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第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
必备知识·自主学习
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于__.即sin2α+cos2α=__.
(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的_____.即
=tanα.
2.商数关系
=tanα成立的角α的范围是α≠kπ+
(k∈Z).
1
1
正切
【思考】
(1)当角α的终边与坐标轴重合时,sin2α+cos2α=1也成立吗?
提示:也成立.在使函数有意义的前提下对任意角α上式都成立.
(2)在利用平方关系求sin
α或cos
α时,其正负号应怎样确定?
提示:其正负号是由角α所在的象限决定.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin2α+cos2β=1不恒成立.
( )
(2)式子tan
90°=
不成立.
( )
(3)在应用平方关系式求sin
α或cos
α时,其正负号是由角α所在的象限
决定.
( )
提示:(1)√.由于不是同一个角,此式不恒成立.
(2)√.对于正切成立的角α的范围是α≠kπ+
(k∈Z).
(3)√.在开方时其正负号是由角α所在的象限决定,不可凭空想象.
2.已知cos
α=
且角α在第四象限,则sin
α=________.?
【解析】由于cos
α=
,且角α在第四象限,所以sin
α=
.
答案:-
3.(教材二次开发:习题改编)已知sin
α+cos
α=
,则sin
αcos
α
=________.?
【解析】因为sin
α+cos
α=
,所以(sin
α+cos
α)2=
,即sin2α+2
sin
αcos
α+cos2α=
,所以sin
αcos
α=-
.
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 已知一个角的一个三角函数值求其他三角函数值(数学运算)
【题组训练】
1.已知sin
θ=a,且θ∈
,则cos
θ=________.?
2.已知cos
α=-
,则sin
α=______,tan
α=______.?
3.已知tan
α=
,且α是第三象限的角,求sin
α,cos
α的值.
【解析】1.因为sin
θ=a,且θ∈
,
所以cos
θ=-
=-
.
答案:-
2.因为cos
α=-
<0,所以α是第二、三象限角.
若α是第二象限角,则sin
α>0,tan
α<0,
所以sin
α=
=
,tan
α=
=-
;
若α是第三象限角,则sin
α<0,tan
α>0,
所以sin
α=-
=-
,tan
α=
=
.
答案:±
±
3.因为tan
α=
,所以
=
,即sin
α=
cos
α.因为sin2α+cos2α=1,
所以
+cos2α=1,则cos2α=
.又因为α是第三象限的角,所以cos
α
=-
,则sin
α=-
.
【解题策略】
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合
理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α
所在的象限不确定,应分类讨论,有两组结果.
类型二 三角函数式的化简(数学运算)
【典例】1.化简
的值为
( )
A.sin
θ
B.cos
θ
C.1
D.tan
θ
2.化简
=________.?
3.化简
,其中α是第二象限角.
【思路导引】灵活运用基本关系式及其变形.
【解析】1.选B.
=
=
=cos
θ.
2.
=1.
答案:1
3.
【解题策略】
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁
为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化
简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α
=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
【跟踪训练】
化简tan
α
,其中α是第二象限角.
【思路导引】先由角α是第二象限角确定出sin
θ,cos
θ的符号,利用公式
sin2α+cos2α=1对含根号的式子化简,结合sin
α,cos
α的符号可去掉根号,
再由tan
α=
可使式子最简.
【解析】因为α是第二象限角,所以sin
α>0,cos
α<0.故tan
α
=
tan
α
=tan
α
=
=
·
=-1.
【拓展延伸】
化简三角函数式的一般要求
①函数种类最少;②项数最少;③函数次数最低;④能求值的求值;⑤尽量使分母不含三角函数;⑥尽量使分母不含根式.
【拓展训练】
化简:
.
【解析】cos
620°=cos（360°+260°）=cos
260°=cos（180°+80°）=
-cos
80°,所以原式=
=
=sin
80°.
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证:1+tan2α=
;
2.求证:
.
【思路导引】1.由tan2α?切化弦?cos2α+sin2α=1?右边;
2.左边?右边或左,右?中间靠拢.
【证明】1.因为1+tan2α=1+
=
,
所以原式成立.
2.方法一:右边=
=
=
=
=
=左边,
所以原式成立.
