(共61张PPT)
7.3 正切函数的图象与性质
必备知识·自主学习
1.正切曲线:正切函数的图象称作正切曲线.
思考
正切曲线有什么特征?
提示:正切曲线是由被相互平行的直线x=
+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组
成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
导思
1.什么叫正切曲线?
2.正切函数的主要性质有哪些?
2.正切函数的图象与性质
注意:正切函数在每一个开区间
,k∈Z上单调递增.但是正切函
数y=tan
x在定义域上不是增函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.
( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数.
( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.
( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.
( )
提示:(1)×.正切函数的定义域为
,值域为R,故(1)错;
(2)×.正切函数在区间
,k∈Z上单调递增,但在整个定义域内
不单调,故(2)错;
(3)√.正切函数的值域为R,无最大值和最小值,故(3)正确;
(4)×.正切函数的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,故(4)错.
2.函数y=tan
的定义域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由x-
≠
+kπ,k∈Z,
得x≠kπ+
,k∈Z.所以y=tan
的定义域为
3.函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π D.2π
【解析】选B.最小正周期T=
.
4.(教材二次开发:例题改编)函数y=tan
的单调递增区间是
( )
A.
,k∈Z
B.
,k∈Z
C.
,k∈Z
D.
,k∈Z
【解析】选A.由-
+kπ<
x+
<
+kπ,k∈Z,解得x∈
,k∈Z.
关键能力·合作学习
类型一 求正切函数的定义域(数学运算)
【典例】求函数的定义域:(1)y=tan
;(2)y=
.
【思路导引】(1)根据x+
≠
+kπ,k∈Z求解;
(2)根据正切函数的图象解关于正切函数的不等式即可.
【解析】(1)由x+
≠kπ+
(k∈Z)得x≠kπ+
,k∈Z,
所以函数y=tan
的定义域为
.
(2)由
-tan
x≥0得tan
x≤
.
结合y=tan
x的图象可知在
上,
满足tan
x≤
的角x应满足-
,
所以函数y=
的定义域为
.
【解题策略】
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还
要保证正切函数y=tan
x有意义,即x≠
+kπ,k∈Z.而对于构建的不等式,常利
用三角函数的图象求解.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时要将“ωx+φ”视为
一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+
,k∈Z解得x的取值范围.
【跟踪训练】
(2020·武汉高一检测)求函数y=
的定义域.
【解析】要使函数有意义,则有1+tan
x≠0,
所以tan
x≠-1,所以x≠kπ-
且x≠kπ+
,k∈Z.
因此函数y=
的定义域为
.
类型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题(逻辑推理)
【典例】(1)求f(x)=tan
的周期;
(2)判断y=sin
x+tan
x的奇偶性.
四步
内容
理解
题意
条件:已知函数解析式
结论:求函数的周期或判断函数的奇偶性
思路
探求
(1)根据函数周期性的定义求解;
(2)利用奇偶性的定义判断.
题后
反思
判断函数的奇偶性,除了利用定义外,还可以根据复合函数的奇偶性进行判断.如奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇等.
【解题策略】
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=
.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,
则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
【跟踪训练】
判断函数f(x)=lg
的奇偶性.
【解析】由
>0得tan
x>1或tan
x<-1.
所以函数定义域为
∪
(k∈Z),关于原点对称.
f(-x)+f(x)=lg
+lg
=lg
=lg
1=0.
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
类型三 正切函数的单调性及应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 求单调区间?
【典例】(2020·潍坊高一检测)求函数y=tan
的单调区间.
【思路导引】利用整体法,根据复合函数的单调性进行求解.
【解析】y=tan
=-tan
,
由kπ-
<
x-
(k∈Z)得2kπ-
,k∈Z,
所以函数y=tan
的单调递减区间是
,k∈Z.
角度2 比较大小?
【典例】比较tan
与tan
的大小.
【思路导引】利用诱导公式及正切函数的单调性比较大小.
【解析】tan
=tan
=tan
=-tan
,
tan
=tan
=tan
=-tan
,
因为0<
<
<
且y=tan
x在
内递增,
tan
,所以-tan
>-tan
,
所以tan
>tan
.
