(共72张PPT)
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
必备知识·自主学习
1.余弦函数的图象
把正弦函数y=sin
x的图象向左平移
个单位长度就得到余弦函数y=cos
x的
图象,该图象称为余弦曲线.
也可以用五点法画余弦函数的图象.
导思
1.怎么作余弦函数y=cos
x的图象?
2.余弦函数y=cos
x有哪些性质?
【思考】在[0,2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么?
提示:画余弦函数图象的五个关键点分别是(0,1),
,(π,-1),
,
(2π,1).
2.余弦函数的性质
(1)定义域:R
(2)周期性:最小正周期是2π.
(3)单调性:单调增区间:[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),
单调减区间:[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
(4)值域:[-1,1].
当x=2kπ,k∈Z时余弦函数y=cos
x取得最大值1;
当x=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数y=cos
x取得最小值-1.
(5)奇偶性:余弦函数y=cos
x在R上是偶函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ,k∈Z,
对称中心(kπ+
,0),k∈Z.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)余弦函数是偶函数,且与y轴只有一个交点.( )
(2)将余弦曲线向左平移
个单位得到正弦曲线.( )
(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos
x当且仅当x=0时取得最大值1.( )
答案:(1)√.
(2)√.
(3)×.y=cos
x在x=0和x=2π时取得最大值1.
2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2+cos
x取最大值时,x的取值的集合为
________.?
答案:{x|x=2kπ,k∈Z}
3.cos
1,cos
2,cos
3的大小关系是________.(用“>”连接)?
【解析】由于0<1<2<3<π,而y=cos
x在[0,π)上单调递减,所以cos
1>cos
2>
cos
3.
答案:cos
1>cos
2>cos
3
关键能力·合作学习
类型一 余弦函数的图象(直观想象、数学运算)
【典例】用“五点法”作出函数f(x)=-cos
x(x∈[0,2π])的图象.
【思路导引】直接用“五点法”列表画出y=f(x)=-cos
x的图象或先画出y=
cos
x的图象,再作其关于x轴对称的图象即得f(x)=-cos
x的图象.
【解析】按五个关键点列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-cos
x
-1
0
1
0
-1
描点连线,如图所示.
【解题策略】
利用“五点法”作图时需要注意的三点
(1)应用的前提条件是精确度要求不高.
(2)利用光滑的曲线连接时,一般最高(低)点的附近要平滑,不要出现“拐角”的现象.
(3)“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y=1-
cos
x,x∈[-2π,2π]的图象.
【解析】列表:
1-
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
cos
x
1
1
描点,连线,得到函数y=1-
cos
x在[0,2π]上的图象,再将该图象向左平移2π
个单位即可得到函数在[-2π,2π]上的图象,如图.
类型二 余弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)
【典例】(1)求函数y=1-cos
x的单调区间;
(2)比较大小:cos
与cos
.
【思路导引】(1)
y=1-cos
x的单调区间与y=cos
x的单调区间相反.
(2)利用诱导公式将两个角化到一个单调区间,利用余弦函数的单调性比较.
【解析】(1)因为y=cos
x在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上单调递增,
在[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上单调递减,
所以y=1-cos
x的单调递减区间是[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),单调递增区间是
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
(2)cos
=cos
=cos
,
cos
=cos
=cos
.
因为函数y=cos
x在[0,π]上单调递减,且0<
<
<π,所以cos
>cos
,即
cos
>cos
.
【解题策略】
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间,应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意定义域及复合函数单调性的规律.
求函数单调区间时,可以利用诱导公式将ω变为正值.由A的符号来确定单调性,若A>0,则其单调区间与余弦函数的单调性一致;若A<0,则单调性相反.
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数;
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上;
③利用三角函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.y=|cos
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.[0,π]
C.
D.
【解析】选D.将y=cos
x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折,x轴
上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos
x|的图象(如图).
2.三个数cos
,sin
,-cos
的大小关系是( )
A.sin
>cos
>-cos
B.cos
>-cos
>sin
C.cos
<-cos
D.-cos
【解析】选C.sin
=cos
,-cos
=cos
,因为π>
>
-
>π-
>0,而y=cos
x在[0,π]上单调递减,所
以cos
,
即cos
<-cos
.
