以函数y=-2sin
x-1的递增区间为(k∈Z).
利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定:利用诱导公式把角化到同一单调区间上.
(2)二比较:利用函数的单调性比较大小.
1.函数y=9-sin
x的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选B.y=9-sin
x的单调递增区间与y=sin
x的单调递减区间相同.
2.比较大小:
(1)sin
250°与sin
260°;(2)sin
与sin.
【解析】(1)sin
250°=sin(180°+70°)=-sin
70°,sin
260°=sin(180°+
80°)=-sin
80°,
因为0°<70°<80°<90°,且函数y=sin
x,x∈是增函数,所以sin
70°80°,
所以-sin
70°>-sin
80°,即sin
250°>sin
260°.
(2)sin
=-sin
=-sin
=-sin=-sin
.
sin=-sin
=-sin
.
因为0<<<,且函数y=sin
x,x∈是增函数,所以sin
,所以-sin
>-sin
,
即sin
.
类型三 正弦函数的值域与最值问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.(多选题)已知函数f(x)=2asin
x+a+b的定义域是,值域为[-5,-1],则a,b的值为( )
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
2.求函数f(x)=sin(π+x)+sin2x-1的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.
【思路导引】1.根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
2.利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,还原求最值.
【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin
x+a+b的定义域是,所以0≤sin
x≤1,当a<0时,
由题意
所以当a>0时,
由题意解得
2.f(x)=sin(π+x)+sin2x-1=sin2x-sin
x-1,令t=sin
x,则y=t2-t-1=-,
t∈.
因为-1≤t≤1,所以-≤y≤1,
所以ymax=1,此时sin
x=-1,x=-+2kπ,k∈Z;
所以ymin=-,此时sin
x=,x=+2kπ,k∈Z或x=+2kπ,k∈Z.
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y=asin
x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1≤sin
x≤1)求解.
(2)求形如y=asin2x+bsin
x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin
x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.
1.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值:
(1)y=2sin
x-1;(2)y=-sin2x+sin
x+.
【解析】(1)由-1≤sin
x≤1知,当x=+2kπ,k∈Z时函数y=2sin
x-1取得最大值,ymax=1;
当x=π+2kπ,k∈Z时函数y=2sin
x-1取得最小值,ymin=-3.
(2)y=-sin2x+sin
x+=-+,因为-1≤sin
x≤1,所以当sin
x=,即x=+2kπ或x=+2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax=;
当sin
x=-1,即x=+2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值,ymin=--.
2.设f(x)=asin
x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin
x+a2的最大值.
【解析】由题意,a≠0,
当a>0时,所以
此时g(x)=sin
x+4的最大值为5.
当a<0时,所以
此时g(x)=sin
x+4的最大值为5.
综上知g(x)的最大值为5.
备选类型 正弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.函数f(x)=-sin
x在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.求函数y=的定义域、值域和零点.
【思路导引】1.转化为函数图象的交点个数判断.
2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.
【解析】1.选B.令f(x)=-sin
x=0,即=sin
x,如图所示.
函数y=与y=sin
x在[0,2π]上有两个交点,
故函数f(x)=-sin
x有两个零点.
2.令-2sin
x≥0,即sinx≤,
解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
所以函数的定义域为,k∈Z.
因为-1≤sin
x≤,所以0≤-2sin
x≤+2,
所以0≤≤,
故函数的值域为.
令y==0,
解得x=+2kπ或x=π+2kπ,k∈Z.
关于正弦函数性质、图象的应用
(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再推广到定义域内.
(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在[0,+∞)上的性质,再利用奇偶函数的性质推广到(-∞,0]上.
(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系,利用图象解决问题.
1.(2020·福州高一检测)函数y=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(π-2x)-1≥0,
即sin2x≥,则2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,
则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
即函数的定义域为.
2.函数f(x)=sin
x-的零点个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选D.令f(x)=sin
x-=0,即sin
x=,
令y1=sin
x,y2=,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图.
由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
【补偿训练】
求方程sin
x=lg
x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin
x的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg
x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin
x=lg
x的解有3个.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=2-sin
x在______上单调递增,在区间________上单调递减.当x=______时,y取最大值______,当x=________时,y取最小值________.?
【解析】函数y=2-sin
x的单调递增区间是函数y=sin
x的单调递减区间即(k∈Z),
同理可得单调递减区间是(k∈Z),
当x=2kπ-,k∈Z时,y取最大值3.