角度3 求最值或值域?
【典例】(2020·合肥高一检测)已知f(x)=tan2x-2tan
x
,求f(x)的值域.
【思路导引】利用换元法转化为二次函数求值域问题来解决.
【解析】令u=tan
x,因为|x|≤
,所以u∈[-
,
],
所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈[-
,
].
所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=-
时,ymax=3+2
.
所以f(x)的值域为[-1,3+2
].
【变式探究】
若将本例中的x改为x∈
,结果又将如何?
【解析】令u=tan
x,易得u∈[0,1],
当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=0时,ymax=0.所以f(x)的值域为[-1,0].
【解题策略】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan
x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”
的思想,令kπ-
<ωx+φ,求得x的范围即可.
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]
=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的
范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
1.(2020·南昌高一检测)在tan
,tan
,tan
,tan
中值最大的是
( )
A.tan
B.tan
C.tan
D.tan
【解析】选B.由题知,因为0<
<
<
<
<
<π,
故tan
,tan
>0且tan
,tan
<0.
又正切函数在
上单调递增,故tan
.
故tan
最大.
2.(2020·上海高一检测)求下列函数的单调区间:
(1)y=tan
;(2)y=lg
tan
x.
【解析】(1)y=tan
=-tan
,由kπ-
<2x-
,k∈Z,
解得
-
+
,k∈Z.
故y=tan
的单调递减区间为
,k∈Z.
(2)因为y=lg
x为增函数且x>0.
故y=lg
tan
x的单调递增区间为
,k∈Z.
3.(2020·长沙高一检测)求函数f(x)=tan2x+2tan
x+5在x∈
时的值域.
【解析】因为x∈
,所以tan
x∈[1,+∞),
因为f(x)=tan2x+2tan
x+5=
+4,
所以tan
x=1时,f(x)min=8,函数无最大值,
所以值域为[8,+∞).
1.在(0,π)内,使tan
x>-
成立的x的取值范围为
( )
A.
B.
∪
C.
∪
D.
【解析】选B.画出y=tan
x(0的图象,
由图象可得tan
x>-
,在(0,π)上解集为
∪
.
课堂检测·素养达标
2.函数y=tan
是
( )
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
【解析】选B.该函数为奇函数,其最小正周期为T=
=2π.
3.关于函数y=tan
,下列说法正确的是
( )
A.是奇函数
B.在区间
上单调递增
C.
为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
【解析】选C.2×
+
=
,
所以
是函数y=tan
图象的一个对称中心.
4.设函数f(x)=
为奇函数,则k=________.?
【解析】已知tan
x和f(x)都是奇函数,且定义域的交集关于原点对称,由奇偶性的运算性质,得(x+2)(x+k)=f(x)tan
x是偶函数,
则(x+2)(x+k)=x2+(k+2)x+2k的对称轴为y轴,所以k+2=0,即k=-2.
答案:-2
5.(教材二次开发:练习改编)(2020·西安高一检测)不通过求值,比较下列各
组中两个正切值的大小.
(1)tan
与tan
;
(2)tan
与tan
.
【解析】(1)-90°<-52°<-47°<0°,
且y=tan
x在
内为增函数,
所以tan
.
(2)tan
=tan
=tan
,
tan
=tan
=tan
π,
因为0<
<
π<
且y=tan
x在
内为增函数,
所以tan
π,故tan
π.
十二 正切函数的图象与性质
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.(2020·青岛高一检测)与函数y=tan
的图象不相交的一条直线是( )
A.x=
B.x=-
C.x=
D.x=
【解析】选D.当x=
时,2x+
=
,而
的正切值不存在,所以直线
x=
与函数y=tan
的图象不相交.
课时素养评价
2.已知函数:①y=tan
x;②y=sin
;③y=
;④y=
,其中周期为π,
且在
上单调递增的是
( )
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①③④
【解析】选B.对于①,y=tan
x周期为π,由正切函数的图象可得在
上
单调递增,所以①正确;
对于②,y=sin
为偶函数,根据图象判断它不是周期函数,所以②不正确;
对于③,由于函数y=
周期为
·2π=π,利用正弦函数的图象可得在
上单调递增,故③正确;
对于④,y=
的周期为π,利用余弦函数的图象可得在
上单调递减,
故④不正确.