类型三 余弦函数的值域(最值)问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.求函数y=
的值域;
2.求函数y=1-cos2x+4cos
x的值域.
【思路导引】1.这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性
去解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解.
2.换元法,构造二次函数求最值.
【解析】1.方法一:因为
当cos
x=-1时,
ymin=1+
=
,
所以函数的值域为
.
方法二:由y=
得cos
x=
.又因为-1≤cos
x<1,所以
所以
所以y≥
,即函数的值域为
.
2.y=1-cos
2x+4cos
x=-(cos
x-2)2+5,当cos
x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos
x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
【解题策略】
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y=acos
x+b的形式,借助余弦函数的有界性|cos
x|≤1求解.
(2)对于y=
的形式,采用分离常数法或反解出cos
x,再利用余弦函数
的有界性求解.
(3)对于y=acos
2x+bcos
x+c的形式,利用二次函数的有关知识求解.
【跟踪训练】
1.y=acos
x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
【解析】①a>0时
?a=2,b=1;
②a<0时
?a=-2,b=1.
综合①②得a=2,b=1或a=-2,b=1.
2.设x∈
,求函数y=4cos
2x-12cos
x-1的最大值与最小值.
【解析】设t=
cos
x,由于x∈
,所以t∈
,y=4t2-12t-1=4(t-
)2-
10,因为
t∈
,函数单调递减,所以当t=
-
,即x
=
时y有最大值6;当
t=1即x
=0时y有最小值-9.
备选类型 余弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.方程cos
x=lgx的实根的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.无数个
2.求函数y=
+lg(36-x2)的定义域.
【思路导引】1.注意方程与函数图象的联系,方程的解是两个函数图象的交点.
我们可以构造两个函数来求根.
2.列不等式组,分别解出不等式的解集,求交集.
【解析】1.选C.在同一坐标系中作函数y=cos
x与y=lgx的图象,如图显然两图
象有三个交点(xi,yi),其中xi∈(1,10)(i=1,2,3)是方程cos
x=lgx的解.
2.要使函数有意义,需
即
即
直接利用三角函数图象,如图,可得
x∈
或x∈
或x∈
,
即所求的定义域为
∪
∪
.
【解题策略】
1.用三角函数的图象解sin
x>a(或cos
x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin
x(或y=cos
x)的图象.
(2)确定sin
x=a(或cos
x=a)的x的值.
(3)确定sin
x>a(或cos
x>a)的解集.
2.利用函数的图象判断该函数对应方程的解的个数
(1)作出函数的图象,利用函数的图象与x轴的交点的个数判断.
(2)将该函数对应的方程拆分成两个简单函数,利用这两个函数图象交点的个数判断.
【跟踪训练】
1.方程2x=cos
x的解的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.无穷多个
【解析】选D.画出y=2x和y=cos
x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点
有无数个,故选D.
2.求函数y=
的定义域.
【解析】可以利用余弦函数的图象来解决.要使函数有意义,需
-cosx≥0,即
cosx≤
,则由图象可得定义域为
.
【补偿训练】
1.求函数y=
的定义域.
【解析】要使函数有意义,则2cos
x-
≥0,所以cos
x≥
.画出y=cos
x的
图象及直线y=
,如图,
由图象可知使cos
x≥
的x的取值范围是
,
函数
的定义域为
2.函数y=x2-cos
x的零点个数为________.?
【解析】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos
x的图象,如图所示,则两
个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos
x的零点有两个.
答案:2
1.函数f(x)=3cos
x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
【解析】选B.f(-x)=3cos
(-x)+4=3cos
x+4=f(x),所以函数的最小正周期为2π,是偶函数.
课堂检测·素养达标
2.使函数y=3-2cos
x取得最小值时的x的集合为( )
A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}
B.{x|x=2kπ,k∈Z}
C.{x|x=2kπ+
,k∈Z}
D.{x|x=2kπ-
,k∈Z}
【解析】选B.使函数y=3-2cos
x取得最小值时的x的集合,就是使函数y=cos
x
取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.
