(共54张PPT)
§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
必备知识·自主学习
两角和与差的余弦公式
简记
符号
公式
使用
条件
Cα-β
cos(α-β)=______________________
α,β∈R
Cα+β
cos(α+β)=______________________
cosαcosβ+sinαsinβ
cosαcosβ-sinαsinβ
【思考】
(1)cos(α-β)与cos
α-cos
β相等吗?
提示:一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候.
例如当α=0°,β=60°时cos(0°-60°)=cos
0°-cos
60°.
(2)两角和与差的余弦公式有怎样的结构特点?
提示:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用
口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(3)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件?
提示:公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如
cos
中的“
”相当于公式中的角α,“
”相当于公式中
的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不
要局限于具体的角.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(70°+40°)=cos
70°-cos
40°.
( )
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos
α-cos
β都不成立.
( )
(3)对任意α,β∈R,cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β都成立.
( )
(4)cos
30°cos60°+sin
30°sin
60°=1.
( )
提示:(1)×.cos(70°+40°)=cos
110°≠cos
70°-cos
40°.
(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)
=cos(-90°)=0,cos
α-cos
β=cos(-45°)-cos
45°=0,
此时cos(α-β)=cos
α-cos
β.
(3)√.结论为两角和的余弦公式.
(4)
×.cos
30°cos
60°+sin
30°sin
60°=cos(60°-30°)=cos
30°=
.
2.cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°的值等于________.?
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°=cos(75°+15°)=cos
90°=0.
答案:0
3.(教材二次开发:例题改编)计算cos(60°-45°)=________.?
【解析】cos(60°-45°)=cos
60°cos
45°+sin
60°sin
45°
=
×
+
×
=
.
答案:
4.计算:cos
80°cos
20°+sin
80°sin
20°=________.?
【解析】原式=cos(80°-20°)=cos
60°=
.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的公式的简单应用(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·台州高一检测)计算sin
46°cos
14°+sin
44°cos
76°的结果
等于
( )
A.
B.
C.
D.
2.cos
75°的值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
3.(2020·菏泽高一检测)
cos
15°+
sin
15°的值是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】1.选C.原式=cos
44°cos
14°+sin
44°sin
14°
=cos(44°-14°)=cos
30°=
.
2.选B.cos
75°=cos(135°-60°)=cos
135°cos
60°+sin
135°sin
60°
=-
×
+
×
=
.
3.选A.
cos
15°+
sin
15°
=cos
60°cos
15°+sin
60°sin
15°
=cos(60°-15°)=cos
45°=
.
【解题策略】
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差,利用公式直接求解.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆
用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值:(1)cos
.
(2)sin
400°sin(-160°)+cos
560°cos(-220°).
【解析】(1)cos
=cos
=-cos
=-cos（
）=-cos（
）
=-
=-
.
(2)原式=-sin
40°sin
160°+cos
200°cos
220°
=-sin
40°sin
20°+cos
20°cos
40°
=cos
40°cos
20°-sin
40°sin
20°
=cos
60°=
.
类型二 给值求值问题(数学运算)
角度1 代入求值问题?
【典例】已知sin
=
,则cos
α+
sin
α的值为
( )
A.-
B.
C.2
D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.cos
α+
sin
α=2
=
.
角度2 角的“拼凑”问题?
【典例】设α,β都是锐角,且cos
α=
,sin(α+β)=
,则cos
β等
于( )
A.
B.
C.
或
D.
或
【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角
差的余弦公式解决.
【解析】选A.依题意得sin
α=
=
,
cos(α+β)=±
=±
.
又α,β均为锐角,
所以0<α<α+β<π,cos
α>cos(α+β).
因为
>
>-
,所以cos(α+β)=-
.
于是cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=-
×
+
×
=
.
【变式探究】
本例若改为:已知α,β为锐角,且cos
α=
,cos(α+β)=-
,求cos
β的值.
【解析】因为0<α<
,0<β<
,所以0<α+β<π.
由cos(α+β)=-
,得sin(α+β)=
.
又因为cos
α=
,所以sin
α=
.
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=
.
【解题策略】
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或
凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α=
+
;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
【题组训练】
1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos
α=
,sin
β=-
,则cos(α+β)
的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.因为α为锐角,且cos
α=
,所以sin
α=
=
.因为
β为第三象限角,且sin
β=-
,所以cos
β=-
=-
,所以cos(α+β)
=cos
αcos
β-sin
αsin
β=
×（-
）-
×（-
）=-
.
2.已知cos
=
,则cos
α+
sin
α的值为________.?
【解析】因为cos
=cos
cos
α+sin
sin
α
=
cos
α+
sin
α=
,所以cos
α+
sin
α=
.
