(共64张PPT)
§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin
ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
必备知识·自主学习
1.函数y=sin(ωx+φ)的性质
(1)定义域:R.
(2)值域:[-1,1].
(3)周期:最小正周期T=
.
导思
1.ω对函数y=sin(ωx+φ)的图象有什么影响?
2.φ对函数y=sin(ωx+φ)的图象有什么影响?
3.函数y=sin(ωx+φ)有哪些性质?
(4)当ωx+φ=2kπ+
,k∈Z时,y最大值为1;
当ωx+φ=2kπ-
,k∈Z时,y最小值为-1.
其他性质:函数y=sin(ωx+φ)周期的倒数
=
为函数y=sin(ωx+φ)的频率.
函数
y=sin(ωx+φ)中通常称φ为初相,ωx+φ为相位.
思考:如何画函数y=sin(ωx+φ)在一个周期上的图象?
提示:令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点
(0,0),
,(π,0),
,(2π,0)的横坐标,
求出x值作为横坐标,纵坐标不变,五点法作图.
2.常数ω,φ对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
(1)ω(ω>0)对函数图象的影响
y=sin
x
y=sin
ωx.
(2)φ对函数图象的影响
y=sin
x
y=sin(x+φ)
思考：由一般的函数f(x)的图象怎样得到函数f(x+a)的图象?
提示:将函数f(x)的图象当a>0时,向左平移a个单位;当a<0时,向右平移-a个单位.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=sin
的周期是π.
( )
(2)将函数y=sin
x图象上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函
数y=sin
2x的图象.
( )
(3)将函数y=2sin
中,初相是
.
( )
提示:(1)×.周期为2π.
(2)×.得到函数y=sin
x的图象.
(3)×.初相为-
.
2.函数y=sin
+1的最小正周期为
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选B.
T=
=π.
3.(教材二次开发:例题改编)将函数y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短到原
来的
(纵坐标不变)得____的图象.?
【解析】依题意知将y=sin
x图象上所有点的横坐标缩短到原来的
后可得
y=sin6x的图象.
答案:y=sin
6x
关键能力·合作学习
类型一 函数y=sin(ωx+φ)的图象变换(直观想象、数学运算)
【典例】1.将函数y=sin
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变),再向右平移
个单位得到的图象对应的解析式是
( )
A.y=sin
x
B.y=sin
C.y=sin
2x
D.y=sin
2.(2020·白银高一检测)把函数y=sin
的图象向左平移φ(φ>0)个单位
长度,所得图象正好关于原点对称,则φ的最小值为________.?
【思路导引】1.逐一代入变换条件,求解析式.
2.先表示出平移后的解析式,再利用图象关于原点对称求最小值.
【解析】
1.选B.将函数y=sin
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变),可得y=sin
的图象;
再向右平移
个单位,得到的图象对应的解析式为y=sin
=sin
.
2.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin
的图象,再
根据所得图象关于原点对称,可得
+φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,
得
+φ=2π,φ=
.
答案:
【解题策略】
(1)变换的要点:
①ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的
倍;
②φ:左右平移的单位是
.
(2)变换的方向:进行图象变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变
换到另一个函数.
【跟踪训练】
1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=sin
的图象,只要把y=sin
x
的图象上所有的点
( )
A.向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【解析】选C.y=sin
=sin
,
所以得到函数y=sin
的图象,
只要把y=sin
x的图象上所有的点向左平移
个单位.
2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin
2x的图象向右平移1个单位长度后得
到g(x)的图象,则g(x)=( )
A.sin(2x-1)
B.sin(2x+1)
C.sin(2x-2)
D.sin(2x+2)
【解析】选C.将函数f(x)=sin
2x的图象向右平移1个单位长度后得到
g(x)=sin
=sin(2x-2)的图象,所以g(x)=sin(2x-2).
类型二 函数y=sin(ωx+φ)
中φ的求法
(直观想象、数学运算)
【典例】已知函数f(x)=sin
+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)
的图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1)求f
的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐
标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减
区间.
【思路导引】(1)由函数为偶函数确定φ-
的值进而得到φ的值,再根据相邻
对称轴间的距离得出周期,从而求得ω的值便可获得函数解析式,最后求得f
的值;(2)先根据图象变换规则求出g(x)的解析式,再求单调区间.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以
φ-
=kπ+
(k∈Z)即φ=kπ+
(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=
,故
f(x)=sin
+1=cos
ωx+1,
因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
,
所以T=
=2×
,解得ω=2.