3.(教材二次开发:练习改编)利用余弦曲线,写出满足cos
x>0,x∈[0,2π]的x
的区间是______.?
【解析】画出y=cos
x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
满足cos
x>0的区间为
∪
.
答案:
∪
4.已知函数y=1+3cos(π-x),则当x=________时,函数取得最大值________.?
【解析】y=1+3cos(π-x)=1-3cos
x,
所以x=2kπ+π(k∈Z)时,函数取得最大值4.
答案:2kπ+π(k∈Z) 4
八 余弦函数的图象与性质再认识
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.函数y=1+cos
x的图象
( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=
对称
【解析】选B.函数y=1+cos
x是偶函数.
课时素养评价
2.函数y=cos
x-2在x∈[-π,π]上的大致图象是
( )
【解析】选A.函数y=cos
x-2是将函数y=cos
x向下平移2个单位得到的曲线.
3.从函数y=cos
x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos
x=-
的x有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.画出函数y=cos
x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=-
,可得有两
个交点.
4.函数y=2cos
x-1的单调递减区间是________.?
【解析】函数y=2cos
x-1的单调递减区间与函数y=cos
x的单调递减区间相同.
答案:[2kπ,π+2kπ](k∈Z)
5.函数y=-cos2x-cosx+2的最大值为________.
?
【解析】y=-cos
2x-cos
x+2
=
因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=-
时,ymax=
.
答案:
6.求作函数y=-2cos
x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
【解析】列表如下:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-2cos
x+3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y=-2cos
x+3在一个周期内的图象:
由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时函数取得最大值,ymax=5.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=sin
(x∈R),下面结论错误的是
( )
A.
函数f(x)的最小正周期为2π
B.
函数f(x)在区间
上是增函数
C.
函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.
函数f(x)是奇函数
【解析】选D.因为y=sin
=-cos
x,所以T=2π,A正确;
因为y=cos
x在
上是减函数,所以y=-cos
x在
上是增函数,B正确;
由图象知y=-cos
x关于直线x=0对称,C正确;
y=-cos
x是偶函数,D错误.
【补偿训练】
函数f(x)=
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选A.定义域为R,f(-x)=
则f(x)是奇函数.
2.函数y=cos
x与函数y=-cos
x的图象
( )
A.关于直线x=1对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选C.作出函数y=cos
x与函数y=-cos
x的简图(略),易知它们关于x轴对称.
3.已知函数y=cos
x在(a,b)上是增函数,则y=cos
x在(-b,-a)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.增函数或减函数
D.以上都不对
【解析】选B.因为函数y=cos
x为偶函数,所以在关于y轴对称的区间上单调性相反.
【补偿训练】
(2020·兰州高一检测)若函数y=sin
x和y=cos
x在区间D上都是增函数,则区间D可以是
( )
【解析】选D.因为函数y=sin
x和y=cos
x在区间D上都是增函数,则区间D
为
,k∈Z.
4.函数y=cos
x+|cos
x|,x∈[0,2π]的大致图象为
( )
【解析】选D.y=cos
x+|cos
x|=
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.下列选项能使cos
x=
有意义的m的值为
( )
A.m≥0
B.m≤0
C.-1D.m<-1或m>1
【解析】选BC.由|cos
x|≤1得|
|≤1解得m≤0.
6.函数y=-cos
x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
( )
A.
B.(π,1)
C.(0,
1)
D.(-π,1)
【解析】选BD.用五点作图法作出函数y=-cos
x的图象,易知与y轴最近的最高
点的坐标为(π,1)和(-π,1).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=cos
x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点坐标为________.?
【解析】作出函数y=cos
x+4,x∈[0,2π]的图象(图略),容易发现它与直线
y=4的交点坐标为
,
.
答案:
,
8.函数y=
的定义域是________.函数y=
(cos
2x+2cos
x+1)的值域
为________.
?
【解析】函数y=
有意义,则cos
x>0,由余弦函数y=cos
x的图象可知,
当2kπ-
(k∈Z)时cos
x>0,
故函数y=
的定义域为
cos
x∈(-1,1],cos
2x+2cos
x+1∈(0,4],所以y=
(cos
2x+2cos
x+1)∈
[-2,+∞).
