(共68张PPT)
§5 从力的做功到向量的数量积
5.1 向量的数量积
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的数量积?向量的数量积与向量投影有什么关系?
2.怎样用数量积求向量夹角?怎样用数量积判断向量的垂直关系?
1.向量的投影
如图所示:
,∠AOB=θ叫作向量a与b的夹角,记为
与
θ(0°≤θ≤180°).过点B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则向量
称为向量
b在a方向上的投影向量,OB1=|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量.
【思考】
向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相同吗?
提示:根据定义,|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量,|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影数量.所以向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量是不同的.
2.向量的数量积及运算性质
【思考】
两向量的数量积的本质是什么?
提示:两向量的数量积是一个数量,而不是向量,其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)零向量与任一向量的数量积为0.
( )
(2)若a·b=0,则a=0或b=0.
( )
(3)若a·b=b·c,则一定有a=c.
( )
提示:(1)√.根据向量数量积的定义,0·a=0×|a|×cos
θ=0.
(2)×.向量a与b可能垂直.
(3)×.向量b与向量a,c可能垂直,所以a与c不一定相等.
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影数量为( )
A.2
B.
C.2
D.4
【解析】选C.a在b方向上的投影数量为|a|cos
30°=4×cos
30°=2
.
3.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3
.
(1)若θ=135°,则a·b=________;?
(2)若a⊥b,则a·b=________.?
【解析】(1)a·b=2×3
×cos
135°=-6.(2)a·b=2×3
×cos
90°=0.
答案:(1)-6 (2)0
4.已知△ABC中,BC=4,AC=8,C=60°,则
=________.?
【解析】画图可知向量
与
的夹角为∠C的补角,故
答案:-16
关键能力·合作学习
类型一 平面向量的数量积(数学运算,直观想象)
角度1 向量数量积的简单计算?
【典例】已知|a|=6,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.
【思路导引】确定向量的模与夹角,再代入定义式计算.
【解析】(1)a∥b,若a与b同向,则θ=0°,a·b=|a||b|·cos
0°=6×5=30;若a
与b反向,则θ=180°,a·b=|a|·|b|cos
180°=-6×5=-30.
(2)若a⊥b,则a与b夹角为90°,a·b=|a||b|cos
90°=0.
(3)a与b的夹角为60°,a·b=|a||b|cos
60°=6×5×
=15.
角度2 几何图形中的向量数量积计算?
【典例】在矩形ABCD中,
.若点M,N分别是CD,BC的中点,则
=
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【思路导引】将
和
用已知模长和夹角的向量
和
表示,再求数量积.
【解析】选C.由题意,得如图:
由图及题意可得:
所以
【解题策略】
1.求平面向量数量积的步骤:
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求出|a|和|b|;
(3)利用数量积的定义:a·b=|a||b|cos
θ求解.
特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写.
2.求几何图形中向量的数量积的思路
(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
【题组训练】
1.已知向量a,
b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则|3a+b|=
( )
【解析】选C.因为向量a,
b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×
=1,则
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则
=
( )
A.
B.3
C.2
D.12
【解析】选D.如图,由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2
,根据
数量积的几何意义可得:
3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若
=1,则AB的长
为________.?
【解析】在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则
,所以
又因为
,所以
所以
答案:
类型二 向量的投影数量(数学运算)
【题组训练】
1.若|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影数量等于
( )
A.-3
B.-2
C.2
D.-1
2.已知向量a,b,其中|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,则a在b方向上的投影数量为
( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
3.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影数量为
( )
4.已知两个单位向量a,b的夹角为60°.
(1)若c=λa+
b(λ∈R
),且b·c=0,则λ的值为________;?
(2)向量a+b在b方向上的投影数量为________.?
【解析】1.选D.向量a在向量b方向上的投影数量是
|a|cos
θ=2×cos
120°=-1.
