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2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
必备知识·自主学习
导思
1.结合两角和与差的余弦公式如何推导出两角和与差的正弦公式?2.由两角和与差的正弦和余弦公式如何推导出两角和与差的正切公式?
1.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
Sα+β
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
α,β∈R
两角差的正弦
Sα-β
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β
α,β∈R
对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?
提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
2.两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
Tα+β
tan(α+β)=
α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
Tα-β
tan(α-β)=
α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan
α·tan
β≠-1
(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)=由此能否推导出两角和的正切公式?
提示:能.tan(α+β)==,分子分母同除以cos
αcos
β可得tan(α+β)=.
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+(k∈Z)?
提示:这是由正切函数的定义域决定的.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin
α-sin
β成立.( )
(3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan
α+tan
β成立.( )
(4)对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.( )
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin
α-sin
β.
(3)√.当α=0,β=时,tan(α+β)=tan=tan
0+tan
,但一般情况下不成立.
(4)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+(k∈Z).
2.化简cos(x+y)sin
y-sin(x+y)cos
y等于( )
A.sin(x+2y)
B.-sin(x+2y)
C.sin
x
D.-sin
x
【解析】选D.cos(x+y)·sin
y-sin(x+y)cos
y=sin[y-(x+y)]=-sin
x.
3.(教材二次开发:例题改编)若tan
α=3,tan
β=,则tan(α-β)=( )
A.
B.
C.-
D.-3
【解析】选A.因为tan
α=3,tan
β=,所以tan(α-β)===.
4.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin
φcos
x的最大值为________.?
【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sin
φcos
x=cos
φsin
x-sin
φcos
x=sin(x-φ),又-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.
答案:1
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的正弦公式的应用(数学抽象)
角度1 化简求值?
【典例】1.的值是( )
A.
B.
C.1
D.
2.若sin=,cos=,且0<α<<β<,则cos(α+β)的值为________.?
【思路导引】1.由sin
40°=sin套用两角差的正弦公式化简可求值.
2.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式.
【解析】1.选A.原式==
=
=
=.
2.因为0<α<<β<,所以<+α<π,-<-β<0,
又已知sin=,cos=,
所以cos=-,sin=-.
所以cos(α+β)=sin=
sin
=sincos-cossin=×-×=-.
答案:-
本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值.
的值是
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.原式==
=
=
=.
角度2 给值求角?
【典例】已知α,β均为锐角,且sin
α=,cos
β=,则α-β=________.?
【思路导引】先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值.
【解析】因为α,β均为锐角,且sin
α=,cos
β=,
所以cos
α=,sin
β=.
所以sin
(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,所以-<α-β<,故α-β=-.
答案:-
1.解决给角求值问题的一般思路
(1)非特殊角型:把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°=45°-30°或15°=60°-45°),直接应用公式求值.
(2)逆用结构型:把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体,借助诱导公式等工具,构造两角和与差的正余弦公式的展开式,然后逆用公式求值.
2.给值求角问题的解题步骤
①求所求角的某个三角函数值;
②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,或范围过大或过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
1.若cos
α=-,α是第三象限的角,则sin=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.因为cos
α=-,α是第三象限的角,所以sin
α=-,由两角和的正弦公式可得sin=sin
αcos+cos
αsin
=×+×
=-.
2.已知α∈,β∈,且cos(α-β)=,sin
β=-,求sin
α.
【解析】因为α∈,β∈,
所以α-β∈(0,π).
因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=.因为β∈,sin
β=-,
所以cos
β=.所以sin
α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β
=×+×=.
3.已知sin
α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,求β.
【解析】因为α为锐角,sin
α=,所以cos
α=.因为-<α-β<且sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=,所以sin
β=sin[(β-α)+α]
=sin(β-α)cos
α+cos(β-α)sin
α=×+×=,因为β为锐角,所以β=.
【补偿训练】
若锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=,则sin
β的值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为cos
α=,cos(α+β)=,α,β∈,所以sin
α=,sin(α+β)=.所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α=×-×=.