3.下列关于函数y=tan
的说法正确的是
( )
A.在区间
上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点
成中心对称
D.图象关于直线x=
成轴对称
【解析】选B.kπ-
,k∈Z,
解得kπ-
,k∈Z,显然
不满足上述关系式,故A错误;
易知该函数的最小正周期为π,故B正确;
令x+
=
,解得x=
-
,k∈Z,任取k值不能得到x=
,故C错误;
正切曲线没有对称轴,因此函数y=tan
的图象也没有对称轴,故D错误.
4.函数y=2tan
,x∈
的值域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.对于函数y=2tan
,
因为x∈
,所以x-
∈
,
所以y=2tan
∈
.
5.直线y=a(a为常数)与函数y=tan
ωx(ω>0)的图象相邻两支的交点的距离为
______.?
【解析】直线y=a与函数y=tan
ωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个
周期.
答案:
6.(2020·宁波高一检测)函数y=lg
的定义域为________.?
【解析】由题可知
-tan
x>0,所以tan
x<
.
所以-
+kπ+kπ,k∈Z,
所以函数的定义域是
.
答案:
【能力进阶—水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是
( )
①在
上单调递增;②以2π为周期;③是奇函数.
A.y=tan
x
B.y=cos
x
C.y=tan
D.y=-tan
x
【解析】选C.对A,y=tan
x周期为π,不满足②,故排除A;对B,y=cos
x在
上单调递减,且为偶函数,故排除B;对C,y=tan
满足条件.对D,y=-tan
x在
上单调递减,且周期为π,故排除D.
2.(2020·宁波高一检测)已知函数f
=tan
,则下列说法错误的是
( )
A.函数f
的最小正周期为
B.函数f
的值域为R
C.点
是函数f
的图象的一个对称中心
D.f
【解析】选D.因为f
=tan
,
所以函数f
的最小正周期T=
,故A正确.
由正切函数的图象和性质可知函数f
的值域为R,故B正确.
由2x-
=
,k∈Z,得x=
+
,k∈Z,当k=0时x=
,
所以点
是函数f
的图象的一个对称中心,故C正确.
因为f
=tan
=tan
>0,f
=tan
=tan
<0,
所以f
>f
,故D不正确.
3.(2020·北京高一检测)已知函数f(x)=-2tan(2x+φ),
,其函数图象的
一个对称中心是
,则该函数的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为
是函数的对称中心,所以2×
+φ=
(k∈Z),
解得φ=
-
(k∈Z),因为0<φ<
,所以φ=
,f(x)=-2tan
,
令-
+kπ<2x+
<
+kπ(k∈Z),解得-
+
+
(k∈Z),
当k=0时函数的一个单调递减区间是
.
4.已知a=tan
2,b=tan
3,c=tan
5,不通过求值,判断下列大小关系正确的是
( )
A.a>b>c
B.aC.b>a>c
D.b【解析】选C.tan
5=tan[π+(5-π)]=tan(5-π),由正切函数在
上为增
函数可得tan
3>tan
2>tan(5-π).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.下列说法错误的是
( )
A.y=sin
x在第一象限是增函数
B.y=cos
的最小正周期为2π
C.y=tan
x是增函数
D.y=tan
x的所有对称中心坐标为
,k∈Z
【解析】选ACD.由于390°>30°,且都是第一象限角,sin
390°=sin
30°=
,
故函数y=sin
x在第一象限不是增函数,故A不正确.
y=cos
=cos
x其最小正周期为2π,故B正确;
y=tan
x的单调递增区间为
,k∈Z,故C不正确;
由于函数y=tan
x的图象的对称中心是
,k∈Z,故D不正确.
