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7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
必备知识·自主学习
导思
1.什么是正切函数?2.正切函数的诱导公式有哪些?
1.正切函数的定义
比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan
x,其中定义域为.
2.正切函数的诱导公式
tan(kπ+α)=tan
α
(k∈Z)?
tan(-α)=-tan
α
tan(π+α)=tan
α
tan(π-α)=-tan
α?
tan=-
tan=
其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角
(1)诱导公式tan(π+x)=tan
x说明了正切函数的什么性质?
(2)诱导公式tan(-x)=-tan
x说明了正切函数的什么性质?
提示:(1)周期性.
(2)奇偶性.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数的定义域是R.
( )
(2)tan=
( )
(3)tan=-.
( )
提示:(1)×.正切函数的定义域为.
(2)×.tan=-.
(3)√.tan=-tan=-.
2.如果角θ的终边经过点,则tan
θ=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.tan
θ==-.
3.(教材二次开发:例题改编)若f(x)=tan
x,则f(600°)的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.f=tan
600°=tan
=-tan
120°=-tan=tan
60°=.
关键能力·合作学习
类型一 三角函数的定义及应用(数学运算)
1.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin
α=______,cos
α=______,tan
α=______.?
2.已知角α的终边上一点坐标为(-3,a),且α为第二象限角,cos
α=-,则sin
α=______,tan
α=________.?
3.已知角α的终边上的点(x,y)满足x+y=0,求sin
α,cos
α,tan
α的值.
【解析】1.因为x=5,y=-12,所以r==13,
则sin
α==-,cos
α==,
tan
α==-.
答案:- -
2.因为(-3,a)为α终边上的一点,
cos
α=-,所以=-,
所以a2=16.
又因为α为第二象限角,所以a>0即a=4.
所以sin
α=,tan
α=-.
答案: -
3.x+y=0,即y=-x,终边经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点(-1,),
则r==2,
所以sin
α=,cos
α=-,tan
α=-;
在第四象限取直线上的点(1,-),
则r==2,
所以sin
α=-,cos
α=,tan
α=-.
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值.
方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y),(P与原点不重合);
第二步,计算r:r=|OP|=;
第三步,求值:由sin
α=,cos
α=,tan
α=(x≠0)求值.
在运用上述方法解题时,要注意分类讨论思想的运用.
类型二 诱导公式的应用(数学运算)
【典例】1.求下列三角函数值:
(1)sin(-1
200°);(2)tan
945°;(3)cos.
2.(2020·保定高一检测)已知f
=,化简f.
【思路导引】1.先利用诱导公式化简,再运用特殊角的三角函数值求解.
2.根据三角函数的诱导公式即可将f(α)化简.
【解析】1.(1)sin(-1
200°)=-sin
1
200°
=-sin(3×360°+120°)=-sin
120°
=-sin(180°-60°)=-sin
60°=-.
(2)tan
945°=tan(2×360°+225°)
=tan
225°=tan(180°+45°)=tan
45°=1.
(3)cos=cos=cos=cos=.
2.f==sin
α.
将本例1(2)改为tan(-945°),结果将如何?
【解析】tan(-945°)=-tan
945°=-tan(2×360°+225°)
=-tan
225°=-tan(180°+45°)=-tan
45°=-1.
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的;
(2)化简时函数名可能没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变;
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
1.求sin
585°cos
1
290°+cos(-30°)sin
210°+tan
135°的值.
【解析】sin
585°cos
1
290°+cos(-30°)sin
210°+tan
135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos
30°sin
210°
+tan(180°-45°)=sin
225°cos
210°+cos
30°sin
210°-tan
45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos
30°sin(180°+30°)-tan
45°=sin
45°cos
30°-cos
30°sin
30°-tan
45°
=×-×-1=.
2.(2020·兰考高一检测)化简:-
.
【解析】原式=-=+==1.
类型三 用正切函数的定义进行化简求值(数学运算)
【典例】已知tan
α=2,计算:(1);
(2).
