(共57张PPT)
§8 三角函数的简单应用
类型一 三角函数模型在物理学中的应用(数学运算、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·宁波高一检测)如图所示为一质点做简谐运动的图象,则下列判断中正确的( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在第0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D.该质点在第0.3
s和0.7
s时的振动速度为0
关键能力·合作学习
2.(2020·潍坊高一检测)如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的
弧长s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=6sin
,那么单摆来回摆动一次
所需的时间为
( )
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
3.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220
sin
来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
【解析】
1.选B.由图象可知周期是0.8
s,A错误,振幅为5
cm,B正确;质点在第0.1
s和
0.5
s时振动速度为0,C错误,质点在第0.3
s和0.7
s时的振动速度不为0,D错误.
2.选D.单摆来回摆动一次,即完成一个周期,
因为s=6sin
的最小正周期T=
=1,
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s.
3.(1)当t=0时E=110
(V),即开始时的电压为110
V.
(2)T=
=
(s),即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220
V,当100πt+
=
,即t=
s时第一次取得最大值.
【解题策略】
三角函数在物理中的应用
在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动
的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,
T=
为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=
为频率,表示物体在单位
时间内往复振动的次数.
【补偿训练】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间
t(s)的变化规律为s=4sin
,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的
简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
【解析】列表:
描点、连线,图象如图所示.
(1)将t=0代入s=4sin
,
得s=4sin
=2
,
所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和-4
cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
类型二 三角函数模型的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos
ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间有多少时间可供冲浪者进行活动?
【思路导引】(1)根据y的最大值和最小值求A,b,周期及ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
【解析】(1)由表中数据可知,T=12,所以ω=
.又t=0时,y=1.5,所以A+b=1.5;
t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅为
,函数解析式为y=
cos
t+1(0≤t≤24).
(2)因为y>1时才对冲浪爱好者开放,
所以y=
cos
t+1>1,cos
t>0,2kπ-
<
t<2kπ+
,
即12k-3所以0≤t<3或9所以在8:00到20:00只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动.
【变式探究】
若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?
【解析】由y=
cos
t+1>1.25,得cos
t>
,
2kπ-
<
t<2kπ+
,k∈Z,
即12k-2所以0≤t<2或10好者可以进行活动.
【解题策略】
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
(2020·岳阳高一检测)据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系
式:f（x）=Asin
+
为月份,已知3月份该商
品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.
(1)求f（x）的解析式;
(2)求此商品的价格超过8万元的月份.
【解析】(1)由题可知
=7-3=4,所以T=8,所以ω=
=
.
又
所以
所以f（x）=2sin
+7.(
)
又f（x）过点
,代入(
)式得2sin
+7=9,
所以sin
=1,所以
+φ=
+2kπ,k∈Z.
又
<
,所以φ=-
,
所以f（x）=2sin
+7
.
(2)令f（x）=2sin
+7>8,
所以sin
>
,
所以
+2kπ<
x-
<
+2kπ,k∈Z,
可得
+8k+8k,k∈Z.
又1≤x≤12,x∈N
,所以x=2,3,4,10,11,12,
故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:例题改编)如图为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距水面2
m,
已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系
式y=Asin
+2,则有
A.ω=
,A=3 B.ω=
,A=3
C.ω=
,A=5
D.ω=
,A=5
【解析】选B.由题意可知ymax=A+2=5可得A=3,该函数的周期为T=
=15（s）,
所以ω=
=
.
2.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位
置P(x,y).若初始位置为P0
,当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那
么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选C.t时刻,P(x,y)经过的圆弧角度为
,
则以x轴正方向为始边,P(x,y)所在射线为终边,P0对应的角度为
,则P(x,y)对
应的角度为
-
,由P0
可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵
坐标y=sin
.
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班
高峰期某十字路口的车流量F(t)(单位:辆/分钟)与时间t(单位:分钟)的函数关
系式为F(t)=50+4sin
,则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.令2kπ-
≤
≤2kπ+
,
所以4kπ-π≤t≤4kπ+π
.