6.下列函数中,周期为π,且在
上为增函数的是
( )
A.y=tan
B.y=tan
C.y=cos
D.y=sin
【解析】选AC.对于A选项,函数y=tan
的周期为π,且在
上为增函数,
符合题意,故A选项正确.对于B选项,函数y=tan
的周期为
,不合题意,
故B选项错误.对于C选项,函数y=cos
=sin
2x的周期为π,且在
上为
增函数,符合题意,故C选项正确.
对于D选项,函数y=sin
=cos
2x在
上为减函数,不符合题意,故D选
项错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=tan
的单调递增区间为______.?
【解析】令-
+kπ<
x+
<
+kπ,k∈Z,解得-5+6k单调递增区间为
,k∈Z.
答案:
,k∈Z
8.(2020·鞍山高一检测)函数y=
的定义域为______.?
【解析】要使y=
有意义,则有sin
x>0且tan
x>1,
由sin
x>0得x∈
,k∈Z.由tan
x>1得x∈
,k∈Z.
因为
∩
=
,k∈Z,
所以原函数的定义域为
,k∈Z.
答案:
,k∈Z
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=
.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)用定义判断函数f(x)的奇偶性;
(3)在
上作出函数f(x)的图象.
【解析】(1)由cos
x≠0,得x≠kπ+
(k∈Z),
所以函数f(x)的定义域是
.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
因为f(-x)=
=
=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)=
所以f(x)在
上的图象如图所示,
10.(2020·上海高一检测)求下列函数的值域:
(1)y=
,x∈
;
(2)y=tan2x+3tan
x-1,x∈
.
【解析】(1)因为y=
,x∈
,
所以tan
x∈
,令t=tan
x,则t∈
,所以y=
,
因为t∈
,所以t-1∈
,
∈
,
∈
,-1+
∈
,
即y∈
.
(2)因为y=tan2x+3tan
x-1,x∈
,
所以tan
x∈
,令m=tan
x,m∈
,
所以y=f(m)=m2+3m-1=
,
所以f(m)在
上单调递增,在
上单调递减,
f
=-
,f(1)=3,f
=2-3
,
所以f(m)∈
.即函数的值域为
.
【创新迁移】
设函数f(x)=tan(ωx+φ)
已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两
个交点的距离为
,且图象关于点M
对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求不等式-1≤f(x)≤
的解集.
【解析】(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=
,即T=
=
.
因为ω>0,所以ω=2,
从而f(x)=tan
.
因为函数y=f(x)的图象关于点M
对称,所以2×
+φ=
,k∈Z,
即φ=
+
,k∈Z.
因为0<φ<
,所以φ=
,
故f(x)=tan
.
(2)令-
+kπ<2x+
<
+kπ,k∈Z,
解得
,k∈Z,
所以函数的单调递增区间为
,k∈Z,无单调递减区间.
(3)由(1)知f(x)=tan
.
由-1≤tan
≤
,
得-
+kπ≤2x+
≤
+kπ,k∈Z,
即-
+
≤x≤
+
,k∈Z,
所以不等式-1≤f(x)≤
的解集为
,k∈Z.温馨提示：
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7.3 正切函数的图象与性质
必备知识·自主学习
导思
1.什么叫正切曲线?2.正切函数的主要性质有哪些?
1.正切曲线:正切函数的图象称作正切曲线.
正切曲线有什么特征?
提示:正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
2.正切函数的图象与性质
解析式
y=tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
,k∈Z
单调性
在开区间,k∈Z上单调递增
注意:正切函数在每一个开区间,k∈Z上单调递增.但是正切函数y=tan
x在定义域上不是增函数.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.
( )
(2)正切函数在整个定义域上是增函数.
( )
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.
( )
(4)正切函数的图象既是轴对称图形,也是中心对称图形.
( )
提示:(1)×.正切函数的定义域为,值域为R,故(1)错;
(2)×.正切函数在区间,k∈Z上单调递增,但在整个定义域内不单调,故(2)错;
(3)√.正切函数的值域为R,无最大值和最小值,故(3)正确;
(4)×.正切函数的图象是中心对称图形,不是轴对称图形,故(4)错.