2.选A.|a-2b|=4?(a-2b)2=16?a2-4a·b+4b2=16?-4a·b+4|b|2=15,①
|a+2b|=2?(a+2b)2=4?a2+4a·b+4b2=4?4a·b+4|b|2=3,②
联立①②解得|b|=
,a·b=-
,所以a在b方向上的投影数量为:
3.选B.因为
,向量a与b的夹角为60°,
所以(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×cos
60°=3,所以2a-b在a方向上的投影
数量为
4.(1)b·c=λa·b+(3-
)b2
=λcos60°+3-
=
所以λ=-2或
λ=3.
(2)向量a+b在b方向上的投影数量为
答案:(1)λ=-2或λ=3 (2)
【解题策略】
一个向量在另一个向量方向上的投影数量的求法
(1)向量b在a的方向上的投影数量为|b|cos
θ,向量a在b的方向上的投影数量
为|a|cos
θ,所以计算一个向量在另一个向量方向上的投影数量,重在求这两
个向量的模与夹角.
(2)向量a在b的方向上的投影数量也可以写成
,所以如果题中有向量的模,
就可以将模平方,产生数量积,进一步转化为一个向量在另一个向量方向上的投
影数量.
类型三 向量的模与夹角(数学运算)
角度1 求向量的模?
【典例】(1)平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),则|a+b|=
( )
A.1
B.
C.
D.2
(2)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若非零向量c满足(a-c)·(b-
c)=0,则|c|的最大值是________.?
【思路导引】(1)先根据a⊥(a-2b),求出2a·b=1,再根据平面向量的数量积,求
出
,即可求出结果;(2)展开(a-c)·(b-c),将|c|转化为
|a+b|·cos
θ,获得最值.
【解析】(1)选C.因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0,所以2a·b=1,
又
(2)因为|a|=|b|=1,a·b=0,(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|cos
θ+|c|2=0,其中θ为c与a+b的夹角,所以|c|=|a+b|·cos
θ=
cos
θ≤
,
所以|c|的最大值是
.
答案:
角度2 求夹角(或夹角的余弦值)?
【典例】已知平面向量a,b满足
=2,
=1,且(4a-b)·(a+3b)=2
,则向量a,b
的夹角θ为
( )
【思路导引】由向量a,b满足的条件求出a·b,再用夹角公式计算.
【解析】选D.因为(4a-b)·(a+3b)=4a2-3b2+11a·b=2,已知|a|=2,|b|=1,解
得a·b=-1,由a·b=|a|·|b|cos
θ=2cos
θ=-1,得cos
θ=-
,所以θ=
.
角度3 求夹角的范围或参数?
【典例】已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹
角的取值范围是
( )
【思路导引】根据方程有实根,则有Δ≥0构建a与b的模与夹角关系式.
【解析】选B.因为Δ=a2-4|a|·|b|cos
θ(θ为向量a与b的夹角).若方程有实
根,则有Δ≥0即a2-4|a|·|b|cos
θ≥0,又|a|=2|b|,则4|b|2-8|b|2cos
θ≥0,
所以cos
θ≤
,又0≤θ≤π,所以
≤θ≤π.
【解题策略】
求两向量夹角的基本思路
(1)求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cosθ=
.根据题
中条件分别求出|a|,|b|和a·b.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0
时,θ∈[0,
);当cosθ<0时,θ∈(
,
];当cosθ=0时,θ=
.
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos
θ的值.
【题组训练】
1.已知向量a,b,a∥b,a·b=-3,|b|=2,则|a|=
( )
A.-
B.-3
C.3
D.
【解析】选D.因为a∥b,|b|≠0,设a=λb,则a·b=λb2=λ|b|2=4λ=-3,所以
λ=-
,所以a=-
b,
所以|a|=|-
b|=
|b|=
.
2.已知|a|=9,|b|=6
,a·b=-54,则a与b的夹角θ为
( )
A.45°
B.135°
C.120°
D.150°
【解析】选B.因为
且0°≤θ≤180°,所以θ=135°.
3.已知a,b,c为单位向量,且满足3a+λb+7c=0,a与b的夹角为
,则实数
λ=________.?