因为0≤t≤20,
所以当k=0时,函数y=F(t)的单调递增区间为[0,π],当k=1时,函数y=F(t)的
单调递增区间为[3π,5π].
因为
,
所以车流量在
时间段内是增加的.
十三 三角函数的简单应用
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin
160πt+115,其中f(t)为血压,
t为时间,则此人每分钟心跳的次数为
( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意得函数的周期为T=
=
,
所以频率f=
=80,所以此人每分钟心跳的次数为80.
课时素养评价
2.智能主动降噪耳机工作的原理:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,
然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图).已知噪声的声
波曲线y=Asin
的振幅为1,周期为2π,初相为0,则
通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析式为( )
A.y=sin
x
B.y=cos
x
C.y=-sin
x
D.y=-cos
x
【解析】选C.由某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<
)的振
幅为1,周期为2π,初相为0,知声波曲线:y=sin
x,通过听感主动降噪芯片生成
相等的反向波曲线为y=-sin
x.
3.(2020·枣庄高一检测)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始
位置为P0(
,-
),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象
大致为
【解析】选C.通过分析可知当t=0时,点P到x轴距离d为
,于是可以排除选项
A,D;再根据当t=
π时,点P在x轴上,此时点P到x轴距离d为0,排除选项B.
4.(2020·重庆高一检测)重庆被誉为“桥都”,数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉
陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其主体造型为:桥拱部分(开
口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结
合.已知拱桥部分长552
m,两端引桥各有190
m,主桁最高处距离桥面89.5
m,则将
下列函数等比放大后,与主桁形状最相似的是
A.y=0.45cos
x
B.y=4.5cos
x
C.y=0.9cos
x
D.y=9cos
x
【解析】选A.设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f（x）=Acos
ωx,
可得函数的周期为T=552+190×2=932,
即ω=
,又由2A=89.5,解得A=
,
所以函数的解析式为f（x）=
cos
x,
按1∶100的比例等比变换可得f（x）=
cos
x
对比选项,可得与函数y=0.45cos
x相似.
5.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0),则8时的温度大约为________℃(精确到1℃).?
【解析】由图象可得b=20,A=10,
T=14-6=8,
所以T=16=
?ω=
,y=10sin
+20,因为最低点坐标为(6,10),
所以10sin
+20=10,得sin
=-1,
于是
+φ=
π+2kπ(k∈Z),所以φ=
π+2kπ(k∈Z),
取φ=
π,所以y=10sin
+20.
当x=8时y=10sin
+20=20-5
≈13.
答案:13
6.(2020·牡丹江高一检测)如图,游乐场的摩天轮匀速旋转,每转一周需要
12
min,其中心O离地面45米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面65米时,用了________分钟.?
【解析】设时间为t,t>0,根据题意:
40sin
+45=65,故sin
=
.
故
t-
=
+2kπ或
t-
=
+2kπ,
故t=12k+4或t=12k+8,k∈Z.
故t1=4,t2=8,t3=16,t4=20,t5=28,t6=32.
答案:32
【能力进阶—水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们
在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin
,
s2=10cos
2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是
( )
A.s1>s2
B.s1C.s1=s2
D.不能确定
【解析】选C.当t=
时,s1=5sin
=5sin
=-5,当t=
时,
s2=10cos
=10×
=-5,故s1=s2.
2.(2020·济宁高一检测)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(ωx+φ)+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为
( )
A.5
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.由题意可得当sin(ωx+φ)取得最小值-1时,
函数取最小值ymin=-3+k=2,所以k=5,
所以y=3sin(ωx+φ)+5,因此当sin(ωx+φ)取得最大值1时,
函数取最大值ymax=3+5=8.
3.(2020·青岛高一检测)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基
础上,按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b
的模型波动(x为月
份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可以
确定f（x）的解析式为( )
A.f（x）=2sin
+7（1≤x≤12,x∈N
)
B.f（x）=9sin
（1≤x≤12,x∈N
)
C.f（x）=2
sin
x+7（1≤x≤12,x∈N
)
D.f（x）=2sin
（1≤x≤12,x∈N
)
【解析】选A.因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,所以
=4,
故周期T=8,所以ω=
,又
所以
所以f(x)=2sin
+7,
当x=3时,sin
=1,
因为
,所以φ=-
.