方法二:左边=
,
右边=
=
,所以原式成立.
【解题策略】
证明恒等式常用的方法
(1)从一边开始,证明它等于另一边.
(2)证明左、右两边等于同一个式子.
(3)逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简.
【跟踪训练】
1.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
【证明】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以
+1=
2
,所以
,所以1-sin2β=2(1-sin2α),即sin2β=2sin2α-1.
2.求证:
=1.
【证明】
=
.
3.求证:2(1-sin
α)(1+cos
α)=(1-sin
α+cos
α)2.
【证明】因为2(1-sin
α)(1+cos
α)
=2(1+cos
α-sin
α-sin
αcos
α),
(1-sin
α+cos
α)2=(1-sin
α)2+2(1-sin
α)cos
α+cos2α
=1-2sin
α+sin2α+2cos
α-2sin
αcos
α+cos2α
=2(1+cos
α-sin
α-sin
αcos
α),
所以2(1-sin
α)(1+cos
α)=(1-sin
α+cos
α)2,
所以原等式成立.
4.求证:
.
【证明】方法一:左边=
=
右边,所以等式成立.
方法二:因为(1-sin
α)(1+sin
α)=1-sin2α=cos2α,且1-sin
α≠0,cos
α
≠0,所以
.
方法三:
=0.所以
.
备选类型 有关sin
α、cos
α的齐次式的求值问题(数学抽象、数学运算)
【典例】1.若tan
α=2,则
的值为
( )
A.0
B.
C.1
D.
2.已知tan
α=-2,则sin2α+sin
αcos
α-2cos2α=________.?
【解析】1.选B.
.
2.sin2α+sin
αcos
α-2cos2α
=
=0.
答案:0
【解题策略】
关于sin
α、cos
α的齐次式的求值方法
(1)关于sin
α、cos
α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α、cos
α
的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子,分母同除以cos
α的n次幂,其
式子可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来代换,将分子,分母同除
以cos2α,可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
【跟踪训练】
1.已知tan
α=-
,则
的值是________.?
【解析】
.
答案:
2.已知tan
α=3,则
sin2α+
cos2α=________.?
【解析】原式=
.
答案:
1.已知sin
α=
,α∈
,则tan
α的值是
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.sin
α=
,α∈
,所以cos
α=-
,tan
α=-
.
课堂检测·素养达标
2.下列四个命题中可能成立的一个是
( )
A.sin
α=
且cos
α=
B.sin
α=0且cos
α=-1
C.tan
α=1且cos
α=-1
D.tan
α=
(α为第二象限角)
【解析】选B.选项A不符合sin2α+cos2α=1,B符合sin2α+cos2α=1,又由tan
α
=
知D不正确,C也不可能正确.
3.若tan
α=2,则
的值是( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.由tan
α=2,则
4.(教材二次开发:例题改编)已知sin
θ+cos
θ=
,则sinθcosθ=________.?
【解析】sin
θ+cos
θ=
,则(sin
θ+cos
θ)2=
,
即sin2θ+cos2θ+2sin
θcos
θ=
,所以sin
θcos
θ=
.
答案:-
5.已知cos
α=-
,求sin
α,tan
α的值.
【解析】当α是第二象限角时,
sin
α=
,
tan
α=
=
=-
.
当α是第三象限角时,sin
α=-
=-
,tan
α=
.
二十八 同角三角函数的基本关系
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.下列结论中成立的是
( )
A.sin
α=
且cos
α=
B.tan
α=2且
=
C.tan
α=1且cos
α=±
D.sin
α=1且tan
α·cos
α=1
课时素养评价
【解析】选C.A中,sin2α+cos2α=
≠1,故不成立;B中
=
,即tan
α=3,
与tan
α=2矛盾,故不成立;D中sin
α=1时角α的终边落在y轴的非负半轴上,
此时tan
α无意义,故不成立.
2.已知α是第二象限角且cos
α=-
,则tan
α的值是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为α为第二象限角,所以sin
α=
,
所以tan
α=
.
【补偿训练】
已知sin
α-cos
α=
,α∈(0,π),则tan
α=
( )
A.-1 B.-
C.
