(共75张PPT)
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标表示向量的数量积?怎样用坐标表示向量的模与夹角?
2.怎样用坐标运算判断向量的平行与垂直关系?
平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
【思考】
由向量长度的坐标表示,能否得出平面内两点间的距离公式?
提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得
|AB|=|
|=
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两向量满足a·b<0,则两向量的夹角θ一定是钝角;
( )
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a,b的夹角θ满足
( )
(3)若A(1,0),B(0,-1),则
( )
(4)若△ABC是直角三角形,则
( )
提示:(1)×.两向量满足a·b<0,两向量的夹角θ也可能是平角.
(2)×.当a≠0且b≠0时,向量a,b的夹角θ满足
即向量夹角
公式的适用范围是a≠0且b≠0.
(3)√.由两点间的距离公式,得
(4)×.△ABC是直角三角形,三个角都有可能是直角,不一定就是角B.
2.已知向量a=(-4,7),向量b=(5,2),则a·b的值是
( )
A.34
B.27
C.-43
D.-6
【解析】选D.因为a=(-4,7),b=(5,2),所以a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-20+14=-6.
3.已知a=(
,1),b=(-
,1),则向量a,b的夹角θ=________.?
【解析】由题
,所以θ=120°.
答案:120°
4.已知a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,则x=________.?
【解析】由题意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积的坐标运算(数学运算,直观想象)
【题组训练】
1.若向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=
( )
A.6
B.5
C.4
D.3
3.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,
,则
=________.?
【解析】1.选C.方法一:因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以|a|=
,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
方法二:因为
a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
2.选C.因为a=(1,1),b=(2,5),所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又因为(8a-
b)·c=30,所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30,所以x=4.
3.建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),
因为
,所以F
.所以
=(2,1),
-(2,0)=
所以
=(2,1)·
=2×(-
)+1×2=
.
答案:
【解题策略】
数量积的坐标运算方法
(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算.
(2)二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.图形中的数量积,如果图形合适,就可以建立坐标系,采用坐标运算.
【补偿训练】
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=
( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
【解析】选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
2.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)
a的坐标为________;?
(2)若c=(2,-1),则a(b·c)=________,(a·b)c=________.?
【解析】(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).
(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
答案:(1)(2,4) (2)0 (20,-10)
类型二 向量模的计算(数学运算)
【典例】设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.
【思路导引】利用向量的坐标运算求得a-2b的坐标表示,然后求模.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,2),所以a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),
所以
【变式探究】
1.将例题中的条件不变
,若c=3a-(a·b)b,试求|c|.
【解析】a·b=x1x2+y1y2=2,
所以c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),所以
|c|=
.
2.将例题中的b=(0,2)改为b=(0,-2),其他条件不变,若ka-b的模等于
,试求
k值.
【解析】因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),因为ka-b的模等于
,所以
,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.
【解题策略】
向量模的计算方法
1.设a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或
2.向量a与b的数量积为a·b=
cos
,通过数量积和夹角可以计算a或b
的模.
【跟踪训练】
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=
( )
【解析】选D.因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即
a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|=
.
2.若平面向量a与b的夹角为
,a=(2,0),|a+2b|=2
,则a·b=
( )
A.2
B.-2
C.-2
D.2
【解析】选C.因为平面向量a与b的夹角为
,a=(2,0),|a+2b|=2
,
所以
=2,a·b=2
·cos
=-
,
=12,
即为a2+4a·b+4b2=4-4
+4
=12,解得
=2(-1舍去),则a·b=-2.
类型三 向量的夹角与垂直(数学运算)
角度1 求两向量的夹角或夹角的余弦值?
【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,O是原点.已知点A(16,12),B(-5,15).
试求∠OAB的度数.
【思路导引】先由坐标求向量的模,再代入夹角公式得余弦值,最后求角.
【解析】由
=(16,12),
=(-5-16,15-12)=(-21,3),得
所以cos∠OAB=cos<
,
>=
其中
=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,
故cos∠OAB=
.所以∠OAB=45°.
角度2 已知夹角求参数的值或范围?
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.?
【思路导引】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
角度3 向量坐标背景下的垂直关系?