所以f(x)=2sin
+7(1≤x≤12,x∈N
).
4.(2020·太原高一检测)如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼
(The
London
Eye)是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为
( )
A.95米
B.100米
C.105米
D.110米
【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为
f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=60,
B=135-60=75,T=
=30,所以ω=
,即f(t)=60sin
+75.
又因为f(0)=135-120=15,解得sin
φ=-1,故φ=
,
所以f(t)=60sin
+75=-60cos
t+75,
所以f(10)=-60×cos
+75=105.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是
( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin
+20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
【解析】选AB.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20.
因为
=14-6=8,所以T=16,A正确;因为T=
,所以ω=
,
所以y=10sin
+20,因为图象经过点(14,30),
所以30=10sin
+20,所以sin
=1,所以φ可以取
,
所以y=10sin
+20(0≤x≤24),B正确,C错误;这一天的函效关系式只适
用于当天,第二天这个关系式不一定适用,所以D错误.
6.(2020·广州高一检测)如图,一个水轮的半径为6
m,水轮轴心O距离水面的高度为3
m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时,记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数,则下列结论正确的是
( )
A.f(3)=9
B.f(1)=f(7)
C.若f(t)≥6,则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)
D.不论t为何值,f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值
【解析】选BD.如图,以水轮所在面为坐标平面,以水轮的轴心O为坐标原点,
x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系,依题意得OP在t(s)内所转过的角度为t,则∠POx=
t-
.则点P的纵坐标为y=6sin
,点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数f（t）=6sin
+3;
f（3）=6sin
+3=3
+3,选项A错误;
f（1）=6sin
+3=3,
f（7）=6sin
+3=3,f（1）=f（7）,选项B正确;
由f（t）≥6得sin
≥
,
解得t∈[2+12k,6+12k]k∈N,选项C错误;
由f(t)+f（t+4）+f(t+8)=6sin
+3+6sin
+3
+6sin
+3,展开整理得f(t)+f（t+4）+f(t+8)=
9为定值,选项D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·福州高一检测)我们听到的美妙弦乐不是一个音在响,而是许多个纯
音的合成,称为复合音.复合音的响度是各个纯音响度之和.琴弦在全段振动,
产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的
,频率
为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的
,频率为全段的3倍;
其四分之一部分也在振动,振幅为全段的
,频率为全段的4倍;之后部分均忽
略不计.已知全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin
t(t为时间,y1为响度),则
复合音响度数学模型的最小正周期是________.?
【解析】因为产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全
段的
,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的
,频率为
全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的
,频率为全段的4倍;由
全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin
t(t为时间,y1为响度),可得复合音响
度数学模型为y=
sin
2t+
sin
3t+
sin
4t,
因为y=
sin
2t的周期为
=π,
y=
sin
3t的周期为
,y=
sin
4t的周期为
=
且π,
,
的最小公倍
数为2π,
所以y=
sin
2t+
sin
3t+
sin
4t的周期为2π.
答案:2π
8.(2020·南昌高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm,秒针均
匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离
d(cm)表示成t(s)的函数,则d=______,其中t∈[0,60].?
【解析】因为∠AOB=
×2π=
,
所以根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin
∠AOB=10sin
.
答案:10sin
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某实验室一天的温度(单位℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系
式:f(t)=12-2cos
,t∈[0,24).
(1)求该实验室一天当中上午10时的温度;
(2)若某实验需要在不低于13
℃的条件下才可以做,那么该实验应该在一天当
中的哪个时间段进行?
【解析】(1)因为f(t)=12-2cos
,t∈[0,24),
所以f(10)=12-2cos
=12-2cos
=13(℃),
所以该实验室一天当中上午10时的温度为13
℃.