D.1
【解析】选A.由sin
α-cos
α=
①,两边平方得1-2sin
αcos
α=2,即
2sin
αcos
α=-1,故(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=0,即sin
α+
cos
α=0②,联立①②得sin
α=
,cos
α=-
,故tan
α=
=-1.
3.已知tan
α=2,则
=
( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【解析】选D.
=
,把tan
α=2代入,得原式=3.
4.若sin
θ=-
,tan
θ>0,则cos
θ=________.?
【解析】由已知得θ是第三象限角,所以cos
θ
.
答案:-
5.化简下列各式:(1)
;
(2)
(1-cos
α).
【解析】(1)原式=
=1;
(2)原式=
(1-cos
α)
=
(1-cos
α)=
=sin
α.
【补偿训练】
化简:
(α为第二象限角).
【解析】因为α是第二象限角,所以cos
α<0.
则原式=
=
=
=tan
α.
【能力进阶——水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.
cos2x=( )
A.tan
x
B.sin
x
C.cos
x
D.
【解析】选D.
cos2x=
·cos2x=
cos2x
=
.
2.若α∈[0,2π)且
=sin
α-cos
α,则α的取值范围
是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为
=
=sin
α-cos
α,所以
sin
α≥0且cos
α≤0,所以α∈
.
【误区警示】在
,
=
上,易犯
=sin
α,
=
cos
α的错误.
3.设A是△ABC的一个内角且sin
A+cos
A=
,则这个三角形是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.将sin
A+cos
A=
两边平方得sin2A+2sin
Acos
A+cos2A=
,
又sin2A+cos2A=1,故sin
Acos
A=-
.因为0
A>0,则cos
A<0,
即A是钝角.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知sin
θ=
,cos
θ=
,则m的值可以等于
( )
A.0
B.4
C.6
D.8
【解析】选AD.因为sin2θ+cos2θ=1,所以
+
=1,解得m=0或8.
经检验,m=0或8符合题意.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知sin
αcos
α=
,则sin
α-cos
α=________.?
【解析】因为(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=1-2×
=0,所以sin
α
-cos
α=0.
答案:0
6.已知tan
α=3,则
=________;?
=________.?
【解析】因为tan
α=3,所以cos
α≠0.
原式的分子、分母同除以cos
α,
得
.
将
的分子、分母同除以cos2α,
即
.
答案:
-
【补偿训练】
已知tan
α=2,则4sin2α-3sin
αcos
α-5cos2α=________.?
【解析】4sin2α-3sin
αcos
α-5cos2α
答案:1
四、解答题
7.(10分)已知-
x+cos
x=
,求下列各式的值.
(1)sin
x-cos
x;
(2)
.
【解析】(1)因为sin
x+cos
x=
,所以(sin
x+cos
x)2=
,即1+2sin
xcos
x
=
,所以2sin
xcos
x=-
.
因为(sin
x-cos
x)2=sin2x-2sin
xcos
x+cos2x=1-2sin
xcos
x=1+
=
,
又-
x<0,cos
x>0,所以sin
x-cos
x<0,所以sin
x-cos
x
=-
.
(2)由已知条件及(1),可知
解得
所以
.
【补偿训练】
1.已知sin
α+cos
α=
,其中0<α<π,求sin
α-cos
α的值.
【解析】因为sin
α+cos
α=
,所以(sin
α+cos
α)2=
,
可得sin
αcos
α=-
.
因为0<α<π,且sin
αcos
α<0,
所以sin
α>0,cos
α<0,所以sin
α-cos
α>0.
又(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=
,
所以sin
α-cos
α=
.
2.已知在△ABC中sin
A+cos
A=
.
(1)求sin
Acos
A;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
(3)求tan
A的值.
【解题指南】可先把sin
A+cos
A=
两边平方得出sin
Acos
A,然后借助于
A∈(0,π)及三角函数符号法则可得sin
A与cos
A的符号,从而进一步构造
sin
A-cos
A的方程,最后联立求解.
【解析】(1)因为sin
A+cos
A=
①,所以两边平方得1+2sin
Acos
A=
,
所以sin
Acos
A=-
.
(2)由(1)sin
Acos
A=-
,且A∈(0,π),
可得cos
A<0,所以A为钝角,所以△ABC是钝角三角形.
