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6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
新课程标准
学业水平要求
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;2.能借助图象了解参数A的意义;3.了解参数A对函数图象的影响.
水平一1.结合教材实例理解参数A的意义.(数学抽象)2.结合教材实例掌握参数A对正弦函数图象的影响.(直观想象)水平二会利用参数A对函数图象的影响解决相关的问题.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.
A对函数y=Asin
(ωx+φ)的图象有什么影响?2.函数y=Asin
(ωx+φ)有哪些性质?
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[-A,A]
周期性
T=
对称中心
(k∈Z)
对称轴
x=+(k∈Z)
奇偶性
当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得单调递增区间;由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+,k∈Z,解得单调递减区间
当φ为何值时,正弦型函数为奇函数?当φ为何值时,正弦型函数是偶函数?
提示:当φ=kπ,k∈Z时,正弦型函数是奇函数;
当φ=+kπ,k∈Z时,正弦型函数是偶函数.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=Asin(ωx+φ)的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.
( )
(2)在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴的距离为1个周期.
( )
(3)函数y=sin的图象对称轴为x=+(k∈Z).
( )
(4)函数f(x)=sin的图象的对称中心是(k∈Z).
( )
提示:(1)√.
(2)×.相邻两条对称轴之间的距离为半个周期.
(3)√.由2x+=kπ+得x=+,k∈Z.
(4)×.x+=kπ得x=kπ-,k∈Z.
2.函数y=2sin的周期、振幅依次是
( )
A.4π,-2
B.4π,2
C.π,2
D.π,-2
【解析】选B.振幅为2,周期为=4π.
3.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,最小正周期是,初相是,则这个函数的解析式是______________.?
【解析】由函数的最大值是3,得A=3.
由函数的最小正周期是得=,解得ω=7.
由初相是得φ=.
答案:y=3sin
关键能力·合作学习
类型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象、数学运算)
【典例】用“五点法”作函数y=2sin+3的图象,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.
【思路导引】先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图象,左、右扩展可得图象,然后根据图象求性质.
【解析】①列表:
x
π
π
π
π
x-
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图象.
③把此图象左、右扩展即得y=2sin+3的图象.
由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5],
周期为T==2π,频率为f==,
初相为φ=-,最大值为5,最小值为1.
令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z).
令2kπ+≤x-≤2kπ+,(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z).
令x-=kπ+(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x=kπ+π(k∈Z).
1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,应先令ωx+φ分别为0,
,π,,2π,然后解出自变量x的对应值,作出一周期内的图象.
2.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
作出函数y=sin在x∈上的图象.
【解析】令X=2x-
,列表如下:
X
0
π
2π
x
y
0
0
-
0
描点连线得图象如图所示.
类型二 已知图象求y=Asin(ωx+φ)
的解析式
(直观想象、数学运算)
【典例】如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)的图象,确定其函数解析式.
【思路导引】先根据图象求A,ω,最后再求φ.
【解析】由题图知A=3,T=π,又图象过点,
所以所求图象由y=3sin
2x的图象向左平移个单位得到,
所以y=3sin
2,即y=3sin.
确定函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的解析式的策略
(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T=,所以往往通过求周期T来确定ω.
(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx+φ=0作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的ωx+φ=或最低点的ωx+φ=来求解φ.
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示,求函数的一个解析式.
【解析】方法一:由图象可知函数的最大值为,最小值为-,因为A>0,所以A=.
由图象知=-=,
所以T=π=,所以ω=2.
又=,
所以图象上的最高点的坐标为,
所以=sin,即sin=1,可取φ=-,
故函数的一个解析式为y=sin.
方法二:由图象可知A=,又图象过点,,根据五点法作图原理,以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”,则有
解得
故函数的一个解析式为y=sin.
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用
(直观想象、数学运算)
角度1 求最值?
【典例】函数y=-2sin+1的最大值为________,取得最大值时x=________.?
【思路导引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.
【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x-=-+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z.
答案:3 -+kπ,k∈Z
【变式探究】
本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x-=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z.
角度2 求单调区间?
【典例】函数y=sin的单调递减区间是________,在区间上的单调减区间是________.?
【思路导引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.