【解析】由3a+λb+7c=0,可得7c=-(3a+λb),即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而
a,b,c为单位向量,则a2=b2=c2=1,则49=9+λ2+6λcos
,即λ2+3λ-40=0,解得
λ=-8或λ=5.
答案:-8或5
1.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在b方向上的投影数量为
( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】选A.向量a在b方向上的投影数量为
课堂检测·素养达标
2.已知三角形ABC中,
,则三角形ABC的形状为________三角形
( )?
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.等腰直角
【解析】选C.因为
·cos
B<0,所以cos
B<0.又因为B为△ABC的
内角,所以
3.已知|a|=2,|b|=2,a·b=1,则|a-b|=
( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选A.因为|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2+4=6,所以|a-b|=
.
4.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则a·a+a·b=________.?
【解析】a·a+a·b=12+1×1×cos
120°=
.
答案:
5.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=
,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角
θ的余弦值.
【解析】p·q=(a+b)·(a-b)
=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.
又因为
所以
二十 向量的数量积
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.已知平面向量a,
b的夹角为
,|a|=1,|b|=2,则a·(a+b)=
( )
A.3
B.2
C.0
D.1+
【解析】选C.因为a,
b的夹角为
,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×
=-1,
则a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0.
课时素养评价
2.设向量a,b满足|a+b|=
,|a-b|=
,则a·b等于
( )
A.1
B.2
C.3
D.5
【解析】选A.|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将
上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,所以a·b=1.
3.已知在△ABC中,AB=AC=4,
,则△ABC的形状是________三角形
( )?
A.直角
B.等腰直角
C.等边
D.钝角
【解析】选C.
,即8=4×4cos
∠BAC,于是cos∠BAC=
.
又因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
4.单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=________.?
【解析】因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5.
答案:5
5.已知a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数k的值为________.?
【解析】由已知a·b=0,a2=4,b2=9,由(3a+2b)·(ka-b)=0?3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0,
所以12k-18=0,所以k=
.
答案:
6.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.
【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代
入上式求得a·b=-6,所以
又θ∈[0,π],所以θ=
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=
.
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若向量a与b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有
( )
A.c⊥a
B.c⊥b
C.c∥b
D.c∥a
【解析】选A.因为c·a=(a+b)·a=a2+a·b=|a|2+|a||b|·
cos
120°=12+1×2×cos
120°=0,所以c⊥a.
2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,
设a与b的夹角为θ,所以2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
所以
因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.
3.若向量a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则|a-b-c|的最小值为
( )
A.
-1
B.1
C.
+1
D.
【解析】选A.因为a,b,c均为单位向量,且a⊥b,所以a·b=0,
所以
所以|a-b-c|≥|a-b|-|c|=
-1.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则
的取值范围是
( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),
=(x,y),
=(2,0),所以
=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横
坐标为-1,所以-1<6.
二、多选题(每小题5分,共10分)
5.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有
( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
【解析】选BD.a·b=λ∈R,c·a=μ∈R.而a,b,c是非零向量且互不共线,故λc-μb≠0
,A错;因为|a|-|b|<|a-b|,B对;因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=0,故应为垂直,C错;根据数量积运算律可判定,D对.
6.在Rt△ABC中∠C=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则
的值可以
为
( )
A.-
B.0
C.5
D.-1
【解析】选AB.由题意,画图如图:
可设
(0≤λ≤1),因为
所以
所以
由二次函数的性质,可知
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知平面向量
,|
|=1,|
|=2,
⊥(
-2
),则|2
+
|的值是
________.?
【解析】|
|=1,|
|=2,由
⊥(
-2
)知,
·(
-2
)=0,2
·
=1,所以|2
+
|2=4
2+4
·
+
2=4+2+4=10.故|2
+
|=
.
答案:
8.设单位向量e1,e2的夹角是
,且a=-(2e1+e2),b=4e1-5e2.则
=
________;a与
b的夹角为________.?
