(共54张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
必备知识·自主学习
1.向量的概念
(1)既有大小又有方向的量统称为向量.
(2)具有方向和长度的线段叫作有向线段.向量可以用有向线段表示,若有向线
段的起点为A,终点为B,则该有向线段记作
_
,也可以用黑体小写字母a,b,c,
…表示,手写则用
…表示.
(3)向量
(或a)的大小,称为向量
(或a)的长度,也叫模,记作
.?
【思考】
有向线段就是向量,对吗?
提示:不对.有向线段的起点、终点是确定的,而向量与起点无关,可以自由平移,它可以用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量.
2.与向量有关的概念
零向量
长度为0的向量称为零向量,记作0.任何方向都可以作为零向量的方向.
单位向量
模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
共线(平行)
向量
若两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量.a与b共线或平行,记作a∥b.零向量与任一向量共线.
相反向量
若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.
向量a的相反向量记作-a.
【思考】
相等向量的起点相同,对吗?
提示:不对.相等向量是指长度相等且方向相同的向量.所以,两个向量只要长度相等,方向相同,就是相等的向量,与起点的位置无关.
3.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作
=a,
=b,
则θ=∠AOB称为向量a与b的夹角;
(2)范围:0°≤θ≤180°;
(3)大小与向量共线、垂直的关系:θ=
【思考】
△ABC为正三角形,设
=a,
=b,则向量a与b的夹角是多少?
提示:如图,延长AB至点D,使BD=AB,则
=a,因为△ABC为等边三角形,所以
∠ABC=60°,则∠CBD=120°,故向量a与b的夹角为120°.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量
与
是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上.
( )
(2)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反.
( )
(3)向量
与向量
是两平行向量.
( )
(4)单位向量都相等.
( )
提示:(1)×.向量共线时,表示向量的有向线段可以在两条平行直线上,不一定
在同一直线上.
(2)×.由于零向量与任一向量平行,因此,若a,b中有一个为零向量时,其方向是
不确定的.
(3)√.由于向量
与向量
方向相反,所以二者是平行向量.
(4)×.单位向量的长度都相等,方向任意,而向量相等不仅需要长度相等,还要
求方向相同.
2.如图,在☉O中,向量
,
,
是
( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
【解析】选C.
,
,
的模均为圆的半径长,故相等.
关键能力·合作学习
类型一 向量的有关概念(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.下列说法中,正确的是
( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【解析】选D.对于①,长度为0的向量都是零向量,①正确;对于②,零向量的方向是任意的,②错误;对于③,单位向量的方向不一定相同,③错误;对于④,零向量的方向是任意的,所以任意向量与零向量都共线,④正确.综上,正确的是①④.
2.给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中,正确的命题有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.①忽略了0与0的区别,应为a=0,故①错.②混淆了两个向量的模相等和两个实数的绝对值相等,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定,故②错.③两个向量平行,可以得出它们的方向相同或相反,它们的模未必相等,故③错.④向量可以用有向线段表示,有向线段也可以表示向量,但二者是不同的概念,不能等同起来,它们的区别是:向量是可以自由移动的,故当用有向线段来表示向量时,始点是任意的,而有向线段是不能自由移动的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段有平行和共线之分,而向量的平行和共线是同一概念,故④错.
3.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的
处相交的两个全等的等边三角形,
设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为
的若干个向量,则
(1)与向量
相等的向量有________;?
(2)与向量
共线,且模相等的向量有________;?
(3)与向量
共线,且模相等的向量有________.?
【解析】(1)
.
(2)
(3)
【解题策略】
模相等就是表示向量的有向线段的长度相等;向量相等?向量方向相同且模相等;向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合.向量的模是一个数量,指的是有向线段的长度,与方向无关,可以比较大小.寻求相等向量,抓住长度相等、方向相同两个要素,与起点和终点的位置无关;寻求共线向量,抓住方向相同或相反这一个要素.注意共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线,零向量和单位向量都只关注长度.
