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4.2 平面向量及运算的坐标表示
必备知识·自主学习
导思
1.什么是平面向量的坐标?
2.如何用坐标进行平面向量的线性运算?
1.平面向量的坐标
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).
2.平面向量的坐标运算
文字
符号
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘向量
实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积
若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy)
重要结论
一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标
已知向量的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
符号(x,y)表示什么?
提示:符号(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中常说点(x,y)或向量的坐标为(x,y).
3.向量平行的坐标表示
设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)当a∥b时,有x1y2-x2y1=0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴,即x2≠0,y2≠0时,有=.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.
向量平行的坐标表示的依据是什么?
提示:向量平行的坐标表示是根据共线向量基本定理推出的,当向量b=(x2,y2)的坐标满足x2y2≠0时,才有=成立.对于任意两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a∥b
?x1y2=x2y1,可简记为“纵横交错,积相等”.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量的坐标与向量的坐标相同;( )
(2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同;( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关;( )
(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.( )
提示:(1)×.向量与向量互为相反向量,所以它们的坐标不相同.
(2)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.
(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
(4)√.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.
2.已知A(3,1),B(2,-1),则的坐标是( )
A.(-2,-1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(-1,-2)
【解析】选C.=(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2).
3.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于( )
A.-1
B.-2
C.-1或3
D.0或-2
【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.
4.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=
______.?
【解析】因为2b=2(-2,1)=(-4,2),所以a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
答案:(7,3)
关键能力·合作学习
类型一 平面向量的坐标表示(直观想象,数学运算)
1.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量的坐标是( )
A.
B.
C.(-8,1)
D.(8,1)
2.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则=( )
A.(-5,13)
B.(-5,12)
C.(-12,13)
D.(-12,5)
3.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,,的坐标.
【解析】1.选A.=-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),所以=(-8,1)=.
2.选D.向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5).
3.如题图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos
60°,2sin
60°),所以C(1,),D,所以=(2,0),=(1,),=(1-2,-0)=(-1,),==.
求向量坐标的方法
1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
【补偿训练】
已知O为坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,则向量的坐标为________.?
【解析】设点A(x,y),则x=||·cos
60°=4cos
60°=2,y=||sin
60°=4sin
60°=6,即A(2,6).所以=(2,6).
答案:(2,6)
类型二 平面向量的坐标运算(数学运算)
角度1 向量坐标运算的直接应用?
【典例】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求+2,-的坐标.
【思路导引】先计算,,,再进行向量的线性运算.
【解析】因为=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
角度2 利用向量的坐标运算求点或向量的坐标?
【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.
【思路导引】建立恰当的平面直角坐标系,利用条件确定各点的坐标,即得向量a,b,c的坐标,由待定系数法表示.
【解析】如图,以O为原点,为x轴的正方向建立平面直角坐标系.
由三角函数的定义,得B(cos
150°,sin
150°),
C(3cos
240°,3sin
240°),
即B
,C
.
又A(2,0),所以a=(2,0),b=
,c=
.
设c=λ1a+λ2b,
则
=.
所以
解得故c=-3a-3b.
向量坐标运算的关键点
在直角坐标系内,用坐标表示平面向量.这里关键点有二:一是求点的坐标,它可以转化为该点相对于坐标原点的位置向量的坐标;二是求向量的坐标,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=( )
A.(-2,-1)
B.(-2,1)
C.(-1,0)
D.(-1,2)
【解析】选D.a-b=(1,1)-(1,-1)=-=(-1,2).
2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于( )
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=________.?
【解析】=-=-=(-)-=-2=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
答案:(-3,-5)
类型三 向量平行的坐标表示(数学运算,逻辑推理)
角度1 向量平行的判断?
【典例】下列向量组中,能作为基的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
【思路导引】能作为基的向量不共线.
【解析】选B.根据选项中各个向量的坐标,可判定A,C,D中的两向量对应坐标是成比例的,所以共线,不能作为基,对于B,由于-≠,所以e1,e2不共线,可以作为基.
角度2 由向量共线求参数?
【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【思路导引】由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向.
【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
方法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),则(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以解得k=λ=-.