因此f(x)=cos2x+1,故f
=cos
+1=
+1.
(2)将f(x)的图象向右平移
个单位长度后,得到函数f
的图象,再将所得
图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f
的图象,所以
g(x)=f
=cos
+1,
由2kπ≤
≤2kπ+π(k∈Z),
解得4kπ+
≤x≤4kπ+
(k∈Z),
故函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
【解题策略】
确定y=sin(ωx+φ)中参数φ的方法
(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求;(2)寻找“五点作图法”中的某一
个点来求,具体如下:利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令
ωx+φ=0;利用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+φ=
;利用“第三
点”时,令ωx+φ=π;利用“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+φ=
π;
利用“第五点”时,令ωx+φ=2π.
注意:要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”.
【变式探究】
本例(2)中,若改为“将f(x)的图象向右平移φ
个单位长度,再将得
到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,
使h(x)的一个对称轴为x=-
”,求φ的值.
【解析】依题意有h(x)=f
=cos
+1,
因为其图象的对称轴为x=-
,
所以
·
-2φ=kπ,解得φ=-
-
(k∈Z),
又因为0<φ<
,所以取k=-1得φ=
.
类型三
函数y=sin(ωx+φ)的性质与图象的应用(直观想象、数学运算)
【典例】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线
x=
.
(1)求此函数的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
【思路导引】(1)利用相位2x+φ等于kπ+
,k∈Z求φ.
(2)利用相位
2x+φ在正弦函数y=sin
x单调增区间内求单调增区间.
【解析】(1)因为x=
是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以
sin(2×
+φ)=±1,所以
+φ=kπ+
(k∈Z),
因为-π<φ<0,所以φ=-
.因此y=sin
.
(2)由(1)知y=sin
.
由题意得2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z),
即kπ+
≤x≤kπ+
π(k∈Z),
所以函数y=sin
的单调递增区间为
(k∈Z).
【解题策略】
函数y=sin(ωx+φ)单调性问题的解题策略
求y=sin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数ω化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的自变量x的范围.
【跟踪训练】
函数y=sin(ωx+φ)
在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个
最小值,且当x=π时最大值为1,当x=6π时,最小值为-1.
(1)求此函数的解析式.
(2)求此函数的单调递增区间.
【解析】(1)由题意得
T=5π,所以T=10π,
所以ω=
,则y=sin
.
因为点(π,1)在此函数图象上,则sin
=1,
又因为0≤φ≤
,有φ=
=
,
所以y=sin
.
(2)当-
+2kπ≤
x+
≤
+2kπ,k∈Z,
即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时,
函数y=sin
单调递增.所以此函数的单调递增区间为
[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).
1.函数y=sin(-2x),x∈[0,2π]的简图是
( )
课堂检测·素养达标
【解析】选D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函数的最小正周期为π,函数y的图象为两个周期,故A,B均错;由x∈
可得2x∈
,y=sin(-2x)<0.
2.已知函数f(x)=sin(2x+
),将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数
g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意得g(x)=sin
=sin
,因为g(x)为偶
函数,所以函数g(x)的图象关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或
最小值,所以sin
=±1,所以-2φ+
=kπ+
,k∈Z,
解得φ=-
-
,k∈Z,
因为φ>0,所以当k=-1时φmin=
.
3.已知函数y=sin
,则该函数的最小正周期、初相分别是____,______.?
【解析】由函数y=sin
的解析式知,最小正周期为T=
=10π,初相
为
.
答案:10π
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内,当
x=
时有最大值1,当x=
时有最小值-1,则ω=________.?
【解析】由题意知T=2×
=π,所以ω=
=2.
答案:2
九 探究ω对y=sinωx的图象的影响 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.将函数y=sin
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变),再将所得图象向左平移
个单位长度,则所得函数图象对应的解析式为
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
x
D.y=sin
课时素养评价
【解析】选D.函数y=sin
的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得
y=sin
的图象,再将此图象向左移
个单位长度,得y=sin
=sin
的图象.
2.若x1=
,x2=
是函数f(x)=sin
ωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω=( )
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选A.由题意及函数y=sin
ωx的图象与性质可知,
T=
-
,所以
T=π,所以
=π,所以ω=2.
3.函数f(x)=sin
,x∈[-π,0]的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.令2kπ-
≤x-
≤2kπ+
,k∈Z,
解得2kπ-
≤x≤2kπ+
,k∈Z,又-π≤x≤0
所以-
≤x≤0.
4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图所示,则φ=_______.