【典例】在△ABC中
=(2,3),
=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.
【思路导引】三个角A,B,C都有可能是直角,根据垂直时向量的数量积为零建立
方程.
【解析】因为
=(2,3),
=(1,k),所以
=(-1,k-3).若∠A=90°,
则
=2×1+3×k=0,所以k=-
;若∠B=90°,则
=2×(-1)+3(k-3)=0,
所以k=
;若∠C=90°,则
=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=
.故所求k
的值为-
或
或
.
【解题策略】
1.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;(2)再运用
|a|=
求出两向量的模;(3)由公式
计算cos
θ的值;(4)在
[0,π]内,由cos
θ的值确定角θ.
2.垂直关系的坐标运算:
(1)判断两个向量是否垂直,只需计算其数量积是否为
0;(2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求
解.
【题组训练】
1.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为( )
【解析】选A.因为a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),-b=(-2,1),且(a+xb)⊥
(-b),所以-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=-
.
2.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹
角,则m等于
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以
a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与
b的夹角,所以
解得m=2.
3.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cos
θ=________.?
【解析】因为a=(5,5),所以2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).又
|a|=5
,|b|=
,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.所以
答案:
【补偿训练】
1.已知向量a=(1,3),b=(2,1),则a·b=________;a与b夹角的大小为________.?
【解析】因为向量a=(1,3),b=(2,1),由向量数量积的坐标运算得
a·b=1×2+3×1=5,设a与b的夹角为θ,由向量的夹角公式得:
因为θ∈[0,π],所以θ=
答案:5
2.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.?
【解析】由题意知,a+c=(3,3m),(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=-
,即a=(1,
-1),|a|=
答案:
类型四 用数量积解决简单的平面几何问题(直观想象,数学运算)
【典例】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
【解题策略】
利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0;
途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式.
【跟踪训练】
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系.设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),
从而可求:
=(-2a,a),
=(a,-2a),
不妨设
的夹角为θ,则
故所求钝角的余弦值为
.
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x=
( )
A.3
B.-3
C.
D.-
【解析】选A.a·b=-x+6=3,故x=3.
课堂检测·素养达标
2.已知a=(-
,-1),b=(1,
),那么a,b的夹角θ=
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选D.
,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=150°.
3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于
( )
A.1
B.
C.2
D.4
【解析】选C.因为(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,所以n=±
.
所以
4.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3
,则b=
( )
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
【解析】选A.由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3
.所以|b|=
,所以λ=-3,即b=(-3,6).
5.已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标.
【解析】因为a=(-3,-2),b=(-4,k),所以5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),
所以(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,所以
(k+10)(k+6)=0,
所以k=-10或k=-6,所以b=(-4,-10)或b=(-4,-6).
二十一 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度
【基础通关——水平一】(15分钟 30分)
1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是
( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.(a-b)⊥b
D.a∥b
课时素养评价
【解析】选C.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|=
,|a|≠|b|,故A错误;
a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,故B错误;
因为a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故C正确.
因为2×1-0×1≠0,所以a与b不共线,故D错误.
2.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=
( )
A.
B.0
C.3
D.
【解析】选C.因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).
因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是________三角形( )?
A.直角
B.锐角
C.钝角
D.等边
【解析】选A.由题设知
=(8,-4),
=(2,4),
=(-6,8),所以
=2×8+(-4)×4=0,即
,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
4.已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则实数t=________.?
【解析】因为a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)·b=5t+5.
又因为
且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos
45°,所以
整理得t2+2t
-3=0,解得t=1或t=-3,经检验知t=-3不成立,故t=1.
答案:1
5.若a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则
向量
的模为________.?
【解析】因为a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y),
因为(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,所以y=-4,
故向量
=(-8,8),|
|=8
.
答案:8
6.已知a=(
,-1),b=
(1)求证:a⊥b;
(2)是否存在实数k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,若存在,求k的值;不存在,请说
明理由.
【解析】(1)因为a·b=
所以a⊥b.
(2)因为x=(
,-1)-2
y=
假设存在k使x⊥y,
所以x·y=
化简得-4k-2=0,所以k=-
即存在
k=-
满足条件.