(2)令f(t)=12-2cos
≥13,即cos
≤-
,
所以2kπ+
≤
≤2kπ+
,k∈Z,
所以24k+10≤t≤24k+18,k∈Z.
因为0≤t<24,所以10≤t≤18,故该实验应该在一天中t∈[10,18]这个时间段
进行.即10时至18时进行.
10.建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业
的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过28
℃时才开放中央空调降温,
否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位:℃)随时间(0≤t≤24,
单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似的满足函数y=Asin(ωt+φ)
+b
关系.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?
【解析】(1)由题图知,T=2(14-2)=24,所以
=24,得ω=
.
由题图知b=
=24,A=
=8,
所以f(t)=8sin
+24.
将点(2,16)代入函数解析式得24+8sin
=16,
得
+φ=2kπ-
,(k∈Z),
即φ=2kπ-
π(k∈Z),又因为
<π,得φ=-
π.
所以f(t)=24+8sin
.
(2)依题意令24+8sin
>28,
可得sin
>
,
所以2kπ+
<
t-
π<2kπ+
π,(k∈Z).
解得24k+10令k=0得10故中央空调应在上午10时开启,下午18时关闭.温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
§8 三角函数的简单应用
新课程标准
学业水平要求
会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
★水平一1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(数学建模)2.能将实际问题抽象为三角函数模型.(数学抽象、数学建模)★水平二1.能够利用三角函数的性质解决物理问题.(数学建模、逻辑推理)2.会灵活运用三角知识解决现实生活中与三角有关的实际问题.(数学建模、数学运算)
关键能力·合作学习
类型一 三角函数模型在物理学中的应用(数学运算、直观想象)
1.(2020·宁波高一检测)如图所示为一质点做简谐运动的图象,则下列判断中正确的是
( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在第0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D.该质点在第0.3
s和0.7
s时的振动速度为0
2.(2020·潍坊高一检测)如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的弧长s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为
( )
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
3.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
【解析】1.选B.由图象可知周期是0.8
s,A错误,振幅为5
cm,B正确;质点在第0.1
s和0.5
s时振动速度为0,C错误,质点在第0.3
s和0.7
s时的振动速度不为0,D错误.
2.选D.单摆来回摆动一次,即完成一个周期,
因为s=6sin的最小正周期T==1,
所以单摆来回摆动一次所需的时间为1
s.
3.(1)当t=0时E=110(V),即开始时的电压为110
V.
(2)T==(s),即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220
V,当100πt+=,即t=s时第一次取得最大值.
三角函数在物理中的应用
在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T=为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数.
【补偿训练】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
【解析】列表:
t
-
2t+
0
π
2π
sin
0
1
0
-1
0
s
0
4
0
-4
0
描点、连线,图象如图所示.
(1)将t=0代入s=4sin,
得s=4sin=2,
所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和-4
cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
类型二 三角函数模型的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos
ωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间有多少时间可供冲浪者进行活动?
【思路导引】(1)根据y的最大值和最小值求A,b,周期及ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
【解析】(1)由表中数据可知,T=12,
所以ω=.又t=0时,y=1.5,
所以A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,
所以振幅为,函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24).
(2)因为y>1时才对冲浪爱好者开放,
所以y=cost+1>1,cost>0,2kπ-所以0≤t<3或9所以在8:00到20:00只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动.
若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?
【解析】由y=cost+1>1.25,得cost>,
2kπ-即12k-2所以0≤t<2或10解三角函数应用问题的基本步骤
(2020·岳阳高一检测)据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:f=Asin+B,x为月份,已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.
(1)求f的解析式;
(2)求此商品的价格超过8万元的月份.
【解析】(1)由题可知=7-3=4,所以T=8,所以ω==.
又所以
所以f=2sin+7.(
)
又f过点,代入(
)式得2sin+7=9,
所以sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z.
又<,所以φ=-,
所以f=2sin+7.
(2)令f=2sin+7>8,
所以sin>,
所以+2kπ可得+8k又1≤x≤12,x∈N
,所以x=2,3,4,10,11,12,
故2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:例题改编)如图为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距水面2
m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y与时间x满足关系式y=Asin+2,则有
( )
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
【解析】选B.由题意可知ymax=A+2=5可得A=3,该函数的周期为T==15,所以ω==.