【补偿训练】
如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有
两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且
.
(1)画出所有的向量
;
(2)求
的最大值与最小值.
【解析】(1)画出所有的向量
,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,
取得最小值
;
②当点C位于点C5和C6时,
取得最大值
,所以
的最大值为
,
最小值为
.
类型二 向量的表示(直观想象)
【典例】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向
东偏北60°航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D
岛.
(1)试作出向量
(2)求
.
【思路导引】准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,
然后结合向量的大小确定向量的终点.
【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系,向量
即为所求.
(2)根据题意,向量
与
方向相反,故向量
∥
.又|
|=|
|,所以在
四边形ABCD中,AB?
CD,四边形ABCD为平行四边形,所以
=
,所以|
|
=|
|=400(海里).
【解题策略】画向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.确定向量的长度或方向时,需要用平面几何的知识,如直角三角形的解法、平行四边形的性质等.
【跟踪训练】
1.某人向正东方向行进100
m后,再向正南方向行进100
m,则此人位移的方向是
( )
A.南偏东60°
B.南偏东45°
C.南偏东30°
D.南偏东15°
【解析】选C.如图,在直角三角形ABC中,
tan
θ=
=
,所以θ=60°.
2.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出
(2)求B地相对于A地的位置.
【解析】(1)向量
如图所示.
(2)由题意知
=
,所以AD?
BC,所以四边形ABCD为平行四边形,所以
=
,所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°,6千米”.
【补偿训练】
一架测绘飞机从A点向北飞行200
km到达B点,再从B点向东飞行100
km到达
C点,再从C点向东南45°飞行了100
km到达D点,则飞机从D点飞回A点的位移
大小是________km.?
【解析】如图,建立平面直角坐标系xAy,其中x轴的正方向表示正东方向,y轴
的正方向表示正北方向,作DE⊥AB,CF⊥DE,垂足分别为E,F.在Rt△CDF中,
|
|=100
,∠CFD=90°,∠CDF=45°,所以CF=DF=100,ED=200,在Rt△AED中,
EA=BE=100,所以|
|=
(km).故飞机从D点飞回A点的位移
大小为100
km.
答案:100
典例备选 用相等或共线向量证明平面几何问题
【典例】如图所示,在四边形ABCD中,
=
,N,M分别是AD,BC上的点,且
=
.
求证:
=
.
【思路导引】向量相等要从长度和方向两个方面说明,同时向量相等的条件也
会提供平行且相等两个方面的依据.
【证明】因为
=
,所以|
|=|
|且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形,所以|
|=|
|,且DA∥CB.又因为
与
的
方向相同,所以
=
.
同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以
=
.因为|
|=|
|,
|
|=|
|,所以|
|=|
|,
又因为
与
的方向相同,所以
=
.
【解题策略】相等或共线向量在平面几何中的应用:
(1)两向量相等包括长度相等,方向相同或相反,可以在图形中获得平行、相等关系.
(2)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.利用①②两种情形可以在图形中获得平行关系.
【跟踪训练】
在四边形ABCD中,
=
,且|
|=|
|,tan
D=
,判断四边形ABCD的形
状.
【解析】因为在四边形ABCD中,
=
,所以AB?
DC,所以四边形ABCD是平行
四边形.因为tan
D=
,所以B=D=60°,又|
|=|
|,所以△ABC是等边三角
形.所以|
|=|
|,所以四边形ABCD是菱形.
1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是向量的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.本题主要考查向量的概念,看一个量是不是向量,就是看它是否具备向量的两个要素:大小和方向,因为②③④是既有大小,又有方向的量,所以它们是向量;而①⑤⑥⑦是只有大小而没有方向的量,所以不是向量.