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知向量a=(-1,x),b=(2,-1),若(a-2b)⊥b,则a与b的夹角的余弦值为( )
【解析】选B.因为向量a=(-1,x),b=(2,-1),
所以a-2b=(-5，x+2).又b=(2,-1),(a-2b)⊥b,所以-10-(x+2)=0,即x=-12,所
以
2.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5
,则|b|=
( )
A.
B.
C.5
D.25
【解析】选C.方法一:设b=(x,y),则a·b=2x+y=10①,又
a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5
,所以(x+2)2+(y+1)2=50 ②,
①与②联立得
或
所以|b|=
方法二:由|a+b|=5
得a2+2a·b+b2=50,即5+20+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.
3.在四边形ABCD中,
=(1,2),
=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A.
B.2
C.5
D.10
【解析】选C.因为
=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以
,所以S四边形ABCD=
4.已知向量a=(sin
α,-2),b=(1,cos
α),且a⊥b,则
等于( )
【解析】选A.因为a⊥b,所以sinα-2cosα=0,可得sin
α=2cos
α,
因为sin
α+cos
α≠0,所以sin
α=2cos
α≠0,则
二、多选题(每小题5分,共10分)
5.已知
=(4,2),
=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k可取的值是
( )
A.1
B.2
C.4
D.6
【解析】选AD.当A=90°时,
,则4k-4=0,k=1;
当B=90°时,
所以4(k-4)+2×(-4)=0,解得
k=6;
当C=90°时,
,则k(k-4)+(-2)×(-4)=0,即k2-4k+8=0,无解.故k=1或6.
6.若向量i,
j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,
b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则
实数m可取的值有
( )
A.-4
B.-2
C.0
D.
【解析】选AC.由题意,因为a与b夹角为锐角,所以a·b=(i-2j)·(i+mj)=1-2m>0,且
b,a不共线,所以m<
.当a∥b时,可得m=-2,所以实数λ的取值范围是(-∞,-
2)∪(-2,
),于是AC符合.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤
,a=e1+e2,b=3e1+e2,
设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为________.?
【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ
=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ
=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=
所以
(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,
又因为
-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥
,
所以e1·e2=
所以cos2θ的最小值为
.
答案:
8.已知向量
=(1,7),
=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=
x上的一点,
那么
的最小值是________,此时M点的坐标为________.?
【解析】设M
,则
所以当x=4时,
取得最小值-8.
答案:-8 (4,2)
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2
,且c与a方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|=
,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
【解析】(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2
,可得
所以
或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2×
=0,解得a·b=-
.
所以
又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
10.已知
=(2,1),
=(1,7),
=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐
标原点).
(1)求使
取到最小值时的
;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
【解析】(1)因为点C是直线OP上一点,所以向量
与
共线,设
=t
,则
=(2t,t).
=(1-2t,7-t),
=(5-2t,1-t),
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当t=2时,
取得最小值,此时
=(4,2).
(2)当
=(4,2)时,
=(-3,5),
=(1,-1),
所以|
|=
,|
|=
,
=-8,
所以
【创新迁移】
1.已知平面向量a,b,a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),若对任意的实数
λ,|a-λb|的最小值为
,则此时|a-b|=
( )
A.1
B.2
C.
D.
或
【解析】选D.由题知a,b终点分别在以2和1为半径的圆上运动,设a的终点坐标
为A(2,0),b的终点为单位圆上的点B,|a-λb|最小时b的终点有可能为如图上
B、C两点处,即过A作单位圆切线切点为B时,此时AB=
,此时a,b的夹角为
,
因此|a-b|
延长BO交单位圆于C,此时a,b的夹角为
,因此
2.已知向量m=(1,a-x),n=(ax,-1),其中a>0,且a≠1,设函数f(x)=m·n,且
f(2)=
(1)求a的值;
(2)当x∈[0,1]时,是否存在实数λ使g(x)=a2x+a-2x-2λf(x)的最小值为-2?若
存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意,函数f(x)=m·n=ax-a-x,由f(2)=a2-a-2=
,
即9a4-80a2-9=0,(9a2+1)(a2-9)=0,所以a2-9=0,所以a=3(a=-3舍去).