2.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选C.t时刻,P(x,y)经过的圆弧角度为×2π=,
则以x轴正方向为始边,P(x,y)所在射线为终边,P0对应的角度为,则P(x,y)对应的角度为-,由P0可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵坐标y=sin.
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量F(单位:辆/分钟)与时间t(单位:分钟)的函数关系式为F=50+4sin,则下列哪个时间段内车流量是增加的
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.令2kπ-≤≤2kπ+,
所以4kπ-π≤t≤4kπ+π.
因为0≤t≤20,
所以当k=0时,函数y=F的单调递增区间为[0,π],当k=1时,函数y=F的单调递增区间为[3π,5π].
因为?,
所以车流量在时间段内是增加的.
课时素养提升
十三 三角函数的简单应用
(15分钟 30分)
1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin
160πt+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为
( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意得函数的周期为T==,
所以频率f==80,所以此人每分钟心跳的次数为80.
2.智能主动降噪耳机工作的原理:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin的振幅为1,周期为2π,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析式为( )
A.y=sin
x
B.y=cos
x
C.y=-sin
x
D.y=-cos
x
【解析】选C.由某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<)的振幅为1,周期为2π,初相为0,知声波曲线:y=sin
x,通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y=-sin
x.
3.(2020·枣庄高一检测)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为
( )
【解析】选C.通过分析可知当t=0时,点P到x轴距离d为,于是可以排除选项A,D;再根据当t=π时,点P在x轴上,此时点P到x轴距离d为0,排除选项B.
4.(2020·重庆高一检测)重庆被誉为“桥都”,数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部分长552
m,两端引桥各有190
m,主桁最高处距离桥面89.5
m,则将下列函数等比放大后,与主桁形状最相似的是
( )
A.y=0.45cosx
B.y=4.5cosx
C.y=0.9cosx
D.y=9cosx
【解析】选A.设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f=Acos
ωx,
可得函数的周期为T=552+190×2=932,
即ω==,又由2A=89.5,解得A=,
所以函数的解析式为f=cosx,
按1∶100的比例等比变换可得f=cosx
对比选项,可得与函数y=0.45cosx相似.
5.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0),则8时的温度大约为________℃(精确到1℃).?
【解析】由图象可得b=20,A=10,T=14-6=8,
所以T=16=?ω=,y=10sin+20,因为最低点坐标为(6,10),
所以10sin+20=10,
得sin=-1,于是+φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=π+2kπ(k∈Z),
取φ=π,所以y=10sin+20.
当x=8时y=10sin+20=20-5≈13.
答案:13
6.(2020·牡丹江高一检测)如图,游乐场的摩天轮匀速旋转,每转一周需要12
min,其中心O离地面45米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面65米时,用了________分钟.?
【解析】设时间为t,t>0,根据题意:
40sin+45=65,故sin=.
故t-=+2kπ或t-=+2kπ,
故t=12k+4或t=12k+8,k∈Z.
故t1=4,t2=8,t3=16,t4=20,t5=28,t6=32.
答案:32
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin,s2=10cos
2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是
( )
A.s1>s2
B.s1C.s1=s2
D.不能确定
【解析】选C.当t=时,s1=5sin=5sin=-5,当t=时,s2=10cos=10×=-5,故s1=s2.
2.(2020·济宁高一检测)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(ωx+φ)+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为
( )
A.5
B.6
C.8
D.10
【解析】选C.由题意可得当sin(ωx+φ)取得最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,所以k=5,
所以y=3sin(ωx+φ)+5,因此当sin(ωx+φ)取得最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.
3.(2020·青岛高一检测)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f=Asin+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可以确定f的解析式为( )
A.f=2sin+7
B.f=9sin
C.f=2sinx+7
D.f=2sin
【解析】选A.因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,所以=4,
故周期T=8,所以ω=,又
所以
所以f=2sin+7,
当x=3时,sin=1,
因为<,所以φ=-.
