(共70张PPT)
2.3 三角函数的叠加及其应用
必备知识·自主学习
辅助角公式:asin
x+bcos
x=
·sin(x+φ)(或asin
x+bcos
x=
·
cos(x-φ)),其中sin
φ=
,cos
φ=
(或cos
φ=
,
sin
φ=
).
【思考】
1.辅助角公式是如何推导出来的?
提示:推导过程:asin
x+bcos
x=
,令cos
φ=
,sin
φ=
,则asin
x+bcos
x=
(sin
xcos
φ+cos
x
sin
φ)=
sin(x+φ).
2.形如
sin
α±cos
α的式子通常如何变形?
提示:
sin
α±cos
α=2（
）
=2sin
.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin
α+sin
β都不成立.( )
(2)sin
54°cos
24°-sin
36°sin
24°=sin
30°.( )
(3)tan
=
.( )
(4)2sin
35°-3cos
35°=
sin(35°+φ)(其中tan
φ=-
).( )
提示:(1)×.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin
α+sin
β成立.
(2)√.因为sin
54°cos
24°-sin
36°sin
24°
=sin
54°cos
24°-cos
54°sin
24°=sin(54°-24°)
=sin
30°,故原式正确.
(3)×.tan
无意义,应用两角和与差的正切公式时一定要注意α,β≠
kπ+
(k∈Z)这一条件.
(4)×.tan
φ=-
.
2.若0<α<β<
,sin
α+cos
α=a,sin
β+cos
β=b,则( )
A.a>b B.a
2
【解析】选B.a=
sin
,b=
sin
.因为f(x)=
sin
在
上是增函数,0<α<β<
,所以f(α)3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=2cos
x+sin
x的最大值为________.?
【解析】f(x)=
sin(x+φ)=
sin(x+φ)≤
.
答案:
4.若A=18°,B=27°,则(1+tan
A)(1+tan
B)的值是________.?
【解析】原式=tan
A+tan
B+tan
Atan
B+1=tan(18°+27°)·(1-tan
18°
tan
27°)+tan
18°·tan
27°+1=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 辅助角公式的应用(数学抽象)
【题组训练】
【典例】1.cos
α-
sin
α化简的结果可以是( )
A.
cos
B.2cos
C.
cos
D.2cos
2.若函数f(x)=5cos
x+12sin
x在x=θ时取得最小值,则cos
θ等于( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】1.选B.cos
α-
sin
α=2
=2
=2cos
.
2.选B.f(x)=5cos
x+12sin
x
=13
=13sin(x+α),
其中sin
α=
,cos
α=
,
由题意知θ+α=2kπ-
(k∈Z)得θ=2kπ-
-α(k∈Z),
所以cos
θ=cos
=cos
=-sin
α=-
.
【解题策略】
辅助角公式的应用
把形如y=asin
x+bcos
x的式子化为y=
sin(x+φ),可进一步研究函数的
周期性、单调性、最值与对称性.
【补偿训练】
1.函数f(x)=sin
x-cos
x,x∈
的最小值为( )
A.-2
B.-
C.-
D.-1
【解析】选D.f(x)=
sin
,因为0≤x≤
,
所以-
≤x-
≤
,-
≤sin
≤
,
所以f(x)的最小值为-1.
2.已知sin
=
,则cos
x+cos
的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.cos
x+cos
=cos
x+
cos
x+
sin
x=
cos
x+
sin
x
=
sin
=
.
类型二 两角和与差的三角公式的应用(数学运算)
角度1 给角求值?
【典例】1.sin
20°cos
40°+cos
20°sin
140°=( )
A.-
B.
C.-
D.
2.求值
sin
+cos
=________.?
3.tan
23°+tan
37°+
tan
23°·tan
37°=________.?
【解析】1.选B.sin
20°cos
40°+cos
20°sin
140°=sin
20°·cos
40°
+cos
20°sin
40°=sin(20°+40°)=sin
60°=
.
2.原式=2
=2
=2sin
=2sin
=
.
答案:
3.因为tan
60°=
=
,
所以tan
23°+tan
37°=
-
tan
23°tan
37°,
所以tan
23°+tan
37°+
tan
23°tan
37°=
.
答案:
【变式探究】
若将题2改为“
sin
-cos
”,又如何求值?
【解析】
sin
-cos
=2
=2
=2sin
=2sin
=
.
【解题策略】
解决化简求值问题的注意事项
(1)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如tan
45°=1,tan
30°=
,tan
60°=
等.特别要注意tan
=
,tan
=
.
(2)公式的变形运用
只要见到tan
α±tan
β,tan
αtan
β时,就要有灵活变形应用公式Tα±β的
意识,从而不难获得解题思路.
角度2 给值求值(角)?