4.在△ABC中,3sin
A+4cos
B=6,3cos
A+4sin
B=1,则C的大小为( )
A.
B
C.或
D.或
【解析】选A.由已知可得(3sin
A+4cos
B)2+(3cos
A+4sin
B)2=62+12,即9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)=.所以在△ABC中,sin
C=,所以C=或C=.又1-3cos
A=4sin
B>0,所以cos
A<.
又<,所以A>,所以C<,所以C=不符合题意,所以C=.
5.求下列各式的值:
(1)cos
105°+sin
195°;
(2)sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°;
(3)sin
-cos
.
【解析】(1)cos
105°+sin
195°
=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)
=-sin
15°-sin
15°=-2sin
15°=-2sin(45°-30°)
=-2(sin
45°·cos
30°-cos
45°·sin
30°)
=-2=.
(2)sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°
=sin
14°cos
16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin
14°cos
16°+cos
14°sin
16°
=sin(14°+16°)=sin
30°=.
(3)方法一:sin
-cos
=2
=2
=-2cos
=-2cos=-2×=-.
方法二:sin
-cos
=2
=2
=-2sin=-2sin
=-2×=-.
类型二 两角和与差的正切公式的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.计算=________.?
2.tan
72°-tan
42°-tan
72°tan
42°=________.?
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为,.求:
(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的值.
【思路点拨】1.先用“tan45°=1”替换,再利用两角和的正切公式求值.
2.利用两角差的正切公式的变形公式解决.
3.(1)由三角函数的定义得出角α,β的正弦、余弦值,求出它们的正切值,利用两角和的正切公式解决.
(2)由α+2β=(α+β)+β,利用两角和的正切公式解决.
【解析】1.原式==tan(45°+15°)=tan
60°=1.
答案:1
2.原式=tan(72°-42°)(1+tan
72°·tan
42°)-tan
72°tan
42°=tan
30°(1+tan
72°tan
42°)-tan
30°tan
72°tan
42°=tan
30°=.
答案:
3.(1)由已知条件及三角函数的定义可知,
cos
α=,cos
β=.因为α为锐角,故sin
α>0,
从而sin
α==.
同理可得sin
β=.因此tan
α=7,tan
β=.
即tan(α+β)===-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=
=-1.
又0<α<,0<β<,故0<α+2β<,
从而由tan(α+2β)=-1得α+2β=π.
1.公式Tα+β,Tα-β
应用的解题策略
(1)公式Tα+β,Tα-β有tan
α·tan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),
tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可求出第三个;
(2)化简过程中注意“1”与“tan
”,“”与“tan
”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
2.解决给值求角问题的选择原则
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.
1.化简求值:
(1)tan
75°;(2).
【解析】(1)tan75°=tan(45°+30°)====
=2+.
(2)原式==tan(60°-15°)=tan
45°=1.
2.设方程x2+3x+4=0的两根为tan
α,tan
β,且0<|α|<,0<|β|<,求α+β的值.
【解析】由已知,得tan
α+tan
β=-3,tan
αtan
β=4.
所以tan(α+β)===,
且tan
α<0,tan
β<0,所以-<α<0,-<β<0,
所以-π<α+β<0,所以α+β=-π.
【补偿训练】
1.求值tan
.
【解析】tan
=tan===2-.
2.已知tan
α=,tan
β=-2,且0<α<<β<π,
求:(1)tan(α-β)的值;
(2)角α+β的值.
【解析】(1)因为tan
α=,tan
β=-2,
所以tan(α-β)===7.
(2)tan(α+β)===-1,
因为0<α<<β<π,所以<α+β<,所以α+β=.
课堂检测·素养达标
1.计算sin
43°cos
13°-cos
43°sin
13°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.sin
43°cos
13°-cos
43°sin
13°=sin(43°-13°)
=sin
30°=.