当x=2kπ+,k∈Z时,y取最小值1.
答案:(k∈Z)
(k∈Z) 2kπ-,k∈Z 3
2kπ+,k∈Z 1
2.已知a∈R,函数f(x)=sin
x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________.?
【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin
x-|a|,又f(x)=-f(-x),所以sin
x-|a|=sin
x+|a|,所以|a|=0,即a=0.
答案:0
3.用五点法画出函数y=-2sin
x在区间[0,2π]上的简图.
【解析】列表:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
-2sin
x
0
-2
0
2
0
描点、连线得y=-2sin
x的图象如图.
课时素养评价
七 正弦函数的图象与性质再认识
(15分钟 30分)
1.以下对正弦函数y=sin
x的图象描述不正确的是( )
A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
【解析】选C.由正弦函数y=sin
x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确.
2.不等式sin
x≥,x∈(0,2π)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为sin
x≥,x∈(0,2π),结合y=sin
x的图象知≤x≤,故不等式sin
x≥的解集为.
3.函数y=sin
x,x∈,则y的范围是( )
A.[-1,1]
B.
C.
D.
【解析】选C.当x=时,y取最小值,当x=时y取最大值1.
4.函数y=的定义域为( )
A.[0,π]
B.{第一或第二象限的角}
C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
D.(0,π)
【解析】选C.要使函数y=有意义,
则需sin
x≥0,由y=sin
x的图象可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}.
5.函数y=-2sin
x+10取最小值时,自变量x的集合是________.?
【解析】由题意知y=-2sin
x+10取最小值,就是sin
x取最大值,即x=+2kπ,k∈Z.
答案:
6.求函数y=(sin
x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相应的x的值.
【解析】设t=sin
x,则有y=(t-1)2+2,
且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,
当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin
x=-1,得x=2kπ-(k∈Z),
即当x=2kπ-(k∈Z)时,函数y=(sin
x-1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]上,当t=1时,
函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.
由t=sin
x=1,得x=2kπ+(k∈Z),
即当x=2kπ+(k∈Z)时,函数y=(sin
x-1)2+2取得最小值2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知a=sin
59°,b=sin
15°+cos
15°,c=2sin
31°·cos
31°,则实数a,b,c的大小关系是( )
A.aB.aC.a≥c≥b
D.a≥b≥c
【解析】选B.a=
sin
59°,b=sin
15°+cos
15°=sin
60°,
c=2sin
31°cos
31°=
sin
62°.
因为y=sin
x在内单调递增,所以a2.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是( )
A.y=|sin
x|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sin
x|
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
3.已知函数f(x)=2sin
x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=
2sin
x的半个周期.因为f(x)=2sin
x的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.
4.设函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为( )
A.2π
B.
C.π
D.
【解析】选A.因为函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为,结合正弦函数y=sin
x的图象与性质,不妨取m=-,n=,此时n-m取得最大值为,取m=-,n=,n-m取得最小值为,则t的最大值与最小值的和为2π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知函数f(x)=·cos
x,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于中心对称
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的值域为[-1,1]
【解析】选BC.因为函数f(x)=·cos
x=
画出函数f(x)的图象,如图所示:
f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于中心对称,f(x)在区间上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
6.函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选ABCD.f(x)=sin
x+2|sin
x|=在同一坐标系内分别作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,
当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当1三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数f(x)=lg(1+2sin
x)的定义域为________,值域为________.?
【解析】由1+2sin
x>0得sin
x>-,
解得-+2kπ因为0<1+2sin
x≤3,故lg(1+2sin
x)≤lg
3.
答案:,k∈Z
8.若x是三角形的最小角,则y=sin
x的值域是________.?
【解析】由三角形内角和为π知,
若x为三角形中的最小角,则0由y=sin
x的图象知y∈.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin
x.
(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.
(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.
【解析】(1)若x∈,则-x∈.
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin
x.
若x∈,则π+x∈,
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,
所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin
x,
所以x∈[-π,0],f(x)=-sin
x.
(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:
(3)x∈[0,π],sin
x≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
10.若函数y=a-bsin
x的最大值为,最小值为-,求函数f(x)=-4absin
x的最值.