此时ka+b=-a+b=-(a-3b),所以ka+b与a-3b反向.
方法二:因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.
此时ka+b==-(a-3b),所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
角度3 由向量共线求点的坐标?
【典例】设梯形ABCD的其中3个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且AB∥DC,AB=2CD,求点C的坐标.
【思路导引】将AB∥DC,AB=2CD转化为=2.
【解析】因为AB∥DC,AB=2CD,所以=2.设C(x,y),则=(x,y)-(2,1)=(x-2,y-1).而=(3,4)-(-1,2)=(4,2),所以(4,2)=2(x-2,y-1),即解得所以点C的坐标为(4,2).
由向量共线求参数的值的方法
对于a∥b的充要条件,常有两种表达方式:(1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件b≠0,而第(2)种坐标形式则无b≠0限制.
1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则x等于( )
A.-3
B.-4
C.2
D.0
【解析】选A.a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则1-x=2×2,解得x=-3.
2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C.(3,2)
D.(1,3)
【解析】选A.=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D(x,y),=(x,y)-(0,2)=(x,y-2).
又因为=2,所以4=2x且3=2(y-2),解得x=2,y=,所以D.
3.已知点A(1,3),B(4,-1),O为坐标原点,则与向量同方向的单位向量为________.?
【解析】因为=-=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为=.
答案:
课堂检测·素养达标
1.已知=(-2,4),则下面说法正确的是
( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)
【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).
2.下列各组向量共线的是( )
A.a1=(-2,3),b1=(4,6)
B.a2=(2,3),b2=(3,2)
C.a3=(1,2),b3=(7,14)
D.a4=(-3,2),b4=(6,4)
【解析】选C.因为=,所以a3∥b3,向量a3与b3共线.
3.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为________.?
【解析】因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1).
答案:(-1,1)
4.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),2a-b与c平行,则实数k=________.?
【解析】因为a=(,1),b=(0,-1),所以2a-b=2(,1)-(0,-1)=(2,3).
又因为c=(k,),2a-b与c平行,所以2×-3k=0,解得k=2.
答案:2
十九 平面向量及运算的坐标表示
(15分钟 30分)
1.已知向量=(2,4),=(0,2),则=( )
A.(-2,-2)
B.(2,2)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
【解析】选D.=(-)=(-2,-2)=(-1,-1).
2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,则实数λ的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选C.根据A,B两点的坐标,可得=(3,1),
因为a∥,所以2×1-3λ=0,解得λ=.
3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=________.?
【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
4.已知A(1,2),B(4,5),若=2,则点P的坐标为________.?
【解析】设P(x,y),则=(x-1,y-2),=(4-x,5-y),又=2,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),
即得所以点P的坐标为(3,4).
答案:(3,4)
5.已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且||=3||,求点P的坐标.
【解析】设点P的坐标为(x,y),则=(x-1,y-5),=(5-x,17-y).当=3时,根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y),解得x=4,y=14.所以点P的坐标为(4,14).
当=-3时,有(x-1,y-5)=-3(5-x,17-y),解得x=7,y=23.所以点P的坐标为(7,23).
综上所述,点P的坐标为(4,14)或(7,23).
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.若a=(2cos
α,1),b=(sin
α,1),且a∥b,则tan
α等于( )
A.2
B.
C.-2
D.-
【解析】选A.因为a∥b,所以2cos
α×1=sinα.所以tan
α=2.
2.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
A.k=-2
B.k=
C.k=1
D.k=-1
【解析】选C.若A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线.
所以∥,因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2).=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1).
所以(k+1)-2k=0,得k=1.
3.若α,β是一组基,向量γ=x
α+y
β(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基α,β下的坐标.现已知向量a在基p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )
A.(2,0)
B.(0,-2)
C.(-2,0)
D.(0,2)
【解析】选D.因为a在基p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).
令a=x
m+y
n=(-x+y,x+2y),
所以解得所以a在基m,n下的坐标为(0,2).
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行,其中x∈R,则|a-b|=( )
A.2
B.