2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin
Bcos
C,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选D.因为sin(B+C)=2sin
Bcos
C,
所以sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2sin
Bcos
C,
即sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0,所以sin(B-C)=0,
所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
3.计算=( )
A.-1
B.1
C.
D.-
【解析】选C.=tan(82°-22°)=tan
60°=.
4.(教材二次开发:例题改编)计算
=________.?
【解析】因为tan
10°+tan
50°=tan
60°-tan
60°tan
10°tan
50°,
所以=-.
答案:-
5.已知tan
α,tan
β是方程x2+x-2=0的两个根,且-<α<,-<β<,求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得
故tan
α与tan
β一正一负,不妨设tan
α>0,tan
β<0,
则0<α<,-<β<0,所以-<α+β<,
又tan(α+β)==-,所以α+β=-.
三十 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
(15分钟 30分)
1.若tan=3,则tan
α的值为( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选B.tan
α=tan===-.
2.若sin(α-β)cos
α-cos(α-β)sin
α=m,且β为第三象限角,则cos
β的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由条件得,sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin
β=m,所以sin
β=-m.又因为β为第三象限角,所以cos
β=-=-.
3.在△ABC中,cos
Acos
B>sin
Asin
B,则△ABC为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判定
【解析】选C.因为cos
Acos
B-sin
Asin
B=cos(A+B)>0,-cos
C>0,所以cos
C<0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形.
4.在△ABC中,C=120°,tan
A+tan
B=,则tan
A·tan
B=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为C=120°,则A+B=60°,又tan(A+B)=,故=,所以tan
Atan
B=.
5.已知tan=,tan=2.
求:(1)tan;(2)tan(α+β).
【解析】(1)tan
=tan
=
=
=-.
(2)tan(α+β)=tan
=
=
=2-3.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若tan
28°·tan
32°=m,则tan
28°+tan
32°=( )
A.m
B.(1-m)
C.(m-1)
D.(m+1)
【解析】选B.tan(28°+32°)=tan
60°===,
所以tan
28°+tan
32°=(1-m).
【补偿训练】
的值为( )
A.-1 B.1 C.- D.
【解析】选B.原式==tan(105°-60°)=tan
45°=1.
2.已知cos+sin
α=,则sin的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.因为cos+sin
α=,
所以cos
αcos
+sin
αsin
+sin
α=,
所以cos
α+sin
α=,即cos
α+sin
α=,所以sin=,
所以sin=-sin=-.
3.如果=,那么等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.==,所以nsin
αcos
β+ncos
αsin
β=msin
αcos
β-mcos
αsin
β,所以(m-n)sin
αcos
β=(m+n)cos
αsin
β,
所以=,即=.
4.在△ABC中,若0Btan
C<1,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不能确定
【解析】选B.方法一:由条件知,tan
B>0,tan
C>0,所以tan(B+C)=>0.
所以B+C为锐角,从而A为钝角,从而△ABC是钝角三角形.
方法二:因为0Btan
C<1,所以B,C均为锐角,
所以<1,所以cos(B+C)>0,
所以cos
A<0,所以A为钝角.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知cos
α=-,且α∈,则tan等于________.?
【解析】因为cos
α=-,且α∈,
所以sin
α=.所以tan
α==-,
所以tan==7.
答案:7
【补偿训练】
已知tan=,tan=-,则tan
=________.?
【解析】tan
=tan
==.
答案:
6.若(tan
α-1)(tan
β-1)=2,则tan(α+β)=________,α+β=________.?
【解析】(tan
α-1)(tan
β-1)=2?tan
αtan
β-tan
α-tan
β+1=2?tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1?=-1,
即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ-(k∈Z)
答案:-1 kπ-(k∈Z)
三、解答题
7.(10分)求下列各式的值;
(1)sin
119°sin
181°-sin
91°sin
29°.
(2);
(3)tan
78°-tan
33°-tan
78°tan
33°.
【解析】(1)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin
29°
=cos
29°(-sin
1°)-cos
1°sin
29°
=-(sin
29°cos
1°+cos
29°sin
1°)
=-sin(29°+1°)=-sin
30°=-.