【解】①当b>0时,
由题意,得解得
所以f(x)=-2sin
x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得
解得所以f(x)=2sin
x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
1.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为sin(π-x)=sin
x,
所以f(x)=asin
x+bx+c,
则f(1)=asin
1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin
1-b+c,
所以f(-1)=-f(1)+2c.①
把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;
把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;
把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;
把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c=?Z.
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin
x+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】令t=sin
x,t∈[-1,1],则原函数可化为g(t)=-t2+t+a=-+a+.
当t=时,g(t)max=a+,即f(x)max=a+;
当t=-1时,g(t)min=a-2,即f(x)min=a-2.
故对于一切x∈R,函数f(x)的值域为.
所以解得3≤a≤4.
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PAGE(共78张PPT)
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
必备知识·自主学习
1.正弦函数的图象
(1)画正弦函数图象的步骤可以归纳如下:
第一步:如图所示,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆;
导思
1.三角函数的定义是怎样的?
2.怎么作正弦函数y=sin
x的图象?
3.正弦函数y=sin
x有哪些性质?
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;
第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0,
,
,
,…,2π
等分点的正弦值;
第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;
第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重
合;
第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数
y=sin
x,x∈[0,2π]的图象.
(2)五点法作正弦函数的图象,五个点为.
(0,0),
,(π,0),
,(2π,0).
2.正弦函数的性质
(1)定义域:R.
(2)周期性:最小正周期为2π.
(3)单调性:单调增区间:
(k∈Z),
单调减区间:
(k∈Z).
(4)值域:[-1,1].
当且仅当x=2kπ+
(k∈Z)时,正弦函数y=sin
x取得最大值1;
当且仅当x=2kπ-
(k∈Z)时,正弦函数y=sin
x取得最小值-1.
(5)奇偶性:正弦函数y=sin
x在R上是奇函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ+
,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
【思考】
(1)-2π是正弦函数的周期吗?
提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期.
(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢?
提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦函数在区间
上是递增的.( )
(2)若存在一个常数T,使得对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x),则函数f(x)
为周期函数.( )
(3)函数f(x)=sin
x-1的一个对称中心为(π,-1).( )
提示:(1)×.正弦函数在区间
上先递增,再递减.
(2)×.应为非零常数T.
(3)√.因为正弦函数的一个对称中心为(π,0),函数f(x)=sin
x-1即将正弦函
数向下平移一个单位,故一个对称中心为(π,-1).
2.函数y=sin
x是( )
A.增函数
B.减函数
C.偶函数
D.周期函数
【解析】选D.由正弦曲线y=sin
x的图象,可得函数y=sin
x的增区间是
(k∈Z),减区间是
(k∈Z),函数是奇函数,且是
周期为2π的周期函数.
3.(教材二次开发:例题改编)下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】选C.sin
168°=sin(180°-12°)=sin
12°,cos
10°=sin
80°.因
为正弦函数y=sin
x在区间
上为增函数,所以sin
11°12°<
sin
80°,即sin
11°168°10°.
4.函数y=2-sin
x的最大值为________,取最大值时x的值为________.?
答案:3
-
+2kπ,k∈Z
关键能力·合作学习
类型一 正弦函数的图象(直观想象、数学运算)
【典例】
用五点法作出函数y=1-2sin
x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin
x有两个交点,求a的取值范围;
(3)求函数y=1-2sin
x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin
x,x∈[-π,π]的简图解题.
【解析】按五个关键点列表
x
-π
0
π
sin
x
0
-1
0
1
0
1-2sin
x
1
3
1
-1
1
描点连线得:
(1)由图象可知函数y=1-2sin
x在y=1上方
的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin
x有两个交点时,1所以a的取值范围是{a|1(3)由图象可知ymax=3,
此时x=-
;ymin=-1,此时x=
.
【解题策略】
(1)解答本题的关键是要抓住五个关键点,使函数中x取-π,-
,0,
,π,然
后求出相应的y值,作出图象.
(2)五点法作图是画三角函数的简图的常用方法,这五点主要指函数的零点及最
大值、最小值点,连线要保持光滑,注意凸凹方向.
(3)仔细观察图象,找出函数图象与y=1,y=a的交点及最大值,最小值点正确解答
问题.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y=
+sin
x,x∈[0,2π]上的图象.
【解析】取值列表如下:
描点,并将它们用光滑的曲线连接起来.(如图)
类型二 正弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.比较下列各组数的大小:
(1)sin
与sin
;
(2)sin
与cos
.
