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6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
一、向量在几何证明中的应用
新课程标准
学业水平要求
通过对平面向量基本定理的把握证明三点共线问题;通过对数量积的运算证明垂直问题;通过对向量坐标表达式的把握证明平行问题
★水平一1.掌握三点共线的证明(逻辑推理)2.掌握平面中的平行与垂直的证明(直观想象、逻辑推理)★水平二能够借助平面向量证明平面几何中的等式或求值问题(逻辑推理)
关键能力·合作学习
类型一 证明三点共线、三线共点(逻辑推理)
1.如图,已知△ABC两边AB,AC的中点分别为M,N,在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q,使MQ=CM.
求证:P,A,Q三点共线.
2.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.
求证:点E,O,F在同一直线上.
3.已知D,E,F分别为△ABC三边BC,AC,AB的中点.
求证:AD,CF,BE相交于一点.
【证明】1.设=a,=b,则=b,=a,由此可得==b-a,==a-b,
所以-=+,=-(b-a)=a-b,
-=+,=-(b-a)=a-b,故=,故∥,且它们有公共点A,所以P,A,Q三点共线.
2.设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以=+=+=-m+(m+n)=m+n,=+=+=(m+n)-m=m+n.所以=,故∥,又O为和的公共点,所以点E,O,F在同一条直线上.
3.设=a,=b,直线AD,BE交于点G.设=λ,=μ,则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ
=b-a+μ=(μ-1)a+(1-μ)b,
又=λ=λ(+)=λ=-λa+λb,所以解得
则=+=a+=a+=a+b.
又因为=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以AD,CF,BE相交于一点.
三点共线的证明
(1)平面上三点A,B,C共线?=λ(向量共线且有公共点才能得出三点共线).
(2)点P为线段AB的中点,O为平面内任意一点?=(+).
(3)平面上三点A,B,C共线,O为不同于A,B,C的任意一点?=λ+μ且λ+μ=1.
类型二 证明等式、求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】PQ过△OAB的重心G,且=m,=n.
求证:+=3.
四步
内容
理解题意
三角形的重心指的是三角形中线的交点,且满足重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍.
思路探求
由P,G,Q共线,可得=λ+(1-λ),由重心性质可得==(+),再利用向量基本定理即可得出.
书写表达
如图所示,设=a,=b,因为三点P,G,Q共线,所以=λ+(1-λ)=λma+(1-λ)nb,由重心性质定理可得==(+)=(a+b),所以+=3λ+3(1-λ)=3.
题后反思
本题考查了向量共线定理、重心性质定理、向量基本定理,考查了推理能力与计算能力.
向量法证明等式
向量法证明等式的关键是熟练掌握条件的向量等价表达式,常常借助三角形的性质(例如:中线,重心等)及向量基本定理.
如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折叠,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积.
【解析】如图,建立坐标系,设E(e,0),AM交EF于点N,由正方形面积为64,可得边长为8,由题意可得M(8,4),N是AM的中点,故N(4,2).
所以=(8,4),=-=(4,2)-(e,0)=(4-e,2),因为⊥,所以8(4-e)+4×2=0,解得e=5,即AE=5,所以S△AEM=AE·BM=10.
类型三 证明位置关系(逻辑推理)
角度1 证明平行关系?
【典例】证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形.
已知:如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
【思路导引】要证平行四边形,只需证一组对边平行且相等,即它们所对应的向量相等.
【证明】连接AC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以=+=+
=(+)=,同理=,
所以=,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.
角度2 证明垂直关系?
【典例】证明直径所对的圆周角是直角.
已知:如图所示,已知☉O,AB为直径,C为☉O上任意一点.
求证:∠ACB=90°.
【思路导引】要证∠ACB=90°,只需证向量⊥,即·=0.
【证明】连接CO,设=a,=b,则=a+b,=a-b,
由此可得·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=r2-r2=0.
即·=0,即∠ACB=90°.
1.向量共线的相关结论
(1)a与b共线?a=λb(λ∈R,b≠0).
(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.
2.向量垂直的相关结论
(1)数量积:a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0).
(2)坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
1.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为(-)·(+-2)=0,所以·(+)=0,所以⊥(+),所以△ABC的中线和底边垂直,所以△ABC是等腰三角形.
2.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接DP,EF.求证:DP⊥EF.
【证明】以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系.
设正方形边长为1,则=(1,0),=(0,1).
由已知,可设=(a,a),并可得=(1-a,0),=(0,a),=(1-a,a),=-=(a,a-1).因为·=(a,a-1)·(1-a,a)
=(1-a)·a+a·(a-1)=0,所以⊥,故DP⊥EF.
3.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB.
求证:AC⊥BC.
【证明】如图,建立平面直角坐标系.
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
所以=(-1,1),=(1,1),
所以·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,
所以⊥,即AC⊥BC.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC( )
A.是正三角形
B.是直角三角形
C.是等腰三角形
D.形状无法确定
【解析】选C.因为(+)·(-)=-=0,所以||=||,即CA=CB,故△ABC是等腰三角形.
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是( )
A.2
B.
C.3
D.
【解析】选B.因为BC的中点为D,=,所以||=.
3.(教材二次开发:习题改编)在Rt△ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC外一点,点P满足=+(+),则等于( )
A.2
B.1
C.
D.4
【解析】选B.因为=+(+),
所以-=(+),=(+),
所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线,所以||=1.
4.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.
求证:AF⊥DE.
【证明】如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).
因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以⊥,即AF⊥DE.
课时素养评价
二十六 向量在几何证明中的应用
(15分钟 30分)
1.已知△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形状为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为a·b=·=||·||cos
A<0,所以A为钝角,故△ABC为钝角三角形.