(2)当a=3时,g(x)=32x+3-2x-2λ(3x-3-x)
=(3x-3-x)2-2λ(3x-3-x)+2.
当x∈[0,1]时,假设存在实数λ使g(x)的最小值为-2,令t=3x-3-x,因为
x∈[0,1],t=3x-3-x在[0.1]上是增函数,所以
函数g(x)可化为h(t)=t2-2λt+2=(t-λ)2+2-λ2,
若λ∈
,当t=λ
时,g(x)min=2-λ2=-2,所以λ=2.
若λ<0,当t=0时,g(x)min=h(0)=2≠-2,不可能;若λ>
,当t=
时,g(x)min=
h(
)=
,解得λ=
,舍去.
故当x∈[0,1]时,存在实数λ=2使g(x)的最小值为-2.温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
必备知识·自主学习
导思
1.怎样用坐标表示向量的数量积?怎样用坐标表示向量的模与夹角?2.怎样用坐标运算判断向量的平行与垂直关系?
平面向量数量积的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
数量积
a·b=x1x2+y1y2
模
a2=+,即|a|=
夹角
设向量a与b的夹角为θ,则cos
θ==(|a|≠0,|b|≠0)
垂直
a⊥b?x1x2+y1y2=0
由向量长度的坐标表示,能否得出平面内两点间的距离公式?
提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得|AB|=||=.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两向量满足a·b<0,则两向量的夹角θ一定是钝角;( )
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a,b的夹角θ满足cos
θ=;( )
(3)若A(1,0),B(0,-1),则||=;( )
(4)若△ABC是直角三角形,则·=0.
( )
提示:(1)×.两向量满足a·b<0,两向量的夹角θ也可能是平角.
(2)×.当a≠0且b≠0时,向量a,b的夹角θ满足cos
θ=,即向量夹角公式的适用范围是a≠0且b≠0.
(3)√.由两点间的距离公式,得||==.
(4)×.△ABC是直角三角形,三个角都有可能是直角,不一定就是角B.
2.已知向量a=(-4,7),向量b=(5,2),则a·b的值是( )
A.34
B.27
C.-43
D.-6
【解析】选D.因为a=(-4,7),b=(5,2),所以a·b=(-4,7)·(5,2)=-4×5+7×2=-20+14=-6.
3.已知a=(,1),b=(-,1),则向量a,b的夹角θ=________.?
【解析】由题cos
θ===-,所以θ=120°.
答案:120°
4.已知a=(2,-1),b=(1,x),且a⊥b,则x=________.?
【解析】由题意知a·b=2×1+(-1)×x=0,得x=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 向量数量积的坐标运算(数学运算,直观想象)
1.若向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6
B.5
C.4
D.3
3.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,=2,则·=________.?
【解析】1.选C.方法一:因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以|a|=,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
方法二:因为
a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),
从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
2.选C.因为a=(1,1),b=(2,5),所以8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).又因为(8a-b)·c=30,所以(6,3)·(3,x)=18+3x=30,所以x=4.
3.建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),
因为=2,所以F.所以=(2,1),=
-(2,0)=,所以·=(2,1)·=2×(-)+1×2=.
答案:
数量积的坐标运算方法
(1)一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算.
(2)二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.图形中的数量积,如果图形合适,就可以建立坐标系,采用坐标运算.
【补偿训练】
1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
【解析】选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
2.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)
a的坐标为________;?
(2)若c=(2,-1),则a(b·c)=________,(a·b)c=________.?
【解析】(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).
(2)因为b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
答案:(1)(2,4) (2)0 (20,-10)
类型二 向量模的计算(数学运算)
【典例】设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小.
【思路导引】利用向量的坐标运算求得a-2b的坐标表示,然后求模.
【解析】因为a=(1,1),b=(0,2),所以a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),
所以|a-2b|==.
1.将例题中的条件不变
,若c=3a-(a·b)b,试求|c|.
【解析】a·b=x1x2+y1y2=2,
所以c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1),所以|c|==.
2.将例题中的b=(0,2)改为b=(0,-2),其他条件不变,若ka-b的模等于,试求k值.