【解析】因为e1,e2为单位向量,所以|e1|=|e2|=1,
因为|a|2=|-(2e1+e2)|2=4
+4e1·e2+
,
即|a|2=4|e1|2+4|e1||e2|cos
+|e2|2,
所以|a|2=4×12+4×12×cos
+12=7,
解得|a|=
;
因为a·b=-(2e1+e2)(4e1-5e2)=-8
+6e1·e2+5
=-8×12+6×12×cos
+5×12=-8+3+5=0,所以a⊥b,即a与b的夹角为
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影数量为-1.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.
又a在b方向上的投影数量为|a|cos
θ=-1,
所以a·b=|a||b|cos
θ=-1,
所以cos
θ=-
,所以θ=
.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=0,
所以4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=
.
10.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且
|ka+b|=
|a-kb|(k∈R),
(1)求a·b关于k的解析式f(k);
(2)若a∥b且方向相同,试求k的值.
【解析】(1)因为|a|=|b|=1,且|ka+b|=
|a-kb|(k∈R),两边同时平方可得:k2|a|2+2ka·b+|b|2=3
所以k2+2ka·b+1=3-6ka·b+3k2,
8ka·b=2k2+2,所以a·b=
所以
(2)因为a∥b且方向相同,|a|=|b|,所以将a=b代入a·b=
,
可得
=1,解得k=2±
.
【创新迁移】
已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120°,计算向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量.
【解析】(2a-b)·(a+b)=2a2+2a·b-a·b-b2=2a2+a·b-b2=2×12+1×1×cos
120°
-12=
.
设向量2a-b与向量a+b的夹角为θ,
所以|2a-b|cos
θ=|2a-b|·
所以向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量为
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§5 从力的做功到向量的数量积
5.1 向量的数量积
必备知识·自主学习
导思
1.什么是向量的数量积?向量的数量积与向量投影有什么关系?2.怎样用数量积求向量夹角?怎样用数量积判断向量的垂直关系?
1.向量的投影
如图所示:=a,=b,∠AOB=θ叫作向量a与b的夹角,记为与θ(0°≤θ≤180°).过点B作BB1垂直于直线OA,垂足为B1,则向量称为向量b在a方向上的投影向量,OB1=|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量.
向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相同吗?
提示:根据定义,|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影数量,|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影数量.所以向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量是不同的.
2.向量的数量积及运算性质
定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角=θ,把|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos
θ.
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos
θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|·cos
θ的乘积.
物理意义
力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
运算律
交换律:a·b=b·a.与数乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).关于加法的分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
性质
①若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|·cos
θ;②a⊥b?a·b=0(其中a,b为非零向量);③|a|=,即a·a=|a|2;④cos=(|a||b|≠0);⑤对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a∥b时等号成立.
两向量的数量积的本质是什么?
提示:两向量的数量积是一个数量,而不是向量,其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)零向量与任一向量的数量积为0.( )
(2)若a·b=0,则a=0或b=0.( )
(3)若a·b=b·c,则一定有a=c.( )
提示:(1)√.根据向量数量积的定义,0·a=0×|a|×cos
θ=0.
(2)×.向量a与b可能垂直.
(3)×.向量b与向量a,c可能垂直,所以a与c不一定相等.
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影数量为( )
A.2
B.
C.2
D.4
【解析】选C.a在b方向上的投影数量为|a|cos
30°=4×cos
30°=2.
3.已知a,b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3.
(1)若θ=135°,则a·b=________;?
(2)若a⊥b,则a·b=________.?
【解析】(1)a·b=2×3×cos
135°=-6.(2)a·b=2×3×cos
90°=0.
答案:(1)-6 (2)0
4.已知△ABC中,BC=4,AC=8,C=60°,则·=________.?
【解析】画图可知向量与的夹角为∠C的补角,故·=||×||cos(180°-∠C)=4×8×=-16.
答案:-16
关键能力·合作学习
类型一 平面向量的数量积(数学运算,直观想象)
角度1 向量数量积的简单计算?
【典例】已知|a|=6,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.
【思路导引】确定向量的模与夹角,再代入定义式计算.