2.在四边形ABCD中,=,且||=||,那么四边形ABCD为( )
A.平行四边形
B.菱形
C.长方形
D.正方形
【解析】选B.由=可知,该四边形为平行四边形,又由||=||知邻边相等,故该四边形为菱形.
3.△ABC顶点为A(a,0),B(-a,0),C(asin
θ,acos
θ),则△ABC为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.依题意可知a≠0,=(asin
θ-a,acos
θ),=(asin
θ+a,acos
θ),与不恒等,所以·=(asin
θ)2-a2+(acos
θ)2=a2(sin2θ+
cos2θ)-a2=0,所以⊥,所以△ABC是直角三角形.
4.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=________;·=________.?
【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以=(2,0),=(2,2),
=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=,又=(0,-1),所以·=-1.
答案: -1
5.在△ABC所在的平面内有一点P,如果2+=-,那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是________.?
【解析】因为2+=-=+=,所以2+-=3+=0,
所以点P在边AC上,且3|PA|=|PC|,所以=,如图,
设△ABC中AC边上的高为h,所以===.
答案:
6.求证:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.
【证明】因为=(4,-2),=(3,6),=(4,-2),=,=(3,6)不为零向量,
且不与平行,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.因为·=0,⊥,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若在△ABC中AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.由|+|=,得+2·+=2,因为AB=AC=1,所以·=0,即AB⊥AC,所以△ABC为等腰直角三角形.
【补偿训练】
已知非零向量与满足·=0,且||=||,则△ABC为
( )
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.三边均不相等的三角形
【解析】选A.不妨设=+,即为∠BAC平分线所在直线上的向量,
又⊥,所以AB=AC,又=≠,所以△ABC为等腰非等边三角形.
2.已知△ABC为等腰三角形,满足AB=AC=,BC=2,若P为底BC上的动点,则·(+)=( )
A.有最大值8
B.是定值2
C.有最小值1
D.是定值4
【解析】选D.设AD是等腰三角形的高,长度为=.故·=
·2=2+2·=2=2×=4.
3.已知O是平面上一定点,满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心
【解析】选B.因为=+λ(+),所以-=
λ(+),
即=λ,
因为cos
B=,cos
C=,
所以·=-+=0,
所以与λ垂直,
即⊥,所以点P在BC的高线上,即P的轨迹过△ABC的垂心.
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为两边的三角形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为邻边的平行四边形的面积
【解析】选A.由题意可以画出图形:记=a,=b,=c,=θ.
因为这三个向量的起点相同,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,利用向量的数量积定义,可得|b·c|=||b|·|c|cos|=|OB|·|OC||cos
θ|=|OB|·|OA|
sin
∠AOB,
因为S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB,所以|b·c|等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.
【误区警示】不作示意图,从而将角混淆.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,则·的可能值有( )
A.-2 B.-1 C.2 D.3
【解析】选CD.设=t(0≤t≤1),则=(1-t)因为=-=-(1-t),
所以·=[-(1-t)]·t=t·-t(1-t)=2×2t·cos45°-t(1-t)×=8t2-4t=8-,
因为0≤t≤1,所以-≤·≤4,故2,3为可能取的值.
6.下列命题中正确的是( )
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.对于非零向量a,b,c,若a·(b-c)=0,则b=c
C.已知A,B,C是平面内任意三点,则++=0
D.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为等腰三角形
【解析】选CD.选项A中,向量不能比较大小,故错误;选项B中,由a·(b-c)=0,可得b=c或a⊥(b-c),故错误;选项C中,++=+=0,故正确;选项D中,(-)·(+-2)=·(+)=(-)·(+)=||2-||2=0,所以||=||,故△ABC为等腰三角形,正确.
【光速解题】本题中AB易判断错误,则可直接选CD.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的______心.?
【解题指南】根据向量数量积的运算律可整理出·=0,即OB⊥AC;同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知O为垂心.
【解析】因为·=·,所以·=0,即·=0,
所以OB⊥AC,同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,
所以点O为△ABC的垂心.
答案:垂
【补偿训练】
过△ABC内一点M任作一条直线,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的________心.?
【解析】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过△ABC内一点M任作一条直线,可将此直线特殊为过点A,则=0,有+=0.
如图,则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
答案:重
8.已知P是△ABC的边BC上任一点,且满足=x+y,x,y∈R,则+的最小值是____.?
【解析】因为点P落在△ABC的边BC上,所以B,P,C三点共线,所以x+y=1.故+=(x+y)=++5≥4+5=9,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为9.
答案:9
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点.
求证:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.
【证明】以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图.令||=1,则||=1,||=2,因为CE⊥AB,AD=DC,所以四边形AECD为正方形,所以各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)因为=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以=,即DE∥BC.
(2)因为M为EC的中点,所以M(0,),所以=(-1,1)-(0,)=(-1,),=(1,0)-(0,)=(1,-),所以=-,
所以∥.
又与有公共点,所以D,M,B三点共线.
10.四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
【解析】因为a·b=b·c,所以b·(a-c)=0,即b⊥(a-c).同理d⊥(a-c),所以b∥d,同理a∥c,所以四边形ABCD是平行四边形.所以a=-c,故b·(a-c)=b·2a=0,所以a·b=0,故该四边形为矩形.
在△ABC所在平面内有一点H满足+=+=+,则H点是△ABC的________.?
【解析】因为=-,=-,=-,
所以+=+,
整理得·(-)=0,·=0,即AB⊥HC;同理可得AC⊥HB,BC⊥HA.
所以可知H为垂心.