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2.下列说法正确的是
( )
A.向量
与向量
的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.向量的模是一个正实数
【解析】选A.向量
与向量
的长度都等于线段AB的长度,A正确;有共同起
点且长度相等的向量,只要方向不同,它们的终点就不同,B错;零向量的方向是
任意的,但不是没有方向,C错;零向量的模是0,不是正实数,D错.
3.如图,在四边形ABCD中,若
=
,则图中相等的向量是
( )
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【解析】选D.因为
=
,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平
分,所以
=
.
4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定
( )
A.不共线
B.长度不相等
C.不都是单位向量
D.不都是零向量
【解析】选D.若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量,所以A,B,C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.
5.如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量
中模最大的向量是________,其长度为________.?
【解析】由图形,
=2
,
=3,
=4,
=
,
=3
.
所以
长度最大,为3
.
答案:
3
十四 从位移、速度、力到向量
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;
③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是
( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
【解析】选B.a为任一非零向量,故|a|>0.
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2.给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相
同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;
④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是
( )
A.①②
B.②
C.②③
D.③④
【解析】选B.起点相同,方向相同的两个非零向量若长度不相等,则终点不相同,
故①不正确;起点相同且相等的两个非零向量的终点相同,故②正确;两个平行的
非零向量的方向相同或相反,故③不正确;两个共线的非零向量的起点与终点不
一定共线,所对应的直线可能平行,故④不正确.
3.A,B,C是不共线的三点,向量m与向量
是平行向量,与
是共线向量,则
m= .?
【解析】因为A,B,C三点不共线,所以
与
不共线,又因为m∥
且m∥
,
所以m=0.
答案:0
4.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是 ;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是 .?
【解析】因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位长度,所以它们的终点在起点的两侧,且距起点一个单位长度,所以终点构成的图形是两个点.
答案:一条直线 两个点
5.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与
,
相等的向量;
(2)写出与
模相等的向量.
【解析】(1)
=
=
,
=
.(2)
,
,
.
【能力进阶—水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.给出下列命题:
①若a=-b,则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a③若a=b,则a∥b;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.对于①,若a=-b,则a,b互为反向量,所以|a|=|b|,所以①正确;对于②,向量的长度有大小,但向量不能比较大小,所以②不正确;对于③,a=b,意味着a与b的方向相同,所以a∥b,所以③正确.对于④,若b=0,则a∥b,b∥c,但a与c方向不一定相同或相反,所以④不正确.
2.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过O作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点和终点的向量中,相等向量有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
【解析】选B.由图形可知,
=
,
=
.
3.在△ABC中,|
|=13,|
|=5,|
|=12,则
与
的夹角的余弦值是
( )
A.
B.
C.
-
D.-
【解析】选C.由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos
B=
,
与
的夹角是角B的补角,所以其余弦值应为-
.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向
量中
( )
A.向量
,
的模相等
B.|
|=
C.向量
,
共线
D.|
|+|
|=10
【解析】选BC.|
|=
=
,|
|=2
,A错误;|
|=
=
,
B正确;向量
,
共线,C正确;|
|+|
|=2
+3
=5
,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,在?ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集
合T={
|M,N∈S,且M,N不重合}.则集合T中元素的个数是 .?
【解析】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共
有20个,即
由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即
又集合中元素具有互异性,
故集合T中的元素共有12个.
答案:12
6.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.则与向量
相等的向量
为 ;若|
|=3,则向量
的模等于 .?
【解析】在平行四边形ABCD和ABDE中,因为
,
,所以
.
所以E,D,C三点共线,|
|=|
|+|
|=2|
|=6.
答案:
,
6
四、解答题
7.(10分)如图,A,B,C三点的坐标依次是(-1,0),(0,1),(x,y),其中x,y∈R.当
x,y满足什么条件时,向量
与
共线(其中O为坐标原点)?
【解析】由点A,B的坐标分别是(-1,0),(0,1)得∠BAO=45°.