2.求函数y=-2sin
x-1的单调递增区间.
【思路导引】1.利用诱导公式将各个角化到一个单调区间,利用正弦函数
的单调性比较.
2.由题意,需求正弦函数y=sin
x的单调递减区间.
【解析】1.(1)因为-
<-
<-
<0,正弦函数y=sin
x在区间
上是增
函数,所以sin
>sin
.
(2)因为cos
=sin
,又
,
而正弦函数y=sin
x在
上是减函数
所以sin
>sin
,即sin
>cos
.
2.因为y=-2sin
x-1,
所以函数y=-2sin
x-1的递增区间就是函数y=sin
x的递减区间.所以
+2kπ
≤x≤
+2kπ(k∈Z),
所以函数y=-2sin
x-1的递增区间为
(k∈Z).
【解题策略】
利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定:利用诱导公式把角化到同一单调区间上.
(2)二比较:利用函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.函数y=9-sin
x的单调递增区间是( )
A.
(k∈Z)
B.
(k∈Z)
C.
(k∈Z)
D.
(k∈Z)
【解析】选B.y=9-sin
x的单调递增区间与y=sin
x的单调递减区间相同.
2.比较大小:
(1)sin
250°与sin
260°;(2)sin
与sin
.
【解析】(1)sin
250°=sin(180°+70°)=-sin
70°,sin
260°=sin(180°+
80°)=-sin
80°,
因为0°<70°<80°<90°,且函数y=sin
x,x∈
是增函数,所以sin
70°
80°,
所以-sin
70°>-sin
80°,即sin
250°>sin
260°.
(2)sin
=-sin
=-sin
=-sin
=-sin
.
sin
=-sin
=-sin
.
因为0<
<
<
,且函数y=sin
x,x∈
是增函数,所以sin
,
所以-sin
>-sin
,
即sin
.
类型三 正弦函数的值域与最值问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.(多选题)已知函数f(x)=2asin
x+a+b的定义域是
,值域为
[-5,-1],则a,b的值为( )
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
2.求函数f(x)=sin(π+x)+sin2x-1的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.
【思路导引】1.根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
2.利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,还原求最值.
【解析】1.选AC.因为f(x)=2asin
x+a+b的定义域是
,所以0≤sin
x≤1,
当a<0时,由题意
所以
当a>0时,由题意
解得
2.f(x)=sin(π+x)+sin2x-1=sin2x-sin
x-1,令t=sin
x,则y=t2-t-1=
-
,t∈
.
因为-1≤t≤1,所以-
≤y≤1,
所以ymax=1,此时sin
x=-1,x=-
+2kπ,k∈Z;
所以ymin=-
,此时sin
x=
,x=
+2kπ,k∈Z或x=
+2kπ,k∈Z.
【解题策略】
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y=asin
x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin
x≤1)求解.
(2)求形如y=asin2x+bsin
x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin
x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.
【跟踪训练】
1.求使下列函数取得最大值和最小值时的x值,并求出函数的最大值和最小值:
(1)y=2sin
x-1;(2)y=-sin2x+
sin
x+
.
【解析】(1)由-1≤sin
x≤1知,当x=
+2kπ,k∈Z时函数y=2sin
x-1取得最大
值,ymax=1;
当x=
π+2kπ,k∈Z时函数y=2sin
x-1取得最小值,ymin=-3.
(2)y=-sin2x+
sin
x+
=
,因为-1≤sin
x≤1,所以当
sin
x=
,即x=
+2kπ或x=
+2kπ(k∈Z)时,函数取得最大值,ymax=
;
当sin
x=-1,即x=
+2kπ(k∈Z)时,函数取得最小值,ymin=-
-
.
2.设f(x)=asin
x+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=b2sin
x+a2的最大值.
【解析】由题意,a≠0,
当a>0时,
所以
此时g(x)=sin
x+4的最大值为5.
当a<0时,
所以
此时g(x)=sin
x+4的最大值为5.
综上知g(x)的最大值为5.
备选类型 正弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.函数f(x)=
-sin
x在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.求函数y=
的定义域、值域和零点.
【思路导引】1.转化为函数图象的交点个数判断.
2.按照相关的概念列式,结合不等式、方程求解.
【解析】1.选B.令f(x)=
-sin
x=0,即
=sin
x,如图所示.