0
C.-2
D.2
【解析】选AD.由a∥b得-x-x(2x+3)=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),|a-b|=2.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O(0,0)和A(6,3)两点,点P在线段OA上,且=,若点P是线段OB的中点,则点B的坐标为________.?
【解析】如图所示,则=(6,3),因为=,所以=,得==(2,1),=2=(4,2).所以点B的坐标为(4,2).
答案:(4,2)
6.若已知A(1,2),B(0,-1),C(3,k).则=________;若已知-=(m,-2),则k与m的值分别为________.?
【解析】因为A(1,2),B(0,-1),所以=(-1,-3).
因为-=(-1,-3)-(3,k+1)==(m,-2),所以m=-,k=-.
答案:(-1,-3) -,-
四、解答题
7.(10分)已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)求向量的坐标.
【解析】由题意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以解得
(3)设O为坐标原点.因为
=-=3c,=-=-2b,所以
=-=-2b-3c=(9,-18).
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PAGE(共56张PPT)
4.2 平面向量及运算的坐标表示
必备知识·自主学习
1.平面向量的坐标
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准
正交基.对于平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作
=a,有且只有一对实
数x,y使得a=xi+yj,我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=______.
导思
1.什么是平面向量的坐标?
2.如何用坐标进行平面向量的线性运算?
(x,y)
2.平面向量的坐标运算
文字
符号
加法
两个向量和的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=
____________
减法
两个向量差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的差
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=
____________
数乘向量
实数与向量积的坐标分别等于
实数与向量的相应坐标的乘积
若a=(x,y),λ∈R,则λa=
__________
重要结论
一个向量的坐标等于其终点的
相应坐标减去始点的相应坐标
已知向量
的起点A(x1,y1),
终点B(x2,y2),则
=
____________
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx,λy)
(x2-x1,y2-y1)
【思考】
符号(x,y)表示什么?
提示:符号(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中常说点(x,y)或向量的坐标为(x,y).
3.向量平行的坐标表示
设a,b是非零向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2).
(1)当a∥b时,有__________.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴,即x2≠0,y2≠0时,有_______.即若两个向量(与
坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对应的坐标成比
例,则它们平行.
x1y2-x2y1=0
【思考】
向量平行的坐标表示的依据是什么?
提示:向量平行的坐标表示是根据共线向量基本定理推出的,当向量b=(x2,y2)的
坐标满足x2y2≠0时,才有
成立.对于任意两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
有a∥b
?x1y2=x2y1,可简记为“纵横交错,积相等”.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)向量
的坐标与向量
的坐标相同;
( )
(2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同;
( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关;
( )
(4)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.
( )
提示:(1)×.向量
与向量
互为相反向量,所以它们的坐标不相同.
(2)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.
(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
(4)√.因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.
2.已知A(3,1),B(2,-1),则
的坐标是
( )
A.(-2,-1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(-1,-2)
【解析】选C.
=(3,1)-(2,-1)=(3-2,1+1)=(1,2).
3.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于
( )
A.-1
B.-2
C.-1或3
D.0或-2
【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.
4.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=
______.?
【解析】因为2b=2(-2,1)=(-4,2),所以a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
答案:(7,3)
关键能力·合作学习
类型一 平面向量的坐标表示(直观想象,数学运算)
【题组训练】
1.已知向量
=(3,-2),
=(-5,-1),则向量
的坐标是
( )
C.(-8,1)
D.(8,1)
2.已知向量
=(5,12),将
绕原点按逆时针方向旋转90°得到
,则
=
( )
A.(-5,13)
B.(-5,12)
C.(-12,13)
D.(-12,5)
3.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D
为AC的中点,分别求向量
的坐标.
【解析】1.选A.
=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),所以
2.选D.向量
=(5,12),将
绕原点按逆时针方向旋转90°得到
,则点B的
坐标为(-12,5),如图所示,所以
=(-12,5).
3.如题图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos
60°,
2sin
60°),所以C(1,
),
,所以
=(2,0),
=(1,
),
【解题策略】
求向量坐标的方法
1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
2.求向量的坐标一般转化为求点的坐标,解题时常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
【补偿训练】
已知O为坐标原点,点A在第一象限,|
|=4
,∠xOA=60°,则向量
的坐标
为________.?