(3)因为(sin
A-cos
A)2=1-2sin
Acos
A=1+
=
,
又sin
A>0,cos
A<0,所以sin
A-cos
A>0,
所以sin
A-cos
A=
②,
所以由①,②可得sin
A=
,cos
A=-
,
所以tan
A=-
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第四章 三角恒等变换
§1 同角三角函数的基本关系
必备知识·自主学习
导思
1.同一个角α的正弦、余弦的平方有怎样的关系?2.角α的正弦、余弦与角α的正切有怎样的关系?
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切.即=tan
α.
2.商数关系=tan
α成立的角α的范围是α≠kπ+(k∈Z).
(1)当角α的终边与坐标轴重合时,sin2α+cos2α=1也成立吗?
提示:也成立.在使函数有意义的前提下对任意角α上式都成立.
(2)在利用平方关系求sin
α或cos
α时,其正负号应怎样确定?
提示:其正负号是由角α所在的象限决定.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin2α+cos2β=1不恒成立.( )
(2)式子tan
90°=不成立.( )
(3)在应用平方关系式求sin
α或cos
α时,其正负号是由角α所在的象限决定.( )
提示:(1)√.由于不是同一个角,此式不恒成立.
(2)√.对于正切成立的角α的范围是α≠kπ+(k∈Z).
(3)√.在开方时其正负号是由角α所在的象限决定,不可凭空想象.
2.已知cos
α=且角α在第四象限,则sin
α=________.?
【解析】由于cos
α=,且角α在第四象限,所以sin
α=-=-.
答案:-
3.(教材二次开发:习题改编)已知sin
α+cos
α=,则sin
αcos
α=________.?
【解析】因为sin
α+cos
α=,所以(sin
α+cos
α)2=,即sin2α+2sin
αcos
α+cos2α=,所以sin
αcos
α=-.
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 已知一个角的一个三角函数值求其他三角函数值(数学运算)
1.已知sin
θ=a,且θ∈,则cos
θ=________.?
2.已知cos
α=-,则sin
α=______,tan
α=______.?
3.已知tan
α=,且α是第三象限的角,求sin
α,cos
α的值.
【解析】1.因为sin
θ=a,且θ∈,所以cos
θ=-=-.
答案:-
2.因为cos
α=-<0,所以α是第二、三象限角.
若α是第二象限角,则sin
α>0,tan
α<0,所以sin
α=
==,tan
α==-;若α是第三象限角,则sin
α<0,tan
α>0,所以sin
α=-=-=-,tan
α==.
答案:± ±
3.因为tan
α=,所以=,即sin
α=cos
α.因为sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,则cos2α=.又因为α是第三象限的角,所以cos
α=
-,则sin
α=-.
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,有两组结果.
类型二 三角函数式的化简(数学运算)
【典例】1.化简的值为( )
A.sin
θ
B.cos
θ
C.1
D.tan
θ
2.化简=________.?
3.化简,其中α是第二象限角.
【思路导引】灵活运用基本关系式及其变形.
【解析】1.选B.===cos
θ.
2.===1.
答案:1
3.==
=-sin
αcos
α.
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
化简tan
α,其中α是第二象限角.
【思路导引】先由角α是第二象限角确定出sin
θ,cos
θ的符号,利用公式sin2α+cos2α=1对含根号的式子化简,结合sin
α,cos
α的符号可去掉根号,再由tan
α=可使式子最简.
【解析】因为α是第二象限角,所以sin
α>0,cos
α<0.故tan
α=tan
α=tan
α==·=-1.
【拓展延伸】
化简三角函数式的一般要求
①函数种类最少;②项数最少;③函数次数最低;④能求值的求值;⑤尽量使分母不含三角函数;⑥尽量使分母不含根式.
【拓展训练】
化简:.
【解析】cos
620°=cos=cos
260°=cos
=-cos
80°,所以原式===sin
80°.
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证:1+tan2α=;
2.求证:=.
【思路导引】1.由tan2α?切化弦?cos2α+sin2α=1?右边;
2.左边?右边或左,右?中间靠拢.
【证明】1.因为1+tan2α=1+==,所以原式成立.
2.方法一:右边=
=
=
=
==左边,
所以原式成立.