【思路导引】根据正切函数的定义将所求的式子化为关于tan
α的式子求解.
【解析】(1)==.
(2)==.
已知正切值,求三角函数齐次式的值的求解方法
(1)将所求代数式的分子、分母同时除以cos
α(或sin
α)得到关于tan
α的代数式;
(2)将tan
α的值代入求解即可.
(2020·宁波高一检测)已知tan
θ=-.
求下列各式的值:
(1);
(2)2+.
【解析】(1)原式==
==-.
(2)原式=2+
=2+=.
课堂检测·素养达标
1.(多选题)已知α为任意角,tan(π-α)+3=0,且sin2α+cos2α=1,则sin
α的值可以是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为tan(π-α)+3=0,
所以tan
α=3,sin
α=3cos
α.
因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=.
又α为任意角,故sin
α=±.
2.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过点P(1,a),且sin
α=-,则tan
α=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.由题意得|OP|=,
所以sin
α==-,所以a<0且a2=,
解得a=-,所以tan
α==-.
3.已知=-,α∈(0,π),则tan(π-α)的值为
( )
A.1
B.
C.-1
D.-
【解析】选A.==-,
可得tan2α+2tan
α+1=0,解得tan
α=-1,
所以tan(π-α)=-tan
α=1.
4.已知α∈,sin=,则tan(π+α)=
( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选B.因为sin=,所以cos
α=,因为α∈,所以sin
α=-=-,tan
α=-2,
所以tan(π+α)=tan
α=-2.
5.已知sin=,则sin+tan2=________.?
【解析】因为sin=,所以cos2
=,sin+tan2
=sin+=+
=+=.
答案:
课时素养提升
十一 正切函数的定义 正切函数的诱导公式
(15分钟 30分)
1.sin
300°+tan
600°+cos的值为
( )
A.-
B.0
C.-+
D.+
【解析】选B.sin
300°+tan
600°+cos
=sin+tan+cos
210°
=-sin
60°-tan
120°-cos
30°=-+-=0.
2.(2020·新余高一检测)若点(a,32)在函数y=2x的图象上,则tan的值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.因为点(a,32)在函数y=2x的图象上,所以32=2a,
所以a=5,则tan=tan=-tan=-.
3.设cos=,α∈,则tan=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.由诱导公式可得cos=sin
α=,
又α∈,所以cos
α=-,
所以tan=tan
α==-.
4.已知x∈,tan
x=-,则cos等于( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.因为x∈,tan
x=-,
所以sin
x=,cos
=cos=-sin
x=-.
5.若角α的终边经过点P,则tan
α=________.?
【解析】由题意知tan
α==0.
答案:0
6.(2020·晋江高一检测)若tan
α=-2,则的值为_______.?
【解析】化简
====-.
答案:-
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.0
【解析】选C.sin(-600°)=-sin
600°=-sin(360°+240°)=-sin
240°=-sin=sin
60°=,tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan
135°
=-tan=tan
45°=1,
则原式=2×+×1=2.
2.已知α∈,tan(α-π)=-,sin
αcos
α=-,则sin
α+cos
α等于
( )
A.±
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意得tan=tan
α=-,又α∈,所以cos
α<0,sin
α>0,结合sin
αcos
α=-,解得sin
α=,cos
α=-,所以sin
α+cos
α=-=-.
3.已知=2,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-5
【解析】选D.因为=2,
所以==2,解得tan
α=-5.
4.已知f=,则f的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意知f(α)=
==-cos
α,
则f=-cos=-cos
=-cos=-cos=-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知cos=,则tan
α的可能取值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选AC.因为cos=,所以cos
α=-,则α为第二或第三象限角,
所以sin
α=±=±.
所以tan
α===±.
6.(2020·济南高一检测)台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan
α的值可能为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选AD.第一种情况:现从角落A沿角α的方向把球打出去,球先接触边CD,反射情况如图:
此时根据反射的性质,∠FAG=∠FEA=α,
△FAD≌△ECB,所以AF=EF=CE,G为AE中点,
取AD=1,则AB=2AD=2,设AG=x,则GE=x=EB,
可得,AG=,GF=AD=1,所以tan
α==.