【解析】由题意得
=2π-
π,所以T=
π,ω=
.
又由x=
π时y=-1得-1=sin
,-
<
π+φ≤
π,
所以
π+φ=
π,所以φ=
π.
答案:
π
5.已知ω>0,函数f(x)=sin
在
上单调递减,则ω的取值范围是
________.
?
【解析】结合y=sin
ωx的图象可知y=sin
ωx在
上单调递减,而
y=sin
=sin
,可知y=sin
ωx的图象向左平移
个单位之后
可得y=sin
的图象,故y=sin
在
上单调递减,
应有
?
,解得
≤ω≤
.
答案:
6.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,
再把所得的图象沿x轴向左平移
个单位长度,这样得到的图象与y=
sin
x
的图象相同,求f(x)的解析式.
【解析】(反过来想)y=
sin
x的图象
y=
sin
的图象
y=
sin
的图象,
即所求解析式为y=
sin
.
向右平移
个单位
横坐标变为原来的
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移
个单位后得到的图象关于点
对称,则|φ|的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移
个单位后得到的函数为
y=sin
=sin
,由3x+
=kπ(k∈Z),
得x=
(k∈Z).令
=
(k∈Z).
所以φ=kπ-
(k∈Z),|φ|的最小值为
.
2.将函数f(x)=sin
的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后,
所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数
g(x)=sin
的图象,向右平移φ(φ>0)个单位长度得函数
h(x)=sin
的图象,于是2φ+
=
+kπ,k∈Z,-2φ+
=
+kπ,
k∈Z,于是φ的最小值分别为
.
3.函数y=sin
ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值是
( )
A.98π
B.98.5π
C.99.5π
D.100π
【解析】选C.由题意得
×T≤1即
×
≤1,所以ω≥99.5π.
4.已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin
,则下面结论中正确的是
( )
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平
移
个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平
移
个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平
移
个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平
移
个单位长度,得到曲线C2
【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin
,故把C1上各点的横
坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,可得y=sin
2x的图象;再把得到的曲线向
左平移
个单位长度,得到曲线C2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)的以下说法,不正确的是
( )
A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
B.存在φ,使f(x)是偶函数
C.存在φ,使f(x)是奇函数
D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数
【解析】选AD.当φ=0时,f(x)=sin
x,是奇函数;当φ=
时,f(x)=cos
x,是偶
函数.
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,为了与g(x)=-cos
ωx的图
象重合,可以将f(x)的图象
( )
A.向右平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位
D.向左平移
个单位
【解析】选BC.由题图所示可知T=4
=π,所以ω=
=2,
f(x)=sin
,g(x)=-cos
2x=-sin
=sin
=sin
(k∈Z),可验证得k=0时,B正确,k=1时,C正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数y=sin(2x+φ)
的图象关于直线x=
对称,则φ的值为
________.?
【解析】由题意得f
=sin
=±1,
所以
+φ=kπ+
,k∈Z,所以φ=kπ-
,k∈Z.
因为φ∈
,所以φ=-
.
答案:-
8.函数y=sin
的图象可由函数y=sin
x的图象作两次变换得到,第一次
变换是针对函数y=sin
x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图
象而言的.现给出下列四个变换:①图象上所有点向右平移
个单位;②图象上
所有点向右平移
个单位;③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不
变);④图象上所有点的横坐标变为原来的
(纵坐标不变).
请按顺序写出两次变换的代表序号:________.(只需填写一组)
【解析】y=sin
x图象上所有点向右平移
个单位,得y=sin
,再将图象
上所有点的横坐标变为原来的
(纵坐标不变),得y=sin
.故选②④.或
y=sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的
(纵坐标不变),得y=sin2x,再将
图象上所有点向右平移
个单位得y=sin
2
=sin
,故选④①.
答案:④①或②④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=sin
,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间
上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
【解析】(1)最小正周期T=
=π,
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z),
得kπ-
≤x≤kπ+
(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
(2)令t=2x-
,则由
≤x≤
可得0≤t≤
,
所以当t=
即x=
时,ymin=-
,所以当t=
即x=
时,ymax=1.
10.已知定义在区间
上的函数f(x)的图象关于直线x=-
对称,当
x∈
时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图所示.
(1)求f(x)在
上的解析式.
(2)求方程f(x)=
的解.
【解析】(1)由图知T=4
=2π,则ω=
=1,在x∈
时将
代入
f(x)得,f（
）=sin
=1,因为0≤φ≤π,所以φ=
,
所以在x∈
时,f(x)=sin
.