答案:垂心
【补偿训练】
设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.(1)试用向量证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【解析】(1)因为Q为BD中点,所以+=2,
又因为P为AC中点,所以=2;
所以2=2-2=(+)-=++=+.
又向量与共线,设向量=λ,则2=(1+λ),所以=. ①
又梯形ABCD中,||≠||,所以λ≠-1,
所以∥,即PQ∥AB.
(2)因为向量与反向,且||=3||,所以=-3,即λ=-,代入①式,得==,所以PQ∶AB=1∶3.
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二、向量在物理中的应用举例
新课程标准
学业水平要求
通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型,掌握利用向量研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
★水平一1.用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学等的相关问题(数学抽象)2.体会向量在解决物理中相关问题的工具性特点.(数学建模)★水平二通过对具体问题的探究解决,进一步提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的作用.(数学建模、逻辑推理)
关键能力·合作学习
类型一 向量的线性运算在物理中的应用(数学抽象、数学运算)
1.已知作用在坐标原点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则作用在原点的合力F=F1+F2+F3的坐标为( )
A.(8,0)
B.(8,8)
C.(-2,0)
D.(-2,8)
2.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10
N,则每根绳子的拉力大小为________N.?
【解析】1.选A.F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),故F=F1+F2+F3=(3+2+3,4-5+1)=(8,0).
2.设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|,所以|F1|=|F2|=|G|=10
N,所以每根绳子的拉力都为10
N.
答案:10
利用向量法解决物理问题的两种思路
(1)几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.
【补偿训练】
河水自西向东流动的速度为10
km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度为10
km/h,求小船的实际航行速度.
【解析】设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作=a,=b,以,为邻边作矩形OACB,连接OC,如图,则=a+b,则即为小船的实际航行速度.
所以||===20(km/h),
tan
∠AOC==,所以∠AOC=60°,
所以小船的实际航行速度为20
km/h,按北偏东30°的方向航行.
类型二 向量的数量积在物理中的应用(数学建模、逻辑推理)
【典例】一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________;?
【思路导引】求出合力、位移的坐标表示→利用数量积求功
【解析】因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),
=(-1,4),则F·=-1×8-8×4=-40,
即三个力的合力所做的功为-40.
答案:-40
向量的数量积与物理中的功的联系
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向量的数量积.
质量m=2.0
kg的木块,在平行于斜面向上的拉力|F|=10
N的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行=2.0
m的距离.(g=9.8
N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少?
【解析】(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力N,如图所示.
拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos
0°=20(J);
支持力N与位移方向垂直,不做功,所以WN=N·s=0;重力G对物体所做的功为WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=|mg|·|s|cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).
课堂检测·素养达标
1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40
m/s,则鹰的飞行速度为( )
A.
m/s
B.
m/s
C.
m/s
D.
m/s
【解析】选C.设影子速度为v1,实际速度v2.如图,||=|v1|=40,且∠CAB=30°,则||=|v2|=.
2.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1,风速为v2(|v1|>|v2|),则逆风行驶的速度大小为( )
A.v1+v2
B.v1-v2
C.|v1|+|v2|
D.|v1|-|v2|
【解析】选D.选项A,B表示的是向量(速度),选项C,D表示的是向量模的运算(速度的大小),其中|v1|+|v2|表示的是某人骑自行车顺风行驶时的速度大小,|v1|
-|v2|表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度大小.
3.已知F=(2,3)作用一物体,使物体从A(2,0)移动到B(4,0),则力F对物体做的功为________.?
【解析】根据题意,力F对物体做的功为W=F·=(2,3)·(4-2,0-0)=2×2+3×0
=4.
答案:4
4.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4
m/s,现在有风,风使雨滴以
m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度大小.
【解析】如图.
用表示无风时雨滴下落的速度,表示风使雨滴水平向东的速度,以OA,OB为邻边作矩形OACB,就是雨滴下落的实际速度.在Rt△ABC中,||=4,||=,所以===.
课时素养评价
二十七 向量在物理中的应用举例
(15分钟 30分)
1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两力大小都为5
N,则两个力的合力大小为( )
A.10
N
B.0
N
C.5
N
D.
N
【解析】选C.根据向量加法的平行四边形法则,合力F的大小为×5=
5
N.
2.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡需要增加力F3,则力F3的大小为( )
A.(3,4)
B.(-3,-4)
C.5
D.25
【解析】选C.由题意有F3=-(F1+F2)=-(1+2,1+3)=(-3,-4),所以|F3|=5.
3.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400
N,则该学生的体重(单位:kg)约为( )
(参考数据:取重力加速度大小为g=10
m/s2,≈1.732)
A.63 B.69 C.75 D.81
【解析】选B.由题意知,F1=F2=400
N,夹角θ=60°,所以G+F1+F2=0,即G=-(F1+F2);
所以G2=(F1+F2)2,
=4002+2×400×400×cos
60°+4002=3×4002,|G|=400(N),
则该学生的体重(单位:kg)约为40≈40×1.732≈69(kg).
4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20
N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为( )
A.10
N
B.10
N
C.20
N
D.10
N
【解析】选A.设力F1,F2的对应向量分别为,,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB.如图,则=+,对应力F1,F2的合力.
因为F1,F2的夹角为90°,所以四边形OACB是矩形,在Rt△OAC中,∠COA=
30°,||=20,所以||=||cos
30°=10.
5.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.假设一艘船从长江南岸A点出发,以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2
km/h.若这一段江面的宽度为25km,则该船航行到对岸实际航行的距离为________km.?