【解析】函数y=sin=-sin,
令-+2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,
解得-+≤x≤+,k∈Z.
令k=0得,;令k=1得.
所以在区间上的单调减区间为和.
答案:,(k∈Z)
求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的步骤
(1)利用诱导公式将x的系数变正;
(2)将ωx+φ看作整体,代入正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;
(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.
1.函数y=2-3sin的最大值为________,确定最大值时x=________.?
【解析】ymax=2+3=5,令2x-=-+2kπ,k∈Z,
解得x=-+kπ,k∈Z.
答案:5 -+kπ,k∈Z
2.函数y=2sin的单调增区间是________.?
【解析】函数y=2sin=-2sin2x,
令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
答案:,k∈Z
3.已知函数f(x)=2sin,求:
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)的单调递增区间;
(3)f(x)取最大值时自变量x的集合.
【解析】由诱导公式得f(x)=2sin
=2sin=2sin.
(1)由T==π,得f(x)的最小正周期为π.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z).
因此f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)由2x+=2kπ+(k∈Z),
解得x=kπ-(k∈Z).
故f(x)取最大值时自变量x的集合为
.
课堂检测·素养达标
1.已知f(x)=sin,x∈N,则f(x)的值域为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.f(x)=sin的周期为3,
所以x=0时,f(0)=,x=1时,f(1)=,
x=2时,f(2)=-1,所以f(x)的值域为.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.则A,ω,φ的一个数值可以是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据正弦函数的图象性质即可知A=,由T=3-1,可得T=8,那么ω==.
因为图象过(1,),代入可得=sin,
即sin=1.因为0<φ<π,可得φ=.
3.将函数y=sin
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin的图象,则φ等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为φ∈[0,2π),
所以把y=sin
x的图象向左平移φ个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象,而sin
=sin=sin.
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的最大值为1,有最小值-12,则A=________.?
【解析】由题意知A==.
答案:
课时素养提升
十 探究A对y=A
sin(ωx+φ)的图象的影响
(15分钟 30分)
1.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin2x的图象
( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
【解析】选D.因为y=sin=sin,
故要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin
2x
的图象向右平移个单位.
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为
( )
A.f(x)=2cos
B.f(x)=cos
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
【解析】选A.由图象知A=2,排除B项.
又=-=π,知T=4π,
所以=4π.所以ω=,排除D项.把x=0,y=1代入A,C项中检验,知C项错误.
3.已知函数f(x)=sin是奇函数,当φ∈时φ的值为
( )
A.-π
B.-
C.
D.
【解析】选B.由已知得+φ=kπ(k∈Z),
所以φ=-+kπ(k∈Z).
又因为φ∈,
所以当k=0时,φ=-符合条件.
4.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
-1
-2
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是____________.?
【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点,
如图所示.
根据函数图象的大致走势,可知点(1,0)不符合题意;
又因为0因为函数图象过(0,1),所以2sin
φ=1,
又因为-<φ<,所以φ=,
由(0,1),(2,1)关于直线x=1对称,
知x=1时函数取得最大值2,
因此函数的最小正周期为6.所以ω=.
答案:y=2sin
5.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)为偶函数,则函数y=f(x)在上的值域为______.
?
【解析】f(x)向左平移个单位得g(x)=
2sin=2sin,
因为g(x)为偶函数,
所以+φ=+kπ,k∈Z,
所以φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
当x∈时,2x+∈,
所以sin∈,
所以f(x)的值域为[-1,2].
答案:[-1,2]
6.已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】(1)由2x-=kπ+,k∈Z,
解得f(x)的对称轴方程是x=+π,k∈Z;由2x-=kπ,k∈Z,解得对称中心是,k∈Z;由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得单调递增区间是,k∈Z;
由2kπ+≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,解得单调递减区间是,k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π.
所以当2x-=-,即x=0时,f(x)取最小值为-1;
当2x-=,即x=时,f(x)取最大值为2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的x都有f=f,则f等于
( )
A.3或0
B.-3或0
C.0
D.-3或3
【解析】选D.因为f=f,
所以f(x)关于直线x=对称.所以f应取得最大值或最小值.
2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若将其图象向左平移个单位后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象
( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
【解析】选C.由已知得T==π,则ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
所以g(x)=sin
=sin,
又g(x)为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),则φ=-,即f(x)=sin.