方法二:左边==,
右边===
==,所以原式成立.
证明恒等式常用的方法
(1)从一边开始,证明它等于另一边.
(2)证明左、右两边等于同一个式子.
(3)逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简.
1.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
【证明】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1=2tan2β+2,所以+1=2,
所以=,所以1-sin2β=2(1-sin2α),
即sin2β=2sin2α-1.
2.求证:·=1.
【证明】·=·
=·===1.
3.求证:2(1-sin
α)(1+cos
α)=(1-sin
α+cos
α)2.
【证明】因为2(1-sin
α)(1+cos
α)
=2(1+cos
α-sin
α-sin
αcos
α),
(1-sin
α+cos
α)2=(1-sin
α)2+2(1-sin
α)cos
α+cos2α=1-2sin
α+sin2α+2cos
α-2sin
αcos
α+cos2α
=2(1+cos
α-sin
α-sin
αcos
α),
所以2(1-sin
α)(1+cos
α)=(1-sin
α+cos
α)2,
所以原等式成立.
4.求证:=.
【证明】方法一:左边=====右边,所以等式成立.
方法二:因为(1-sin
α)(1+sin
α)=1-sin2α=cos2α,且1-sin
α≠0,cos
α≠0,所以=.
方法三:
-====0.所以=.
备选类型 有关sin
α、cos
α的齐次式的求值问题(数学抽象、数学运算)
【典例】1.若tan
α=2,则的值为( )
A.0
B.
C.1
D.
2.已知tan
α=-2,则sin2α+sin
αcos
α-2cos2α=________.?
【解析】1.选B.====.
2.sin2α+sin
αcos
α-2cos2α==
===0.
答案:0
关于sin
α、cos
α的齐次式的求值方法
(1)关于sin
α、cos
α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin
α、cos
α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子,分母同除以cos
α的n次幂,其式子可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来代换,将分子,分母同除以cos2α,可化为关于tan
α的式子,再代入求值.
1.已知tan
α=-,则的值是________.?
【解析】===.
答案:
2.已知tan
α=3,则sin2α+cos2α=________.?
【解析】原式====.
答案:
课堂检测·素养达标
1.已知sin
α=,α∈,则tan
α的值是( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.sin
α=,α∈,所以cos
α=-,tan
α=-.
2.下列四个命题中可能成立的一个是( )
A.sin
α=且cos
α=
B.sin
α=0且cos
α=-1
C.tan
α=1且cos
α=-1
D.tan
α=(α为第二象限角)
【解析】选B.选项A不符合sin2α+cos2α=1,B符合sin2α+cos2α=1,又由tan
α=知D不正确,C也不可能正确.
3.若tan
α=2,则的值是( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.由tan
α=2,则==-.
4.(教材二次开发:例题改编)已知sin
θ+cos
θ=,则sin
θcos
θ=________.?
【解析】sin
θ+cos
θ=,则(sin
θ+cos
θ)2=,即sin2θ+cos2θ+2sin
θ
cos
θ=,所以sin
θcos
θ=-.
答案:-
5.已知cos
α=-,求sin
α,tan
α的值.
【解析】当α是第二象限角时,
sin
α===,
tan
α===-.
当α是第三象限角时,sin
α=-=-,tan
α=.
二十八 同角三角函数的基本关系
(15分钟 30分)
1.下列结论中成立的是( )
A.sin
α=且cos
α=
B.tan
α=2且=
C.tan
α=1且cos
α=±
D.sin
α=1且tan
α·cos
α=1
【解析】选C.A中,sin2α+cos2α=≠1,故不成立;B中=,即tan
α=3,与tan
α=2矛盾,故不成立;D中sin
α=1时角α的终边落在y轴的非负半轴上,此时tan
α无意义,故不成立.
2.已知α是第二象限角且cos
α=-,则tan
α的值是( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为α为第二象限角,所以sin
α===,
所以tan
α===-.
【补偿训练】
已知sin
α-cos
α=,α∈(0,π),则tan
α=( )
A.-1
B.-
C.
D.1
【解析】选A.由sin
α-cos
α=①,两边平方得1-2sin
αcos
α=2,即2sin
αcos
α=-1,故(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=0,即sin
α+cos
α=0②,联立①②得sin
α=,cos
α=-,故tan
α==-1.
