(共60张PPT)
§2
从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的加法?向量的加法遵循怎样的法则?
2.向量加法满足哪些运算律?
1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫作向量的加法.向量加法遵循的法则如下:
1.三角形法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任
取一点A,作
=a,
=b,再作向量
,
则向量
叫作向量a与b的和,记作a+b,
即a+b=
+
=
.
2.平行四边形法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任
取一点A,作
=a,
=b,再作平行于
的
=b,连接DC,则四边形ABCD为平行四
边形.向量
叫作向量a与b的和,表示为
=a+b.
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
【思考】共线的两向量相加,其结果怎样?
提示:(1)向量a与b同向(如图①所示),即向量a+b与a(或b)方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.
(2)向量a与b反向(如图②所示),且|a|<|b|时,a+b与b方向相同(与a方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.
2.向量加法的运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
【思考】
怎样求作多个向量的和?
提示:(1)由于向量的加法既满足交换律,又满足结合律,因此多个向量的加法运算即可按任意的次序与组合来求作.
(2)向量的多边形法则:
①在平面内任取一点,以此点为起点作第一个向量;
②以第一个向量的终点为起点作第二个向量;
③依次类推,最后以第n-1个向量的终点为起点作第n个向量;
④则以第一个向量的起点为起点,以第n个向量的终点为终点的向量,就是这n个向量的和.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两向量的和,可能是一个数量.
( )
(2)两向量相加,就是两向量的模相加.
( )
(3)
.
( )
(4)在矩形ABCD中,
.
( )
提示:(1)×.向量的和一定是向量.
(2)×.向量相加遵循平行四边形法则或三角形法则,模相加是数量的运算,
二者不能等同.
(3)√.两向量首尾相接,和从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
(4)√.在矩形中,
,所以
.
2.在四边形ABCD中,
,则
( )
A.ABCD一定是矩形
B.ABCD一定是菱形
C.ABCD一定是正方形
D.ABCD一定是平行四边形
【解析】选D.
,由平行四边形法则可得,必有四边形ABCD是平行四
边形,但不能确定是更特殊的四边形.
3.下列等式不成立的是
( )
A.0+a=a B.a+b=b+a
C.
=2
D.
【解析】选C.
与
是相反向量,其和为0,C错误,ABD显然正确.
关键能力·合作学习
类型一 已知向量作和向量(直观想象)
【典例】已知向量a,b,c如图,求作a+b+c.
【思路导引】在平面上任取一点,从此点开始用三角形法则或平行四边形法则逐次相加.
【解析】在平面内任取一点O,作
=a,
=b,
=c,如图,则由向量加法的三
角形法则,得
=a+b,
=a+b+c.
【解题策略】
1.用三角形法则作两向量的和时,要注意两向量“首尾相接”;用平行四边形法则作两向量的和时,要注意保证两向量有公共起点.
2.求作共线向量或多个向量的和向量时,应首选三角形法则,注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点.
【跟踪训练】
1.根据图示填空,其中a=
,b=
,c=
,d=
.
(1)a+b+c=________;?
(2)b+d+c=________.?
【解析】(1)a+b+c=
+
+
=
;
(2)b+d+c=
+
+
=
.
答案:(1)
(2)
2.已知向量a,b,c如图,求作向量a+b+c.
【解析】在平面内任意取一点O,作
=a,
=b,
=c,则
=a+b+c.
【补偿训练】
如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|
+
+
|等于
( )
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】选B.|
+
+
|=|
+
+
|=|
|=2.
类型二 向量加法运算律的应用(数学运算)
【典例】化简下列各式:(1)
;(2)
;
(3)
.
【思路导引】所给各式均为向量和的形式,因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解.
【解析】(1)
(2)
(3)
【解题策略】向量加法运算律的应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序;注意利用相等向量转化,达到“首尾相连”的目的.
【跟踪训练】
已知正方形ABCD的边长等于1,则|
+
+
+
|=________.?
【解析】|
+
+
+
|=|
+
+
+
|=|
+
|=2|
|=2
.