把x=代入得sin=1,所以直线x=为f(x)图象的对称轴.
3.函数f(x)=3sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称,则函数f(x)的解析式为
( )
A.f(x)=
3sin
B.f(x)=
3sin
C.f(x)=
3sin
D.f(x)=
3sin
【解析】选D.因为f(x)=3sin(ωx+φ)的最小正周期是π,所以=π,解得ω=2,
所以f(x)=
3sin
(2x+φ),
将该函数的图象向右平移个单位后,
所得图象对应的函数解析式为y=
3sin
=3sin
.
由题意得0=sin,所以φ=.
因此所求函数解析式为f(x)=
3sin
.
【补偿训练】
设函数f(x)=2sin,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x),则g(x)图象的一条对称轴方程为
( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【解析】选D.函数f(x)=2sin,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x)=2sin,
令4x+=kπ+,k∈Z,可解得函数对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,当k=0时,x=是函数的一条对称轴.
4.已知函数f(x)=sin,其中k>0,若当自变量x在任何两个整数间(包含整数本身)变化时,至少含有2个周期,则最小的正整数k为
( )
A.50 B.51 C.12 D.13
【解析】选B.由题意知最小正周期T≤,
即≤,得k≥16π,所以k的最小正整数为51.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.同时具有性质:
①最小正周期是π;
②图象关于直线x=对称;③在上是增函数,这样的一个函数不可能为
( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选ABD.周期
是π的只有B,C,y=cos=cos
=-sin,
当x∈时,2x-∈,因此C是增函数,B是减函数,故选ABD.
6.函数y=xcos
x-sin
x的部分图象不可能为
( )
【解析】选ABD.函数y=f(x)=xcos
x-sin
x满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函数,图象关于原点对称,故B不可能;当x=π时,y=f(π)=πcos
π-sin
π=-π<0,故A不可能;当x=时,y=f=cos-sin=-1<0,故D不可能.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知将函数f(x)=sin(ωx+φ)
的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,f(x)和g(x)的图象都关于x=对称,则ω·φ=________.
?
【解析】由题意知g(x)=f=
sin.
因为f(x)和g(x)的图象都关于x=对称,
所以
解得ω=3(k-k′),k′,k∈Z.
因为0<ω<6,
所以ω=3,所以φ=-+kπ,k∈Z,
又-<φ<,所以φ=-,
所以ω·φ=-.
答案:-
8.函数f(x)=3sin的图象为C,有以下结论:
①图象C关于直线x=对称;
②图象C关于点对称;
③函数f(x)在区间内是增函数;
④由y=3sin
2x的图象向右平移个单位可以得到图象C.其中正确的结论是__________.(写出所有正确结论的序号)
?
【解析】因为f=3sin=-3,
所以图象C关于直线x=对称,即①正确;
因为f=3sin=0,所以图象C关于点对称,即②正确;当-所以函数f(x)在区间上是增函数,即③正确;由y=3sin
2x的图象向右平移个单位可以得到y=3sin2的图象,不是图象C,故④不正确.综上,应填①②③.
答案:①②③
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图.
(1)求f(x)的解析式.
(2)至少把f(x)的图象向左平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
【解析】(1)由题图知A=3,==5π,
所以ω=.
因为f(x)=3sin过点,所以sin=0.
又因为|φ|<,所以φ=-,
所以f(x)=3sin.
(2)由f(x+m)=3sin
=3sin为偶函数(m>0),知-=kπ+,k∈Z,即m=kπ+.
因为m>0,所以mmin=.
故至少把f(x)的图象向左平移个单位,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
10.已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
【解析】(1)由题中图象知,函数的最大值为2,最小值为-2,所以A=2,
又因为=-,
所以T=π,=π,所以ω=2.
所以函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
因为函数的图象经过点,
所以2sin=2,所以sin=1,又因为0<φ<,所以φ=.故函数的解析式为y=2sin,其振幅是2,初相是.
(2)因为x∈,
所以2x+∈.
于是,当2x+=0,即x=-时,函数取得最大值0;
当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值-2.