答案:
,k∈Z [-2,+∞)
【补偿训练】
已知函数y=cos
x的定义域为[a,b],值域为
,则b-a的值不可能是
______(填序号).?
①
;②
;③π;④
;⑤
.
【解析】结合已知条件和余弦函数的图象(图略)可知,y取-
和1的最近的x
值相差
-0=
,所以b-a的值应不小于
,y取-
和1的最远的x值相差
-
=
,所以b-a的值应不大于
.故b-a的值不可能是
和
.
答案:①⑤
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数f(x)=asin
x+b
+1满足f(
)=7,求f(
).
【解析】设F(x)=f(x)-1=asin
x+b
,显然F(-x)=-asin
x-btanx=-F(x),
故F(x)为奇函数.又因为F
=f
-1=6,
10.已知函数y=a-bcos
x的最大值是
,最小值是-
,求函数y=-4bsin
ax的最
大值、最小值及周期.
【解析】因为-1≤cos
x≤1,由题意知b≠0.
当b>0时-b≤-bcos
x≤b,所以a-b≤a-bcos
x≤a+b.
所以
解得
所以y=-4bsin
ax=-4sin
x.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时b≤-bcos
x≤-b,所以a+b≤a-bcos
x≤a-b.
所以
解得
所以y=-4bsin
ax=4sin
x.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
【创新迁移】
1.若函数y=cos
x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.?
【解析】因为y=cos
x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π答案:(-π,0]
2.已知函数y=
cos
x+
|cos
x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.
【解析】(1)y=
cos
x+
|cos
x|=
函数图象如图:
(2)由图象可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象可知函数的单调递增区间为
(k∈Z).温馨提示：
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5.2 余弦函数的图象与性质再认识
新课程标准
学业水平要求
1.借助单位圆能画出余弦函数的图象;2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;3.借助图象理解余弦函数在上的性质.
水平一1.能借助教材实例了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值、零点.(数学抽象)2.能借助单位圆、科学计算器了解余弦函数的图象,能利用五点法作简单的与余弦函数有关的函数图象.(直观想象)3.能借助教材实例,会利用余弦函数的图象与性质解决简单的问题.(数学运算)水平二会用五点法作出与余弦函数有关的函数的图象,会利用余弦函数的图象、性质解决相关的问题.(直观想象)
必备知识·自主学习
导思
1.怎么作余弦函数y=cos
x的图象?2.余弦函数y=cos
x有哪些性质?
1.余弦函数的图象
把正弦函数y=sin
x的图象向左平移个单位长度就得到余弦函数y=cos
x的图象,该图象称为余弦曲线.
也可以用五点法画余弦函数的图象.
思考:在[0,2π]上画余弦函数图象的五个关键点是什么?
提示:画余弦函数图象的五个关键点分别是(0,1),,(π,-1),,
(2π,1).
2.余弦函数的性质
(1)定义域:R
(2)周期性:最小正周期是2π.
(3)单调性:单调增区间:[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),
单调减区间:[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
(4)值域:[-1,1].
当x=2kπ,k∈Z时余弦函数y=cos
x取得最大值1;
当x=(2k+1)π,k∈Z时,余弦函数y=cos
x取得最小值-1.
(5)奇偶性:余弦函数y=cos
x在R上是偶函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ,k∈Z,
对称中心(kπ+,0),k∈Z.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)余弦函数是偶函数,且与y轴只有一个交点.( )
(2)将余弦曲线向左平移个单位得到正弦曲线.( )
(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos
x当且仅当x=0时取得最大值1.( )
答案:(1)√.
(2)√.
(3)×.y=cos
x在x=0和x=2π时取得最大值1.
2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2+cos
x取最大值时,x的取值的集合为________.?
答案:{x|x=2kπ,k∈Z}
3.cos
1,cos
2,cos
3的大小关系是________.(用“>”连接)?
【解析】由于0<1<2<3<π,而y=cos
x在[0,π)上单调递减,所以cos
1>cos
2>
cos
3.
答案:cos
1>cos
2>cos
3
关键能力·合作学习
类型一 余弦函数的图象(直观想象、数学运算)
【典例】用“五点法”作出函数f(x)=-cos
x(x∈[0,2π])的图象.