【解析】因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),因为ka-b的模等于,所以=,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.
向量模的计算方法
1.设a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
2.向量a与b的数量积为a·b=×cos,通过数量积和夹角可以计算a或b的模.
1.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.
B.2
C.2
D.
【解析】选D.因为a⊥c,b∥c,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即a=(2,1),b=(1,-2).所以a+b=(3,-1),|a+b|=.
2.若平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|a+2b|=2,则a·b=( )
A.2
B.-2
C.-2
D.2
【解析】选C.因为平面向量a与b的夹角为,a=,=2,
所以=2,a·b=2·cos=-,=12,
即为a2+4a·b+4b2=4-4+4=12,解得=2(-1舍去),则a·b=-2.
类型三 向量的夹角与垂直(数学运算)
角度1 求两向量的夹角或夹角的余弦值?
【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,O是原点.已知点A(16,12),B(-5,15).
试求∠OAB的度数.
【思路导引】先由坐标求向量的模,再代入夹角公式得余弦值,最后求角.
【解析】由=(16,12),=(-5-16,15-12)=(-21,3),得||==20,||==15.所以cos∠OAB=cos<,>=.
其中·=-·=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,
故cos∠OAB==.所以∠OAB=45°.
角度2 已知夹角求参数的值或范围?
【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=________.?
【思路导引】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.
【解析】由a⊥b可得a·b=0,
又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),
所以a·b=1·(m+1)+(-1)·(2m-4)=0,即m=5.
答案:5
角度3 向量坐标背景下的垂直关系?
【典例】在△ABC中=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.
【思路导引】三个角A,B,C都有可能是直角,根据垂直时向量的数量积为零建立方程.
【解析】因为=(2,3),=(1,k),所以=-=(-1,k-3).若∠A=90°,则·=2×1+3×k=0,所以k=-;若∠B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;若∠C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=.故所求k的值为-或或.
1.利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;(2)再运用|a|=求出两向量的模;(3)由公式cos
θ=计算cos
θ的值;(4)在[0,π]内,由cos
θ的值确定角θ.
2.垂直关系的坐标运算:
(1)判断两个向量是否垂直,只需计算其数量积是否为0;(2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求解.
1.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与-b垂直,则x的值为( )
A.-
B.
C.
D.2
【解析】选A.因为a+xb=(3,4)+x(2,-1)=(3+2x,4-x),-b=(-2,1),且(a+xb)⊥(-b),所以-2(3+2x)+(4-x)=0,得x=-.
2.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,解得m=2.
3.设向量a,b的夹角为θ,且a=(5,5),2b-a=(-1,1),则cos
θ=________.?
【解析】因为a=(5,5),所以2b=(5,5)+(-1,1)=(4,6).即b=(2,3).又|a|=5,|b|=,且a·b=(5,5)·(2,3)=25.所以cos
θ===.
答案:
【补偿训练】
1.已知向量a=(1,3),b=(2,1),则a·b=________;a与b夹角的大小为________.?
【解析】因为向量a=(1,3),b=(2,1),由向量数量积的坐标运算得a·b=1×2+3×1=5,设a与b的夹角为θ,由向量的夹角公式得:cosθ===,因为θ∈[0,π],所以θ=.
答案:5
2.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.?
【解析】由题意知,a+c=(3,3m),(a+c)·b=3(m+1)+3m=0,解得m=-,即a=(1,-1),|a|==.
答案:
类型四 用数量积解决简单的平面几何问题(直观想象,数学运算)
【典例】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
理解题意
条件:①正方形ABCD;②E,F分别是AB,BC的中点结论:AF⊥DE
思路探求
以互相垂直的向量,为基,表示出和,求它们的数量积;也可以在正方形中建立坐标系,用坐标表示向量和,再用坐标求它们的数量积.
书写表达
证明:方法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0.又=+=-a+,=+=b+,所以·=·=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE.方法二:如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),则=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0.所以⊥,即AF⊥DE.
题后反思
计算向量的数量积一般通过基向量法和坐标法解决.
利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0;
途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式.