(2)原式=tan(75°-15°)=tan
60°=.
(3)tan
45°=1=,
所以tan
78°-tan
33°=1+tan
78°tan
33°,
所以tan
78°-tan
33°-tan
78°tan
33°=1.
【补偿训练】
1.tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)].
【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角函数式的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数;另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°,而30°是特殊角,根据这两个特征,很容易联想到正切的和角公式.
【解析】因为tan
[(18°-x)+(12°+x)]==tan
30°=,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)].所以原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+×[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.
2.是否存在锐角α,β,使得
(1)α+2β=,
(2)tan
tan
β=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.
【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,
(2)tan
tan
β=2-同时成立.由(1)得+β=,
所以tan==.
又tan
tan
β=2-,所以tan
+tan
β=3-,
因此tan
,tan
β可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根.
解得x1=1,x2=2-.
若tan
=1,则α=,这与α为锐角矛盾.
所以tan
=2-,tan
β=1,所以α=,β=.
所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.
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2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
必备知识·自主学习
1.两角和与差的正弦公式
名称
简记
符号
公式
使用条件
两角和
的正弦
_____
sin(α+β)=
__________________________
α,β∈R
两角差
的正弦
_____
sin(α-β)=
__________________________
α,β∈R
Sα+β
sin
αcos
β+cos
αsin
β
Sα-β
sin
αcos
β-cos
αsin
β
【思考】
对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦
公式的方法吗?
提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘
余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
2.两角和与差的正切公式
名称
简记
符号
公式
使用条件
两角和
的正切
Tα+β
tan(α+β)=
____________
α,β,α+β≠kπ+
(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠1
两角差
的正切
Tα-β
tan(α-β)=
α,β,αβ≠kπ+
(k∈Z)且tan
α·tan
β≠-1
【思考】
(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)=
由此能否推导出两角
和的正切公式?
提示:能.tan(α+β)=
,分子分母同除以cos
α
cos
β可得tan(α+β)=
.
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+
(k∈Z)?
提示:这是由正切函数的定义域决定的.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin
α-sin
β成立.
( )
(3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan
α+tan
β成立.
( )
(4)对任意α,β∈R,tan(α+β)=
都成立.
( )
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin
α-sin
β.
(3)√.当α=0,β=
时,tan(α+β)=tan
=tan
0+tan
,但一般情况
下不成立.
(4)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+
(k∈Z).
2.化简cos(x+y)sin
y-sin(x+y)cos
y等于
( )
A.sin(x+2y) B.-sin(x+2y)
C.sin
x
D.-sin
x
【解析】选D.cos(x+y)·sin
y-sin(x+y)cos
y=sin[y-(x+y)]=-sin
x.
3.(教材二次开发:例题改编)若tan
α=3,tan
β=
,则tan(α-β)=( )
A.
B.
C.-
D.-3
【解析】选A.因为tan
α=3,tan
β=
,所以tan(α-β)=
=
.
4.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin
φcos
x的最大值为________.?
【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sin
φcos
x=cos
φsin
x-sin
φcos
x
=sin(x-φ),又-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.
答案:1
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的正弦公式的应用(数学抽象)
角度1 化简求值?
【典例】1.
的值是
( )
A.
B.
C.1
D.
2.若sin
=
,cos
=
,且0<α<
<β<
,则cos(α+β)的值
为________.?
【思路导引】1.由sin
40°=sin
套用两角差的正弦公式化简可求值.
2.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式.
【解析】1.选A.原式=
=
2.因为0<α<
<β<
,所以
<
+α<π,-
<
-β<0,
又已知sin
=
,cos
=
,
所以cos
=-
,sin
=-
.
所以cos(α+β)=sin
=sin
=sin
cos
-cos
sin
=
.
答案:-
【变式探究】
本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象
与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值.
的值是
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.原式=
=
角度2 给值求角?