当-π≤x<-
时,-
<-x-
≤
,f
=sin
,
因为y=f(x)关于x=-
对称,所以f(x)=f
=sin
=-sin
x.
综上f(x)=
(2)由f(x)=
在区间
内可得x1=
,x2=-
.因为y=f(x)关于
x=-
对称,
有x3=-
,x4=-
.则f(x)=
的解为-
,-
,
,-
【创新迁移】
1.若函数y=sin
的周期不大于1,则正整数k的最小值为__________.
?
【解析】因为T=
,且|T|≤1,即
≤1,且k为正整数,所以k≥6π,
因此kmin=19.
答案:19
2.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-
≤φ<
)图象上每一点的横坐标缩短为
原来的一半,纵坐标不变,再向右平移
个单位长度得到y=sin
x的图象.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
【解析】(1)将y=sin
x的图象向左平移
个单位长度可得y=sin
的图象,
保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin
的图象,故f(x)=sin
.
(2)令2kπ+
≤
x+
≤2kπ+
(k∈Z),则4kπ+
≤x≤4kπ+
(k∈Z),
又x∈[0,3π],所以x∈
,f(x)单调递增,x∈
,f(x)单调递减,
x∈
,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,y=
,当x=3π
时,y=-
.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈
∪{-1,1}.温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
§6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y=sin
ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
新课程标准
学业水平要求
1.结合具体实例,了解y=sin(ωx+φ)的实际意义;2.能借助图象了解参数ω,φ的意义;3.了解参数ω,φ对函数图象的影响.
水平一1.结合教材实例理解参数ω,φ的意义.(数学抽象)2.结合教材实例掌握参数ω,φ对正弦函数图象的影响.(直观想象)水平二会利用参数ω,φ对函数图象的影响解决相关的问题.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.ω对函数y=sin(ωx+φ)的图象有什么影响?2.φ对函数y=sin(ωx+φ)的图象有什么影响?3.函数y=sin(ωx+φ)有哪些性质?
1.函数y=sin(ωx+φ)的性质
(1)定义域:R.
(2)值域:[-1,1].
(3)周期:最小正周期T=.
(4)当ωx+φ=2kπ+,k∈Z时,y最大值为1;
当ωx+φ=2kπ-,k∈Z时,y最小值为-1.
其他性质:函数y=sin(ωx+φ)周期的倒数=为函数y=sin(ωx+φ)的频率.
函数
y=sin(ωx+φ)中通常称φ为初相,ωx+φ为相位.
思考:如何画函数y=sin(ωx+φ)在一个周期上的图象?
提示:令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点(0,0),,(π,0),,(2π,0)的横坐标,
求出x值作为横坐标,纵坐标不变,五点法作图.
2.常数ω,φ对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响
(1)ω(ω>0)对函数图象的影响
y=sin
xy=sin
ωx.
(2)φ对函数图象的影响
y=sin
xy=sin(x+φ)
由一般的函数f(x)的图象怎样得到函数f(x+a)的图象?
提示:将函数f(x)的图象当a>0时,向左平移a个单位;当a<0时,向右平移-a个单位.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=sin的周期是π.
( )
(2)将函数y=sin
x图象上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=sin
2x的图象.
( )
(3)将函数y=2sin中,初相是.
( )
提示:(1)×.周期为2π.
(2)×.得到函数y=sinx的图象.
(3)×.初相为-.
2.函数y=sin+1的最小正周期为
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选B.
T==π.
3.(教材二次开发:例题改编)将函数y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得____的图象.?
【解析】依题意知将y=sin
x图象上所有点的横坐标缩短到原来的后可得y=sin6x的图象.
答案:y=sin
6x
关键能力·合作学习
类型一 函数y=sin(ωx+φ)的图象变换(直观想象、数学运算)
【典例】1.将函数y=sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位得到的图象对应的解析式是
( )
A.y=sinx
B.y=sin
C.y=sin
2x
D.y=sin
2.(2020·白银高一检测)把函数y=sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象正好关于原点对称,则φ的最小值为________.?
【思路导引】1.逐一代入变换条件,求解析式.
2.先表示出平移后的解析式,再利用图象关于原点对称求最小值.
【解析】
1.选B.将函数y=sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
可得y=sin的图象;
再向右平移个单位,得到的图象对应的解析式为y=sin=sin.
2.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得y=sin的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得+φ=2π,φ=.
答案:
(1)变换的要点:
①ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的倍;
②φ:左右平移的单位是.