【思路导引】直接用“五点法”列表画出y=f(x)=-cos
x的图象或先画出y=
cos
x的图象,再作其关于x轴对称的图象即得f(x)=-cos
x的图象.
【解析】按五个关键点列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-cos
x
-1
0
1
0
-1
描点连线,如图所示.
利用“五点法”作图时需要注意的三点
(1)应用的前提条件是精确度要求不高.
(2)利用光滑的曲线连接时,一般最高(低)点的附近要平滑,不要出现“拐角”的现象.
(3)“五点法”作出的余弦函数一个周期上的图象是余弦曲线的一部分.
用“五点法”画出函数y=1-cos
x,x∈[-2π,2π]的图象.
【解析】列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
1-
cos
x
1
1
描点,连线,得到函数y=1-
cos
x在[0,2π]上的图象,再将该图象向左平移
2π个单位即可得到函数在[-2π,2π]上的图象,如图.
类型二 余弦函数的单调性及应用(直观想象、数学运算)
【典例】(1)求函数y=1-cos
x的单调区间;
(2)比较大小:cos
与cos.
【思路导引】(1)
y=1-cos
x的单调区间与y=cos
x的单调区间相反.
(2)利用诱导公式将两个角化到一个单调区间,利用余弦函数的单调性比较.
【解析】(1)因为y=cos
x在[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上单调递增,在[2kπ,
(2k+1)π](k∈Z)上单调递减,
所以y=1-cos
x的单调递减区间是[(2k-1)π,2kπ](k∈Z),单调递增区间是
[2kπ,(2k+1)π](k∈Z).
(2)cos
=cos
=cos,
cos
=cos=cos
.
因为函数y=cos
x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,所以cos
>cos,即
cos
>cos
.
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间,应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意定义域及复合函数单调性的规律.
求函数单调区间时,可以利用诱导公式将ω变为正值.由A的符号来确定单调性,若A>0,则其单调区间与余弦函数的单调性一致;若A<0,则单调性相反.
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数;
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上;
③利用三角函数的单调性比较大小.
1.y=|cos
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.[0,π]
C.
D.
【解析】选D.将y=cos
x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折,x轴上方(或x轴上)的图象不变,即得y=|cos
x|的图象(如图).
2.三个数cos
,sin,-cos
的大小关系是( )
A.sin>cos
>-cos
B.cos>-cos>sin
C.cos
D.-cos
【解析】选C.sin=cos,-cos
=cos
,
因为π>>->π->0,而y=cos
x在[0,π]上单调递减,所以cos
<
cos
即cos
<-cos
.
类型三 余弦函数的值域(最值)问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.求函数y=的值域;
2.求函数y=1-cos2x+4cos
x的值域.
【思路导引】1.这类三角函数一般先化为部分分式,再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解.
2.换元法,构造二次函数求最值.
【解析】1.方法一:因为y===1-,当cos
x=-1时,ymin=1+=,
所以函数的值域为.
方法二:由y=得cos
x=.
又因为-1≤cos
x<1,所以
所以
所以y≥,即函数的值域为.
2.y=1-cos
2x+4cos
x=-(cos
x-2)2+5,当cos
x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,当cos
x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
与余弦函数相关的值域(最值)问题的求法
(1)对于y=acos
x+b的形式,借助余弦函数的有界性|cos
x|≤1求解.
(2)对于y=的形式,采用分离常数法或反解出cos
x,再利用余弦函数的有界性求解.
(3)对于y=acos
2x+bcos
x+c的形式,利用二次函数的有关知识求解.
1.y=acos
x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
【解析】①a>0时?a=2,b=1;
②a<0时?a=-2,b=1.
综合①②得a=2,b=1或a=-2,b=1.
2.设x∈,求函数y=4cos
2x-12cos
x-1的最大值与最小值.
【解析】设t=
cos
x,由于x∈,所以t∈,
y=4t2-12t-1=4(t-)2-10,因为
t∈,函数单调递减,所以当t=
-,即x
=时y有最大值6;当t=1即x
=0时y有最小值-9.
