温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
必备知识·自主学习
导思
1.什么是平面向量基本定理?向量的基需要满足哪些条件?2.怎样用基向量表示其他向量?
平面向量基本定理
1.定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基:把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
3.正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.
4.正交分解:在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5.标准正交基:若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
(1)零向量能不能作为基?
提示:由于0与任何向量都是共线的,因此0不能作为基.
(2)平面向量的基唯一吗?
提示:不唯一,只要两个向量不共线,都可以作为平面内所有向量的一组基.
(3)在一组基{e1,e2}下,若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?
提示:由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.
因为e1与e2不共线,所以λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,所以λ1=μ1,λ2=μ2.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
e1,e2是平面α内两个不共线的向量.
(1)λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量.( )
(2)对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个.( )
(3)若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).( )
(4)若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.( )
提示:(1)√.e1,e2是平面α内两个不共线的向量,它们就可以表示该平面内所有向量.
(2)×.由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.
(3)×.当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.
(4)√.实数λ,μ使得λe1+μe2=0,所以λe1=-μe2,而e1,e2是不共线的,所以只能λ=μ=0.
2.已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则=( )
A.a+b
B.-a+b
C.a-b
D.a+b
【解析】选D.因为=+=b+=b+(+)=b+a+×,所以=a+b,=a+b.
3.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.==(-)=2e1-3e2.
关键能力·合作学习
类型一 向量在给定基下的分解(数学运算)
【典例】设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
【思路导引】取与作为一组基,根据向量的线性运算表示出向量.
【解析】选A.由题得=+=+=+-=-+.
1.在例题中将“=3”改为“=”,用,表示=________.?
【解析】=+=+=+-=2-.
答案:2-
2.在例题中将“=3”改为“=-3”,试用,表示向量=________.?
【解析】=+=+=-=-+=+.
答案:+
用基表示向量的方法
1.平面内任何一个向量都可以用两个基进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基方向进行组合或分解.
2.具体表示方法有两种:
①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基表示为止;
②列向量方程组,利用基表示向量的唯一性求解.
1.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则等于( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
【解析】选B.=+=+=+(-)=+=a+b.
2.已知G为△ABC的重心,设=a,=b.则用a,b表示向量=__________.?
【解析】如图,连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,
==(+)==+=+(-)=+=a+b.
答案:a+b
【补偿训练】
如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示,,.
【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.则===a;
=-=-=b-a;
=-=--=--
=a-b.
类型二 利用平面向量基本定理求参数(数学运算,逻辑推理)
【典例】如图,在正方形ABCD中F是边CD上靠近D点的三等分点,连接BF交AC于点E,若=m+n
(m,n∈R),则m+n的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
【思路导引】由题意知,B,E,F三点共线,则=μ,用和表示出,根据E,C,A三点共线,可得到μ值,整理化简即可得到m和n值.
【解析】选C.由题意知,B,E,F三点共线,F是边CD上靠近D点的三等分点,
则=μ=μ=μ+μ,
又E,C,A三点共线,则μ+μ=μ=1,即μ=,则=+=-=-+,所以m=-1,n=,故m+n=-.
与向量分解式有关的结论
1.设a,b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则有
2.若A,B,C三点共线,O为直线外一点?存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=
AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.?
【解析】由=+=+=+(-)=-+,
所以λ1=-,λ2=,则λ1+λ2的值为.
答案:
2.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.?
【解析】设=a,=b,则=a+b,=a+b,又因为=a+b,所以=(+),即λ=μ=,所以λ+μ=.
答案:
类型三
用向量解决平面几何问题(直观想象,逻辑推理)
【典例】如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
【思路导引】以与为基,利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件A,P,M和B,P,N分别共线的应用.
【解析】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=+=-=(λ+2μ)·e1+(3λ+μ)e2.而=+=2e1+3e2,由平面向量基本定理,得解得所以=,=,所以AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.
用向量解决平面几何问题的一般步骤
1.选取不共线的两个平面向量作为基.
2.将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题.
3.利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解.
4.再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
如图所示,已知梯形ABCD中,AB∥DC,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF∥AB∥DC.
【证明】延长EF到M,使EF=FM,连接CM,BM,EC,EB,得?ECMB.