答案:
类型三 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知cos（α－β）=-
,cos（α+β）=
,且α-β∈（
）,
α+β∈（
）,求角β的值.
四步
内容
理解
题意
条件:①cos（α－β）=-
,
cos（α+β）=
,
②α-β∈
（
）,α+β∈（
）.
结论:求角β
思路
探求
由α-β与α+β的范围,先分别求得两角的正弦值,利用cos
2β
=cos[(α+β)-(α-β)]这一关系,求得三角函数值,再确定角
的值.
四步
内容
书写
表达
由α-β∈（
）,且cos(α-β)=-
,得sin(α-β)=
,
由α+β∈（
）
,且cos(α+β)=
,得sin(α+β)=-
,
cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=
×（-
）+（-
）×
=-1.
又因为α-β∈(
)
,α+β∈(
),
所以2β∈（
）,∴2β=π,则β=
.
注意书写的规范性:①cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)].
四步
内容
书写
表达
②由cos
2β=-1确定角β时,一定要明确2β的范围.
题后
反思
对于给值求角问题,确定好求该角的哪种三角函数值,是解题的关
键,为避免出现增解,一般来说,当已知角范围为(0,π)时,应取该
角的余弦值;当角的范围是(-
)时,应取该角的正弦值或正切值.
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角
函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
1.已知α为钝角,β为锐角,满足cos
α=-
,sin
β=
,则α-β
=________.?
【解析】由于α为钝角,β为锐角,
cos
α=-
,sin
β=
,
所以sin
α=
,cos
β=
,
所以cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
=-
×
+
×
=-
.
又因为α为钝角,β为锐角,所以0<α-β<π,所以α-β=
.
答案:
2.已知α,β为锐角,cos
α=
,sin(α+β)=
.求角β的值.
【解题指南】可采用角的变换求解,为此可将角β写成(α+β)-α的形式,进而
利用两角差的余弦求解.
【解析】因为α为锐角,cos
α=
,所以sin
α=
.
又因为β为锐角,所以0<α+β<π.
因为sin(α+β)=
α,所以
<α+β<π,所以cos(α+β)=-
,所以
cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-
×
+
×
=
.因为β为锐角,所以β=
.
1.cos
20°=
( )
A.cos
30°cos
10°-sin
30°sin
10°
B.cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°
C.sin
30°cos
10°-sin
10°cos
30°
D.cos
30°cos
10°-sin
30°cos
10°
【解析】选B.cos
20°=cos(30°-10°)=cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°.
课堂检测·素养达标
2.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos
60°=
.
3.已知cos
α=
,α∈（0，
）,则cos（
）=________.?
【解析】因为cos
α=
,α∈（0，
）,
所以sin
α=
=
=
.
所以cos（
）=cos
α
cos
+sin
α
·sin
=
.
答案:
4.下列式子中①cos(α-β)=cos
α-cos
β;
②cos（
＋α）=sin
α;
③cos(α-β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.
错误的序号为________.?
【解析】①仅有特殊角使之成立,一般情况下不成立;
②cos（
＋α）=-sin
α;
③cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
答案:①②③
5.(教材二次开发:例题改编)化简cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=________.?
【解析】原式=cos[(α+β)-α]=cos
β.
答案:cos
β
二十九 两角和与差的余弦公式及其应用
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.cos
24°cos
54°+sin
24°sin
54°的值是
( )
A.0 B.
C.
D.-
【解析】选C.原式=cos(24°-54°)=cos(-30°)=
.
课时素养评价
2.cos
24°cos
36°-cos
66°cos
54°的值是
( )
A.0
B.
C.
D.-
【解析】选B.原式=cos
24°cos
36°-sin
24°sin
36°=cos(24°+36°)
=cos
60°=
.
3.设α,β,γ∈（
）,且sin
α+sin
γ=sin
β,cos
β+cos
γ=cos
α,
则β-α等于________.?
【解析】由条件知sin
β-sin
α=sin
γ,①
cos
β-cos
α=-cos
γ,②
由①2+②2得2-2(sin
βsin
α+cos
αcos
β)=1.
所以cos(β-α)=
,又由①知sin
β>sin
α,
所以β>α,β-α∈（
）
.所以β-α=
.
答案:
4.计算:
=________.?
【解析】
=
=
.
答案:
5.已知sin
αcos
α=
,0<α<
,求
cos
的值.
【解析】因为
cos
=
=cos
α+sin
α,
所以
=(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=1+2×
=
.
因为0<α<
,
所以-
<-α<0,-
<
-α<
,
所以cos
>0.所以
cos
=
.