2.函数y=tan的定义域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由x-≠+kπ,k∈Z,
得x≠kπ+,k∈Z.所以y=tan的定义域为
3.函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选B.最小正周期T=.
4.(教材二次开发:例题改编)函数y=tan的单调递增区间是
( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选A.由-+kπ关键能力·合作学习
类型一 求正切函数的定义域(数学运算)
【典例】求函数的定义域:(1)y=tan;(2)y=.
【思路导引】(1)根据x+≠+kπ,k∈Z求解;
(2)根据正切函数的图象解关于正切函数的不等式即可.
【解析】(1)由x+≠kπ+(k∈Z)得x≠kπ+,k∈Z,
所以函数y=tan的定义域为.
(2)由-tan
x≥0得tan
x≤.
结合y=tan
x的图象可知在上,
满足tan
x≤的角x应满足-所以函数y=的定义域为
.
求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan
x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的不等式,常利用三角函数的图象求解.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z解得x的取值范围.
(2020·武汉高一检测)求函数y=的定义域.
【解析】要使函数有意义,则有1+tan
x≠0,
所以tan
x≠-1,所以x≠kπ-且x≠kπ+,k∈Z.
因此函数y=的定义域为
.
类型二 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题(逻辑推理)
【典例】(1)求f(x)=tan的周期;
(2)判断y=sin
x+tan
x的奇偶性.
四步
内容
理解题意
条件:已知函数解析式结论:求函数的周期或判断函数的奇偶性
思路探求
(1)根据函数周期性的定义求解;(2)利用奇偶性的定义判断.
书写表达
(1)因为tan=tan,即tan2+=tan,所以f(x)=tan的最小正周期是.(2)定义域为,关于原点对称,因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin
x-tan
x=-f(x),所以是奇函数.易错关注点:判断函数的奇偶性时往往忽略求函数的定义域,这是判断奇偶性的前提条件.
题后反思
判断函数的奇偶性,除了利用定义外,还可以根据复合函数的奇偶性进行判断.如奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇等.
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法:
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
2.判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
判断函数f(x)=lg的奇偶性.
【解析】由>0得tan
x>1或tan
x<-1.
所以函数定义域为∪(k∈Z),关于原点对称.
f(-x)+f(x)=lg+lg
=lg=lg
1=0.
所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
类型三 正切函数的单调性及应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 求单调区间?
【典例】(2020·潍坊高一检测)求函数y=tan的单调区间.
【思路导引】利用整体法,根据复合函数的单调性进行求解.
【解析】y=tan=-tan,
由kπ-角度2 比较大小?
【典例】比较tan与tan的大小.
【思路导引】利用诱导公式及正切函数的单调性比较大小.
【解析】tan=tan=tan=-tan,
tan=tan=tan=-tan,
因为0<<<且y=tan
x在内递增,
tan-tan,
所以tan>tan.
角度3 求最值或值域?
【典例】(2020·合肥高一检测)已知f(x)=tan
2x-2tan
x,求f(x)的值域.
【思路导引】利用换元法转化为二次函数求值域问题来解决.
【解析】令u=tan
x,因为|x|≤,所以u∈[-,],
所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈[-,].
所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=-时,ymax=3+2.
所以f(x)的值域为[-1,3+2].
若将本例中的x改为x∈,结果又将如何?
【解析】令u=tan
x,易得u∈[0,1],
当u=1时,ymin=12-2×1=-1.
当u=0时,ymax=0.所以f(x)的值域为[-1,0].
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan
x在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
1.(2020·南昌高一检测)在tan,tan,tan,tan中值最大的是
( )
A.tan
B.tan
C.tan
D.tan
【解析】选B.由题知,因为0<<<<<<π,
故tan,tan>0且tan,tan<0.
又正切函数在上单调递增,故tan故tan最大.
2.(2020·上海高一检测)求下列函数的单调区间:
(1)y=tan;(2)y=lg
tan
x.
【解析】(1)y=tan=-tan,由kπ-<2x-解得-故y=tan的单调递减区间为,k∈Z.
(2)因为y=lg
x为增函数且x>0.
故y=lg
tan
x的单调递增区间为,k∈Z.