【解析】由题意,船垂直于对岸方向的速度为5
km/h,江面宽25
km,则船航行所需时间t==5
h,又江水的速度为2
km/h,所以该船航行的合速度为=
km/h,所以轮渡实际航行的距离为5
km.
答案:5
6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20
km/h,此时水的流向是正东,流速为20
km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度大小与方向.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=
20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h).
设帆船行驶的速度为v1,则v=v1+v2.
由题意可得向量v1=(20cos
60°,20sin
60°)=(10,10),向量v2=(20,0),则帆船的行驶速度为v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),
所以|v|==20(km/h).
因为tan
α==(α为v和v2的夹角,且为锐角),所以α=30°,所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度为20km/h.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.用力F推动一物体水平运动s
m,设F与水平面的夹角为θ,则对物体所做的功为( )
A.|F|·s
B.Fcos
θ
C.F·s·sin
θ
D.|F|·scos
θ
【解析】选D.根据物体做功的意义可知,物体做功指的是运动方向上的,故分力大小|F|cos
θ,故做的功为|F|·s
cos
θ.
2.共点力F1=(lg
2,lg
2),F2=(lg
5,lg
2)作用在物体上,产生的位移s=(2lg
5,1),则共点力对物体做的功W为( )
A.lg
2 B.lg
5 C.1 D.2
【解析】选D.F1+F2=(1,2lg
2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg
2)·(2lg
5,1)=2lg
5+2lg
2=2.
3.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为( )
A.6
B.2
C.8
D.2
【解析】选D.根据题意,得|F3|=|F1+F2|=
==2,所以F3的大小为2.
4.河水的流速为5
m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12
m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )
A.13
m/s
B.12
m/s
C.17
m/s
D.15
m/s
【解析】选A.设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2,v1与v2的合速度为v.因为为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,即小船在静水中的速度v1斜向上游方向,河水速度v2平行于河岸,合速度v指向对岸,所以静水速度|v1|=
==13(m/s).
【误区警示】作出示意图可以较好地避免方向错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在日常生活中,我们会看到如图所示的情景,两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.下列结论正确的是( )
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的范围为
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
【解析】选AD.对于A,由|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos
θ=(1+cos
θ),解得|F1|2=,
由题意知θ∈(0,π)时,y=cos
θ单调递减,所以单调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力,故正确.对于B,由题意知,θ的取值范围是(0,π),故错误.对于C,当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故错误.对于D,当θ=时,|F1|2=
|G|2,所以|F1|=|G|,故正确.
6.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
【解析】选AC.设水的阻力为f,绳子的拉力为F,F与水平方向夹角为θ(0<θ<),则|F|cos
θ=|f|,所以|F|=.
因为θ增大,cos
θ减小,所以增大.
因为sin
θ增大,所以船的浮力减小.
【光速解题】根据题意可知,受力方向与运动方向角越大,力越大;向上的力越大,浮力越小.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知一个物体在大小为6
N的力F的作用下产生的位移s的大小为100
m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________J.?
【解析】W=F·s=|F||s|cos
60°=6×100×cos
60°=300(J).
答案:300
【补偿训练】
一个重20
N的物体从倾斜角为θ,斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端,若重力做的功是10
J,则θ=______.?
【解析】因为WG=G·s=|G|·|s|·cos(90°-θ)=20×1×cos(90°-θ)=10
J,
所以cos(90°-θ)=,所以θ=30°.
答案:30°
8.如图所示,两根绳子把质量为1
kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计,g=10
m/s2),绳子在A,B处与铅垂方向的夹角分别为30°,60°,则绳子AC和BC的拉力大小分别为______,________.?
【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为f1,f2,物体的重力用f表示,则|f|=10
N,f1+f2=-f,如图,以C为起点,=-f1,=-f2,=f,则∠ECG=30°,∠FCG=60°,
所以||=||cos
30°=10×=5,||=||cos
60°=10×=5,所以绳子AC的拉力大小为5
N,绳子BC的拉力大小为5
N.
答案:5
N 5
N
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.A,B两车相距20
m,A在前B在后,沿同一方向运动,A车以2
m/s的速度作匀速直线运动,B车以大小为2.5
m/s2的加速度作匀减速直线运动,若要B追上A,则B的初速度应满足什么条件?
【解析】设B的初速度为v0,要使B追上A,应满足v0t-·2.5·t2≥2t+20即t2+(2-v0)t+20≤0;
所以Δ=(2-v0)2-4××20≥0,即-4v0-96≥0,解得v0≤-8或v0≥12,所以B的初速度应大于或等于12
m/s.
10.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8
m.已知|F1|=2
N,方向为北偏东30°;|F2|=4
N,方向为东偏北30°;|F3|=6
N,方向为西偏北60°,求这三个力的合力F所做的功.
【解析】
以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,建立直角坐标系.
则由已知可得=(1,),=(2,2),=(-3,3).
所以=++=(2-2,4+2).
又位移=(4,4),
所以·=(2-2)×4+(4+2)×4=24(J).
如图,有一端B固定的细绳BOA,在与水平面成30°角的OA方向上作用着一个大小为100
N的力,此时BO呈水平状,而点O所吊起的砝码静止,求这个砝码的质量,作用在OB方向上的力有多大?(g=10
N/kg)
【解析】由题意作出受力分析如图:
力与力在水平方向上的分力是一对平衡力,所以||=||cos
30°=100×=50
N,物体的重力G与竖直方向上的分力是一对平衡力,所以|G|=100×sin
30°=50
N,故砝码质量为5
kg.
【补偿训练】
在长江南岸某渡口处,江水以12.5
km/h的速度向东流,渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直渡过长江,其航向应如何确定?
【解析】如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.