【解析】(1)a∥b,若a与b同向,则θ=0°,a·b=|a||b|·cos
0°=6×5=30;若a与b反向,则θ=180°,a·b=|a|·|b|cos
180°=-6×5=-30.
(2)若a⊥b,则a与b夹角为90°,a·b=|a||b|cos
90°=0.
(3)a与b的夹角为60°,a·b=|a||b|cos
60°=6×5×=15.
角度2 几何图形中的向量数量积计算?
【典例】在矩形ABCD中,
||=4,||=2.若点M,N分别是CD,BC的中点,则·=( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【思路导引】将和用已知模长和夹角的向量和表示,再求数量积.
【解析】选C.由题意,得如图:
由图及题意可得:=+=+,
=-=-=-+=
-+,所以·=(+AB)·=-·||2+·||2=-×4+×16=2.
1.求平面向量数量积的步骤:
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求出|a|和|b|;
(3)利用数量积的定义:a·b=|a||b|cos
θ求解.
特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写.
2.求几何图形中向量的数量积的思路
(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
1.已知向量a,
b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则|3a+b|=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为向量a,
b的夹角为60°,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×=1,则|3a+b|====.
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则·=( )
A.
B.3
C.2
D.12
【解析】选D.如图,由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,根据数量积的几何意义可得:·==12.
3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.?
【解析】在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,所以==-,又因为=+,所以·=(+)·(-)=-·+·-
=||2+||||cos
60°-||2
=1+×||-||2=1.
所以(-||)||=0,又||≠0,所以||=.
答案:
类型二 向量的投影数量(数学运算)
1.若|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影数量等于( )
A.-3
B.-2
C.2
D.-1
2.已知向量a,b,其中|a|=1,|a-2b|=4,|a+2b|=2,则a在b方向上的投影数量为
( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
3.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影数量为( )
A.-
B.
C.2
D.
4.已知两个单位向量a,b的夹角为60°.
(1)若c=λa+b,且b·c=0,则λ的值为________;?
(2)向量a+b在b方向上的投影数量为________.?
【解析】1.选D.向量a在向量b方向上的投影数量是
|a|cos
θ=2×cos
120°=-1.
2.选A.|a-2b|=4?(a-2b)2=16?a2-4a·b+4b2=16?-4a·b+4|b|2=15,①
|a+2b|=2?(a+2b)2=4?a2+4a·b+4b2=4?4a·b+4|b|2=3,②
联立①②解得|b|=,a·b=-,所以a在b方向上的投影数量为:==-1.
3.选B.因为=2,=5,向量a与b的夹角为60°,
所以(2a-b)·a=2a2-b·a=2×22-5×2×cos
60°=3,所以2a-b在a方向上的投影数量为=.
4.(1)b·c=λa·b+(3-)b2
=λcos60°+3-==0,所以λ=-2或λ=3.
(2)向量a+b在b方向上的投影数量为===.
答案:(1)λ=-2或λ=3 (2)
一个向量在另一个向量方向上的投影数量的求法
(1)向量b在a的方向上的投影数量为|b|cos
θ,向量a在b的方向上的投影数量为|a|cos
θ,所以计算一个向量在另一个向量方向上的投影数量,重在求这两个向量的模与夹角.
(2)向量a在b的方向上的投影数量也可以写成,所以如果题中有向量的模,就可以将模平方,产生数量积,进一步转化为一个向量在另一个向量方向上的投影数量.
类型三 向量的模与夹角(数学运算)
角度1 求向量的模?
【典例】(1)平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),则|a+b|=( )
A.1
B.
C.
D.2
(2)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若非零向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是________.?
【思路导引】(1)先根据a⊥(a-2b),求出2a·b=1,再根据平面向量的数量积,求出=,即可求出结果;(2)展开(a-c)·(b-c),将|c|转化为|a+b|·cos
θ,获得最值.
【解析】(1)选C.因为a⊥(a-2b),所以a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0,所以2a·b=1,又|a+b|====.