答案:2
类型三 向量加法的实际应用(数学建模)
【典例】在静水中船的速度为20
m/min,水流的速度为10
m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
【思路导引】画图表示问题情境,运用平行四边形法则,标注图形中线段的长度,在三角形中计算角度.
【解析】作出图形,如图所示.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,
结合已知条件,四边形ABCD为平行四边形,在Rt△ACD中,|
|=|
|=|v水|
=10
m/min,|
|=|v船|=20
m/min,所以cos
α=
=
=
,所以α=60°,
从而船与水流方向成120°的角.所以船是沿与水流的方向成120°的角的方向
行进的.
【变式探究】
1.若本例中条件不变,则经过1
h,该船的实际航程是________km.?
【解析】由例题知|v船|=20
m/min,|v实际|=20×sin
60°=10
(m/min),故该
船1
h行驶的航程为10
×60=600
(m)=
(km).
答案:
2.若本例中其他条件不变,改为若船沿垂直水流的方向航行,则船实际行进的方
向与岸方向的夹角的正切值为________.?
【解析】如图,作平行四边形ABDC,则
=v实际,设船实际航向与岸方向的夹角为
α,则tan
α=
=
=2.即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
答案:2
【解题策略】向量解决简单实际问题的方法
向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用,用向量解决实际应用问题,关键是把实际问题转化为向量模型,就是准确作出图象,其基本步骤有:
(1)表示:用向量表示相关的量,将所要解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原问题.
【跟踪训练】
1.小船以10
km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为
10
km/h,则小船的实际航行速度的大小为________km/h.?
【解析】如图,设船在静水中的速度为|v1|=10
km/h,河水的流速为|v2|=
10
km/h,小船的实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10
)2+102=|v0|2,
所以|v0|=20
km/h,即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
答案:20
2.如图,用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,
∠BCW=120°,则A处所受力的大小为________N,B处所受力的大小为________N.
(绳子的重量忽略不计)
?
【解析】如图所示,设
,
分别表示A,B所受的力,10
N的重力用
表示,
则
+
=
.
易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.
所以|
|=|
|cos
30°=10×
=5
(N),|
|=|
|cos
60°=10×
=5(N).
所以A处所受力的大小为5
N,B处所受力的大小为5
N.
答案:5
5
【补偿训练】
一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100
m,船的航行速度为|v1|=4
m/s,水流的速度为|v2|=2
m/s,试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大?
【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为t(s),如图,设
表示水流的速度,
表示船的航行速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则
就是船实际航行的
速度.设∠BAC=α,∠BAD=θ,则
相对于垂直对岸的速度为v=
sin
θ,小船
行驶到对岸所用的时间为
故当sin
θ=1,即θ=90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,最少值为25
s.
在Rt△ABC中,
=2,
=
=4,tan
α=2.
故当船头与水流方向的夹角为90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少为25
s,
此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值为2.
典例备选
向量模的三角不等式(直观想象、逻辑推理)
【典例】证明:对任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
【思路导引】首先讨论向量a,b不共线的一般情况,其次讨论a,b同向与反向的情况,以及有零向量的情况.
【证明】对于任意向量a,b,当向量a,b不共线时,在平面内任取一点O,以O为起
点,分别作向量
=a,
=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,则
=a+b.
根据三角形两边之和总大于第三边,而两边之差总小于第三边可得:|a+b|=
|
|<|
|+|
|=|a|+|b|,|a+b|=|
|>||
|-|
||=||a|-|b||,即
||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.
当a与b同向时,有|a+b|=|a|+|b|;
当a与b反向时,有||a|-|b||=|a+b|;
当a与b中至少有一个为零向量时,有||a|-|b||=|a+b|=|a|+|b|.
于是,对任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
【解题策略】
当问题涉及的情况有多个,不同情况下使用的方法、依据等不相同,这时通常需要对问题分类讨论,依次探讨各种情况,最后总结下结论.
【跟踪训练】
设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的取值范围为________.?
【解析】把a与b的起点在平面内固定在同一个位置,旋转其中一个向量,会发现:当a与b同向共线时,|a+b|max=20;当a与b反向共线时,|a+b|min=4.
