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2.2 向量的减法
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的减法?向量的减法遵循怎样的法则?2.向量减法满足哪些运算律?
1.相反向量(复习回顾)
定义
把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a规定:零向量的相反向量仍是零向量
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=0;(2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0;(3)若a+b=0,则a=-b,b=-a
2.向量的减法
定义
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法
几何意义
如图,设=a,=b,则=a-b,即a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
向量减法的三角形法则是什么?
提示:(1)两个向量a,b的始点移到同一点;
(2)连接两个向量(a与b)的终点;
(3)差向量a-b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a-b的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,方向指被减”.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量.
( )
(2)=-.
( )
(3)a-b的相反向量是b-a.
( )
(4)|a-b|<|a+b|.
( )
提示:(1)√.两个向量的差不改变性质,仍是一个向量.
(2)√.两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点.
(3)√.a-b的相反向量是-(a-b)=b-a.
(4)×.|a-b|与|a+b|的大小关系不确定,与a,b的夹角有关.
2.在△ABC中,=a,=b,则=( )
A.a+bB.a-bC.b-aD.-a-b
【解析】选C.=-=b-a.
3.可以写成①+;②-;③-;④-.其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【解析】选D.①中与首尾相连,和为;②与既不从同一点出发,也不首尾相连,差不是;③-=;④-=.
4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则|a-b|=________.?
【解析】根据平行四边形法则,因为()2=12+22,
所以平行四边形为矩形,那么|a-b|=|a+b|=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 已知向量作差向量(直观想象)
【典例】如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
【思路导引】在平面上任取一点,从此点开始,用三角形法则或平行四边形法则作图即可.
【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,
则=a-b,=c-d,即为所求.
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作=a,=b,利用向量减法的三角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,作=a,=b,=-b,则=a+(-b),即=a-b.
1.设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b.=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|.则四边形ABCD的形状是________.?
【解析】由a+c=b+d得a-b=d-c,即-=-,所以=,于是AB平行且等于CD,所以四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,从而|-|=|-|,
所以||=||,所以四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
2.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量a-b+c.
【解析】连接BD,则=a-b,作向量=c,连接DE,则=+=a-b+c即为所求.
【补偿训练】
如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c即为所求.
类型二 向量加减法运算(数学运算)
【典例】化简下列式子:(1)---;
(2)(-)-(-).
【思路导引】统一成加法,首尾相连的合并.
【解析】(1)原式=++-=+(+)=+=0.
(2)(-)-(-)=(+)-(+)=-=+=.
化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减向量的终点指向被减向量的终点.
化简-++的结果等于( )
A.B.C.D.
【解析】选B.-++=+++=.
课堂检测·素养达标
1.下列等式中,正确的个数为( )
①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;
④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-(-a)=0.
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.根据相反向量的概念知①②③④⑤正确,所以正确的个数为5.
2.在平行四边形ABCD中,-等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.-==.
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,则用a,b表示向量和分别是( )
A.a+b和a-b
B.a+b和b-a
C.a-b和b-a
D.b-a和b+a
【解析】选B.由向量的加法、减法得,=+=a+b,=-=b-a.
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________.?
【解析】|-+|=|++|=
|+|=||=2.
答案:2
十六 向量的减法
(15分钟 30分)
1.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是
( )
A.-=0 B.-=
C.-=
D.+=0
【解析】选C.因为=,所以-=0,A正确;因为-=+=,B正确;
因为-=+=,C错误;因为=,所以=-,所以+=0,D正确.
2.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为
( )
A.1 B.2 C. D.
【解析】选D.作菱形ABCD,
则|-|=|-|=||=.
3.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.设=a,=b,则a-b=,因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA.所以a与a+b所在直线的夹角为30°.
4.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .?
【解析】因为||=12,||=5,∠AOB=90°,
所以||2+||2=||2,所以||=13.
因为=a,=b,所以a-b=-=,
所以|a-b|=||=13.
答案:13
5.已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
【解析】方法一:如图所示,=+=a+=a+(-)=a+c-b.
方法二:=+++=++(+)=++0=+(+)=a+(-b+c)
=a-b+c.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.在平行四边形ABCD中,设=a,=b,=c,=d,下列等式中不正确的是
( )
A.a+b=c
B.a-b=d
C.b-a=d
D.c-a=b
【解析】选B.在平行四边形ABCD中,因为=a,=b,=c,=d,则
a-b==-d,故B不正确,其余三个都是正确的.