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解析】如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系.设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),
从而可求:=(-2a,a),=(a,-2a),
不妨设,的夹角为θ,则cos
θ====-.
故所求钝角的余弦值为-.
课堂检测·素养达标
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x=( )
A.3
B.-3
C.
D.-
【解析】选A.a·b=-x+6=3,故x=3.
2.已知a=(-,-1),b=(1,),那么a,b的夹角θ=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选D.cos
θ==-,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=150°.
3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
A.1
B.
C.2
D.4
【解析】选C.因为(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,所以n=±.所以|a|==2.
4.已知向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=( )
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
【解析】选A.由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),由于|b|=3.所以|b|===3,所以λ=-3,即b=(-3,6).
5.已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标.
【解析】因为a=(-3,-2),b=(-4,k),所以5a-b=(-11,-10-k).b-3a=(5,k+6),所以(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+10)(k+6)=-55,所以(k+10)(k+6)=0,
所以k=-10或k=-6,所以b=(-4,-10)或b=(-4,-6).
二十一 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度
(15分钟 30分)
1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.(a-b)⊥b
D.a∥b
【解析】选C.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|=2,|b|=,|a|≠|b|,故A错误;
a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,故B错误;
因为a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,所以(a-b)⊥b,故C正确.
因为2×1-0×1≠0,所以a与b不共线,故D错误.
2.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )
A.-
B.0
C.3
D.
【解析】选C.因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是________三角形( )?
A.直角
B.锐角
C.钝角
D.等边
【解析】选A.由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=2×8+(-4)×4=0,即⊥,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
4.已知a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则实数t=________.?
【解析】因为a=(4,-3),b=(2,1),所以a+tb=(2t+4,t-3),所以(a+tb)·b=5t+5.
又因为|a+tb|==,|b|=,
且(a+tb)·b=|a+tb||b|cos
45°,所以5t+5=××,整理得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3,经检验知t=-3不成立,故t=1.
答案:1
5.若a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为________.?
【解析】因为a∥b,所以x=4,所以b=(4,-2),所以a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y),
因为(a+b)⊥(b-c),所以(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,所以y=-4,
故向量=(-8,8),||=8.
答案:8
6.已知a=(,-1),b=.
(1)求证:a⊥b;
(2)是否存在实数k,使x=a-2b,y=-ka+b,且x⊥y,若存在,求k的值;不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为a·b=×+(-1)×=0.所以a⊥b.
(2)因为x=(,-1)-2
=,
y=-k(,-1)+
=.
假设存在k使x⊥y,
所以x·y=(-1)+(-1-),化简得-4k-2=0,所以k=-即存在k=-满足条件.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知向量a=(-1,x),b=(2,-1),若(a-2b)⊥b,则a与b的夹角的余弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为向量a=(-1,x),b=(2,-1),
所以a-2b=.又b=(2,-1),(a-2b)⊥b,所以-10-=0,即x=-12,所以cosθ===.
2.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )
A.
B.
C.5
D.25
【解析】选C.方法一:设b=(x,y),则a·b=2x+y=10①,又a+b=(x+2,y+1),|a+b|=5,所以(x+2)2+(y+1)2=50 ②,
①与②联立得或所以|b|==5.
方法二:由|a+b|=5得a2+2a·b+b2=50,即5+20+b2=50,所以b2=25,所以|b|=5.
3.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A.
B.2
C.5
D.10
【解析】选C.因为·=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,所以⊥,所以S四边形ABCD=||·||=××2=5.
4.已知向量a=(sin
α,-2),b=(1,cos
α),且a⊥b,则等于( )
A. B.1 C. D.
【解析】选A.因为a⊥b,所以sinα-2cosα=0,可得sin
α=2cos
α,
因为sin
α+cos
α≠0,所以sin
α=2cos
α≠0,则==.
二、多选题(每小题5分,共10分)
5.已知=(4,2),=(k,-2),若△ABC为直角三角形,则k可取的值是( )
A.1
B.2
C.4
D.6
【解析】选AD.当A=90°时,⊥,则4k-4=0,k=1;
当B=90°时,⊥,又=-=(k-4,-4),所以4(k-4)+2×(-4)=0,解得k=6;
当C=90°时,⊥,则k(k-4)+(-2)×(-4)=0,即k2-4k+8=0,无解.故k=1或6.