3.已知tan
α=2,则=( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【解析】选D.=,把tan
α=2代入,得原式=3.
4.若sin
θ=-,tan
θ>0,则cos
θ=________.?
【解析】由已知得θ是第三象限角,所以cos
θ=-=-=-.
答案:-
5.化简下列各式:(1);
(2)(1-cos
α).
【解析】(1)原式===1;
(2)原式=(1-cos
α)=(1-cos
α)==sin
α.
【补偿训练】
化简:-(α为第二象限角).
【解析】因为α是第二象限角,所以cos
α<0.
则原式=-
=·-
=+=
==tan
α.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.cos2x=( )
A.tan
x
B.sin
x
C.cos
x
D.
【解析】选D.cos2x
=·cos2x=cos2x
=.
2.若α∈[0,2π)且+=sin
α-cos
α,则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为+=+=sin
α-cos
α,所以sin
α≥0且cos
α≤0,所以α∈.
【误区警示】在=,=上,易犯=sin
α,=cos
α的错误.
3.设A是△ABC的一个内角且sin
A+cos
A=,则这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.将sin
A+cos
A=两边平方得sin2A+2sin
Acos
A+cos2A=,又sin2A+cos2A=1,故sin
Acos
A=-.因为0A>0,则cos
A<0,即A是钝角.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.已知sin
θ=,cos
θ=,则m的值可以等于( )
A.0
B.4
C.6
D.8
【解析】选AD.因为sin2θ+cos2θ=1,所以+=1,解得m=0或8.经检验,m=0或8符合题意.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知sin
αcos
α=,则sin
α-cos
α=________.?
【解析】因为(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=1-2×=0,所以sin
α-
cos
α=0.
答案:0
6.已知tan
α=3,则=________;=________.?
【解析】因为tan
α=3,所以cos
α≠0.
原式的分子、分母同除以cos
α,
得===.
将的分子、分母同除以cos2α,即===-.
答案: -
【补偿训练】
已知tan
α=2,则4sin2α-3sin
αcos
α-5cos2α=________.?
【解析】4sin2α-3sin
αcos
α-5cos2α
=
=
===1.
答案:1
四、解答题
7.(10分)已知-x+cos
x=,求下列各式的值.
(1)sin
x-cos
x;
(2).
【解析】(1)因为sin
x+cos
x=,所以(sin
x+cos
x)2=,即1+2sin
xcos
x=,所以2sin
xcos
x=-.因为(sin
x-cos
x)2=sin2x-2sin
xcos
x+cos2x=1-2sin
xcos
x=1+=,又-x<0,cos
x>0,所以sin
x-cos
x<0,所以sin
x-cos
x=-.
(2)由已知条件及(1),可知
解得
所以==.
【补偿训练】
1.已知sin
α+cos
α=,其中0<α<π,求sin
α-cos
α的值.
【解析】因为sin
α+cos
α=,所以(sin
α+cos
α)2=,可得sin
αcos
α=-.因为0<α<π,且sin
αcos
α<0,所以sin
α>0,cos
α<0,所以sin
α-cos
α>0.又(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α=,所以sin
α-cos
α=.
2.已知在△ABC中sin
A+cos
A=.
(1)求sin
Acos
A;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
(3)求tan
A的值.
【解题指南】可先把sin
A+cos
A=两边平方得出sin
Acos
A,然后借助于A∈(0,π)及三角函数符号法则可得sin
A与cos
A的符号,从而进一步构造
sin
A-cos
A的方程,最后联立求解.
【解析】(1)因为sin
A+cos
A=①,所以两边平方得1+2sin
Acos
A=,所以sin
Acos
A=-.
(2)由(1)sin
Acos
A=-,且A∈(0,π),可得cos
A<0,所以A为钝角,所以△ABC是钝角三角形.
(3)因为(sin
A-cos
A)2=1-2sin
Acos
A=1+=,
又sin
A>0,cos
A<0,所以sin
A-cos
A>0,
所以sin
A-cos
A=②,
所以由①,②可得sin
A=,cos
A=-,
所以tan
A=-.
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