1.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰三角形,
∠KML=90°,KL=1,则f的值为
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选D.因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,
ω>0,
0<φ<π)的部分图象如题图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A=,T=2,
因为T=,
所以ω=π,因为函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=,
所以函数的解析式为f(x)=sin,所以f=sin=.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设0【解析】(1)由题设图象,易得A=2,T=-=,
所以T=π,所以ω==2.
所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数f(x)的图象经过点.
所以2sin=2,即sin=1.
又因为-<φ<,所以-<+φ<.
所以+φ=,所以φ=.
故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)由题意,知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin的图象与g(x)=m的图象有两个不同的交点.
因为0依据图象可知:当-2即方程f(x)=m有两个不同的实数根,
故所求实数m的取值范围为(-2,1)∪(1,2).
①当-2②当1设此时方程f(x)=m两个不同的实数根分别为x3,x4.
所以=,即x3+x4=.
综上,当-2当1关闭Word文档返回原板块
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6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
必备知识·自主学习
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
导思
1.
A对函数y=Asin
(ωx+φ)的图象有什么影响?
2.函数y=Asin
(ωx+φ)有哪些性质?
【思考】
当φ为何值时,正弦型函数为奇函数?当φ为何值时,正弦型函数是偶函数?
提示:当φ=kπ,k∈Z时,正弦型函数是奇函数;
当φ=
+kπ,k∈Z时,正弦型函数是偶函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=Asin(ωx+φ)的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.
( )
(2)在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴的距离为1个周期.
( )
(3)函数y=sin
的图象对称轴为x=
(k∈Z).
( )
(4)函数f(x)=sin
的图象的对称中心是
(k∈Z).
( )
提示:(1)√.
(2)×.相邻两条对称轴之间的距离为半个周期.
(3)√.由2x+
=kπ+
得x=
,k∈Z.
(4)×.x+
=kπ得x=kπ-
,k∈Z.
2.函数y=2sin
的周期、振幅依次是
( )
A.4π,-2
B.4π,2
C.π,2
D.π,-2
【解析】选B.振幅为2,周期为
=4π.
3.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,
最小正周期是
,初相是
,则这个函数的解析式是______________.?
【解析】由函数的最大值是3,得A=3.
由函数的最小正周期是
得
=
,解得ω=7.
由初相是
得φ=
.
答案:y=3sin
关键能力·合作学习
类型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象、数学运算)
【典例】用“五点法”作函数y=2sin
+3的图象,并写出函数的定义域、
值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.
【思路导引】先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图象,左、右扩
展可得图象,然后根据图象求性质.
【解析】①列表:
②描点连线作出一周期的函数图象.
③把此图象左、右扩展即得y=2sin
+3的图象.
由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5],
周期为T=
=2π,频率为f=
,
初相为φ=-
,最大值为5,最小值为1.
令2kπ-
≤x-
≤2kπ+
(k∈Z)得原函数的增区间为
(k∈Z).
令2kπ+
≤x-
≤2kπ+
,(k∈Z)得原函数的减区间为
(k∈Z).
令x-
=kπ+
(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x=kπ+
π(k∈Z).
【解题策略】
1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,应先令ωx+φ分别为
0,
,π,
,2π,然后解出自变量x的对应值,作出一周期内的图象.
2.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代
换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
【跟踪训练】
作出函数y=
sin
在x∈
上的图象.
【解析】令X=2x-
,列表如下:
描点连线得图象如图所示.
类型二 已知图象求y=Asin(ωx+φ)
的解析式
(直观想象、数学运算)
【典例】如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)
的图象,确定其函数解析式.
【思路导引】先根据图象求A,ω,最后再求φ.
【解析】由题图知A=3,T=π,又图象过点
,
所以所求图象由y=3sin
2x的图象向左平移
个单位得到,
所以y=3sin
2
,即y=3sin
.
【解题策略】
确定函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的解析式的策略
(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T=
,所以往往通过求周期T来确定ω.
(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx+φ=0作为突破口,要从图象
的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的
ωx+φ=
或最低点的ωx+φ=
来求解φ.
【跟踪训练】
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示,求函数的一个解析式.
【解析】方法一:由图象可知函数的最大值为
,最小值为-
,因为A>0,所以
A=
.
由图象知
,
所以T=π=
,所以ω=2.