【典例】已知α,β均为锐角,且sin
α=
,cos
β=
,则α-β=_______.?
【思路导引】先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三
角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值.
【解析】因为α,β均为锐角,且sin
α=
,cos
β=
,
所以cos
α=
,sin
β=
.
所以sin
(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β=
=-
.
又因为α,β均为锐角,所以-
<α-β<
,故α-β=-
.
答案:-
【解题策略】
1.解决给角求值问题的一般思路
(1)非特殊角型:把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°=45°-30°或15°
=60°-45°),直接应用公式求值.
(2)逆用结构型:把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体,借助诱导公式
等工具,构造两角和与差的正余弦公式的展开式,然后逆用公式求值.
2.给值求角问题的解题步骤
①求所求角的某个三角函数值;
②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,或范围过大或
过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一
种三角函数值.
【题组训练】
1.若cos
α=-
,α是第三象限的角,则sin
=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.因为cos
α=-
,α是第三象限的角,所以sin
α=-
,由两角
和的正弦公式可得sin
=sin
αcos
+cos
αsin
=
.
2.已知α∈
,β∈
,且cos(α-β)=
,sin
β=-
,求sin
α.
【解析】因为α∈
,β∈
,
所以α-β∈(0,π).
因为cos(α-β)=
,所以sin(α-β)=
.因为β∈
,sin
β=-
,
所以cos
β=
.所以sin
α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β
=
.
3.已知sin
α=
,sin(α-β)=-
,α,β均为锐角,求β.
【解析】因为α为锐角,sin
α=
,所以cos
α=
.因为-
<α-β<
且sin(α-β)=-
,所以cos(α-β)=
,所以sin
β=sin[(β-α)+α]
=sin(β-α)cos
α+cos(β-α)sin
α=
,因为β为
锐角,所以β=
.
【补偿训练】
若锐角α,β满足cos
α=
,cos(α+β)=
,则sin
β的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为cos
α=
,cos(α+β)=
,α,β∈
,所以sin
α=
,sin(α+β)=
.
所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=
.
4.在△ABC中,3sin
A+4cos
B=6,3cos
A+4sin
B=1,则C的大小为
( )
A.
B.
C.
或
D.
或
【解析】选A.由已知可得(3sin
A+4cos
B)2+(3cos
A+4sin
B)2=62+12,即9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)=
.所以在△ABC中,sin
C=
,所以
C=
或C=
.又1-3cos
A=4sin
B>0,所以cos
A<
.又
<
,所以A>
,
所以C<
,所以C=
不符合题意,所以C=
.
5.求下列各式的值:
(1)cos
105°+sin
195°;
(2)sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°;
(3)sin
-
cos
.
【解析】(1)cos
105°+sin
195°
=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)
=-sin
15°-sin
15°=-2sin
15°=-2sin(45°-30°)
=-2(sin
45°·cos
30°-cos
45°·sin
30°)
=-2
.
(2)sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°
=sin
14°cos
16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin
14°cos
16°+cos
14°sin
16°
=sin(14°+16°)=sin
30°=
.
(3)方法一:sin
-
cos
=2
=2
=-2cos
=-2cos
=-2×
=-
.
方法二:sin
-
cos
=2
=2
=-2sin
=-2sin
=-2×
=-
.
类型二 两角和与差的正切公式的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.计算
=________.?
2.tan
72°-tan
42°-
tan
72°tan
42°=________.?
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边
分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为
,
.求:
(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的值.
【思路点拨】1.先用“tan45°=1”替换,再利用两角和的正切公式求值.
2.利用两角差的正切公式的变形公式解决.
3.(1)由三角函数的定义得出角α,β的正弦、余弦值,求出它们的正切值,利用
两角和的正切公式解决.
(2)由α+2β=(α+β)+β,利用两角和的正切公式解决.
【解析】1.原式=
=
tan(45°+15°)=
tan
60°=1.