3.(2020·长沙高一检测)求函数f(x)=tan2x+2tan
x+5在x∈时的值域.
【解析】因为x∈,所以tan
x∈[1,+∞),
因为f(x)=tan2x+2tan
x+5=+4,
所以tan
x=1时,f(x)min=8,函数无最大值,
所以值域为[8,+∞).
课堂检测·素养达标
1.在(0,π)内,使tan
x>-成立的x的取值范围为
( )
A.
B.∪
C.∪
D.
【解析】选B.画出y=tan
x(0x>-,在上解集为∪.
2.函数y=tan是
( )
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数
【解析】选B.该函数为奇函数,其最小正周期为T==2π.
3.关于函数y=tan,下列说法正确的是
( )
A.是奇函数
B.在区间上单调递增
C.为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为π
【解析】选C.2×+=,
所以是函数y=tan图象的一个对称中心.
4.设函数f(x)=为奇函数,则k=________.?
【解析】已知tan
x和f(x)都是奇函数,且定义域的交集关于原点对称,由奇偶性的运算性质,得(x+2)(x+k)=f(x)tan
x是偶函数,
则(x+2)(x+k)=x2+(k+2)x+2k的对称轴为y轴,所以k+2=0,即k=-2.
答案:-2
5.(教材二次开发:练习改编)(2020·西安高一检测)不通过求值,比较下列各组中两个正切值的大小.
(1)tan与tan;
(2)tan与tan.
【解析】(1)-90°<-52°<-47°<0°,
且y=tan
x在内为增函数,
所以tan(2)tan=tan=tan,
tan=tan=tanπ,
因为0<<π<且y=tan
x在内为增函数,
所以tan课时素养提升
十二 正切函数的图象与性质
(15分钟 30分)
1.(2020·青岛高一检测)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是( )
A.x=
B.x=-
C.x=
D.x=
【解析】选D.当x=时,2x+=,而的正切值不存在,所以直线x=与函数y=tan的图象不相交.
2.已知函数:①y=tan
x;②y=sin
;③y=;④y=,其中周期为π,且在上单调递增的是
( )
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①③④
【解析】选B.对于①,y=tan
x周期为π,由正切函数的图象可得在上单调递增,所以①正确;
对于②,y=sin
为偶函数,根据图象判断它不是周期函数,所以②不正确;
对于③,由于函数y=周期为·2π=π,利用正弦函数的图象可得在上单调递增,故③正确;
对于④,y=的周期为π,利用余弦函数的图象可得在上单调递减,故④不正确.
3.下列关于函数y=tan的说法正确的是
( )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
【解析】选B.kπ-解得kπ-易知该函数的最小正周期为π,故B正确;
令x+=,解得x=-,k∈Z,任取k值不能得到x=,故C错误;
正切曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D错误.
4.函数y=2tan,x∈的值域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.对于函数y=2tan,
因为x∈,所以x-∈,
所以y=2tan∈.
5.直线y=a(a为常数)与函数y=tan
ωx(ω>0)的图象相邻两支的交点的距离为______.?
【解析】直线y=a与函数y=tan
ωx的图象相邻两支的交点的距离正好是一个周期.
答案:
6.(2020·宁波高一检测)函数y=lg的定义域为________.?
【解析】由题可知-tan
x>0,所以tan
x<.
所以-+kπ所以函数的定义域是
.
答案:
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在下列函数中,同时满足以下三个条件的是
( )
①在上单调递增;②以2π为周期;③是奇函数.
A.y=tan
x
B.y=cos
x
C.y=tan
D.y=-tan
x
【解析】选C.对A,y=tan
x周期为π,不满足②,故排除A;对B,y=cos
x在上单调递减,且为偶函数,故排除B;对C,y=tan满足条件.对D,y=-tan
x在上单调递减,且周期为π,故排除D.
2.(2020·宁波高一检测)已知函数f=tan,则下列说法错误的是
( )
A.函数f的最小正周期为
B.函数f的值域为R
C.点是函数f的图象的一个对称中心
D.f【解析】选D.因为f=tan,
所以函数f的最小正周期T=,故A正确.