又
,
所以图象上的最高点的坐标为
,
所以
=
sin
,即sin
=1,可取φ=-
,
故函数的一个解析式为y=
sin
.
方法二:由图象可知A=
,又图象过点
,
根据五点法作图原理,
以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”,则有
解得
故函数的一个解析式为y=
sin
.
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用
(直观想象、数学运算)
角度1 求最值?
【典例】函数y=-2sin
+1的最大值为________,取得最大值时x=_____.?
【思路导引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.
【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x-
=-
+2kπ,k∈Z,解得x=-
+kπ,k∈Z.
答案:3 -
+kπ,k∈Z
【变式探究】
本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x-
=
+2kπ,k∈Z,解得x=
+kπ,k∈Z.
角度2 求单调区间?
【典例】函数y=
sin
的单调递减区间是________,在区间
上的单调减区间是________.?
【思路导引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.
【解析】函数y=
sin
=-
sin
,
令-
+2kπ≤3x-
≤
+2kπ,k∈Z,
解得-
≤x≤
,k∈Z.
令k=0得,
;令k=1得
.
所以在区间
上的单调减区间为
和
.
答案:
,(k∈Z)
,
【解题策略】
求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的步骤
(1)利用诱导公式将x的系数变正;
(2)将ωx+φ看作整体,代入正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;
(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.
【题组训练】
1.函数y=2-3sin
的最大值为________,确定最大值时x=________.?
【解析】ymax=2+3=5,令2x-
=-
+2kπ,k∈Z,
解得x=-
+kπ,k∈Z.
答案:5 -
+kπ,k∈Z
2.函数y=2sin
的单调增区间是________.?
【解析】函数y=2sin
=-2sin2x,
令
+2kπ≤2x≤
+2kπ,k∈Z,
解得
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z.
答案:
,k∈Z
3.已知函数f(x)=2sin
,求:
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)的单调递增区间;
(3)f(x)取最大值时自变量x的集合.
【解析】由诱导公式得f(x)=2sin
=2sin
=2sin
.
(1)由T=
=π,得f(x)的最小正周期为π.
(2)由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z),
得kπ-
≤x≤kπ-
(k∈Z).
因此f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(3)由2x+
=2kπ+
(k∈Z),
解得x=kπ-
(k∈Z).
故f(x)取最大值时自变量x的集合为
.
1.已知f(x)=sin
,x∈N,则f(x)的值域为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.f(x)=sin
的周期为3,
所以x=0时,f(0)=
,x=1时,f(1)=
,
x=2时,f(2)=-1,所以f(x)的值域为
.
课堂检测·素养达标
2.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
则A,ω,φ的一个数值可以是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据正弦函数的图象性质即可知A=
,由
T=3-1,可得T=8,那
么ω=
=
.
因为图象过(1,
),代入可得
=
sin
,
即sin
=1.因为0<φ<π,可得φ=
3.将函数y=sin
x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数
y=sin
的图象,则φ等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为φ∈[0,2π),
所以把y=sin
x的图象向左平移φ个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象,而
sin
=sin
=sin
.
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的最大值为1,
有最小值-12,则A=________.?
【解析】由题意知A=
=
.
答案:
十 探究A对y=A
sin(ωx+φ)的图象的影响
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.要得到函数y=sin
的图象,只需将函数y=sin2x的图象
( )
A.向左平移
个单位
B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位
D.向右平移
个单位
【解析】选D.因为y=sin
=sin
,
故要得到函数y=sin
的图象,只需将函数y=sin
2x
的图象向右平移
个
单位.
课时素养评价
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=2cos
B.f(x)=
cos
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
【解析】选A.由图象知A=2,排除B项.
又
=π,知T=4π,
所以
=4π.所以ω=
,排除D项.把x=0,y=1代入A,C项中检验,知C项错误.
3.已知函数f(x)=
sin
是奇函数,当φ∈
时φ的值为( )
A.-
π
B.-
C.
D.
【解析】选B.由已知得
+φ=kπ(k∈Z),
所以φ=-
+kπ(k∈Z).
又因为φ∈
,
所以当k=0时,φ=-
符合条件.