因为+=,所以四边形ABCD是平行四边形.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°,即渡船要垂直渡过长江,其航向应为北偏西30°.
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6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
一、向量在几何证明中的应用
关键能力·合作学习
类型一 证明三点共线、三线共点(逻辑推理)
【题组训练】
1.如图,已知△ABC两边AB,AC的中点分别为M,N,在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q,使MQ=CM.
求证:P,A,Q三点共线.
2.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且
=
=
.
求证:点E,O,F在同一直线上.
3.已知D,E,F分别为△ABC三边BC,AC,AB的中点.
求证:AD,CF,BE相交于一点.
【证明】1.设
则
由此可得
所以
故
故
且它们有公共点A,所
以P,A,Q三点共线.
2.设
由
知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以
又O为
和
的公共点,所以点E,O,F在同一条直线上.
3.设
=a,
=b,直线AD,BE交于点G.设
=λ
,
=μ
,则
=
+
=(b-a)+μ
=(b-a)+μ
=b-a+μ
=(
μ-1)a+(1-μ)b,
又
=λ
=λ(
+
)=λ
=
-λa+
λb,所以
解得
则
又因为
所以
所以G在中线CF上,所以AD,CF,BE相交于一点.
【解题策略】
三点共线的证明
(1)平面上三点A,B,C共线?
=λ
(向量共线且有公共点才能得出三点共
线).
(2)点P为线段AB的中点,O为平面内任意一点?
.
(3)平面上三点A,B,C共线,O为不同于A,B,C的任意一点?
且λ+μ=1.
类型二 证明等式、求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】PQ过△OAB的重心G,且
求证:
【解题策略】
向量法证明等式
向量法证明等式的关键是熟练掌握条件的向量等价表达式,常常借助三角形的性质(例如:中线,重心等)及向量基本定理.
【跟踪训练】
如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折叠,使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积.
【解析】如图,建立坐标系,设E(e,0),AM交EF于点N,由正方形面积为64,可得边
长为8,由题意可得M(8,4),N是AM的中点,故N(4,2).
所以
因为
所以8(4-e)+4×2=0,
解得e=5,即AE=5,所以S△AEM=
AE·BM=10.
类型三 证明位置关系(逻辑推理)
角度1 证明平行关系?
【典例】证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形.
已知:如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
【思路导引】要证平行四边形,只需证一组对边平行且相等,即它们所对应的向
量相等.
【证明】连接AC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以
同理
所以
,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.
角度2 证明垂直关系?
【典例】证明直径所对的圆周角是直角.
已知:如图所示,已知☉O,AB为直径,C为☉O上任意一点.
求证:∠ACB=90°.
【思路导引】要证∠ACB=90°,只需证向量
⊥
,即
·
=0.
【证明】连接CO,设
由此可得
即
·
=0,即∠ACB=90°.
【解题策略】
1.向量共线的相关结论
(1)a与b共线?a=λb(λ∈R,b≠0).
(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.
2.向量垂直的相关结论
(1)数量积:a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0).
(2)坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0.
【题组训练】
1.若O为△ABC所在平面内一点,且满足(
-
)·(
+
-2
)=0,则△ABC
的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为
所以
所以
所以△ABC的中线和底边垂直,所以△ABC是等腰三角形.
2.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接DP,EF.求证:DP⊥EF.
【证明】以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系.
设正方形边长为1,则
由已知,可设
并可得
因为
所以
⊥
,故DP⊥EF.
3.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=
AB.
求证:AC⊥BC.
【证明】如图,建立平面直角坐标系.
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
所以
=(-1,1),
=(1,1),
所以
·
=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,
所以
⊥
,即AC⊥BC.
1.在△ABC中,若(
+
)·(
-
)=0,则△ABC( )
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形
D.形状无法确定
【解析】选C.因为
所以|
|=|
|,即CA=CB,故△ABC是等腰三角形.
课堂检测·素养达标
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是( )
【解析】选B.因为BC的中点为D
,
,所以
.
3.(教材二次开发:习题改编)在Rt△ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC外一点,点
P满足
则
等于( )
A.2
B.1
C.
D.4
【解析】选B.因为
所以
所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线,所以|
|=1.
4.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.
求证:AF⊥DE.
【证明】如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
=(2,1),
=(1,-2).
因为
·
=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以
⊥
,即AF⊥DE.
二十六 向量在几何证明中的应用
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.已知△ABC中,
=a,
=b,且a·b<0,则△ABC的形状为
( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
课时素养评价
【解析】选A.因为a·b=
·
=|
|·|
|cos
A<0,所以A为钝角,故△ABC
为钝角三角形.
2.在四边形ABCD中,
=
,且|
|=|
|,那么四边形ABCD为( )
A.平行四边形
B.菱形
C.长方形
D.正方形
【解析】选B.由
=
可知,该四边形为平行四边形,又由|
|=|
|知
邻边相等,故该四边形为菱形.
3.△ABC顶点为A(a,0),B(-a,0),C(asin
θ,acos
θ),则△ABC为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.依题意可知a≠0,
=(asin
θ-a,acos
θ),
=(asin
θ+a,
acos
θ),
与
不恒等,所以
·
=(asin
θ)2-a2+(acos
θ)2
=a2(sin2θ+cos2θ)-a2=0,所以
⊥
,所以△ABC是直角三角形.
4.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足
=
(
+
),
则|
|=________;
·
=________.?
【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以
=(2,0),
=(2,2),
=(2,1),P(2,1),
=(-2,1),|
|=
,又
=(0,-1),所
以
·
=-1.