备选类型 余弦函数图象与性质的应用(直观想象、数学运算)
【典例】1.方程cos
x=lgx的实根的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.无数个
2.求函数y=+lg(36-x2)的定义域.
【思路导引】1.注意方程与函数图象的联系,方程的解是两个函数图象的交点.我们可以构造两个函数来求根.
2.列不等式组,分别解出不等式的解集,求交集.
【解析】1.选C.在同一坐标系中作函数y=cos
x与y=lgx的图象,如图显然两图象有三个交点(xi,yi),其中xi∈(1,10)(i=1,2,3)是方程cos
x=lgx的解.
2.要使函数有意义,需
即即直接利用三角函数图象,如图,可得x∈或x∈或x∈,
即所求的定义域为∪∪.
1.用三角函数的图象解sin
x>a(或cos
x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin
x(或y=cos
x)的图象.
(2)确定sin
x=a(或cos
x=a)的x的值.
(3)确定sin
x>a(或cos
x>a)的解集.
2.利用函数的图象判断该函数对应方程的解的个数
(1)作出函数的图象,利用函数的图象与x轴的交点的个数判断.
(2)将该函数对应的方程拆分成两个简单函数,利用这两个函数图象交点的个数判断.
1.方程2x=cos
x的解的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.无穷多个
【解析】选D.画出y=2x和y=cos
x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.
2.求函数y=的定义域.
【解析】可以利用余弦函数的图象来解决.要使函数有意义,需-cosx≥0,即cosx≤,则由图象可得定义域为.
【补偿训练】
1.求函数y=的定义域.
【解析】要使函数有意义,则2cos
x-≥0,所以cos
x≥.画出y=cos
x的图象及直线y=,如图,
由图象可知使cos
x≥的x的取值范围是,k∈Z,
函数y=的定义域为.
2.函数y=x2-cos
x的零点个数为________.?
【解析】在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos
x的图象,如图所示,则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos
x的零点有两个.
答案:2
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)=3cos
x+4是( )
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为2π的奇函数
【解析】选B.f(-x)=3cos
(-x)+4=3cos
x+4=f(x),所以函数的最小正周期为
2π,是偶函数.
2.使函数y=3-2cos
x取得最小值时的x的集合为( )
A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}
B.{x|x=2kπ,k∈Z}
C.{x|x=2kπ+,k∈Z}
D.{x|x=2kπ-,k∈Z}
【解析】选B.使函数y=3-2cos
x取得最小值时的x的集合,就是使函数y=cos
x取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.
3.(教材二次开发:练习改编)利用余弦曲线,写出满足cos
x>0,x∈[0,2π]的x的区间是______.?
【解析】画出y=cos
x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
满足cos
x>0的区间为∪.
答案:∪
4.已知函数y=1+3cos(π-x),则当x=________时,函数取得最大值________.?
【解析】y=1+3cos(π-x)=1-3cos
x,
所以x=2kπ+π(k∈Z)时,函数取得最大值4.
答案:2kπ+π(k∈Z) 4
课时素养评价
八 余弦函数的图象与性质再认识
(15分钟 30分)
1.函数y=1+cos
x的图象 ( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
【解析】选B.函数y=1+cos
x是偶函数.
2.函数y=cos
x-2在x∈[-π,π]上的大致图象是( )
【解析】选A.函数y=cos
x-2是将函数y=cos
x向下平移2个单位得到的曲线.
3.从函数y=cos
x,x∈[0,2π)的图象来看,对于cos
x=-的x有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.画出函数y=cos
x,x∈[0,2π)的简图,作直线y=-,可得有两个交点.
4.函数y=2cos
x-1的单调递减区间是________.?
【解析】函数y=2cos
x-1的单调递减区间与函数y=cos
x的单调递减区间相同.
答案:[2kπ,π+2kπ](k∈Z)
5.函数y=-cos2x-cosx+2的最大值为________.
?
【解析】y=-cos
2x-cos
x+2=-+.
因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=-时,ymax=.
答案:
6.求作函数y=-2cos
x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
【解析】列表如下:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-2cos
x+3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y=-2cos
x+3在一个周期内的图象:
由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时函数取得最大值,ymax=5.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A.