4.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0<φ<
)
的图象,列出的部分数据如下表:
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数
y=Asin(ωx+φ)的解析式应是____________.?
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
-1
-2
【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点,
如图所示.
根据函数图象的大致走势,可知点(1,0)不符合题意;
又因为0因为函数图象过(0,1),所以2sin
φ=1,
又因为-
<φ<
,所以φ=
,
由(0,1),(2,1)关于直线x=1对称,
知x=1时函数取得最大值2,
因此函数的最小正周期为6.所以ω=
.
答案:y=2sin
5.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移
个单位后得到函数
y=g(x)的图象,若函数y=g(x)为偶函数,则函数y=f(x)在
上的值域为______.
?
【解析】f(x)向左平移
个单位得g(x)=2sin
=2sin
,
因为g(x)为偶函数,所以
+φ=
+kπ,k∈Z,所以φ=
+kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=
,所以f(x)=2sin
.
当x∈
时,2x+
∈
,所以sin
∈
,
所以f(x)的值域为[-1,2].
答案:[-1,2]
6.已知函数f(x)=2sin
,x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间;
(2)求函数f(x)在区间
上的最大值和最小值.
【解析】(1)由2x-
=kπ+
,k∈Z,
解得f(x)的对称轴方程是x=
+
π,k∈Z;由2x-
=kπ,k∈Z,解得对称中心
是
,k∈Z;由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z,
解得单调递增区间是
,k∈Z;
由2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
π,k∈Z,解得单调递减区间是
,
k∈Z.
(2)因为0≤x≤
,所以-
≤2x-
≤
π.
所以当2x-
=-
,即x=0时,f(x)取最小值为-1;
当2x-
=
,即x=
时,f(x)取最大值为2.
【能力进阶—水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的x都有f
=f
,则f
等于
( )
A.3或0
B.-3或0
C.0
D.-3或3
【解析】选D.因为f
=f
,
所以f(x)关于直线x=
对称.所以f
应取得最大值或最小值.
2.函数f(x)=sin(ωx+φ)
的最小正周期为π,若将其图象向左平
移
个单位后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象
( )
A.关于点
对称
B.关于点
对称
C.关于直线x=
对称
D.关于直线x=
对称
【解析】选C.由已知得T=
=π,则ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ),
所以g(x)=sin
=sin
,
又g(x)为奇函数,则
+φ=kπ(k∈Z),则φ=-
,即f(x)=sin
.
把x=
代入得sin
=1,所以直线x=
为f(x)图象的对称轴.
3.函数f(x)=3sin(ωx+φ)
的最小正周期是π,若将该函数的图象
向右平移
个单位后得到的函数图象关于点
对称,则函数f(x)的解析式
为( )
A.f(x)=
3sin
B.f(x)=
3sin
C.f(x)=
3sin
D.f(x)=
3sin
【解析】选D.因为f(x)=3sin(ωx+φ)的最小正周期是π,所以
=π,解得
ω=2,
所以f(x)=
3sin
(2x+φ),
将该函数的图象向右平移
个单位后,
所得图象对应的函数解析式为y=3sin
=3sin
.
由题意得0=sin
,所以φ=
.
因此所求函数解析式为f(x)=
3sin
.
【补偿训练】
设函数f(x)=2sin
,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x),则g(x)图象的一条对称轴方程为
( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【解析】选D.函数f(x)=2sin
,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x)=2sin
,
令4x+
=kπ+
,k∈Z,可解得函数对称轴方程为x=
kπ+
,k∈Z,当k=0时,x=
是函数的一条对称轴.
4.已知函数f(x)=sin
,其中k>0,若当自变量x在任何两个整数间(包含
整数本身)变化时,至少含有2个周期,则最小的正整数k为
( )
A.50 B.51 C.12 D.13
【解析】选B.由题意知最小正周期T≤
,
即
≤
,得k≥16π,所以k的最小正整数为51.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.同时具有性质:
①最小正周期是π;
②图象关于直线x=
对称;③在
上是增函数,这样的一个函数不可能为
( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选ABD.周期
是π的只有B,C,y=cos
=cos
=-sin
,
当x∈
时,2x-
∈
,因此C是增函数,B是减函数,故选ABD.