所以f=2sin+7(1≤x≤12,x∈N
).
4.(2020·太原高一检测)如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The
London
Eye)是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为
( )
A.95米 B.100米 C.105米 D.110米
【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=60,B=135-60=75,T==30,
所以ω=,
即f(t)=60sin+75.
又因为f(0)=135-120=15,解得sin
φ=-1,故φ=,
所以f(t)=60sin+75=-60cost+75,
所以f(10)=-60×cos+75=105.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是
( )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
【解析】选AB.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20.
因为=14-6=8,所以T=16,A正确;因为T=,所以ω=,所以y=10sin+20,因为图象经过点(14,30),
所以30=10sin+20,
所以sin=1,所以φ可以取,
所以y=10sin+20(0≤x≤24),B正确,C错误;这一天的函效关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,所以D错误.
6.(2020·广州高一检测)如图,一个水轮的半径为6
m,水轮轴心O距离水面的高度为3
m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时,记f为点P距离水面的高度关于时间t的函数,则下列结论正确的是
( )
A.f=9
B.f=f
C.若f≥6,则t∈(k∈N)
D.不论t为何值,f+f+f是定值
【解析】选BD.如图,以水轮所在面为坐标平面,以水轮的轴心O为坐标原点,x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系,依题意得OP在t(s)内所转过的角度为t,则∠POx=t-.则点P的纵坐标为y=6sin,点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数f=6sin+3;
f=6sin+3=3+3,选项A错误;
f=6sin+3=3,
f=6sin+3=3,f=f,选项B正确;由f≥6得sin≥,
解得t∈,选项C错误;
由f+f+f
=6sin+3+6sin+3
+6sin+3,展开整理得f+f+f=9为定值,选项D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·福州高一检测)我们听到的美妙弦乐不是一个音在响,而是许多个纯音的合成,称为复合音.复合音的响度是各个纯音响度之和.琴弦在全段振动,产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的4倍;之后部分均忽略不计.已知全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin
t(t为时间,y1为响度),则复合音响度数学模型的最小正周期是________.?
【解析】因为产生频率为f的纯音的同时,
其二分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的,频率为全段的4倍;由全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin
t(t为时间,y1为响度),可得复合音响度数学模型为y=sin
2t+sin
3t+sin
4t,
因为y=sin
2t的周期为=π,
y=sin
3t的周期为,y=sin
4t的周期为=且π,,的最小公倍数为2π,
所以y=sin
2t+sin
3t+sin
4t的周期为2π.
答案:2π
8.(2020·南昌高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=______,其中t∈.?
【解析】因为∠AOB=×2π=,
所以根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin∠AOB=10sin.
答案:10sin
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某实验室一天的温度(单位℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系式:f(t)=12-2cos,t∈[0,24).
(1)求该实验室一天当中上午10时的温度;
(2)若某实验需要在不低于13
℃的条件下才可以做,那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行?
【解析】(1)因为f(t)=12-2cos,t∈[0,24),
所以f(10)=12-2cos=12-2cos=13(℃),
所以该实验室一天当中上午10时的温度为13
℃.
(2)令f(t)=12-2cos≥13,
即cos≤-,
所以2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z,
所以24k+10≤t≤24k+18,k∈Z.
因为0≤t<24,所以10≤t≤18,故该实验应该在一天中t∈这个时间段进行.即10时至18时进行.
10.建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过28
℃时才开放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位:℃)随时间(0≤t≤24,单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似的满足函数y=Asin+b关系.
(1)求函数y=f的表达式;
(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?
【解析】(1)由题图知,T=2=24,
所以=24,得ω=.
由题图知b==24,A==8,
所以f=8sin+24.
将点代入函数解析式得24+8sin=16,
得+φ=2kπ-,,
即φ=2kπ-π,又因为<π,得φ=-π.
所以f=24+8sin.
(2)依题意令24+8sin>28,
可得sin>,
所以2kπ+解得24k+10令k=0得10故中央空调应在上午10时开启,下午18时关闭.
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