(2)变换的方向:进行图象变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.
1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=
sin的图象,只要把y=sinx的图象上所有的点
( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选C.y=sin=sin,
所以得到函数y=sin的图象,
只要把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位.
2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin
2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)=( )
A.sin(2x-1)
B.sin(2x+1)
C.sin(2x-2)
D.sin(2x+2)
【解析】选C.将函数f(x)=sin
2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=sin=sin(2x-2)的图象,所以g(x)=sin(2x-2).
类型二 函数y=sin(ωx+φ)
中φ的求法
(直观想象、数学运算)
【典例】已知函数f(x)=sin+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【思路导引】(1)由函数为偶函数确定φ-的值进而得到φ的值,再根据相邻对称轴间的距离得出周期,从而求得ω的值便可获得函数解析式,最后求得f的值;(2)先根据图象变换规则求出g(x)的解析式,再求单调区间.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以
φ-=kπ+(k∈Z)即φ=kπ+(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=,故
f(x)=sin+1=cos
ωx+1,
因为函数f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,
所以T==2×,解得ω=2.
因此f(x)=cos2x+1,故f=cos
+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f的图象,所以g(x)=f=cos
+1,
由2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),
解得4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),故函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z).
确定y=sin(ωx+φ)中参数φ的方法
(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求;(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求,具体如下:利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令ωx+φ=0;利用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+φ=;利用“第三点”时,令ωx+φ=π;利用“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+φ=π;利用“第五点”时,令ωx+φ=2π.
注意:要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”.
本例(2)中,若改为“将f(x)的图象向右平移φ个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数h(x)的图象,使h(x)的一个对称轴为x=-”,求φ的值.
【解析】依题意有h(x)=f=cos
+1,
因为其图象的对称轴为x=-,
所以·-2φ=kπ,解得φ=--(k∈Z),
又因为0<φ<,所以取k=-1得φ=.
类型三
函数y=sin(ωx+φ)的性质与图象的应用(直观想象、数学运算)
【典例】设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求此函数的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调增区间.
【思路导引】(1)利用相位2x+φ等于kπ+,k∈Z求φ.
(2)利用相位
2x+φ在正弦函数y=sin
x单调增区间内求单调增区间.
【解析】(1)因为x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,所以sin(2×+φ)=±1,所以+φ=kπ+(k∈Z),
因为-π<φ<0,所以φ=-.因此y=sin.
(2)由(1)知y=sin.
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z),
所以函数y=sin的单调递增区间为(k∈Z).
函数y=sin(ωx+φ)单调性问题的解题策略
求y=sin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数ω化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的自变量x的范围.
函数y=sin(ωx+φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时最大值为1,当x=6π时,最小值为-1.
(1)求此函数的解析式.
(2)求此函数的单调递增区间.
【解析】(1)由题意得T=5π,所以T=10π,
所以ω==,则y=sin.
因为点(π,1)在此函数图象上,则sin
=1,
又因为0≤φ≤,有φ=-=,
所以y=sin
.
(2)当-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
即-4π+10kπ≤x≤π+10kπ,k∈Z时,
函数y=sin单调递增.所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).
课堂检测·素养达标
1.函数y=sin(-2x),x∈[0,2π]的简图是
( )
【解析】选D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函数的最小正周期为π,函数y的图象为两个周期,故A,B均错;由x∈可得2x∈,y=sin(-2x)<0.
2.已知函数f(x)=sin(2x+),将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意得g(x)=sin
=sin
,因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图象关于x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin=±1,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=--,k∈Z,
因为φ>0,所以当k=-1时φmin=.
3.已知函数y=sin,则该函数的最小正周期、初相分别是______,________.?
【解析】由函数y=sin的解析式知,最小正周期为T==10π,初相为.
答案:10π
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内,当x=时有最大值1,当x=时有最小值-1,则ω=________.?
【解析】由题意知T=2×=π,所以ω==2.
答案:2
课时素养评价
九 探究ω对y=sinωx的图象的影响
探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
(15分钟 30分)
1.将函数y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位长度,则所得函数图象对应的解析式为
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sinx
D.y=sin
【解析】选D.函数y=sin的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得y=sin的图象,再将此图象向左移个单位长度,得y=sin
=sin的图象.
2.若x1=
,x2=
是函数f(x)=sin
ωx(ω>0)两个相邻的最值点,则ω=
( )
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选A.由题意及函数y=sin
ωx的图象与性质可知,T=-
,所以T=π,所以=π,所以ω=2.