由正切函数的图象和性质可知函数f的值域为R,故B正确.由2x-=,k∈Z,
得x=+,k∈Z,当k=0时x=,
所以点是函数f的图象的一个对称中心,故C正确.因为f=tan=tan>0,f=tan=tan<0,
所以f>f,故D不正确.
3.(2020·北京高一检测)已知函数f(x)=-2tan(2x+φ),,其函数图象的一个对称中心是,则该函数的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为是函数的对称中心,所以2×+φ=(k∈Z),解得φ=-(k∈Z),因为0<φ<,所以φ=,f(x)=-2tan,
令-+kπ<2x+<+kπ(k∈Z),
解得-+当k=0时函数的一个单调递减区间是.
4.已知a=tan
2,b=tan
3,c=tan
5,不通过求值,判断下列大小关系正确的是
( )
A.a>b>c
B.aC.b>a>c
D.b【解析】选C.tan
5=tan[π+(5-π)]=tan(5-π),由正切函数在上为增函数可得tan
3>tan
2>tan(5-π).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列说法错误的是
( )
A.y=sin
x在第一象限是增函数
B.y=cos
的最小正周期为2π
C.y=tan
x是增函数
D.y=tan
x的所有对称中心坐标为,k∈Z
【解析】选ACD.由于390°>30°,且都是第一象限角,sin
390°=sin
30°=,故函数y=sin
x在第一象限不是增函数,故A不正确.
y=cos
=cos
x其最小正周期为2π,故B正确;
y=tan
x的单调递增区间为,k∈Z,故C不正确;
由于函数y=tan
x的图象的对称中心是,k∈Z,故D不正确.
6.下列函数中,周期为π,且在上为增函数的是
( )
A.y=tan
B.y=tan
C.y=cos
D.y=sin
【解析】选AC.对于A选项,函数y=tan的周期为π,且在上为增函数,符合题意,故A选项正确.对于B选项,函数y=tan的周期为,不合题意,故B选项错误.对于C选项,函数y=cos=sin
2x的周期为π,且在上为增函数,符合题意,故C选项正确.
对于D选项,函数y=sin=cos
2x在上为减函数,不符合题意,故D选项错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=tan的单调递增区间为______.?
【解析】令-+kπ答案:,k∈Z
8.(2020·鞍山高一检测)函数y=的定义域为______.?
【解析】要使y=有意义,则有sin
x>0且tan
x>1,由sin
x>0得x∈,k∈Z.
由tan
x>1得x∈,k∈Z.
因为∩
=,k∈Z,
所以原函数的定义域为,k∈Z.
答案:,k∈Z
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f=.
(1)求函数f的定义域;
(2)用定义判断函数f的奇偶性;
(3)在上作出函数f的图象.
【解析】(1)由cos
x≠0,得x≠kπ+(k∈Z),
所以函数f的定义域是.
(2)由(1)知函数f的定义域关于原点对称,
因为f===-f,
所以f是奇函数.
(3)f=
所以f在上的图象如图所示,
10.(2020·上海高一检测)求下列函数的值域:
(1)y=,x∈;
(2)y=tan2x+3tan
x-1,x∈.
【解析】(1)因为y=,x∈,
所以tan
x∈,令t=tan
x,则t∈,
所以y==-1+,
因为t∈,所以t-1∈,
∈,∈,-1+∈,
即y∈.
(2)因为y=tan2x+3tan
x-1,x∈,
所以tan
x∈,令m=tan
x,m∈,
所以y=f=m2+3m-1=-,
所以f在上单调递增,在上单调递减,f=-,f=3,f=2-3,
所以f∈.
即函数的值域为.
设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【解析】(1)由题意知,函数f的最小正周期为T=,即T==.因为ω>0,所以ω=2,
从而f=tan.
因为函数y=f的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z,
即φ=+,k∈Z.
因为0<φ<,所以φ=,
故f=tan.
(2)令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
解得-+所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间.
(3)由(1)知f=tan.
由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z,
所以不等式-1≤f≤的解集为,k∈Z.
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