由平行四边形法则得==(+).
由于AB∥DC,所以,共线且同向,根据平面向量基本定理,存在正实数λ,使=λ.
由三角形法则得=+,=+且+=0,所以=(+)=(+++)=(+)=,所以∥.由于E,D不共点,所以EF∥AB∥DC.
课堂检测·素养达标
1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:①与;②与;③与;④与,其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
【解析】选B.由基的定义知,①③中两向量不共线,可以作为基.
2.如图所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于( )
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1)
D.(5e2-3e1)
【解析】选A.==(-)=(5e1+3e2).
3.如图,将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合,若=x+y,则x=________
,y
=________.?
【解析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E,过点A作AF⊥BE于点F,由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,则CE=BE.设CE=BE=mCD(m>0),则AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2CD.由AF2+BF2=AB2可得+=,解得m=,故=(1+)+.
答案:
1+
4.如图,已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若=a,=b,用a,b表示,,.
【解析】=+=+=a+(b-a)=a+b;=+=+=a+(b-a)=a+b;=+=+=a+(b-a)=a+b.
十八 平面向量基本定理
(15分钟 30分)
1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基,则下列四个向量中,不能作为一组基的是( )
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
【解析】选B.因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以3e1-2e2与4e2-6e1共线,所以它们不能作为一组基,作为基的两向量一定不共线.
2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是
( )
A.长方形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
【解析】选D.=++=-8a-2b=2
,故为梯形.
3.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【解析】选A.如图,因为=+=+,=+=+,=+=+,所以++=++=+=-.
4.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.?
【解析】由题意,设e1+e2=ma+nb.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,
得所以
答案: -
5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)已知c=3e1+4e2,以a,b为基,表示向量c;
(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【解析】(1)设c=λa+μb,则3e1+4e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,所以解得所以c=a+2b.
(2)4e1-3e2=λa+μb=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,所以解得λ=3,μ=1.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数y的值为( )
A.3 B.4 C.- D.-
【解析】选B.因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,所以(3x-4y+7)e1+(10-y-2x)e2=0,
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,所以解得
2.如图所示,若D点在三角形ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为=4=r+s,
所以==(-)=r+s,
所以r=,s=-,所以3r+s=-=.
3.如图,O是△ABC的重心,=a,=b,D是边BC上一点,且=3,则( )
A.=-a+b
B.=a-b
C.=-a-b
D.=a+b
【解析】选A.如图,延长AO交BC于点E,由已知O为△ABC的重心,则点E为BC的中点,
且=2,=(+).由=3,得:D是BC的四等分点,则=+=+=×(+)+(-)=-a+b.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件可以为( )
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1⊥e2
【解析】选AC.若e1∥e2时,因为e1≠0,所以e2=t
e1(t∈R),所以a=e1+λe2=(1+λt)e1=b,所以a与b共线.若e1与e2不共线,要使a与b共线,则a=tb(t∈R),即e1+λe2=2te1,即(1-2t)e1+λe2=0,所以λ=0.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基,则实数λ的取值范围是________.?
【解析】当a∥b时,设a=m
b,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+m
e2,
所以解得λ=,即当λ=时,a∥b.
又a与b是一组基,所以a与b不共线,所以λ≠.
答案:∪
6.(2020·江苏高考)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(m为常数),则CD的长度是________.?
【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.
设=λ=λm+λ,因为C,D,B三点共线,所以λm+λ=1,解得λ=,所以AD=3=AC,
所以CD=2·AC·cos
C=.
答案:
四、解答题
7.(10分)如图,△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c.
(1)用a,c表示向量;
(2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF.
【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a),所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a.
(2)设=λ,所以=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.又=a+c,所以λ=,所以=,所以AF∶CF=4∶1.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共59张PPT)
§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
导思
1.什么是平面向量基本定理?向量的基需要满足哪些条件?
2.怎样用基向量表示其他向量?
必备知识·自主学面向量基本定理
1.定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向
量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=__________.
2.基:把不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
λ1e1+λ2e2
3.正交基:若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.
4.正交分解:在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5.标准正交基:若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
【思考】
(1)零向量能不能作为基?
提示:由于0与任何向量都是共线的,因此0不能作为基.
(2)平面向量的基唯一吗?