6.函数y=xcos
x-sin
x的部分图象不可能为
( )
【解析】选ABD.函数y=f(x)=xcos
x-sin
x满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函
数,图象关于原点对称,故B不可能;当x=π时,y=f(π)=πcos
π-sin
π=
-π<0,故A不可能;当x=
时,y=f
=
cos
-sin
=-1<0,故D不可能.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知将函数f(x)=sin(ωx+φ)
的图象向右平移
个单位
得到函数g(x)的图象,f(x)和g(x)的图象都关于x=
对称,则ω·φ=_______.
【解析】由题意知g(x)=f
=sin
.
因为f(x)和g(x)的图象都关于x=
对称,
所以
解得ω=3(k-k′),k′,k∈Z.
因为0<ω<6,
所以ω=3,所以φ=-
+kπ,k∈Z,
又-
<φ<
,所以φ=-
,
所以ω·φ=-
.
答案:-
8.函数f(x)=3sin
的图象为C,有以下结论:
①图象C关于直线x=
对称;
②图象C关于点
对称;
③函数f(x)在区间
内是增函数;
④由y=3sin
2x的图象向右平移
个单位可以得到图象C.其中正确的结论是
__________.(写出所有正确结论的序号)
?
【解析】因为f
=3sin
=-3,
所以图象C关于直线x=
对称,即①正确;
因为f
=3sin
=0,所以图象C关于点
对称,即②正确;
当-
时,-
<2x-
<
,
所以函数f(x)在区间
上是增函数,即③正确;由y=3sin
2x的图象向右
平移
个单位可以得到y=3sin2
的图象,不是图象C,故④不正确.综上,
应填①②③.
答案:①②③
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的一段图象如图.
(1)求f(x)的解析式.
(2)至少把f(x)的图象向左平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
【解析】(1)由题图知A=3,
=
=5π,
所以ω=
.
因为f(x)=3sin
过点
,所以sin
=0.
又因为|φ|<
,所以φ=-
,
所以f(x)=3sin
.
(2)由f(x+m)=3sin
=3sin
为偶函数(m>0),
知
-
=kπ+
,k∈Z,即m=
kπ+
.
因为m>0,所以mmin=
.
故至少把f(x)的图象向左平移
个单位,才能使得到的图象对应的函数是偶
函数.
10.已知函数y=Asin(ωx+φ)
的图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;
(2)求函数在区间
上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
【解析】(1)由题中图象知,函数的最大值为2,最小值为-2,所以A=2,
又因为
,
所以T=π,
=π,所以ω=2.
所以函数的解析式为y=2sin(2x+φ).
因为函数的图象经过点
,
所以2sin
=2,所以sin
=1,又因为0<φ<
,所以φ=
.故函数的解
析式为y=2sin
,其振幅是2,初相是
.
(2)因为x∈
,
所以2x+
∈
.
于是,当2x+
=0,即x=-
时,函数取得最大值0;
当2x+
=-
,即x=-
时,函数取得最小值-2.
【创新迁移】
1.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,
△KLM为等腰三角形,
∠KML=90°,KL=1,则f
的值为
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选D.因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,
ω>0,
0<φ<π)的部分图象如题图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,所以
A=
,T=2,
因为T=
,所以ω=π,因为函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=
,
所以函数的解析式为f(x)=
sin
,
所以f
=
sin
=
.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设0【解析】(1)由题设图象,易得A=2,
T=
-
=
,
所以T=π,所以ω=
=2.
所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数f(x)的图象经过点
.
所以2sin
=2,即sin
=1.
又因为-
<φ<
,所以-
<
+φ<
.
所以
+φ=
,所以φ=
.
故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin
.
(2)由题意,知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin
的图象与g(x)=m的图象有两个不同的交点.
因为0的图象与函数g(x)=m的图象(如图
所示).
依据图象可知:当-2有两
个不同的交点,
即方程f(x)=m有两个不同的实数根,
故所求实数m的取值范围为(-2,1)∪(1,2).
①当-2对称,设此时方程
f(x)=m两个不同的实数根分别为x1,x2,所以
=
,即x1+x2=
.
②当1对称,
设此时方程f(x)=m两个不同的实数根分别为x3,x4.
所以
=
,即x3+x4=
.
综上,当-2,
当1.