【能力进阶——水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.cos
80°cos
35°+cos
10°cos
55°的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.cos
80°cos
35°+cos
10°cos
55°=cos
80°cos
35°
+sin
80°sin
35°=cos(80°-35°)=cos
45°=
.
【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不清而致错.
2.
(cos
75°+sin
75°)的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.原式=cos
45°cos
75°+sin
45°sin
75°=cos(-30°)=
.
3.若
sin
x+
cos
x=cos(x+φ),则φ的可能取值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.
sin
x+
cos
x=cos
xcos
+sin
xsin
=cos
,
故φ的一个可能值为-
.
【补偿训练】
计算cos
πcos
π-sin
πsin
π的值应为
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选A.原式=cos
cos
-sin
·sin
=
cos
cos
-sin
sin
=cos
=cos
=
.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.在△ABC中,sin
A=
,sin
B=
,则cos
(A+B)的值可能为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选BC.因为在△ABC中,sin
A=
>
=sin
B,所以A>B,所以B一定
为锐角,所以cos
A=±
=±
,cos
B=
=
.所以
cos(A+B)=cos
Acos
B-sin
A
sin
B=±
×
-
×
=
或-
.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.cos
105°+sin
195°=________.?
【解析】cos
105°+sin
195°=cos
105°+sin(90°+105°)=cos
105°+
cos
105°=2cos
105°=2cos(60°+45°)
=2(cos
60°cos
45°-sin
60°sin
45°)
=2
=
.
答案:
【补偿训练】
sin
15°+cos
15°=________.?
【解析】sin
15°+cos
15°=cos
75°+cos
15°
=cos(45°+30°)+cos(45°-30°)
=cos
45°cos
30°-sin
45°sin
30°+cos
45°cos
30°+sin
45°sin
30°
=2cos
45°cos
30°=
.
答案:
6.若cos
θ=-
,θ∈
,则sin
θ=________,cos
=________.?
【解析】因为cos
θ=-
,θ∈
,
所以sin
θ=-
,
所以cos
=cos
θcos
+sin
θsin
=-
.
答案:-
-
四、解答题
7.(10分)已知sin
θ=
,θ∈
,求cos
的值.
【解题指南】利用两角差的余弦公式展开cos
,由sin
θ=
,θ∈
,
可求出cos
θ的值再代入求解.
【解析】因为sin
θ=
,θ∈
,所以cos
θ=-
,所以cos
=cos
θ
cos
+sin
θsin
=
.
【补偿训练】
已知cos
=
,
,求cos
α.
【解析】由于0<α-
<
,cos
=
,
所以sin
=
.
所以cos
α=cos
=cos
cos
-sin
sin
=
.温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
§2 两角和与差的三角函数公式
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
必备知识·自主学习
导思
1.由角α,β的正弦和余弦如何推导出cos(α-β)的表达式?2.α-β与α+β有怎样的转化关系?
两角和与差的余弦公式
简记符号
公式
使用条件
Cα-β
cos(α-β)=cos
α
cos
β+sin
αsin
β
α,β∈R
Cα+β
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
(1)cos(α-β)与cos
α-cos
β相等吗?
提示:一般情况下不相等,但在特殊情况下也有相等的时候.
例如当α=0°,β=60°时cos(0°-60°)=cos
0°-cos
60°.
(2)两角和与差的余弦公式有怎样的结构特点?
提示:公式的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
(3)两角和与差的余弦公式有怎样的适用条件?
提示:公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”,如cos中的“”相当于公式中的角α,“”相当于公式中的角β.可用两角差的余弦公式展开,因此对公式的理解要注意结构形式,而不要局限于具体的角.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(70°+40°)=cos
70°-cos
40°.( )
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos
α-cos
β都不成立.( )
(3)对任意α,β∈R,cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β都成立.( )
(4)cos
30°cos60°+sin
30°sin
60°=1.( )
提示:(1)×.cos(70°+40°)=cos
110°≠cos
70°-cos
40°.
(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos
α-cos
β=cos(-45°)-cos
45°=0,
此时cos(α-β)=cos
α-cos
β.
(3)√.结论为两角和的余弦公式.
(4)
×.cos
30°cos
60°+sin
30°sin
60°=cos(60°-30°)=cos
30°=.
2.cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°的值等于________.?
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°=cos(75°+15°)=cos
90°=0.
答案:0
3.(教材二次开发:例题改编)计算cos(60°-45°)=________.?
【解析】cos(60°-45°)=cos
60°cos
45°+sin
60°sin
45°
=×+×=.
答案:
4.计算:cos
80°cos
20°+sin
80°sin
20°=________.?