第二种情况:现从角落A沿角α的方向把球打出去,球先接触边BC,反射情况如图:
此时根据反射的性质,∠EAB=∠DCF=α,∠EFA=∠EAF,△FCD≌△EAB,所以,AE=EF=CF,G为AF中点,取AD=1,则AB=2AD=2,设AG=x,则GF=x=FD,可得AG==GF=BE,所以tan
α==.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·枣庄高一检测)求值:sin+cosπ·tan
4π-cos+sinπ=____.?
【解析】原式=-sin+cos×0-cos+sin=-sin+cos-sin=-+-1=-1.
答案:-1
8.已知tan
α=2,且sin2α+cos2α=1,则cos(π+α)·cos=________.?
【解析】原式=-cos
α·=sin
αcos
α====.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知tan(3π+α)=3,试求
的值.
【解析】由tan(3π+α)=3,可得tan
α=3,
故
=====.
10.(2020·西安高一检测)已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根.
求的值.
【解析】由sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,
可得sin
α=-或sin
α=2(舍),
原式=
=
=-tan
α.
由sin
α=-,可知α是第三象限或者第四象限角,所以tan
α=或-,
即所求式子的值为±.
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PAGE(共47张PPT)
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
必备知识·自主学习
1.正切函数的定义
比值
是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan
x,
其中定义域为
.
导思
1.什么是正切函数?
2.
x∈Rx≠π2+kπ,k∈Z
?
2.正切函数的诱导公式
tan(kπ+α)=_______(k∈Z)?
tan(-α)=-tan
α
tan(π+α)=tan
α
tan(π-α)=
_________
tan
=__________
tan
=
其中角α可以为使等式两边都有意义的任意角
tan
α
-tan
α?
【思考】
(1)诱导公式tan(π+x)=tan
x说明了正切函数的什么性质?
(2)诱导公式tan(-x)=-tan
x说明了正切函数的什么性质?
提示:(1)周期性.
(2)奇偶性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数的定义域是R.
( )
(2)tan
=
( )
(3)tan
=-
.
( )
提示:(1)×.正切函数的定义域为
.
(2)×.tan
=-
.
(3)√.tan
=-tan
=-
.
2.如果角θ的终边经过点
,则tan
θ=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.tan
θ=
=-
.
3.(教材二次开发:例题改编)若f(x)=tan
x,则f(600°)的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.f
=tan
600°=tan
=-tan
120°=-tan
=tan
60°=
.
关键能力·合作学习
类型一 三角函数的定义及应用(数学运算)
1.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin
α=______,cos
α=______,
tan
α=______.?
2.已知角α的终边上一点坐标为(-3,a),且α为第二象限角,cos
α=-
,则
sin
α=______,tan
α=________.?
3.已知角α的终边上的点(x,y)满足
x+y=0,求sin
α,cos
α,tan
α的值.
【解析】1.因为x=5,y=-12,所以r=
=13,
则sin
α=
=-
,cos
α=
=
,
tan
α=
=-
.
答案:-
-
2.因为(-3,a)为α终边上的一点,cos
α=-
,所以
=-
,
所以a2=16.
又因为α为第二象限角,所以a>0即a=4.
所以sin
α=
,tan
α=-
.
答案:
-
3.
x+y=0,即y=-
x,终边经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点
(-1,
),
则r=
=2,
所以sin
α=
,cos
α=-
,tan
α=-
;
在第四象限取直线上的点(1,-
),
则r=
=2,
所以sin
α=-
,cos
α=
,tan
α=-
.
【解题策略】
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一:根据定义,寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标,然后利用定义得出
该角的正弦、余弦、正切值.
方法二:第一步,取点:在角α的终边上任取一点P(x,y),(P与原点不重合);
第二步,计算r:r=|OP|=
;
第三步,求值:由sin
α=
,cos
α=
,tan
α=
(x≠0)求值.