【解析】设点A(x,y),则x=|
|·cos
60°=4
cos
60°=2
,y=|
|
sin
60°=4
sin
60°=6,即A(2
,6).所以
=(2
,6).
答案:(2
,6)
类型二 平面向量的坐标运算(数学运算)
角度1 向量坐标运算的直接应用?
【典例】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求
的坐标.
【思路导引】先计算
再进行向量的线性运算.
【解析】因为
=(-2,10),
=(-8,4),
=(-10,14),所以
=
(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),
=(-8,4)-
(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
角度2 利用向量的坐标运算求点或向量的坐标?
【典例】如图,已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设
且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.
【思路导引】建立恰当的平面直角坐标系,利用条件确定各点的坐标,即得向量
a,b,c的坐标,由待定系数法表示.
【解析】如图,以O为原点,
为x轴的正方向建立平面直角坐标系.
由三角函数的定义,得B(cos
150°,sin
150°),
C(3cos
240°,3sin
240°),
即
又A(2,0),所以a=(2,0),
设c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，
则
所以
解得
故c=-3a-3
b.
【解题策略】
向量坐标运算的关键点
在直角坐标系内,用坐标表示平面向量.这里关键点有二:一是求点的坐标,它可以转化为该点相对于坐标原点的位置向量的坐标;二是求向量的坐标,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【题组训练】
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量
=
( )
A.(-2,-1)
B.(-2,1)
C.(-1,0)
D.(-1,2)
【解析】选D.
2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于
( )
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若
=(2,4),
=(1,3),则
=________.?
【解析】
答案:(-3,-5)
类型三 向量平行的坐标表示(数学运算,逻辑推理)
角度1 向量平行的判断?
【典例】下列向量组中,能作为基的是
( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=
【思路导引】能作为基的向量不共线.
【解析】选B.根据选项中各个向量的坐标,可判定A,C,D中的两向量对应坐标是
成比例的,所以共线,不能作为基,对于B,由于
,所以e1,e2不共线,可以作
为基.
角度2 由向量共线求参数?
【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【思路导引】由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是反向.
【解析】ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
方法一:当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b),则
(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以
解得k=λ=-
.
此时ka+b=-
a+b=-
(a-3b),所以ka+b与a-3b反向.
方法二:因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-
.
此时ka+b=
,所以当k=-
时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
角度3 由向量共线求点的坐标?
【典例】设梯形ABCD的其中3个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(3,4),D(2,1),且
AB∥DC,AB=2CD,求点C的坐标.
【思路导引】将AB∥DC,AB=2CD转化为
【解析】因为AB∥DC,AB=2CD,所以
设C(x,y),则
=(x,y)
-(2,1)=(x-2,y-1).而
=(3,4)-(-1,2)=(4,2),所以(4,2)=2(x-2,y-1),即
解得
所以点C的坐标为(4,2).
【解题策略】
由向量共线求参数的值的方法
对于a∥b的充要条件,常有两种表达方式:(1)a∥b(b≠0)?a=λb(λ∈R);
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.第(1)种是用线性关系的形式表示的,而且有前提条件b≠0,而第(2)种坐标形式则无b≠0限制.
【题组训练】
1.已知a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则x等于
( )
A.-3 B.-4 C.2 D.0
【解析】选A.a=(1,2),b=(2,1-x),若a与b共线,则1-x=2×2,解得x=-3.
2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且
,则顶点D
的坐标为
( )
A.
B.
C.(3,2)
D.(1,3)
【解析】选A.
=(3,1)-(-1,-2)=(4,3).设D(x,y),
=(x,y)-(0,2)=
(x,y-2).
又因为
,所以4=2x且3=2(y-2),解得x=2,y=
,所以D
.
3.已知点A(1,3),B(4,-1),O为坐标原点,则与向量
同方向的单位向量为
________.?
【解析】因为
=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),所以与
同方向的单位向
量为
答案:
1.已知
=(-2,4),则下面说法正确的是
( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)
【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知,当A点是原点时,B点的坐标是
(-2,4).