【解析】原式=cos(80°-20°)=cos
60°=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的公式的简单应用(数学运算)
1.(2020·台州高一检测)计算sin
46°cos
14°+sin
44°cos
76°的结果等
于( )
A.
B.
C.
D.
2.cos
75°的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
3.(2020·菏泽高一检测)cos
15°+sin
15°的值是( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】1.选C.原式=cos
44°cos
14°+sin
44°sin
14°=cos(44°-14°)=
cos
30°=.
2.选B.cos
75°=cos(135°-60°)=cos
135°cos
60°+sin
135°sin
60°=-×+×=.
3.选A.cos
15°+sin
15°
=cos
60°cos
15°+sin
60°sin
15°
=cos(60°-15°)=cos
45°=.
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和差,利用公式直接求解.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值:(1)cos.
(2)sin
400°sin(-160°)+cos
560°cos(-220°).
【解析】(1)cos=cos=-cos
=-cos=-cos
=-
=-=-.
(2)原式=-sin
40°sin
160°+cos
200°cos
220°
=-sin
40°sin
20°+cos
20°cos
40°
=cos
40°cos
20°-sin
40°sin
20°
=cos
60°=.
类型二 给值求值问题(数学运算)
角度1 代入求值问题?
【典例】已知sin=,则cos
α+sin
α的值为( )
A.-
B.
C.2
D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.cos
α+sin
α=2=2cos=
2sin=2sin=2×=.
角度2 角的“拼凑”问题?
【典例】设α,β都是锐角,且cos
α=,sin(α+β)=,则cos
β等于( )
A.
B.
C.或
D.或
【思路导引】考虑如何用已知角α,α+β的差来表示所求角β,进而利用两角差的余弦公式解决.
【解析】选A.依题意得sin
α==,
cos(α+β)=±=±.
又α,β均为锐角,
所以0<α<α+β<π,cos
α>cos(α+β).
因为>>-,所以cos(α+β)=-.
于是cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-×+×=.
本例若改为:已知α,β为锐角,且cos
α=,cos(α+β)=-,求cos
β的值.
【解析】因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.
由cos(α+β)=-,得sin(α+β)=.
又因为cos
α=,所以sin
α=.
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α
=×+×=.
给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;
②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos
α=,sin
β=-,则cos(α+β)
的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.因为α为锐角,且cos
α=,所以sin
α==.因为β为第三象限角,且sin
β=-,所以cos
β=-=-,所以cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=×-×=-.
2.已知cos=,则cos
α+sin
α的值为________.?
【解析】因为cos=coscos
α+sin
sin
α
=cos
α+sin
α=,所以cos
α+sin
α=.
答案:
类型三 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知cos=-,cos=,且α-β∈,
α+β∈,
求角β的值.
四步
内容
理解题意
条件:①cos=-,cos=,②α-β∈,α+β∈.结论:求角β
思路探求
由α-β与α+β的范围,先分别求得两角的正弦值,利用cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]这一关系,求得三角函数值,再确定角的值.
书写表达
由α-β∈,且cos(α-β)=-,得sin(α-β)=,由α+β∈,且cos(α+β)=,得sin(α+β)=-,cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.又因为α-β∈,α+β∈,所以2β∈,∴2β=π,则β=.注意书写的规范性:①cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)].②由cos
2β=-1确定角β时,一定要明确2β的范围.
四步
内容
题后反思
对于给值求角问题,确定好求该角的哪种三角函数值,是解题的关键,为避免出现增解,一般来说,当已知角范围为(0,π)时,应取该角的余弦值;当角的范围是时,应取该角的正弦值或正切值.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1.已知α为钝角,β为锐角,满足cos
α=-,sin
β=,则α-β=
________.?
【解析】由于α为钝角,β为锐角,
cos
α=-,sin
β=,
所以sin
α=,cos
β=,
所以cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
=-×+×
=-.
又因为α为钝角,β为锐角,所以0<α-β<π,所以α-β=.
答案:
2.已知α,β为锐角,cos
α=,sin(α+β)=.求角β的值.
【解题指南】可采用角的变换求解,为此可将角β写成(α+β)-α的形式,进而利用两角差的余弦求解.
【解析】因为α为锐角,cos
α=,所以sin
α=.
又因为β为锐角,所以0<α+β<π.
因为sin(α+β)=α,所以<α+β<π,所以cos(α+β)=-,所以cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-×+×=.因为β为锐角,所以β=.
课堂检测·素养达标
1.cos
20°=( )
A.cos
30°cos
10°-sin
30°sin
10°
B.cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°
C.sin
30°cos
10°-sin
10°cos
30°
D.cos
30°cos
10°-sin
30°cos
10°
【解析】选B.cos
20°=cos(30°-10°)=
cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°.