函数y=
与y=sin
x在[0,2π]上有两个交点,
故函数f(x)=
-sin
x有两个零点.
2.令
-2sin
x≥0,即sinx≤
,
解得
+2kπ≤x≤
+2kπ,k∈Z,
所以函数的定义域为
,k∈Z.
因为-1≤sin
x≤
,所以0≤
-2sin
x≤
+2,
所以0≤
≤
,
故函数的值域为
.
令y=
=0,
解得x=
+2kπ或x=
π+2kπ,k∈Z.
【解题策略】
关于正弦函数性质、图象的应用
(1)周期性的应用:正弦函数是周期函数,可以先研究其在一个周期内的性质,再推广到定义域内.
(2)奇偶性的应用:先确定函数的奇偶性,只研究函数在[0,+∞)上的性质,再利用奇偶函数的性质推广到(-∞,0]上.
(3)数形结合的应用:将问题转化为正弦函数与其他初等函数图象间的关系,利用图象解决问题.
【跟踪训练】
1.(2020·福州高一检测)函数y=
的定义域为( )
【解析】选D.要使函数有意义,则2sin(π-2x)-1≥0,
即sin2x≥
,则2kπ+
≤2x≤2kπ+
,k∈Z,
则kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z,
即函数的定义域为
.
2.函数f(x)=sin
x-
的零点个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选D.令f(x)=sin
x-
=0,即sin
x=
,
令y1=sin
x,y2=
,在同一坐标系内分别作出y1,y2的图象如图.
由图象可知图象有7个交点,即函数有7个零点.
【补偿训练】
求方程sin
x=lg
x的解的个数.
【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin
x,x∈[0,2π]
的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin
x的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg
x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin
x=lg
x的解有3个.
1.(教材二次开发:练习改编)函数y=2-sin
x在______上单调递增,在区间
________上单调递减.当x=______时,y取最大值______,当x=________时,y取最
小值________.?
【解析】函数y=2-sin
x的单调递增区间是函数y=sin
x的单调递减区间即
(k∈Z),
同理可得单调递减区间是
(k∈Z),
当x=2kπ-
,k∈Z时,y取最大值3.
当x=2kπ+
,k∈Z时,y取最小值1.
课堂检测·素养达标
答案:
(k∈Z)
(k∈Z) 2kπ-
,k∈Z 3
2kπ+
,k∈Z 1
2.已知a∈R,函数f(x)=sin
x-|a|,x∈R为奇函数,则a等于________.?
【解析】定义域x∈R,因为f(-x)=sin(-x)-|a|=-sin
x-|a|,又f(x)=-f(-x),所以sin
x-|a|=sin
x+|a|,所以|a|=0,即a=0.
答案:0
3.用五点法画出函数y=-2sin
x在区间[0,2π]上的简图.
【解析】列表:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
-2sin
x
0
-2
0
2
0
描点、连线得y=-2sin
x的图象如图.
七 正弦函数的图象与性质再认识
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.以下对正弦函数y=sin
x的图象描述不正确的是
( )
A.在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象形状相同,只是位置不同
B.介于直线y=1与直线y=-1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
课时素养评价
【解析】选C.由正弦函数y=sin
x在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)时的图象可知C项不正确.
2.不等式sin
x≥
,x∈(0,2π)的解集为
( )
【解析】选B.因为sin
x≥
,x∈(0,2π),结合y=sin
x的图象知
≤x≤
,故不等式sin
x≥
的解集为
.
3.函数y=sin
x,x∈
,则y的范围是
( )
A.[-1,1]
B.
C.
D.
【解析】选C.当x=
时,y取最小值
,当x=
时y取最大值1.
4.函数y=
的定义域为
( )
A.[0,π]
B.{第一或第二象限的角}
C.{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
D.(0,π)
【解析】选C.要使函数y=
有意义,则需sin
x≥0,由y=sin
x的图象
可得{x|2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}.
5.函数y=-2sin
x+10取最小值时,自变量x的集合是________.?
【解析】由题意知y=-2sin
x+10取最小值,就是sin
x取最大值,即x=
+2kπ,k∈Z.
答案:
6.求函数y=(sin
x-1)2+2的最大值和最小值,并说出取得最大值和最小值时相
应的x的值.