2.化简+-+=
( )
A.3 B. C. D.
【解析】选B.+-+=+=0+=.
3.若||=9,||=4,则的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.=-.
当,同向时,||=|9-4|=5,当,反向时,
||=|9+4|=13;当,不共线时,5<||<13.综上,的取值范围是.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有
( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
【解析】选ABC.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.因为|+|=||,|-|=||,||=||,所以A正确;
因为|-|=||,|-|=,||=||,所以B正确;因为|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,||=||,所以C正确;
因为|-|2=||2,|-|2+|-|2=|+|2+|+|2
=|+||2=||2,即||2=||2,所以D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.设正方形ABCD的边长为2,则|-+-|= .?
【解析】如图,原式=|(+)-(+)|=|-|=|+|=2||.
因为正方形边长为2,所以2||=4.
答案:4
6.若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为 ,|a-b|的最大值为 .?
【解析】当a与b方向相反时,|a+b|取得最小值,
其值为12-8=4;这时|a-b|取得最大值,其值为12+8=20.
答案:4 20
四、解答题
7.(10分)在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.
【解析】依题意,||=|a+b|=2,如图所示.
又||=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB.所以?ABCD为菱形,AC⊥BD,所以|a2|=+.即4=1+,所以|a-b|=2.
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2.2 向量的减法
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的减法?向量的减法遵循怎样的法则?
2.向量减法满足哪些运算律?
1.相反向量(复习回顾)
定义
把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量,
记作___
规定:零向量的相反向量仍是零向量
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=__;
(2)互为相反向量的两个向量的和为0,
即a+(-a)=(-a)+a=0;
(3)若a+b=0,则a=___,b=___
-a
0
-b
-a
2.向量的减法
定义
向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法
几何
意义
如图,设
=a,
=b,则
=a-b,即a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
【思考】
向量减法的三角形法则是什么?
提示:(1)两个向量a,b的始点移到同一点;
(2)连接两个向量(a与b)的终点;
(3)差向量a-b的方向是指向被减向量的终点.
这种求差向量a-b的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连接两终点,方向指被减”.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量.
( )
(2)
=
-
.
( )
(3)a-b的相反向量是b-a.
( )
(4)|a-b|<|a+b|.
( )
提示:(1)√.两个向量的差不改变性质,仍是一个向量.
(2)√.两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点.
(3)√.a-b的相反向量是-(a-b)=b-a.
(4)×.|a-b|与|a+b|的大小关系不确定,与a,b的夹角有关.
2.在△ABC中,
=a,
=b,则
=
( )
A.a+b B.a-b C.b-a D.-a-b
【解析】选C.
=
-
=b-a.
3.
可以写成①
;②
;③
;④
.其中正确的是
( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】选D.①中
与
首尾相连,和为
;②
与
既不从同一点出发,
也不首尾相连,差不是
;③
-
=
;④
-
=
.
4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|=
,则|a-b|=________.?
【解析】根据平行四边形法则,因为(
)2=12+22,
所以平行四边形为矩形,那么|a-b|=|a+b|=
.
答案:
关键能力·合作学习
【题组训练】
类型一 已知向量作差向量(直观想象)
【典例】如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
【思路导引】在平面上任取一点,从此点开始,用三角形法则或平行四边形法则作图即可.
【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,
=c,
=d,
则
=a-b,
=c-d,即为所求.
【解题策略】
利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作
=a,
=b,利用向量减法的三角形法则可得
a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减
向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示,
作
=a,
=b,
=-b,则
=a+(-b),即
=a-b.
【跟踪训练】
1.设平面内四边形ABCD及任一点O,
=a,
=b.
=c,
=d,若a+c=b+d且
|a-b|=|a-d|.则四边形ABCD的形状是________.?
【解析】由a+c=b+d得a-b=d-c,即
-
=
-
,所以
=
,于是AB平行
且等于CD,所以四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,从而|
-
|=|
-
|,
所以|
|=|
|,所以四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
2.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,
=a,
=b,
=c,试作向量a-b+c.
【解析】连接BD,则
=a-b,作向量
=c,连接DE,则
=
+
=a-b+c即为
所求.