3.函数f(x)=sin,x∈[-π,0]的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,又-π≤x≤0
所以-≤x≤0.
4.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ≤π)的图象如图所示,则φ=________.?
【解析】由题意得=2π-π,所以T=π,ω=.
又由x=π时y=-1得-1=sin
,-<π+φ≤π,所以π+φ=π,所以φ=π.
答案:π
5.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
?
【解析】结合y=sin
ωx的图象可知y=sin
ωx在上单调递减,而y=sin=sin,可知y=sin
ωx的图象向左平移个单位之后可得y=sin
的图象,故y=sin在
上单调递减,应有?,解得≤ω≤.
答案:
6.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sin
x的图象相同,求f(x)的解析式.
【解析】(反过来想)y=sin
x的图象
y=sin的图象y=sin的图象,即所求解析式为y=sin.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称,则|φ|的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.将函数y=sin(3x+φ)的图象向右平移个单位后得到的函数为y=sin
=sin,由3x+=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).令+=(k∈Z).
所以φ=kπ-(k∈Z),|φ|的最小值为.
2.将函数f(x)=sin的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后,所得的图象都关于y轴对称,则φ的最小值分别为
( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【解析】选A.函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,向右平移φ(φ>0)个单位长度得函数h(x)=sin的图象,于是2φ+=+kπ,k∈Z,-2φ+=+kπ,k∈Z,于是φ的最小值分别为,.
3.函数y=sin
ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值,则ω的最小值
( )
A.98π
B.98.5π
C.99.5π
D.100π
【解析】选C.由题意得×T≤1即×≤1,所以ω≥99.5π.
4.已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin,则下面结论中正确的是
( )
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin
x,C2:y=sin,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得y=sin
2x的图象;再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)的以下说法,不正确的是
( )
A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
B.存在φ,使f(x)是偶函数
C.存在φ,使f(x)是奇函数
D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数
【解析】选AD.当φ=0时,f(x)=sin
x,是奇函数;当φ=时,f(x)=cos
x,是偶函数.
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,为了与g(x)=-cos
ωx的图象重合,可以将f(x)的图象
( )
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
【解析】选BC.由题图所示可知T=4=π,所以ω==2,f(x)=sin,
g(x)=-cos
2x=-sin=
sin=sin(k∈Z),可验证得k=0时,B正确,k=1时,C正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值为________.?
【解析】由题意得f=sin=±1,
所以+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.
因为φ∈,所以φ=-.
答案:-
8.函数y=sin的图象可由函数y=sin
x的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数y=sin
x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.现给出下列四个变换:①图象上所有点向右平移个单位;②图象上所有点向右平移个单位;③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);④图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变).
请按顺序写出两次变换的代表序号:________.(只需填写一组)
?
【解析】y=sin
x图象上所有点向右平移个单位,得y=sin,再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得y=sin.故选②④.或y=sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得y=sin2x,再将图象上所有点向右平移个单位得y=sin
2=sin,故选④①.
答案:④①或②④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取最值时x的值.
【解析】(1)最小正周期T==π,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)令t=2x-,则由≤x≤可得0≤t≤,
所以当t=即x=时,ymin=-,所以当t=即x=时,ymax=1.
10.已知定义在区间上的函数f(x)的图象关于直线x=-对称,当x∈时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图所示.
(1)求f(x)在上的解析式.
(2)求方程f(x)=的解.
【解析】(1)由图知T=4=2π,则ω==1,在x∈时将代入f(x)得,f=sin=1,因为0≤φ≤π,所以φ=,
所以在x∈时,f(x)=sin.
当-π≤x<-时,-<-x-≤,f=sin,因为y=f(x)关于x=-对称,所以f(x)=f
=sin=-sin
x.
综上f(x)=
(2)由f(x)=在区间内可得x1=,x2=-.因为y=f(x)关于x=-对称,
有x3=-,x4=-.则f(x)=的解为-,-,,-.
1.若函数y=sin
的周期不大于1,则正整数k的最小值为__________.
?
【解析】因为T==,且|T|≤1,即≤1,且k为正整数,所以k≥6π,因此kmin=19.
答案:19
2.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin
x的图象.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
【解析】(1)将y=sin
x的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin的图象,故f(x)=sin.
(2)令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),则4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z),
又x∈[0,3π],所以x∈,f(x)单调递增,x∈,f(x)单调递减,x∈,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,y=,当x=3π时,y=-.故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{-1,1}.
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