答案:
-1
5.在△ABC所在的平面内有一点P,如果
,那么△PBC的面积与
△ABC的面积之比是________.?
【解析】因为
所以
所以点P在边AC上,且3|PA|=|PC|,所以
,如图,
设△ABC中AC边上的高为h,所以
答案:
6.求证:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.
【证明】因为
=(4,-2),
=(3,6),
=(4,-2),
=
,
=(3,6)
不为零向量,且不与
平行,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
因为
·
=0,
⊥
,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若在△ABC中AB=AC=1,|
+
|=
,则△ABC的形状是
( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选D.由|
+
|=
,
得
,因为AB=AC=1,所以
·
=0,即AB⊥AC,所以
△ABC为等腰直角三角形.
【补偿训练】
已知非零向量
与
满足
且
则△ABC为( )
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.三边均不相等的三角形
【解析】选A.不妨设
即
为∠BAC平分线所在直线上的向量,
又
⊥
,所以AB=AC,又
所以△ABC为等腰非等边三角形.
2.已知△ABC为等腰三角形,满足AB=AC=
,BC=2,若P为底BC上的动点,则=
( )
A.有最大值8
B.是定值2
C.有最小值1
D.是定值4
【解析】选D.设AD是等腰三角形的高,长度为
=
.故
3.已知O是平面上一定点,满足
λ∈[0,+∞),则P
的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心
【解析】选B.因为
所以
即
因为cos
B=
cos
C=
所以
所以
垂直,
即
⊥
,所以点P在BC的高线上,即P的轨迹过△ABC的垂心.
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为两边的三角形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为邻边的平行四边形的面积
【解析】选A.由题意可以画出图形:记
=a,
=b,
=c,=θ.
因为这三个向量的起点相同,且满足a与b不共线,
a⊥c,|a|=|c|,利用向量的数量积定义,可得|b·c|=
||b|·|c|cos|=|OB|·|OC||cos
θ|=
|OB|·|OA|sin
∠AOB,
因为S△AOB=
|OA|·|OB|sin∠AOB,所以|b·c|等于以a,b为邻边的平行四边形的
面积.
【误区警示】不作示意图,从而将角混淆.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2
,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,
则
·
的可能值有
( )
A.-2
B.-1
C.2
D.3
【解析】选CD.设
因为
所以
因为0≤t≤1,所以-
≤
·
≤4,故2,3为可能取的值.
6.下列命题中正确的是
( )
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.对于非零向量a,b,c,若a·(b-c)=0,则b=c
C.已知A,B,C是平面内任意三点,则
D.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足
则△ABC为等腰三角形
【解析】选CD.选项A中,向量不能比较大小,故错误;选项B中,由a·(b-c)=0,
可得b=c或a⊥(b-c),故错误;选项C中,
故正确;选项D
中,
所以故△ABC为等腰三角形,正确.
【光速解题】本题中AB易判断错误,则可直接选CD.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.点O是△ABC所在平面内的一点,满足
则点O是△ABC
的______心.?
【解题指南】根据向量数量积的运算律可整理出
·
=0,即OB⊥AC;同理
可得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知O为垂心.
【解析】因为
所以
即
·
=0,
所以OB⊥AC,同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,
所以点O为△ABC的垂心.
答案:垂
【补偿训练】
过△ABC内一点M任作一条直线,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为
D,E,F,若
恒成立,则点M是△ABC的________心.?
【解析】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过△ABC内一点M任作一条直线,可将此直线
特殊为过点A,则
=0,有
+
=0.
如图,则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM
经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
答案:重
8.已知P是△ABC的边BC上任一点,且满足
,x,y∈R,则
的最小值是____.?
【解析】因为点P落在△ABC的边BC上,所以B,P,C三点共线,所以x+y=1.故
当且仅当
即x=
,y=
时取等号,
所以
的最小值为9.
答案:9
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点.
求证:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.
【证明】以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
如图.令|
|=1,则|
|=1,|
|=2,因为CE⊥AB,AD=DC,所以四边形AECD为
正方形,所以各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1)因为
=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以
=
,即DE∥BC.
(2)因为M为EC的中点,所以M(0,
),所以
=(-1,1)-(0,
)=(-1,
),
=(1,0)-(0,
)=(1,-
),所以
=-
,所以
∥
.
又
与
有公共点,所以D,M,B三点共线.
10.四边形ABCD中,
=a,
=b,
=c,
=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,
试问四边形ABCD是什么图形?
【解析】因为a·b=b·c,所以b·(a-c)=0,即b⊥(a-c).同理d⊥(a-c),所以b∥d,同
理a∥c,所以四边形ABCD是平行四边形.所以a=-c,故b·(a-c)=b·2a=0,所以a·b=0,
故该四边形为矩形.
【创新迁移】
在△ABC所在平面内有一点H满足
则H点是△ABC的________.?
【解析】因为
所以
整理得
即AB⊥HC;同理可得AC⊥HB,BC⊥HA.
所以可知H为垂心.
答案:垂心
【补偿训练】
设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.(1)试用向量证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【解析】(1)因为Q为BD中点,所以
又因为P为AC中点,所以
所以
又向量
与
共线,设向量
则
所以
又梯形ABCD中,
所以λ≠-1,
所以
∥
,即PQ∥AB.
(2)因为向量
与
反向,且
所以
即λ=-
,代入①式,得
所以PQ∶AB=1∶3.(共51张PPT)
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
二、向量在物理中的应用举例
关键能力·合作学习
类型一 向量的线性运算在物理中的应用(数学抽象、数学运算)
【题组训练】
1.已知作用在坐标原点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则作用在原点的合力F=F1+F2+F3的坐标为( )
A.(8,0)
B.(8,8)
C.(-2,0)
D.(-2,8)
2.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重10
N,则每根绳子的拉力大小为________N.?