【补偿训练】
如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作
=a,
=b,则
=a+b,再作
=c,
则
=a+b-c即为所求.
类型二 向量加减法运算(数学运算)
【典例】化简下列式子:(1)
;
(2)
.
【思路导引】统一成加法,首尾相连的合并.
【解析】(1)原式=
+
+
-
=
+(
+
)=
+
=0.
(2)
【解题策略】
化简向量的和差的方法
(1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号.
(2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简.
(3)化简向量的差时注意共起点,由减向量的终点指向被减向量的终点.
【跟踪训练】化简
的结果等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.
1.下列等式中,正确的个数为
( )
①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0;
④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-(-a)=0.
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选C.根据相反向量的概念知①②③④⑤正确,所以正确的个数为5.
课堂检测·素养达标
2.在平行四边形ABCD中,
等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
=
=
.
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,
=a,
=b,则用a,b表示向量
和
分
别是
( )
A.a+b和a-b
B.a+b和b-a
C.a-b和b-a
D.b-a和b+a
【解析】选B.由向量的加法、减法得,
=
+
=a+b,
=
-
=b-a.
4.若菱形ABCD的边长为2,则|
-
+
|=________.?
【解析】|
-
+
|=|
+
+
|=
|
+
|=|
|=2.
答案:2
十六 向量的减法
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是
( )
课时素养评价
【解析】选C.因为
,所以
=0,A正确;因为
,
B正确;因为
,C错误;因为
,所以
,
所以
+
=0,D正确.
2.在边长为1的正三角形ABC中,|
|的值为
( )
A.1 B.2 C.
D.
【解析】选D.作菱形ABCD,则|
|=|
|=|
|=
.
3.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选A.设
=a,
=b,则a-b=
,因为|a|=|b|=|a-b|,所以|
|=
|
|=|
|,所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为
=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA.所以a与a+b所在直线的夹角为
30°.
4.已知
=a,
=b,若|
|=12,|
|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .?
【解析】因为|
|=12,|
|=5,∠AOB=90°,
所以|
|2+|
|2=|
|2,所以|
|=13.
因为
=a,
=b,所以a-b=
-
=
,
所以|a-b|=|
|=13.
答案:13
5.已知O为平行四边形ABCD内一点,
=a,
=b,
=c,试用a,b,c表示
.
【解析】方法一:如图所示,
=
+
=a+
=a+(
-
)=a+c-b.
方法二:
=
+
+
+
=
+
+(
+
)=
+
+0
=
+(
+
)=a+(-b+c)=a-b+c.
【能力进阶—水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.在平行四边形ABCD中,设
=a,
=b,
=c,
=d,下列等式中不正确的
是
( )
A.a+b=c
B.a-b=d
C.b-a=d
D.c-a=b
【解析】选B.在平行四边形ABCD中,因为
=a,
=b,
=c,
=d,则
a-b=
=-d,故B不正确,其余三个都是正确的.
2.化简
=
( )
A.3
B.
C.
D.
【解析】选B.
=
+
=0+
=
.
3.若|
|=9,|
|=4,则
的取值范围是
( )
【解析】选D.
=
-
.
当
,
同向时,|
|=|9-4|=5,当
,
反
向时,
|
|=|9+4|=13;当
,
不共线时,5<|
|<13.综上,
的取值范
围是
.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有
( )
【解析】选ABC.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.因为
所以A正确;
因为
所以B正确;因为
所以C正确;
因为
所以D不正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.设正方形ABCD的边长为2,则
= .?
【解析】如图,原式=|(
+
)-(
+
)|=|
-
|=|
+
|=2|
|.
因为正方形边长为2,所以2|
|=4
.
答案:4
6.若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为 ,|a-b|的最大值为 .?
【解析】当a与b方向相反时,|a+b|取得最小值,
其值为12-8=4;这时|a-b|取得最大值,其值为12+8=20.
答案:4 20
四、解答题
7.(10分)在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,
=a,
=b,若|a|=|a+b|=2,求
|a-b|的值.
【解析】依题意,|
|=|a+b|=2,如图所示.
又|
|=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB.所以?ABCD为
菱形,AC⊥BD,所以|a2|=
.即4=1+
,所以|a-b|=2
.