2.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos
60°=.
3.已知cos
α=,α∈,则cos=________.?
【解析】因为cos
α=,α∈,
所以sin
α===.
所以cos=cos
α
cos
+sin
α
·sin=×+×=.
答案:
4.下列式子中①cos(α-β)=cos
α-cos
β;
②cos=sin
α;
③cos(α-β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.
错误的序号为________.?
【解析】①仅有特殊角使之成立,一般情况下不成立;
②cos=-sin
α;
③cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
答案:①②③
5.(教材二次开发:例题改编)化简cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=________.?
【解析】原式=cos[(α+β)-α]=cos
β.
答案:cos
β
二十九 两角和与差的余弦公式及其应用
(15分钟 30分)
1.cos
24°cos
54°+sin
24°sin
54°的值是( )
A.0 B. C. D.-
【解析】选C.原式=cos(24°-54°)=cos(-30°)=.
2.cos
24°cos
36°-cos
66°cos
54°的值是( )
A.0
B.
C.
D.-
【解析】选B.原式=cos
24°cos
36°-sin
24°sin
36°=cos(24°+36°)=
cos
60°=.
3.设α,β,γ∈,且sin
α+sin
γ=sin
β,cos
β+cos
γ=cos
α,则β-α等于________.?
【解析】由条件知sin
β-sin
α=sin
γ,①
cos
β-cos
α=-cos
γ,②
由①2+②2得2-2(sin
βsin
α+cos
αcos
β)=1.
所以cos(β-α)=,又由①知sin
β>sin
α,
所以β>α,β-α∈.所以β-α=.
答案:
4.计算:=________.?
【解析】=
==.
答案:
5.已知sin
αcos
α=,0<α<,求cos的值.
【解析】因为cos
==cos
α+sin
α,
所以=(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=1+2×=.
因为0<α<,
所以-<-α<0,-<-α<,
所以cos>0.所以cos=.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.cos
80°cos
35°+cos
10°cos
55°的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.cos
80°cos
35°+cos
10°cos
55°
=cos
80°cos
35°+sin
80°sin
35°=cos(80°-35°)=cos
45°=.
【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不清而致错.
2.(cos
75°+sin
75°)的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.原式=cos
45°cos
75°+sin
45°sin
75°=cos(-30°)=.
3.若sin
x+cos
x=cos(x+φ),则φ的可能取值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.sin
x+cos
x
=cos
xcos
+sin
xsin
=cos,故φ的一个可能值为-.
【补偿训练】
计算cos
πcos
π-sin
πsin
π的值应为( )
A. B. C. D.-
【解析】选A.原式=coscos-sin·sin=
cos
cos
-sin
sin
=cos=cos
=.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.在△ABC中,sin
A=,sin
B=,则cos
(A+B)的值可能为( )
A.- B. C.- D.
【解析】选BC.因为在△ABC中,sin
A=>=sin
B,所以A>B,所以B一定为锐角,所以cos
A=±=±,cos
B==.
所以cos(A+B)=cos
Acos
B-sin
A
sin
B=±×-×=或-.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.cos
105°+sin
195°=________.?
【解析】cos
105°+sin
195°=cos
105°+sin(90°+105°)=cos
105°+cos
105°=2cos
105°=2cos(60°+45°)=2(cos
60°cos
45°-sin
60°sin
45°)
=2=.
答案:
【补偿训练】
sin
15°+cos
15°=________.?
【解析】sin
15°+cos
15°=cos
75°+cos
15°
=cos(45°+30°)+cos(45°-30°)
=cos
45°cos
30°-sin
45°sin
30°+cos
45°cos
30°+sin
45°sin
30°
=2cos
45°cos
30°=.
答案:
6.若cos
θ=-,θ∈,则sin
θ=________,cos=________.?
【解析】因为cos
θ=-,θ∈,所以sin
θ=-,
所以cos=cos
θcos
+sin
θsin
=-×+×=-.
答案:- -
四、解答题
7.(10分)已知sin
θ=,θ∈,求cos的值.
【解题指南】利用两角差的余弦公式展开cos,由sin
θ=,θ∈,可求出cos
θ的值再代入求解.
【解析】因为sin
θ=,θ∈,所以cos
θ=-,所以cos=
cos
θcos
+sin
θsin
=-×+×=.
【补偿训练】
已知cos=,,求cos
α.
【解析】由于0<α-<,cos=,
所以sin=.
所以cos
α=cos
=coscos
-sinsin
=×-×=.
关闭Word文档返回原板块
PAGE