答案:[4,20]
1.作用在同一物体上的两个力F1=60
N,F2=60
N,当它们的夹角为120°时,则这
两个力的合力大小为______N( )?
A.30 B.60 C.90 D.120
【解析】选B.由力F1=60
N,F2=60
N的夹角为120°,可得以F1与F2为邻边的平行
四边形是菱形,合力是其一条对角线,长度等于菱形的边长,所以合力大小为
60
N.
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2.下列等式错误的是
( )
A.a+0=0+a=a
B.
=0
C.
=0
D.
【解析】选B.
,故B错,D中
=0.
3.已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则
( )
A.a∥b且a与b方向相同
B.a,b是共线向量且方向相反
C.a=b
D.a,b无论什么关系均可
【解析】选A.非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|,必须向量a,b同向.
4.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.
(1)
=________;(2)
=________;
(3)
=________;?
(4)
=________.?
答案:(1)
(2)
(3)
(4)0
5.已知点G是△ABC的重心,则
=________.?
【解析】如图所示,连接AG并延长交BC于E点,点E为BC的中点,延长AE到D点,使
GE=ED,则
所以
=0.
答案:0
十五 向量的加法
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,|
|=|
|=|
+
|,则△ABC是
( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.
+
=
,则|
|=|
|=|
|,则△ABC是等边三角形.
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2.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是
( )
【解析】选C.对于A,
=
≠
;对于B,
;
对于C,
,又
=
,所以
+
=
;
对于D,
+
≠
.
3.在平行四边形ABCD中,
= .?
【解析】由四边形ABCD是平行四边形,可知
与
互为相反向量,和是零向
量,同理
与
也互为相反向量,和是零向量,所以
+
+
+
=0.
答案:0
4.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|
|=1,则|
+
|= .?
【解析】在菱形ABCD中,连接BD,因为∠DAB=60°,所以△BAD为等边三角形.
又因为|
|=1,所以|
|=1,|
+
|=|
|=1.
答案:1
5.如图所示,试分别作出向量
.
【解析】如图,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCE,根据平行四边形法则,可知
就是
+
.以CB,CA为邻边作平行四边形ACBF,根据平行四边形法则,
可知
就是
+
.
【能力进阶—水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若
+
=2
,且
=
,则△ABC
的面积为
( )
A.
B.
C.2
D.1
【解析】选B.由于
+
=2
,由向量加法的几何意义,O为边BC中点,因为
△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三
角形,∠BAC=
,斜边BC=2,又因为
=
,所以|
|=1,|
|=
,所以
S△ABC=
×|
|×|
|=
×1×
=
.
2.已知菱形ABCD边长为1,则|
+
+
|的值不可能为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.
=
=2
,又在菱形ABCD中AC的长度满
足0
的值不可能为4.
3.下列命题中正确的是
( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有
+
+
=0
C.若
+
+
=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
【解析】选B.非零向量a与b互为相反向量时,
a+b=0,其方向是任意的,A错
误;B显然正确;
+
+
=0,A,B,C可以在同一条直线上,C错误;非零向量
a,b要满足|a+b|与|a|+|b|相等,必须a,b同向,D错误.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若(
+
)+(
+
)=a,b是一非零向量,则下列结论正确的有
( )
A.a∥b
B.a+b=a
C.a+b=b
D.|a+b|<|a|+|b|
【解析】选AC.a=
(
+
)+(
+
)=0,AC正确;a+b=b,B错误;
|a+b|=|a|+|b|,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知水流速度为2
km/h,若船的实际航行方向与水流方向垂直,则经过3
h,该船的实际航程为 km.?
【解析】如图,
表示水流速度,
表示船在静水中的速度,则
表示船的实际速度.
因为|
|=2,|
|=4,∠AOB=120°,则∠CBO=60°.
又因为∠AOC=∠BCO=90°,所以|
|=2
,
所以船的实际航行速度的大小为2
km/h,
则实际航程为2
×3=6
(km).