(2)因为|a|=|b|=1,a·b=0,(a-c)·(b-c)=-c·(a+b)+|c|2=-|c||a+b|cos
θ+|c|2=0,其中θ为c与a+b的夹角,所以|c|=|a+b|·cos
θ=cos
θ≤,所以|c|的最大值是.
答案:
角度2 求夹角(或夹角的余弦值)?
【典例】已知平面向量a,b满足=2,=1,且·=2,则向量a,b的夹角θ为( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】由向量a,b满足的条件求出a·b,再用夹角公式计算.
【解析】选D.因为(4a-b)·(a+3b)=4a2-3b2+11a·b=2,已知|a|=2,|b|=1,解得a·b=-1,由a·b=|a|·|b|cos
θ=2cos
θ=-1,得cos
θ=-,所以θ=.
角度3 求夹角的范围或参数?
【典例】已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】根据方程有实根,则有Δ≥0构建a与b的模与夹角关系式.
【解析】选B.因为Δ=a2-4|a|·|b|cos
θ(θ为向量a与b的夹角).若方程有实根,则有Δ≥0即a2-4|a|·|b|cos
θ≥0,又|a|=2|b|,则4|b|2-8|b|2cos
θ≥0,所以cos
θ≤,又0≤θ≤π,所以≤θ≤π.
求两向量夹角的基本思路
(1)求两非零向量的夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式cosθ=.根据题中条件分别求出,和a·b.确定θ时要注意θ∈[0,π],当cosθ>0时,θ∈;当cosθ<0时,θ∈;当cosθ=0时,θ=.
(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cos
θ的值.
1.已知向量a,b,a∥b,
a·b=-3,
|b|=2,则|a|=( )
A.-
B.-3
C.3
D.
【解析】选D.因为a∥b,|b|≠0,设a=λb,则a·b=λb2=λ|b|2=4λ=-3,所以λ=-,所以a=-b,
所以|a|=|-b|=|b|=.
2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为( )
A.45°
B.135°
C.120°
D.150°
【解析】选B.因为cosθ===-,且0°≤θ≤180°,所以θ=135°.
3.已知a,b,c为单位向量,且满足3a+λb+7c=0,a与b的夹角为,则实数λ=________.?
【解析】由3a+λb+7c=0,可得7c=-(3a+λb),即49c2=9a2+λ2b2+6λa·b,而a,b,c为单位向量,则a2=b2=c2=1,则49=9+λ2+6λcos,即λ2+3λ-40=0,解得λ=-8或λ=5.
答案:-8或5
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1.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在b方向上的投影数量为( )
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】选A.向量a在b方向上的投影数量为|a|cos
θ===-4.
2.已知三角形ABC中,·<0,则三角形ABC的形状为________三角形( )?
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.等腰直角
【解析】选C.因为·=||·||·cos
B<0,所以cos
B<0.又因为B为△ABC的内角,所以3.已知|a|=2,|b|=2,a·b=1,则|a-b|=( )
A.
B.2
C.2
D.3
【解析】选A.因为|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2+4=6,所以|a-b|=.
4.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则a·a+a·b=________.?
【解析】a·a+a·b=12+1×1×cos
120°=.
答案:
5.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角θ的余弦值.
【解析】p·q=(a+b)·(a-b)
=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.
又因为|p|=|a+b|==
=,
|q|=|a-b|==
=1,
所以cosθ===.
二十 向量的数量积
(15分钟 30分)
1.已知平面向量a,
b的夹角为,|a|=1,|b|=2,则a·(a+b)=( )
A.3 B.2 C.0 D.1+
【解析】选C.因为a,
b的夹角为,|a|=1,|b|=2,所以a·b=1×2×=-1,则a·(a+b)=a2+a·b=1-1=0.
2.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )
A.1
B.2
C.3
D.5
【解析】选A.|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,所以a·b=1.
3.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是________三角形
( )
A.直角
B.等腰直角
C.等边
D.钝角
【解析】选C.·=||||cos
∠BAC,即8=4×4cos
∠BAC,于是cos∠BAC=.又因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形.