答案:1
2.原式=tan(72°-42°)(1+tan
72°·tan
42°)-
tan
72°tan
42°=
tan
30°(1+tan
72°tan
42°)-tan
30°tan
72°tan
42°=tan
30°=
.
答案:
3.(1)由已知条件及三角函数的定义可知,
cos
α=
,cos
β=
.因为α为锐角,故sin
α>0,
从而sin
α=
.
同理可得sin
β=
.因此tan
α=7,tan
β=
.
即tan(α+β)=
=
=-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=
=-1.
又0<α<
,0<β<
,故0<α+2β<
,
从而由tan(α+2β)=-1得α+2β=
π.
【解题策略】
1.公式Tα+β,Tα-β
应用的解题策略
(1)公式Tα+β,Tα-β有tan
α·tan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),
tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可求出第三个;
(2)化简过程中注意“1”与“tan
”,“
”与“tan
”等特殊数与
特殊角的函数值之间的转化.
2.解决给值求角问题的选择原则
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是
,选正弦或余弦
函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是
,选正弦较好.
【跟踪训练】
1.化简求值:
(1)tan
75°;(2)
.
【解析】(1)tan
75°=tan(45°+30°)=
=
=
=
.
(2)原式=
=tan(60°-15°)=tan
45°=1.
2.设方程x2+3
x+4=0的两根为tan
α,tan
β,且0<|α|<
,0<|β|<
,
求α+β的值.
【解析】由已知,得tan
α+tan
β=-3
,tan
αtan
β=4.
所以tan(α+β)=
=
=
,
且tan
α<0,tan
β<0,所以-
<α<0,-
<β<0,
所以-π<α+β<0,所以α+β=-
π.
【补偿训练】
1.求值tan
.
【解析】tan
=tan
=
=
.
2.已知tan
α=
,tan
β=-2,且0<α<
<β<π,
求:(1)tan(α-β)的值;
(2)角α+β的值.
【解析】(1)因为tan
α=
,tan
β=-2,
所以tan(α-β)=
=
=7.
(2)tan(α+β)=
=
=-1,
因为0<α<
<β<π,所以
<α+β<
,所以α+β=
.
1.计算sin
43°cos
13°-cos
43°sin
13°的结果等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.sin
43°cos
13°-cos
43°sin
13°=sin(43°-13°)=
sin
30°=
.
课堂检测·素养达标
2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin
Bcos
C,则△ABC是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选D.因为sin(B+C)=2sin
Bcos
C,
所以sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2sin
Bcos
C,
即sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0,所以sin(B-C)=0,
所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
3.计算
=
( )
A.-1
B.1
C.
D.-
【解析】选C.
=tan(82°-22°)=tan
60°=
.
4.(教材二次开发:例题改编)计算
=________.?
【解析】因为tan
10°+tan
50°=tan
60°-tan
60°tan
10°tan
50°,
所以
.
答案:-
5.已知tan
α,tan
β是方程x2+
x-2=0的两个根,且-
<α<
,-
<β<
,
求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得
故tan
α与tan
β一正一负,不妨设tan
α>0,tan
β<0,
则0<α<
,-
<β<0,所以-
<α+β<
,
又tan(α+β)=
,所以α+β=-
.
三十 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.若tan
=3,则tan
α的值为
( )
A.-2 B.-
C.
D.2
【解析】选B.tan
α=tan
课时素养评价
2.若sin(α-β)cos
α-cos(α-β)sin
α=m,且β为第三象限角,则cos
β的
值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由条件得,sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin
β=m,所以sin
β=-m.
又因为β为第三象限角,所以cos
β=-
=-
.
3.在△ABC中,cos
Acos
B>sin
Asin
B,则△ABC为
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判定
【解析】选C.因为cos
Acos
B-sin
Asin
B=cos(A+B)>0,-cos
C>0,所以cos
C
<0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形.
4.在△ABC中,C=120°,tan
A+tan
B=
,则tan
A·tan
B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为C=120°,则A+B=60°,又tan(A+B)=
,故
,所以tan
Atan
B=
.