答案:6
6.已知|
|=3,|
|=3,∠AOB=60°,则
与
的夹角为 ,
|
+
|= .?
【解析】如图,因为|
|=|
|=3,所以四边形OACB为菱形.
连接AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
因为∠AOB=60°,所以AB=|
|=3.
所以在Rt△BDC中,CD=
.
所以|
|=|
+
|=
×2=3
.
答案:90° 3
四、解答题
7.(10分)如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【解析】设
,
分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km,从B
地按南偏东55°的方向飞行800
km,则飞机飞行的路程指的是|
|+|
|;两
次飞行的位移的和指的是
+
=
.
依题意,有|
|+|
|=800+800=1
600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以|
|=
=800
(km).其中∠BAC=45°,所以方
向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km,两次飞行的位移和的大小为800
km,方向
为北偏东80°.温馨提示：
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§2
从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的加法?向量的加法遵循怎样的法则?2.向量加法满足哪些运算律?
1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫作向量的加法.向量加法遵循的法则如下:
1.三角形法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量叫作向量a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
2.平行四边形法则
已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,再作平行于的=b,连接DC,则四边形ABCD为平行四边形.向量叫作向量a与b的和,表示为=a+b.
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
共线的两向量相加,其结果怎样?
提示:(1)向量a与b同向(如图①所示),即向量a+b与a(或b)方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.
(2)向量a与b反向(如图②所示),且|a|<|b|时,a+b与b方向相同(与a方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.
2.向量加法的运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
怎样求作多个向量的和?
提示:(1)由于向量的加法既满足交换律,又满足结合律,因此多个向量的加法运算即可按任意的次序与组合来求作.
(2)向量的多边形法则:
①在平面内任取一点,以此点为起点作第一个向量;
②以第一个向量的终点为起点作第二个向量;
③依次类推,最后以第n-1个向量的终点为起点作第n个向量;
④则以第一个向量的起点为起点,以第n个向量的终点为终点的向量,就是这n个向量的和.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两向量的和,可能是一个数量.( )
(2)两向量相加,就是两向量的模相加.( )
(3)+=.( )
(4)在矩形ABCD中,+=.( )
提示:(1)×.向量的和一定是向量.
(2)×.向量相加遵循平行四边形法则或三角形法则,模相加是数量的运算,二者不能等同.
(3)√.两向量首尾相接,和从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
(4)√.在矩形中,=,所以+=+=.
2.在四边形ABCD中,=+,则( )
A.ABCD一定是矩形
B.ABCD一定是菱形
C.ABCD一定是正方形
D.ABCD一定是平行四边形
【解析】选D.=+,由平行四边形法则可得,必有四边形ABCD是平行四边形,但不能确定是更特殊的四边形.
3.下列等式不成立的是( )
A.0+a=a
B.a+b=b+a
C.+=2
D.+=
【解析】选C.与是相反向量,其和为0,C错误,ABD显然正确.
关键能力·合作学习
类型一 已知向量作和向量(直观想象)
【典例】已知向量a,b,c如图,求作a+b+c.
【思路导引】在平面上任取一点,从此点开始用三角形法则或平行四边形法则逐次相加.
【解析】在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,则由向量加法的三角形法则,
得=a+b,=a+b+c.
1.用三角形法则作两向量的和时,要注意两向量“首尾相接”;用平行四边形法则作两向量的和时,要注意保证两向量有公共起点.
2.求作共线向量或多个向量的和向量时,应首选三角形法则,注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点.
1.根据图示填空,其中a=,b=,c=,d=.
(1)a+b+c=________;?
(2)b+d+c=________.?
【解析】(1)a+b+c=++=;
(2)b+d+c=++=.
答案:(1) (2)
2.已知向量a,b,c如图,求作向量a+b+c.
【解析】在平面内任意取一点O,作=a,=b,=c,则=a+b+c.
【补偿训练】
如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|等于( )
A.1
B.2
C.3
D.2
【解析】选B.|++|=|++|=||=2.
类型二 向量加法运算律的应用(数学运算)
【典例】化简下列各式:(1)+;(2)++;
(3)++++.