6.若向量i,
j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,
b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则实数m可取的值有( )
A.-4
B.-2
C.0
D.
【解析】选AC.由题意,因为a与b夹角为锐角,所以a·b=(i-2j)·(i+mj)=1-2m>0,且b,a不共线,所以m<.当a∥b时,可得m=-2,所以实数λ的取值范围是
(-∞,-2)∪,于是AC符合.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·浙江高考)设e1,e2为单位向量,满足|2e1-e2|≤,a=e1+e2,b=3e1+e2,设a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值为________.?
【解析】(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ
=(e1+e2)2(3e1+e2)2cos2θ
=(2+2e1·e2)(10+6e1·e2)cos2θ=[(e1+e2)·(3e1+e2)]2=(3++4e1·e2)2=(4+4e1·e2)2,
所以cos2θ=
==
(10+6e1·e2)cos2θ=8(1+e1·e2),(6cos2θ-8)e1·e2=8-10cos2θ,
又因为4+-4e1·e2≤2,5-4e1·e2≤2,所以e1·e2≥,
所以e1·e2=≥,-≥0,≤0,
≤cos2θ<,所以cos2θ的最小值为.
答案:
8.已知向量=(1,7),=(5,1)(O为坐标原点),设M为直线y=x上的一点,那么·的最小值是________,此时M点的坐标为________.?
【解析】设M,则=,=,·=(1-x)(5-x)+=(x-4)2-8.所以当x=4时,·取得最小值-8.
答案:-8 (4,2)
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c与a方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
【解析】(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2,可得所以或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,解得a·b=-.
所以cos
θ==-1.又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
10.已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使·取到最小值时的;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
【解析】(1)因为点C是直线OP上一点,所以向量与共线,设=t,则=(2t,t).=-=(1-2t,7-t),=-=(5-2t,1-t),·=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当t=2时,·取得最小值,此时=(4,2).
(2)当=(4,2)时,=(-3,5),=(1,-1),
所以||=,||=,·=-8,
所以cos∠ACB==-.
1.已知平面向量a,b,a=(2cosα,2sinα),b=(cosβ,sinβ),若对任意的实数λ,|a-λb|的最小值为,则此时|a-b|=( )
A.1
B.2
C.
D.或
【解析】选D.由题知a,b终点分别在以2和1为半径的圆上运动,设a的终点坐标为A(2,0),b的终点为单位圆上的点B,|a-λb|最小时b的终点有可能为如图上B、C两点处,即过A作单位圆切线切点为B时,此时AB=,此时a,b的夹角为,因此|a-b|==,
延长BO交单位圆于C,此时a,b的夹角为,因此==.
2.已知向量m=(1,a-x),n=(ax,-1),其中a>0,且a≠1,设函数f(x)=m·n,且f(2)=.
(1)求a的值;
(2)当x∈[0,1]时,是否存在实数λ使g(x)=a2x+a-2x-2λf(x)的最小值为-2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意,函数f(x)=m·n=ax-a-x,由f(2)=a2-a-2=,
即9a4-80a2-9=0,(9a2+1)(a2-9)=0,所以a2-9=0,所以a=3(a=-3舍去).
(2)当a=3时,g(x)=32x+3-2x-2λ(3x-3-x)
=(3x-3-x)2-2λ(3x-3-x)+2.
当x∈[0,1]时,假设存在实数λ使g(x)的最小值为-2,令t=3x-3-x,因为x∈[0,1],t=3x-3-x在上是增函数,所以t∈,
函数g(x)可化为h(t)=t2-2λt+2=(t-λ)2+2-λ2,t∈,若λ∈,当t=λ时,g(x)min=2-λ2=-2,所以λ=2.
若λ<0,当t=0时,g(x)min=h(0)=2≠-2,不可能;若λ>,当t=时,g(x)min=h=
-2×λ+2=-2,解得λ=<,舍去.
故当x∈[0,1]时,存在实数λ=2使g(x)的最小值为-2.
关闭Word文档返回原板块
PAGE