【解析】1.选A.F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),故F=F1+F2+F3=(3+2+3,4-5+1)
=(8,0).
2.设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且
|F1|=|F2|,
所以|F1|=|F2|=|G|=10
N,所以每根绳子的拉力都为10
N.
答案:10
【解题策略】
利用向量法解决物理问题的两种思路
(1)几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.
【补偿训练】
河水自西向东流动的速度为10
km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水
中的速度为10
km/h,求小船的实际航行速度.
【解析】设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点O作
=a,
=b,以
,
为邻边作矩形OACB,连接OC,如图,则
=a+b,则
即
为小船的实际航行速度.
所以
所以∠AOC=60°,
所以小船的实际航行速度为20
km/h,按北偏东30°的方向航行.
类型二 向量的数量积在物理中的应用(数学建模、逻辑推理)
【典例】一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________;?
【思路导引】
【解析】因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),
=(-1,4),则F·
=-1×8-8×4=-40,
即三个力的合力所做的功为-40.
答案:-40
【解题策略】
向量的数量积与物理中的功的联系
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是向量的数量积.
【跟踪训练】
质量m=2.0
kg的木块,在平行于斜面向上的拉力|F|=10
N的作用下,沿倾斜角
θ=30°的光滑斜面向上滑行
=2.0
m的距离.(g=9.8
N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少?
【解析】(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力N,如图所示.
拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为
WF=F·s=|F||s|cos
0°=20(J);
支持力N与位移方向垂直,不做功,所以WN=N·s=0;
重力G对物体所做的功为
WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=|mg|·|s|cos(90°+θ)=-19.6(J).
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4(J).
1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直
照下来,鹰在地面上的影子的速度是40
m/s,则鹰的飞行速度为( )
【解析】选C.设影子速度为v1,实际速度v2.如图,
|
|=|v1|=40,且∠CAB=30°,则|
|=|v2|=
.
课堂检测·素养达标
2.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1,风速为v2(|v1|>|v2|),则逆风行驶的速度大小为( )
A.v1+v2
B.v1-v2
C.|v1|+|v2|
D.|v1|-|v2|
【解析】选D.选项A,B表示的是向量(速度),选项C,D表示的是向量模的运算(速度的大小),其中|v1|+|v2|表示的是某人骑自行车顺风行驶时的速度大小,|v1|-|v2|表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度大小.
3.已知F=(2,3)作用一物体,使物体从A(2,0)移动到B(4,0),则力F对物体做的功
为________.?
【解析】根据题意,力F对物体做的功为W=F·
=(2,3)·(4-2,0-0)=2×2+3×
0=4.
答案:4
4.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4
m/s,现
在有风,风使雨滴以
m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度大小.
【解析】如图.
用
表示无风时雨滴下落的速度,
表示风使
雨滴水平向东的速度,以OA,OB为邻边作矩形OACB,
就是雨滴下落的实际速度.在Rt△ABC中,
所以
二十七 向量在物理中的应用举例
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两力大小都为5
N,则两个力的
合力大小为
( )
A.10
N
B.0
N
C.5
N
D.
N
课时素养评价
【解析】选C.根据向量加法的平行四边形法则,合力F的大小为
×5
=
5
N.
2.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡需要增加力F3,则力F3的大小为( )
A.(3,4)
B.(-3,-4)
C.5
D.25
【解析】选C.由题意有F3=-(F1+F2)=-(1+2,1+3)=(-3,-4),所以|F3|=5.
3.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,
处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均
为400
N,则该学生的体重(单位:kg)约为
( )
(参考数据:取重力加速度大小为g=10
m/s2,
≈1.732)
A.63 B.69 C.75 D.81
【解析】选B.由题意知,F1=F2=400
N,夹角θ=60°,所以G+F1+F2=0,
即G=-(F1+F2);
所以G2=(F1+F2)2,
=4002+2×400×400×cos
60°+4002=3×4002,|G|=400
(N),
则该学生的体重(单位:kg)约为40
≈40×1.732≈69(kg).
4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20
N,合力与F1的夹角为
30°,那么F1的大小为
( )
A.10
N
B.10
N
C.20
N
D.10
N
【解析】选A.设力F1,F2的对应向量分别为
,
,以OA,OB为邻边作平行四
边形OACB.如图,则
=
+
,对应力F1,F2的合力.
因为F1,F2的夹角为90°,所以四边形OACB是矩形,在Rt△OAC中,∠COA=30°,
|
|=20,所以|
|=|
|cos
30°=10
.
5.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.假设一艘船从长江南岸A点出发,以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东
2
km/h.若这一段江面的宽度为25km,则该船航行到对岸实际航行的距离为________km.?
【解析】由题意,船垂直于对岸方向的速度为5
km/h,江面宽25
km,则船航行所
需时间t=
=5
h,又江水的速度为2
km/h,所以该船航行的合速度为
=
km/h,所以轮渡实际航行的距离为5
km.
答案:5
6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20
km/h,此时水的流向是正东,流速为20
km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度大小与方向.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为
|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h).
设帆船行驶的速度为v1,则v=v1+v2.