【解析】设t=sin
x,则有y=(t-1)2+2,
且t∈[-1,1],在闭区间[-1,1]上,
当t=-1时,函数y=(t-1)2+2取得最大值(-1-1)2+2=6.由t=sin
x=-1,得x=2kπ-
(k∈Z),
即当x=2kπ-
(k∈Z)时,函数y=(sin
x-1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]上,
当t=1时,
函数y=(t-1)2+2取得最小值,最小值为2.
由t=sin
x=1,得x=2kπ+
(k∈Z),
即当x=2kπ+
(k∈Z)时,函数y=(sin
x-1)2+2取得最小值2.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知a=
sin
59°,b=sin
15°+cos
15°,c=2
sin
31°·cos
31°,
则实数a,b,c的大小关系是( )
A.aB.aC.a≥c≥b
D.a≥b≥c
【解析】选B.a=
sin
59°,b=sin
15°+cos
15°=
sin
60°,c=2
sin
31°cos
31°=
sin
62°.
因为y=sin
x在
内单调递增,所以a2.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是
( )
A.y=|sin
x|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sin
x|
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
3.已知函数f(x)=2sin
x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的
最小值为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),
f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sin
x的
半个周期.因为f(x)=2sin
x的周期为2π,所以|x1-x2|的最小值为π.
4.设函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为
,令t=n-m,则t的最大值与最
小值的和为
( )
A.2π
B.
C.π
D.
【解析】选A.因为函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为
,结合正弦函数
y=sin
x的图象与性质,不妨取m=-
,n=
,此时n-m取得最大值为
,取
m=-
,n=
,n-m取得最小值为
,则t的最大值与最小值的和为2π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.已知函数f(x)=
·cos
x,则下列说法正确的是
( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于
中心对称
C.f(x)在区间
上单调递增
D.f(x)的值域为[-1,1]
【解析】选BC.因为函数f(x)=
·cos
x=
画出函数f(x)的图象,如图所示:
f(x)的最小正周期是2π,根据f(x)的图象,f(x)的图象关于
中心对称,f(x)
在区间
上单调递增,f(x)的值域为(-1,1).
6.函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选ABCD.f(x)=sin
x+2|sin
x|=
在同一坐标系内分
别作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,
当k>3或k<0时,两图象无交点;当k=3时,两图象有1个交点;当1有2个交点;当k=1或k=0时,两图象有3个交点;当0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数f(x)=lg(1+2sin
x)的定义域为________,值域为________.?
【解析】由1+2sin
x>0得sin
x>-
,
解得-
+2kπ+2kπ,k∈Z,
因为0<1+2sin
x≤3,故lg(1+2sin
x)≤lg
3.
答案:
,k∈Z
8.若x是三角形的最小角,则y=sin
x的值域是________.?
【解析】由三角形内角和为π知,
若x为三角形中的最小角,则0,
由y=sin
x的图象知y∈
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,
且当x∈
时,f(x)=sin
x.
(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.
(3)当f(x)≥
时,求x的取值范围.
【解析】(1)若x∈
,则-x∈
.
因为f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin
x.
若x∈
,则π+x∈
,
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,
所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin
x,
所以x∈[-π,0],f(x)=-sin
x.
(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:
(3)x∈[0,π],sin
x≥
,可得
≤x≤
,函数周期为π,因此x的取值范围
是kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z.
10.若函数y=a-bsin
x的最大值为
,最小值为-
,求函数f(x)=-4absin
x的
最值.
【解】①当b>0时,
由题意,得
解得
所以f(x)=-2sin
x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得
解得
所以f(x)=2sin
x,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
【创新迁移】
1.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是
( )
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为sin(π-x)=sin
x,
所以f(x)=asin
x+bx+c,
则f(1)=asin
1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin
1-b+c,
所以f(-1)=-f(1)+2c.①
把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;
把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;
把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;
把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c=
?Z.
2.已知函数f(x)=-sin2x+sin
x+a,若1≤f(x)≤
对一切x∈R恒成立,求实数a
的取值范围.
【解析】令t=sin
x,t∈[-1,1],则原函数可化为g(t)=-t2+t+a=-
+a+
.
当t=
时,g(t)max=a+
,即f(x)max=a+
;
当t=-1时,g(t)min=a-2,即f(x)min=a-2.
故对于一切x∈R,函数f(x)的值域为
.
所以
解得3≤a≤4.