提示:不唯一,只要两个向量不共线,都可以作为平面内所有向量的一组基.
(3)在一组基{e1,e2}下,若存在λ1,λ2∈R,μ1,μ2∈R,且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2,那么λ1,μ1,λ2,μ2有何关系?
提示:由已知得λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,即(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.
因为e1与e2不共线,所以λ1-μ1=0,μ2-λ2=0,所以λ1=μ1,λ2=μ2.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
e1,e2是平面α内两个不共线的向量.
(1)λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量.( )
(2)对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个.
( )
(3)若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).
( )
(4)若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0.( )
提示:(1)√.e1,e2是平面α内两个不共线的向量,它们就可以表示该平面内所有向量.
(2)×.由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.
(3)×.当两向量的系数均为零,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.
(4)√.实数λ,μ使得λe1+μe2=0,所以λe1=-μe2,而e1,e2是不共线的,所以只能λ=μ=0.
2.已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且
,则
=( )
【解析】选D.因为
所以
3.设O为平行四边形ABCD的对称中心,
=4e1,
=6e2,则2e1-3e2等于( )
【解析】选B.
2e1-3e2.
关键能力·合作学习
类型一 向量在给定基下的分解(数学运算)
【典例】设D为△ABC所在平面内一点,
,则
( )
【思路导引】取
与
作为一组基,根据向量的线性运算表示出向量
【解析】选A.由题得
【变式探究】
1.在例题中将“
”改为“
”,用
表示
=________.?
【解析】
答案:
2.在例题中将“
”改为“
”,试用
表示向量
=________.?
【解析】
答案:
【解题策略】
用基表示向量的方法
1.平面内任何一个向量都可以用两个基进行表示,转化时一定要看清转化的目标,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,同时结合实数与向量积的定义,牢记转化方向,把未知向量逐步往基方向进行组合或分解.
2.具体表示方法有两种:
①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基表示为止;
②列向量方程组,利用基表示向量的唯一性求解.
【跟踪训练】
1.如图,已知
,用a,b表示
,则
等于
( )
【解析】选B.
2.已知G为△ABC的重心,设
.则用a,b表示向量
=__________.?
【解析】如图,连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点,
答案:
【补偿训练】
如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若
=a,
=b,试用a,b表示
【解析】如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形.
则
类型二 利用平面向量基本定理求参数(数学运算,逻辑推理)
【典例】如图,在正方形ABCD中F是边CD上靠近D点的三等分点,连接BF交AC于点
E,若
,则m+n的值是
( )
【思路导引】由题意知,B,E,F三点共线,则
,用
和
表示出
,根据E,C,A三点共线,可得到μ值,整理化简即可得到m和n值.
【解析】选C.由题意知,B,E,F三点共线,F是边CD上靠近D点的三等分点,
则
又E,C,A三点共线,则
,即μ=
,
则
所以m=-1,n=
,故m+n=
.
【解题策略】
与向量分解式有关的结论
1.设a,b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则有
2.若A,B,C三点共线,O为直线外一点?存在实数x,y,使
且x+y=1.
【题组训练】
1.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,
AD=
AB,BE=
BC,若
(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为
________.?
【解析】
所以
,则λ1+λ2的值为
.
答案:
2.如图,在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若
,其
中λ,μ∈R,则λ+μ=________.?
【解析】设
又因为
答案:
类型三
用向量解决平面几何问题(直观想象,逻辑推理)
【典例】如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN.
【思路导引】以
与
为基,利用平面向量基本定理求解,解题时注意条件
A,P,M和B,P,N分别共线的应用.
【解析】设
=e1,
=e2,
则
=-3e2-e1,
=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,
所以存在实数λ,μ使得
=-λe1-3λe2,
=2μe1+μe2.
故
.而
=2e1+3e2,由平面向
量基本定理,得
解得
所以
,所以
AP∶PM=4∶1,BP∶PN=3∶2.
【解题策略】
用向量解决平面几何问题的一般步骤
1.选取不共线的两个平面向量作为基.
2.将相关的向量用基向量表示,将几何问题转化为向量问题.
3.利用向量知识进行向量运算,得出向量问题的解.
4.再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】
如图所示,已知梯形ABCD中,AB∥DC,E,F分别是AD,BC的中点,求证:EF∥AB∥DC.