由题意可得向量v1=(20cos
60°,20sin
60°)=
(10,10
),向量v2=(20,0),则帆船的行驶速度为
v=v1+v2=(10,10
)+(20,0)=(30,10
),
所以|v|=
因为tan
α=
=
(α为v和v2的夹角,且为锐角),所以α=30°,所以帆船
向北偏东60°的方向行驶,速度为20
km/h.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.用力F推动一物体水平运动s
m,设F与水平面的夹角为θ,则对物体所做的功
为
( )
A.|F|·s
B.Fcos
θ
C.F·s·sin
θ
D.|F|·scos
θ
【解析】选D.根据物体做功的意义可知,物体做功指的是运动方向上的,故分力
大小|F|cos
θ,故做的功为|F|·s
cos
θ.
2.共点力F1=(lg
2,lg
2),F2=(lg
5,lg
2)作用在物体上,产生的位移s=
(2lg
5,1),则共点力对物体做的功W为
( )
A.lg
2 B.lg
5 C.1 D.2
【解析】选D.F1+F2=(1,2lg
2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg
2)·(2lg
5,1)=
2lg
5+2lg
2=2.
3.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已
知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为
( )
A.6
B.2
C.8
D.2
【解析】选D.根据题意,得|F3|=|F1+F2|=
所以F3的大小为2
.
4.河水的流速为5
m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12
m/s的速度驶向对岸,
则小船在静水中的速度大小为
( )
A.13
m/s
B.12
m/s
C.17
m/s
D.15
m/s
【解析】选A.设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2,v1与v2的合速度为v.
因为为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,即小船在静水中的速度v1斜
向上游方向,河水速度v2平行于河岸,合速度v指向对岸,所以静水速度|v1|=
=
【误区警示】作出示意图可以较好地避免方向错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.在日常生活中,我们会看到如图所示的情景,两个人共提一个行李包.假设行
李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与
F2的夹角为θ.下列结论正确的是( )
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的范围为
C.当θ=
时,|F1|=|G|
D.当θ=
时,|F1|=|G|
【解析】选AD.对于A,由|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|
|F2|cos
θ=
(1+cos
θ),解得|F1|2=
,由题意知θ∈(0,π)时,
y=cos
θ单调递减,所以
单调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力,故正确.
对于B,由题意知,θ的取值范围是(0,π),故错误.对于C,当θ=
时,|F1|2=
,所以|F1|=
|G|,故错误.对于D,当θ=
时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=
|G|,故正确.
6.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法正确的是
( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小
D.船的浮力保持不变
【解析】选AC.设水的阻力为f,绳子的拉力为F,F与水平方向夹角为
θ(0<θ<
),则|F|cos
θ=|f|,所以|F|=
.
因为θ增大,cos
θ减小,所以
增大.
因为
sin
θ增大,所以船的浮力减小.
【光速解题】根据题意可知,受力方向与运动方向角越大,力越大;向上的力越
大,浮力越小.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知一个物体在大小为6
N的力F的作用下产生的位移s的大小为100
m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W=________J.?
【解析】W=F·s=|F||s|cos
60°=6×100×cos
60°=300(J).
答案:300
【补偿训练】
一个重20
N的物体从倾斜角为θ,斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端,若重
力做的功是10
J,则θ=______.?
【解析】因为WG=G·s=|G|·|s|·cos(90°-θ)=20×1×cos(90°-θ)=10
J,
所以cos(90°-θ)=
,所以θ=30°.
答案:30°
8.如图所示,两根绳子把质量为1
kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计,g=10
m/s2),绳子在A,B处与铅垂方向的夹角分别为30°,60°,则绳子AC和BC的拉力大小分别为______,________.?
【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为f1,f2,物体的重力用f表示,则|f|=10
N,
f1+f2=-f,如图,以C为起点,
=-f1,
=-f2,
=f,则∠ECG=30°,∠FCG=
60°,所以|
|=|
|cos
30°=10×
=5
,|
|=|
|cos
60°
=10×
=5,所以绳子AC的拉力大小为5
N,绳子BC的拉力大小为5
N.
答案:5
N 5
N
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.A,B两车相距20
m,A在前B在后,沿同一方向运动,A车以2
m/s的速度作匀速直线运动,B车以大小为2.5
m/s2的加速度作匀减速直线运动,若要B追上A,则B的初速度应满足什么条件?
【解析】设B的初速度为v0,要使B追上A,应满足v0t-
·2.5·t2≥2t+20即
t2
+(2-v0)t+20≤0;
所以Δ=(2-v0)2-4×
×20≥0,即
-4v0-96≥0,解得v0≤-8或v0≥12,所以B
的初速度应大于或等于12
m/s.
10.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动
了8
m.已知|F1|=2
N,方向为北偏东30°;|F2|=4
N,方向为东偏北30°;|F3|=
6
N,方向为西偏北60°,求这三个力的合力F所做的功.
【解析】以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,建立直角坐标系.
则由已知可得
所以
又位移
所以
【创新迁移】
如图,有一端B固定的细绳BOA,在与水平面成30°角的OA方向上作用着一个大小为100
N的力,此时BO呈水平状,而点O所吊起的砝码静止,求这个砝码的质量,作用在OB方向上的力有多大?(g=10
N/kg)
【解析】由题意作出受力分析如图:
力
与力
在水平方向上的分力是一对平衡力,所以|
|=|
|cos
30°
=100×
=50
N,物体的重力G与
竖直方向上的分力是一对平衡力,所以
|G|=100×sin
30°=50
N,故砝码质量为5
kg.
【补偿训练】
在长江南岸某渡口处,江水以12.5
km/h的速度向东流,渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直渡过长江,其航向应如何确定?
【解析】如图,设
表示水流的速度,
表示渡船的速度,
表示渡船实际
垂直过江的速度.
因为
+
=
,所以四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,
|
|=|
|=12.5,|
|=25,所以∠CAD=30°,
即渡船要垂直渡过长江,其航向应为北偏西30°.