在运用上述方法解题时,要注意分类讨论思想的运用.
类型二 诱导公式的应用(数学运算)
类型二 诱导公式的应用(数学运算)
【典例】1.求下列三角函数值:
(1)sin(-1
200°);(2)tan
945°;(3)cos
.
2.(2020·保定高一检测)已知f(α)=
,化简f(α).
【思路导引】
1.先利用诱导公式化简,再运用特殊角的三角函数值求解.
2.根据三角函数的诱导公式即可将f(α)化简.
【解析】1.(1)sin(-1
200°)=-sin
1
200°
=-sin(3×360°+120°)=-sin
120°
=-sin(180°-60°)=-sin
60°=-
.
(2)tan
945°=tan(2×360°+225°)
=tan
225°=tan(180°+45°)=tan
45°=1.
(3)cos
=cos
=cos
=cos
=
.
2.f(α)=
=sin
α.
【变式探究】
将本例1(2)改为tan(-945°),结果将如何?
【解析】tan(-945°)=-tan
945°=-tan(2×360°+225°)
=-tan
225°=-tan(180°+45°)=-tan
45°=-1.
【解题策略】
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的;
(2)化简时函数名可能没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变;
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切.
1.求sin
585°cos
1
290°+cos(-30°)sin
210°+tan
135°的值.
【解析】sin
585°cos
1
290°+cos(-30°)sin
210°+tan
135°
=sin(360°+225°)cos(3×360°+210°)+cos
30°sin
210°
+tan(180°-45°)=sin
225°cos
210°+cos
30°sin
210°-tan
45°
=sin(180°+45°)cos(180°+30°)+cos
30°sin(180°+30°)-tan
45°
=sin
45°cos
30°-cos
30°sin
30°-tan
45°
=
×
-
×
-1=
.
2.(2020·兰考高一检测)化简:
.
【解析】原式=
=
=
=1.
类型三 用正切函数的定义进行化简求值(数学运算)
【典例】已知tan
α=2,计算:(1)
;
(2)
.
【思路导引】根据正切函数的定义将所求的式子化为关于tan
α的式子求解.
【解析】(1)
.
(2)
.
【解题策略】
已知正切值,求三角函数齐次式的值的求解方法
(1)将所求代数式的分子、分母同时除以cos
α(或sin
α)得到关于tan
α的代数式;
(2)将tan
α的值代入求解即可.
【跟踪训练】
(2020·宁波高一检测)已知tan
θ=-
.
求下列各式的值:
(1)
;
(2)
.
【解析】(1)原式=
.
(2)原式=
.
课堂检测·素养达标
1.(多选题)已知α为任意角,tan(π-α)+3=0,且sin2α+cos2α=1,则sin
α的
值可以是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为tan(π-α)+3=0,
所以tan
α=3,sin
α=3cos
α.
因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=
.
又α为任意角,故sin
α=±
.
2.已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边经过
点P(1,a),且sin
α=-
,则tan
α=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.由题意得|OP|=
,
所以sin
α=
=-
,所以a<0且a2=
,
解得a=-
,所以tan
α=
=-
.
3.已知
=-
,α∈(0,π),则tan(π-α)的值为
( )
A.1
B.
C.-1
D.-
【解析】选A.
=
=-
,
可得tan2α+2tan
α+1=0,解得tan
α=-1,
所以tan(π-α)=-tan
α=1.
4.已知α∈
,sin
=
,则tan(π+α)=
( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选B.因为sin
=
,所以cos
α=
,
因为α∈
,所以sin
α=-
=-
,tan
α=-2
,
所以tan(π+α)=tan
α=-2
.
5.已知sin
=
,则sin
+tan2
=________.?
【解析】因为sin
=
,所以cos2
=
,
sin
+tan2
=sin
=
.
答案:
十一 正切函数的定义 正切函数的诱导公式
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.sin
300°+tan
600°+cos
的值为
( )
A.-
B.0
C.-
+
D.