【证明】延长EF到M,使EF=FM,连接CM,BM,EC,EB,得?ECMB.
由平行四边形法则得
由于AB∥DC,所以
共线且同向,根据平面向量基本定理,存在正实数λ,使
由三角形法则得
所以
所以
∥
.由于E,D不共点,所以EF∥AB∥DC.
1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:
其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基
的是
( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
【解析】选B.由基的定义知,①③中两向量不共线,可以作为基.
课堂检测·素养达标
2.如图所示,在矩形ABCD中,
=5e1,
=3e2,则
等于
( )
A.
(5e1+3e2)
B.
(5e1-3e2)
C.
(3e2-5e1)
D.
(5e2-3e1)
【解析】选A.
(5e1+3e2).
3.如图,将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起,其中45°直角三角板
的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合,若
,则
x=________
,y
=________.?
【解析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E,过点A作AF⊥BE于点F,由∠ACD=45°,∠BCA=90°,得∠BCE=45°,则CE=BE.设CE=BE=mCD(m>0),则AF=ED=(m+1)CD,BF=BE-EF=(m-1)CD,AB=2AC=2
CD.由AF2+BF2=AB2可得
解得m=
,故
答案:
4.如图,已知△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若
,用
a,b表示
【解析】
十八 平面向量基本定理
【基础通关——水平一】(15分钟 30分)
1.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基,则下列四个向量中,不能作为一组基的是
( )
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
【解析】选B.因为4e2-6e1=-2(3e1-2e2),所以3e1-2e2与4e2-6e1共线,所以它们不能作为一组基,作为基的两向量一定不共线.
课时素养评价
2.在四边形ABCD中,
,则四边形ABCD的形状是
( )
A.长方形
B.平行四边形
C.菱形
D.梯形
【解析】选D.
,故为梯形.
3.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且
( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【解析】选A.如图,因为
4.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另
一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________a+________b.?
【解析】由题意,设e1+e2=ma+nb.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,
得
所以
答案:
5.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)已知c=3e1+4e2,以a,b为基,表示向量c;
(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【解析】(1)设c=λa+μb,则3e1+4e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-
2λ)e2,所以
解得
所以c=a+2b.
(2)4e1-3e2=λa+μb=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(3μ-2λ)e2,
所以
解得λ=3,μ=1.
【能力进阶——水平二】(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,若3xe1+(10-y)e2=
(4y-7)e1+2xe2,则实数y的值为
( )
A.3
B.4
C.
D.
【解析】选B.因为3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,所以(3x-4y+7)e1+(10-y-
2x)e2=0,
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基,所以
解得
2.如图所示,若D点在三角形ABC的边BC上,且
则3r+s的值为
( )
【解析】选C.因为
所以
所以
3.如图,O是△ABC的重心,
,D是边BC上一点,且
则
( )
【解析】选A.如图,延长AO交BC于点E,由已知O为△ABC的重心,则点E为BC的中
点,且
由
得:D是BC的四等分点,则
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件可以为
( )
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1⊥e2
【解析】选AC.若e1∥e2时,因为e1≠0,所以e2=t
e1(t∈R),所以
a=e1+λe2=(1+λt)e1=
b,所以a与b共线.若e1与e2不共线,要使a与b共线,
则a=tb(t∈R),即e1+λe2=2te1,即(1-2t)e1+λe2=0,所以λ=0.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基,则实数λ的取值范
围是________.?
【解析】当a∥b时,设a=m
b,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+m
e2,
所以
解得λ=
,即当λ=
时,a∥b.
又a与b是一组基,所以a与b不共线,所以λ≠
.
答案:
6.(2020·江苏高考)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到
P,使得AP=9,若
(m为常数),则CD的长度是________.?
【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.
设
,因为C,D,B三点共线,所以λm+λ
=1,解得
λ=
,所以AD=3=AC,
所以CD=2·AC·cos
C=
.
答案:
四、解答题
7.(10分)如图,△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设
(1)用a,c表示向量
;
(2)若点F在AC上,且
,求AF∶CF.
【解析】(1)因为
,所以
,所以
(2)设
,所以
所以λ=
,所以
,所以AF∶CF=4∶1.