4.单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=________.?
【解析】因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5.
答案:5
5.已知a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数k的值为________.?
【解析】由已知a·b=0,a2=4,b2=9,由(3a+2b)·(ka-b)=0?3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0,所以12k-18=0,所以k=.
答案:
6.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|.
【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式求得a·b=-6,所以cos
θ===-.又θ∈[0,π],所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若向量a与b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有( )
A.c⊥a
B.c⊥b
C.c∥b
D.c∥a
【解析】选A.因为c·a=(a+b)·a=a2+a·b=|a|2+|a||b|·cos
120°=12+1×2×cos
120°=0,所以c⊥a.
2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,
设a与b的夹角为θ,所以2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
所以cos
θ=-=-=-,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.
3.若向量a,b,c均为单位向量,且a⊥b,则|a-b-c|的最小值为( )
A.-1 B.1 C.+1 D.
【解析】选A.因为a,b,c均为单位向量,且a⊥b,所以a·b=0,
所以|a-b|===,
所以|a-b-c|≥|a-b|-|c|=-1.
4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1二、多选题(每小题5分,共10分)
5.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
【解析】选BD.a·b=λ∈R,c·a=μ∈R.而a,b,c是非零向量且互不共线,故λc-μb≠0
,A错;因为|a|-|b|<|a-b|,B对;因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=0,故应为垂直,C错;根据数量积运算律可判定,D对.
6.在Rt△ABC中∠C=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则·的值可以为( )
A.-
B.0
C.5
D.-1
【解析】选AB.由题意,画图如图:
可设=λ(0≤λ≤1),因为=-,||=2,||=2,cos<,>=0.
所以=λ=λ(-),
=+=+λ(-)=λ+(1-λ).
所以·=[λ+(1-λ)]·λ(-)=λ2||2-λ(1-λ)||2=4λ2-4λ(1-λ)=8λ2-4λ=8-.
由二次函数的性质,可知·∈.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.?
【解析】|α|=1,|β|=2,由α⊥(α-2β)知,α·(α-2β)=0,2α·β=1,所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=.
答案:
8.设单位向量e1,e2的夹角是,且a=-(2e1+e2),b=4e1-5e2.则=
________;a与b的夹角为________.?
【解析】因为e1,e2为单位向量,所以|e1|=|e2|=1,
因为|a|2=|-(2e1+e2)|2=4+4e1·e2+,
即|a|2=4|e1|2+4|e1||e2|cos+|e2|2,
所以|a|2=4×12+4×12×cos+12=7,
解得|a|=;
因为a·b=-(2e1+e2)(4e1-5e2)=-8+6e1·e2+5=-8×12+6×12×cos+5×12=-8+3+5=0,所以a⊥b,即a与b的夹角为.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影数量为-1.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.
又a在b方向上的投影数量为|a|cos
θ=-1,
所以a·b=|a||b|cos
θ=-1,
所以cos
θ=-,所以θ=.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=0,
所以4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.
10.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且
|ka+b|=|a-kb|(k∈R),
(1)求a·b关于k的解析式f(k);
(2)若a∥b且方向相同,试求k的值.
【解析】(1)因为|a|=|b|=1,且|ka+b|=|a-kb|(k∈R),两边同时平方可得:k2+2ka·b+=3,
所以k2+2ka·b+1=3-6ka·b+3k2,
8ka·b=2k2+2,所以a·b==(k+),k∈R+,所以f(k)==(k+),k∈R+.
(2)因为a∥b且方向相同,|a|=|b|,所以将a=b代入a·b=(k+),
可得=1,解得k=2±.
已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120°,计算向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量.
【解析】(2a-b)·(a+b)=2a2+2a·b-a·b-b2=2a2+a·b-b2=2×12+1×1×cos
120°-12=.
|a+b|===
=1.
设向量2a-b与向量a+b的夹角为θ,
所以|2a-b|cos
θ=|2a-b|·==.所以向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量为.
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