【思路导引】所给各式均为向量和的形式,因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解.
【解析】(1)+=+=.
(2)++=(+)+=+=0或++=(+)+=(+)+=+=0.
(3)++++
=++++=+++=++=+=0.
向量加法运算律的应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序;注意利用相等向量转化,达到“首尾相连”的目的.
已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|=________.?
【解析】|+++|=|+++|=|+|=2||=2.
答案:2
类型三 向量加法的实际应用(数学建模)
【典例】在静水中船的速度为20
m/min,水流的速度为10
m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
【思路导引】画图表示问题情境,运用平行四边形法则,标注图形中线段的长度,在三角形中计算角度.
【解析】作出图形,如图所示.船速v船与岸的方向成α角,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,
四边形ABCD为平行四边形,在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10
m/min,||=|v船|=20
m/min,所以cos
α===,所以α=60°,从而船与水流方向成120°的角.
所以船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进的.
1.若本例中条件不变,则经过1
h,该船的实际航程是________km.?
【解析】由例题知|v船|=20
m/min,|v实际|=20×sin
60°=10(m/min),故该船1
h行驶的航程为10×60=600(m)=(km).
答案:
2.若本例中其他条件不变,改为若船沿垂直水流的方向航行,则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为________.?
【解析】如图,作平行四边形ABDC,则=v实际,设船实际航向与岸方向的夹角为α,则tan
α===2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
答案:2
向量解决简单实际问题的方法
向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用,用向量解决实际应用问题,关键是把实际问题转化为向量模型,就是准确作出图象,其基本步骤有:
(1)表示:用向量表示相关的量,将所要解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原问题.
1.小船以10
km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10
km/h,则小船的实际航行速度的大小为________km/h.?
【解析】如图,设船在静水中的速度为|v1|=10
km/h,河水的流速为|v2|=10
km/h,小船的实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20
km/h,即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
答案:20
2.如图,用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,则A处所受力的大小为________N,B处所受力的大小为________N.(绳子的重量忽略不计)
?
【解析】如图所示,设,分别表示A,B所受的力,10
N的重力用表示,则+=.
易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.
所以||=||cos
30°=10×=5(N),||=||cos
60°=10×=5(N).
所以A处所受力的大小为5
N,B处所受力的大小为5
N.
答案:5 5
【补偿训练】
一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100
m,船的航行速度为|v1|=4
m/s,水流的速度为|v2|=2
m/s,试问当船头与水流方向的夹角
θ为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少?此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大?
【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为t(s),如图,设表示水流的速度,表示船的航行速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度.设∠BAC=α,∠BAD=θ,则相对于垂直对岸的速度为v=sin
θ,小船行驶到对岸所用的时间为t====,θ∈(0,π).
故当sin
θ=1,即θ=90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,最少值为25
s.在Rt△ABC中,=2,==4,tan
α=2.
故当船头与水流方向的夹角为90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少为25
s,此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值为2.
典例备选
向量模的三角不等式(直观想象、逻辑推理)
【典例】证明:对任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
【思路导引】首先讨论向量a,b不共线的一般情况,其次讨论a,b同向与反向的情况,以及有零向量的情况.
【证明】对于任意向量a,b,当向量a,b不共线时,在平面内任取一点O,以O为起点,分别作向量=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,则=a+b.
根据三角形两边之和总大于第三边,而两边之差总小于第三边可得:|a+b|=||<||+||=|a|+|b|,|a+b|=||>|||-|||=||a|-|b||,即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.
当a与b同向时,有|a+b|=|a|+|b|;
当a与b反向时,有||a|-|b||=|a+b|;
当a与b中至少有一个为零向量时,有||a|-|b||=|a+b|=|a|+|b|.
于是,对任意向量a,b有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
当问题涉及的情况有多个,不同情况下使用的方法、依据等不相同,这时通常需要对问题分类讨论,依次探讨各种情况,最后总结下结论.
设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的取值范围为________.?
【解析】把a与b的起点在平面内固定在同一个位置,旋转其中一个向量,会发现:当a与b同向共线时,|a+b|max=20;当a与b反向共线时,|a+b|min=4.