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2.下列各组向量共线的是
( )
A.a1=(-2,3),b1=(4,6)
B.a2=(2,3),b2=(3,2)
C.a3=(1,2),b3=(7,14)
D.a4=(-3,2),b4=(6,4)
【解析】选C.因为
,所以a3∥b3,向量a3与b3共线.
3.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为________.?
【解析】因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1).
答案:(-1,1)
4.已知向量a=(
,1),b=(0,-1),c=(k,
),2a-b与c平行,则实数
k=________.?
【解析】因为a=(
,1),b=(0,-1),所以2a-b=2(
,1)-(0,-1)=(2
,3).
又因为c=(k,
),2a-b与c平行,所以2
×
-3k=0,解得k=2.
答案:2
十九 平面向量及运算的坐标表示
【基础通关——水平一】(15分钟 30分)
1.已知向量
=(2,4),
=(0,2),则
=
( )
A.(-2,-2)
B.(2,2)
C.(1,1)
D.(-1,-1)
【解析】选D.
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2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥
,则实数λ的值为( )
【解析】选C.根据A,B两点的坐标,可得
=(3,1),
因为a∥
,所以2×1-3λ=0,解得λ=
.
3.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则
=________.?
【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以
=(2,3),
=(-3,3).所以
=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
4.已知A(1,2),B(4,5),若
,则点P的坐标为________.?
【解析】设P(x,y),则
=(x-1,y-2),
=(4-x,5-y),又
,所以(x-
1,y-2)=2(4-x,5-y),
即
得
所以点P的坐标为(3,4).
答案:(3,4)
5.已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且
,求点P的坐标.
【解析】设点P的坐标为(x,y),则
=(x-1,y-5),
=(5-x,17-y).当
时,根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y),解得x=4,y=14.所以点P的坐标为
(4,14).
当
时,有(x-1,y-5)=-3(5-x,17-y),解得x=7,y=23.所以点P的坐标为
(7,23).
综上所述,点P的坐标为(4,14)或(7,23).
【能力进阶——水平二】(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.若a=(2cos
α,1),b=(sin
α,1),且a∥b,则tan
α等于
( )
A.2
B.
C.-2
D.-
【解析】选A.因为a∥b,所以2cos
α×1=sinα.所以tan
α=2.
2.已知向量
=(1,-3),
=(2,-1),
=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三
角形,则实数k应满足的条件是
( )
A.k=-2
B.k=
C.k=1
D.k=-1
【解析】选C.若A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线.
所以
∥
,因为
=(2,-1)-(1,-3)=(1,2).
=(k+1,k-2)-
(1,-3)=(k,k+1).所以(k+1)-2k=0,得k=1.
3.若
是一组基,向量γ=x
+y
(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基
下的
坐标.现已知向量a在基p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基
m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为
( )
A.(2,0)
B.(0,-2)
C.(-2,0)
D.(0,2)
【解析】选D.因为a在基p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=-2(1,
-1)+2(2,1)=(2,4).
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
所以
解得
所以a在基m,n下的坐标为(0,2).
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行,其中x∈R,则|a-b|=
( )
A.2
B.
0
C.-2
D.2
【解析】选AD.由a∥b得-x-x(2x+3)=0,所以x=0或x=-2.当x=0
时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=
(-1,2),所以a-b=(2,-4),|a-b|=2
.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知O(0,0)和A(6,3)两点,点P在线段OA上,且
,若点P是线段OB的中点,
则点B的坐标为________.?
【解析】如图所示,则
=(6,3),因为
,所以
,得
=(2,1),
.所以点B的坐标为(4,2).
答案:(4,2)
6.若已知A(1,2),B(0,-1),C(3,k).则
=________;若已知
=(m,-2),则k与m的值分别为________.?
【解析】因为A(1,2),B(0,-1),所以
=(-1,-3).
因为
(-1,-3)-(3,k+1)=
=(m,-2),所以m=
,k=
.
答案:(-1,-3)
四、解答题
7.(10分)已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设
且
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)求向量
的坐标.
【解析】由题意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以
解得
(3)设O为坐标原点.因为
所以