+
【解析】选B.sin
300°+tan
600°+cos
=sin
+tan
+cos
210°
=-sin
60°-tan
120
°-cos
30
°=-
+
-
=0.
课时素养评价
2.(2020·新余高一检测)若点(a,32)在函数y=2x的图象上,则tan
的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.因为点(a,32)在函数y=2x的图象上,所以32=2a,
所以a=5,则tan
=tan
=-tan
=-
.
3.设cos
=
,α∈
,则tan
=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.由诱导公式可得cos
=sin
α=
,
又α∈
,所以cos
α=-
,
所以tan
=tan
α=
=-
.
4.已知x∈
,tan
x=-
,则cos
等于( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.因为x∈
,tan
x=-
,
所以sin
x=
,cos
=cos
=-sin
x=-
.
5.若角α的终边经过点P
,则tan
α=________.?
【解析】由题意知tan
α=
=0.
答案:0
6.(2020·晋江高一检测)若tan
α=-2,则
的值
为________.?
【解析】化简
=
.
答案:-
【能力进阶—水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.计算2sin(-600°)+
tan(-855°)的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.0
【解析】选C.sin(-600°)=-sin
600°=-sin(360°+240°)=-sin
240°
=-
sin(180°+
60
°)=-
=sin
60°=
,
tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan
135°=-tan
(180°-45°)
=tan
45°=1,则原式=2×
+
×1=2
.
2.已知α∈
,tan(α-π)=-
,sin
αcos
α=-
,则sin
α+cos
α
等于
( )
A.±
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意得tan(α-π)
=tan
α=-
,又α∈
,
所以cos
α<0,sin
α>0,结合sin
αcos
α=-
,解得sin
α=
,
cos
α=-
,所以sin
α+cos
α=
-
=-
.
3.已知
=2,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-5
【解析】选D.因为
=2,
所以
=2,解得tan
α=-5.
4.已知f(α)=
,则f
的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意知f(α)=
=-cos
α,
则f
=-cos
=-cos
=-cos
=-cos
=-
.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.已知cos
=
,则tan
α的可能取值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选AC.因为cos
=
,所以cos
α=-
,则α为第二或第三象限角,
所以sin
α=±
=±
.
所以tan
α=
=±
.
6.(2020·济南高一检测)台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上
击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图,有一
张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞
球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan
α的值可能为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选AD.第一种情况:现从角落A沿角α的方向把球打出去,球先接触边
CD,反射情况如图:
此时根据反射的性质,∠FAG=∠FEA=α,△FAD≌△ECB,所以AF=EF=CE,G为AE中
点,取AD=1,则AB=2AD=2,设AG=x,则GE=x=EB,可得,AG=
,GF=AD=1,
所以tan
α=
=
第二种情况:现从角落A沿角α的方向把球打出去,球先接触边BC,反射情况如
图:
此时根据反射的性质,∠EAB=∠DCF=α,∠EFA=∠EAF,△FCD≌△EAB,所以,
AE=EF=CF,G为AF中点,取AD=1,则AB=2AD=2,设AG=x,则GF=x=FD,可得
AG=
=GF=BE,所以tan
α=
=
.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·枣庄高一检测)求值:sin
+cos
π·tan
4π-cos
+sin
π=____.?
【解析】原式=-sin
+cos
×0-cos
+sin
=-sin
+cos
-sin
=-
+
-1=-1.
答案:-1
8.已知tan
α=2,且sin2α+cos2α=1,则cos(π+α)·cos
=________.?
【解析】原式=-cos
α·
=sin
αcos
α
=
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知tan(3π+α)=3,试求
的值.
【解析】由tan(3π+α)=3,可得tan
α=3,
故
=
.
10.(2020·西安高一检测)已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根.
求
的值.
【解析】由sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,可得sin
α=-
或sin
α=2(舍),
原式=
=
=-tan
α.
由sin
α=-
,可知α是第三象限或者第四象限角,所以tan
α=
或-
,
即所求式子的值为±
.