①当点C的坐标满足x=y=0时,点C与点O重合,则有|OC|=0,即|
|=0,所以
=0,这时
与
共线(零向量与任一向量都共线);
②当点C的坐标满足xy≠0,且x=y,即点C在第一、三象限角平分线上时,有
AB∥OC,这时
与
共线.综上可知,当x=y时,
与
共线.温馨提示：
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第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量?怎样表示向量?什么是向量的模?什么是零向量和单位向量?2.向量相等和向量共线的条件分别是什么?3.什么是向量的夹角?
1.向量的概念
(1)既有大小又有方向的量统称为向量.
(2)具有方向和长度的线段叫作有向线段.向量可以用有向线段表示,若有向线段的起点为A,终点为B,则该有向线段记作,也可以用黑体小写字母a,b,c,…表示,手写则用
,
,
,…表示.
(3)向量
(或a)的大小,称为向量
(或a)的长度,也叫模,记作
(或|a|).?
有向线段就是向量,对吗?
提示:不对.有向线段的起点、终点是确定的,而向量与起点无关,可以自由平移,它可以用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量.
2.与向量有关的概念
零向量
长度为0的向量称为零向量,记作0.任何方向都可以作为零向量的方向.
单位向量
模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
相等向量
长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
共线(平行)向量
若两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量.a与b共线或平行,记作a∥b.零向量与任一向量共线.
相反向量
若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.
向量a的相反向量记作-a.
相等向量的起点相同,对吗?
提示:不对.相等向量是指长度相等且方向相同的向量.所以,两个向量只要长度相等,方向相同,就是相等的向量,与起点的位置无关.
3.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=∠AOB称为向量a与b的夹角;
(2)范围:0°≤θ≤180°;
(3)大小与向量共线、垂直的关系:θ=
△ABC为正三角形,设=a,=b,则向量a与b的夹角是多少?
提示:如图,延长AB至点D,使BD=AB,则=a,
因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=60°,则∠CBD=120°,故向量a与b的夹角为120°.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量与是共线向量,则A,B,C,D必在同一直线上.( )
(2)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反.( )
(3)向量与向量是两平行向量.( )
(4)单位向量都相等.( )
提示:(1)×.向量共线时,表示向量的有向线段可以在两条平行直线上,不一定在同一直线上.
(2)×.由于零向量与任一向量平行,因此,若a,b中有一个为零向量时,其方向是不确定的.
(3)√.由于向量与向量方向相反,所以二者是平行向量.
(4)×.单位向量的长度都相等,方向任意,而向量相等不仅需要长度相等,还要求方向相同.
2.如图,在☉O中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
【解析】选C.,,的模均为圆的半径长,故相等.
关键能力·合作学习
类型一 向量的有关概念(数学抽象、直观想象)
1.下列说法中,正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;
③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
【解析】选D.对于①,长度为0的向量都是零向量,①正确;对于②,零向量的方向是任意的,②错误;对于③,单位向量的方向不一定相同,③错误;对于④,零向量的方向是任意的,所以任意向量与零向量都共线,④正确.综上,正确的是①④.
2.给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中,正确的命题有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选A.①忽略了0与0的区别,应为a=0,故①错.②混淆了两个向量的模相等和两个实数的绝对值相等,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定,故②错.③两个向量平行,可以得出它们的方向相同或相反,它们的模未必相等,故③错.④向量可以用有向线段表示,有向线段也可以表示向量,但二者是不同的概念,不能等同起来,它们的区别是:向量是可以自由移动的,故当用有向线段来表示向量时,始点是任意的,而有向线段是不能自由移动的,有向线段平移后就不是原来的有向线段了.有向线段有平行和共线之分,而向量的平行和共线是同一概念,故④错.
3.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则
(1)与向量相等的向量有________;?
(2)与向量共线,且模相等的向量有________;?
(3)与向量共线,且模相等的向量有________.?
【解析】(1)
,.