5.已知tan
=
,tan
=2
.
求:(1)tan
;
(2)tan(α+β).
【解析】(1)tan
(2)tan(α+β)=tan
=2
-3.
【能力进阶——水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若tan
28°·tan
32°=m,则tan
28°+tan
32°=( )
A.
m
B.
(1-m)
C.
(m-1)
D.
(m+1)
【解析】选B.tan(28°+32°)=tan
60°
所以tan
28°+tan
32°=
(1-m).
【补偿训练】
的值为
( )
A.-1 B.1 C.-
D.
【解析】选B.原式=
=tan(105°-60°)=tan
45°=1.
2.已知cos
+sin
α=
,则sin
的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.因为cos
+sin
α=
,所以cos
αcos
+sin
αsin
+sin
α=
,
所以
cos
α+
sin
α=
,即
cos
α+
sin
α=
,所以sin
=
,所以sin
=-sin
=-
.
3.如果
,那么
等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
=
=
,
所以nsin
αcos
β+ncos
αsin
β=msin
αcos
β-mcos
αsin
β,
所以(m-n)sin
αcos
β=(m+n)cos
αsin
β,
所以
=
,即
=
.
4.在△ABC中,若0Btan
C<1,则△ABC是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不能确定
【解析】选B.方法一:由条件知,tan
B>0,tan
C>0,所以tan(B+C)=
>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角,从而△ABC是钝角三角形.
方法二:因为0Btan
C<1,所以B,C均为锐角,所以
<1,所以
cos(B+C)>0,所以cos
A<0,所以A为钝角.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知cos
α=-
,且α∈
,则tan
等于________.?
【解析】因为cos
α=-
,且α∈
,
所以sin
α=
.所以tan
α=
=-
,
所以tan
=
=7.
答案:7
【补偿训练】
已知tan
=
,tan
=-
,则tan
=________.?
【解析】tan
=tan
=
.
答案:
6.若(tan
α-1)(tan
β-1)=2,则tan(α+β)=________,α+β=________.?
【解析】(tan
α-1)(tan
β-1)=2?tan
αtan
β-tan
α-tan
β+1=2?
tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1?
=-1,
即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ-
(k∈Z)
答案:-1 kπ-
(k∈Z)
三、解答题
7.(10分)求下列各式的值;
(1)sin
119°sin
181°-sin
91°sin
29°.
(2)
;
(3)tan
78°-tan
33°-tan
78°tan
33°.
【解析】(1)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin
29°
=cos
29°(-sin
1°)-cos
1°sin
29°
=-(sin
29°cos
1°+cos
29°sin
1°)
=-sin(29°+1°)=-sin
30°=-
.
(2)原式=tan(75°-15°)=tan
60°=
.
(3)tan
45°=1=
,
所以tan
78°-tan
33°=1+tan
78°tan
33°,
所以tan
78°-tan
33°-tan
78°tan
33°=1.
【补偿训练】
1.tan(18°-x)tan(12°+x)+
[tan(18°-x)+tan(12°+x)].
【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角函数式
的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数;
另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°,而30°是特殊角,根据
这两个特征,很容易联想到正切的和角公式.
【解析】因为tan
[(18°-x)+(12°+x)]=
=tan
30°
=
,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=
[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)].
所以原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+
×
[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.
2.是否存在锐角α,β,使得
(1)α+2β=
,
(2)tan
tan
β=2-
同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,
说明理由.
【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=
,
(2)tan
tan
β=2-
同时成立.由(1)得
+β=
,
所以tan
=
=
.
又tan
tan
β=2-
,
所以tan
+tan
β=3-
,
因此tan
,tan
β可以看成是方程x2-(3-
)x+2-
=0的两个根.
解得x1=1,x2=2-
.
若tan
=1,则α=
,这与α为锐角矛盾.
所以tan
=2-
,tan
β=1,所以α=
,β=
.
所以满足条件的α,β存在,且α=
,β=
.