答案:[4,20]
课堂检测·素养达标
1.作用在同一物体上的两个力F1=60
N,F2=60
N,当它们的夹角为120°时,则这两个力的合力大小为______N( )?
A.30
B.60
C.90
D.120
【解析】选B.由力F1=60
N,F2=60
N的夹角为120°,可得以F1与F2为邻边的平行四边形是菱形,合力是其一条对角线,长度等于菱形的边长,所以合力大小为60
N.
2.下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
B.++=0
C.+=0
D.+=++
【解析】选B.++=+=2≠0,故B错,D中+=++=0.
3.已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a∥b且a与b方向相同
B.a,b是共线向量且方向相反
C.a=b
D.a,b无论什么关系均可
【解析】选A.非零向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|,必须向量a,b同向.
4.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.
(1)+=________;(2)++=________;(3)++=________;?
(4)++=________.?
答案:(1) (2) (3) (4)0
5.已知点G是△ABC的重心,则++=________.?
【解析】如图所示,连接AG并延长交BC于E点,点E为BC的中点,延长AE到D点,使GE=ED,
则+=,+=0,所以++=0.
答案:0
十五 向量的加法
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,||=||=|+|,则△ABC是
( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.+=,则||=||=||,则△ABC是等边三角形.
2.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是
( )
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
【解析】选C.对于A,+=≠;对于B,+≠;对于C,+=+=,又=,所以+=;对于D,+≠.
3.在平行四边形ABCD中,+++= .?
【解析】由四边形ABCD是平行四边形,可知与互为相反向量,和是零向量,同理与也互为相反向量,和是零向量,所以+++=0.
答案:0
4.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,则|+|= .?
【解析】在菱形ABCD中,连接BD,因为∠DAB=60°,所以△BAD为等边三角形.
又因为||=1,所以||=1,|+|=||=1.
答案:1
5.如图所示,试分别作出向量+,+.
【解析】如图,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCE,根据平行四边形法则,可知就是+.以CB,CA为邻边作平行四边形ACBF,根据平行四边形法则,可知就是+.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若+=2,且=,则△ABC的面积为
( )
A. B. C.2 D.1
【解析】选B.由于+=2,由向量加法的几何意义,O为边BC中点,因为△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形,∠BAC=,斜边BC=2,又因为=,所以||=1,||=,所以S△ABC=×||×||=×1×=.
2.已知菱形ABCD边长为1,则|++|的值不可能为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.==2,又在菱形ABCD中AC的长度满足03.下列命题中正确的是
( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
【解析】选B.非零向量a与b互为相反向量时,
a+b=0,其方向是任意的,A错误;B显然正确;++=0,A,B,C可以在同一条直线上,C错误;非零向量a,b要满足|a+b|与|a|+|b|相等,必须a,b同向,D错误.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若(+)+(+)=a,b是一非零向量,则下列结论正确的有
( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b
D.|a+b|<|a|+|b|
【解析】选AC.a=
(+)+(+)=0,AC正确;a+b=b,B错误;|a+b|=|a|+|b|,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知水流速度为2
km/h,若船的实际航行方向与水流方向垂直,则经过3
h,该船的实际航程为 km.?
【解析】如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则表示船的实际速度.
因为||=2,||=4,∠AOB=120°,则∠CBO=60°.
又因为∠AOC=∠BCO=90°,所以||=2,所以船的实际航行速度的大小为2
km/h,则实际航程为2×3=6(km).
答案:6
6.已知||=3,||=3,∠AOB=60°,则与的夹角为 ,
|+|= .?
【解析】如图,因为||=||=3,所以四边形OACB为菱形.
连接AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
因为∠AOB=60°,所以AB=||=3.
所以在Rt△BDC中,CD=.
所以||=|+|=×2=3.
答案:90° 3
四、解答题
7.(10分)如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【解析】设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km,从B地按南偏东55°的方向飞行800
km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+800=1
600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以||===800(km).其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km,两次飞行的位移和的大小为800
km,方向为北偏东80°.
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