(2)
,,,,.
(3)
,,,,.
模相等就是表示向量的有向线段的长度相等;向量相等?向量方向相同且模相等;向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合.向量的模是一个数量,指的是有向线段的长度,与方向无关,可以比较大小.寻求相等向量,抓住长度相等、方向相同两个要素,与起点和终点的位置无关;寻求共线向量,抓住方向相同或相反这一个要素.注意共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线,零向量和单位向量都只关注长度.
【补偿训练】
如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且=.
(1)画出所有的向量;
(2)求的最大值与最小值.
【解析】(1)画出所有的向量,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,取得最小值=;
②当点C位于点C5和C6时,取得最大值=,所以的最大值为,最小值为.
类型二 向量的表示(直观想象)
【典例】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛.
(1)试作出向量,,;
(2)求||.
【思路导引】准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后结合向量的大小确定向量的终点.
【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系,向量,,即为所求.
(2)根据题意,向量与方向相反,故向量∥.又||=||,所以在四边形ABCD中,AB?CD,四边形ABCD为平行四边形,所以=,所以||=||=400(海里).
画向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.确定向量的长度或方向时,需要用平面几何的知识,如直角三角形的解法、平行四边形的性质等.
1.某人向正东方向行进100
m后,再向正南方向行进100
m,则此人位移的方向是( )
A.南偏东60° B.南偏东45°
C.南偏东30°
D.南偏东15°
【解析】选C.如图,在直角三角形ABC中,tan
θ==,所以θ=60°.
2.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置.
【解析】(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,所以AD?BC,所以四边形ABCD为平行四边形,所以=,所以B地相对于A地的位置为“北偏东60°,6千米”.
【补偿训练】
一架测绘飞机从A点向北飞行200
km到达B点,再从B点向东飞行100
km到达C点,再从C点向东南45°飞行了100
km到达D点,则飞机从D点飞回A点的位移大小是________km.?
【解析】如图,建立平面直角坐标系xAy,其中x轴的正方向表示正东方向,y轴的正方向表示正北方向,作DE⊥AB,CF⊥DE,垂足分别为E,F.
在Rt△CDF中,||=100,∠CFD=90°,∠CDF=45°,所以CF=DF=100,ED=200,在Rt△AED中,EA=BE=100,所以||==100(km).故飞机从D点飞回A点的位移大小为100
km.
答案:100
典例备选 用相等或共线向量证明平面几何问题
【典例】如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.
求证:=.
【思路导引】向量相等要从长度和方向两个方面说明,同时向量相等的条件也会提供平行且相等两个方面的依据.
【证明】因为=,所以||=||且AB∥CD,
所以四边形ABCD是平行四边形,所以||=||,且DA∥CB.又因为与的方向相同,所以=.
同理可证,四边形CNAM是平行四边形,所以=.因为||=||,||=||,所以||=||,
又因为与的方向相同,所以=.
相等或共线向量在平面几何中的应用:
(1)两向量相等包括长度相等,方向相同或相反,可以在图形中获得平行、相等关系.
(2)向量共线有三种情形:①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.利用①②两种情形可以在图形中获得平行关系.
在四边形ABCD中,=,且||=||,tan
D=,判断四边形ABCD的形状.
【解析】因为在四边形ABCD中,=,所以AB?DC,所以四边形ABCD是平行四边形.
因为tan
D=,所以B=D=60°,又||=||,所以△ABC是等边三角形.
所以||=||,所以四边形ABCD是菱形.
课堂检测·素养达标
1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.本题主要考查向量的概念,看一个量是不是向量,就是看它是否具备向量的两个要素:大小和方向,因为②③④是既有大小,又有方向的量,所以它们是向量;而①⑤⑥⑦是只有大小而没有方向的量,所以不是向量.