函数f(x)的最小正周期为2π
B.
函数f(x)在区间上是增函数
C.
函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.
函数f(x)是奇函数
【解析】选D.因为y=sin=-cos
x,
所以T=2π,A正确;因为y=cos
x在上是减函数,所以y=-cos
x在上是增函数,B正确;
由图象知y=-cos
x关于直线x=0对称,C正确;
y=-cos
x是偶函数,D错误.
【补偿训练】
函数f(x)=( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
【解析】选A.定义域为R,f(-x)===-f(x),则f(x)是奇函数.
2.函数y=cos
x与函数y=-cos
x的图象( )
A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选C.作出函数y=cos
x与函数y=-cos
x的简图(略),易知它们关于x轴对称.
3.已知函数y=cos
x在(a,b)上是增函数,则y=cos
x在(-b,-a)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.增函数或减函数
D.以上都不对
【解析】选B.因为函数y=cos
x为偶函数,所以在关于y轴对称的区间上单调性相反.
【补偿训练】
(2020·兰州高一检测)若函数y=sin
x和y=cos
x在区间D上都是增函数,则区间D可以是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为函数y=sin
x和y=cos
x在区间D上都是增函数,则区间D为,k∈Z.
4.函数y=cos
x+|cos
x|,x∈[0,2π]的大致图象为( )
【解析】选D.y=cos
x+|cos
x|=
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列选项能使cos
x=有意义的m的值为( )
A.m≥0
B.m≤0
C.-1D.m<-1或m>1
【解析】选BC.由|cos
x|≤1得||≤1解得m≤0.
6.函数y=-cos
x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )
A.
B.(π,1)
C.(0,
1)
D.(-π,1)
【解析】选BD.用五点作图法作出函数y=-cos
x的图象,易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1)和(-π,1).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=cos
x+4,x∈[0,2π]的图象与直线y=4的交点坐标为________.?
【解析】作出函数y=cos
x+4,x∈[0,2π]的图象(图略),容易发现它与直线y=4的交点坐标为,.
答案:,
8.函数y=lo(cos
x)的定义域是________.函数y=lo(cos
2x+2cos
x+1)的值域为________.
?
【解析】函数y=lo(cos
x)有意义,则cos
x>0,由余弦函数y=cos
x的图象可知,当2kπ-x>0,
故函数y=lo
(cos
x)的定义域为
;
cos
x∈(-1,1],cos
2x+2cos
x+1∈(0,4],所以y=lo(cos
2x+2cos
x+1)∈[-2,
+∞).
答案:,k∈Z [-2,+∞)
【补偿训练】
已知函数y=cos
x的定义域为[a,b],值域为,则b-a的值不可能是______(填序号).?
①;
②;
③π;
④;
⑤.
【解析】结合已知条件和余弦函数的图象(图略)可知,y取-和1的最近的x值相差-0=,所以b-a的值应不小于,y取-和1的最远的x值相差-=,所以b-a的值应不大于.故b-a的值不可能是和.
答案:①⑤
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数f(x)=asin
x+b+1满足f()=7,求f().
【解析】设F(x)=f(x)-1=asin
x+b,显然
F(-x)=-asin
x-btanx=-F(x),故F(x)为奇函数.
又因为F=f-1=6,
F=F=asin+b=asin+b
=F=-F=-6,f=f,f=-F+1=-5.
10.已知函数y=a-bcos
x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin
ax的最大值、最小值及周期.
【解析】因为-1≤cos
x≤1,由题意知b≠0.
当b>0时-b≤-bcos
x≤b,所以a-b≤a-bcos
x≤a+b.
所以解得
所以y=-4bsin
ax=-4sin
x.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时b≤-bcos
x≤-b,所以a+b≤a-bcos
x≤a-b.
所以解得
所以y=-4bsin
ax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
1.若函数y=cos
x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________.?
【解析】因为y=cos
x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有
-π答案:(-π,0]
2.已知函数y=cos
x+|cos
x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.
【解析】(1)y=cos
x+|cos
x|=
函数图象如图:
(2)由图象可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象可知函数的单调递增区间为(k∈Z).
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