2.下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.向量的模是一个正实数
【解析】选A.向量与向量的长度都等于线段AB的长度,A正确;有共同起点且长度相等的向量,只要方向不同,它们的终点就不同,B错;零向量的方向是任意的,但不是没有方向,C错;零向量的模是0,不是正实数,D错.
3.如图,在四边形ABCD中,若=,则图中相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
【解析】选D.因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分,所以=.
4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定( )
A.不共线
B.长度不相等
C.不都是单位向量
D.不都是零向量
【解析】选D.若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量,所以A,B,C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量.
5.如图,设每一个正方形小方格的边长为1,则向量,,,,中模最大的向量是________,其长度为________.?
【解析】由图形,=2,=3,=4,=,=3.
所以长度最大,为3.
答案: 3
十四 从位移、速度、力到向量
(15分钟 30分)
1.若a为任一非零向量,b为模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;
③|a|>0;④|b|=±1,其中正确的是
( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
【解析】选B.a为任一非零向量,故|a|>0.
2.给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是
( )
A.①②
B.②
C.②③
D.③④
【解析】选B.起点相同,方向相同的两个非零向量若长度不相等,则终点不相同,故①不正确;起点相同且相等的两个非零向量的终点相同,故②正确;两个平行的非零向量的方向相同或相反,故③不正确;两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,所对应的直线可能平行,故④不正确.
3.A,B,
C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .?
【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.
答案:0
4.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是 ;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是 .?
【解析】因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位长度,所以它们的终点在起点的两侧,且距起点一个单位长度,所以终点构成的图形是两个点.
答案:一条直线 两个点
5.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与,相等的向量;
(2)写出与模相等的向量.
【解析】(1)==,=.(2),,.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.给出下列命题:
①若a=-b,则|a|=|b|;②若|a|<|b|,则a③若a=b,则a∥b;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确命题的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.对于①,若a=-b,则a,b互为反向量,所以|a|=|b|,所以①正确;对于②,向量的长度有大小,但向量不能比较大小,所以②不正确;对于③,a=b,意味着a与b的方向相同,所以a∥b,所以③正确.对于④,若b=0,则a∥b,b∥c,但a与c方向不一定相同或相反,所以④不正确.
2.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过O作MN∥AB,交AD于M,交BC于N,则在以A,B,C,D,M,O,N为起点和终点的向量中,相等向量有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
【解析】选B.由图形可知,=,=.
3.在△ABC中,||=13,||=5,||=12,则与的夹角的余弦值是
( )
A.
B.
C.
-
D.-
【解析】选C.由△ABC三边的长可知△ABC是直角三角形,cos
B=,与的夹角是角B的补角,所以其余弦值应为-.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中
( )
A.向量,的模相等
B.||=
C.向量,共线
D.||+||=10
【解析】选BC.||==,||=2,A错误;||=
=,B正确;向量,共线,C正确;||+||=2+3=5,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,在?ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合}.则集合T中元素的个数是 .?
【解析】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即,,,,,,,,,,,,,,,,,,
,.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=,=,=,
=,=,=,=,=,又集合中元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.
答案:12
6.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.则与向量相等的向量为 ;若||=3,则向量的模等于 .?
【解析】在平行四边形ABCD和ABDE中,因为=,=,所以=.
所以E,D,C三点共线,||=||+||=2||=6.
答案:, 6
四、解答题
7.(10分)如图,A,B,C三点的坐标依次是(-1,0),(0,1),(x,y),其中x,y∈R.当x,y满足什么条件时,向量与共线(其中O为坐标原点)?
【解析】由点A,B的坐标分别是(-1,0),(0,1)得∠BAO=45°.
①当点C的坐标满足x=y=0时,点C与点O重合,则有|OC|=0,即||=0,所以=0,这时与共线(零向量与任一向量都共线);
②当点C的坐标满足xy≠0,且x=y,即点C在第一、三象限角平分线上时,有AB∥OC,这时与共线.综上可知,当x=y时,与共线.
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