【典例】1.已知cos
=
(α为锐角),则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
2.已知cos
α=
,α∈(0,π),tan(α-β)=
,求tan
β及tan(2α-β).
3.已知cos
α=
,sin(α+β)=
,0<α<
,0<β<
,求角β的值.
【解析】1.选D.因为α∈
,所以α+
∈
.所以sin
=
=
=
.
所以sin
α=sin
=sin
cos
-cos
sin
=
=
.
2.因为cos
α=
>0,α∈(0,π),所以sin
α>0.
所以sin
α=
,所以tan
α=
.
所以tan
β=tan[α-(α-β)]
=
;
tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
=
=2.
3.因为0<α<
,cos
α=
,所以sin
α=
.
又因为0<β<
,所以0<α+β<π.因为sin(α+β)=
α,
所以cos(α+β)=-
,所以sin
β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=
×
-
×
=
.
又因为0<β<
,所以β=
.
【变式探究】
若把题3中的“0<β<
”改为“
<β<π”,求角β的值.
【解析】因为0<α<
,cos
α=
,所以sin
α=
.
又因为
<β<π,所以
<α+β<
.
因为sin(α+β)=
,所以cos(α+β)=-
,
所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=
×
-
×
=
.
又因为
<β<π,所以β=
.
【解题策略】
解决给值求值(角)问题的常用策略
(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式
求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该
角的大小.
【注意】在给值求角的问题中,根据角的范围确定角的大小.
角度3 两角和与差三角公式的综合应用?
【典例】在△ABC中,tan
B+tan
C+
tan
Btan
C=
,
tan
A+
tan
B
+1=tan
Atan
B,试判断△ABC的形状.
【思路导引】将题干所给式子化简结合两角和的正切求解△ABC各个角的值进
而判断△ABC的形状.
【解析】由tan
B+tan
C+
tan
Btan
C=
,
得tan
B+tan
C=
(1-tan
Btan
C),
因为A,B,C为△ABC的内角,所以1-tan
Btan
C≠0,所以
,
即tan(B+C)=
,
因为0.
由
tan
A+
tan
B+1=tan
Atan
B,
得
(tan
A+tan
B)=-(1-tan
Atan
B),
因为A,B,C为△ABC的内角,所以1-tan
Atan
B≠0,
所以
,
即tan(A+B)=-
.
因为0.
又A+B+C=π,所以A=
,B=C=
,所以△ABC为等腰三角形.
【解题策略】
公式应用的常见问题类型及处理策略
(1)方程中的应用:两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及
乘积,往往会与一元二次方程联系在一起,利用根与系数的关系解决有关问题.
(2)判断三角形形状:利用公式及其变形形式,结合题中所给的条件找到角之间
的关系.
【题组训练】
1.
=( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.
=
=tan
30°=
.
2.已知
<β<α<
,cos(α-β)=
,sin(α+β)=-
,求cos
2α与
cos
2β的值.
【解析】因为
<β<α<
,所以0<α-β<
,π<α+β<
.
所以sin(α-β)=
=
,
cos(α+β)=-
.
所以cos
2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=
;
cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=
.
3.已知tan
α=
,sin
β=
,且α,β为锐角,求α+2β的值.
【解析】因为tan
α=
<1且α为锐角,所以0<α<
.
又因为sin
β=
<
=
且β为锐角.
所以0<β<
,所以0<α+2β<
.①
由sin
β=
,β为锐角,得cos
β=
,所以tan
β=
.
所以tan(α+β)=
=
,
所以tan(α+2β)=
=
.②
由①②可得α+2β=
.
4.已知tan
α,tan
β是关于x的方程x2-4px-3=0(p∈R)的两个实数根,且α+β≠kπ+
(k∈Z),求cos2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)的值.
【解析】因为tan
α,tan
β是方程x2-4px-3=0的两实根,所以根据根与系数
的关系,得tan
α+tan
β=4p,tan
αtan
β=-3,
所以tan(α+β)=
=p,
即sin(α+β)=pcos(α+β).
原式=(1+p2)cos2(α+β)=
=1.
【补偿训练】
cos
cos
-sin
sin
=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.cos
cos
-sin
sin
=cos
=cos
=
.
1.tan
15°+tan
105°等于( )
A.-2
B.2+
C.4
D.
【解析】选A.tan
15°+tan
105°=tan(45°-30°)+tan(45°+60°)
=
.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)sin
347°cos
148°+sin
77°cos
58°=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式=sin(360°-13°)·cos(180°-32°)+sin(90°-13°)
cos(90°-32°)=sin
13°cos
32°+cos
13°sin
32°=sin(13°+32°)
=sin
45°=
.
3.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos
x-sin
x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】选A.f(x)=cos
x-sin
x=
cos
在
上单调递减,所以
[-a,a]?
,故-a≥-
且a≤
,解得0.
4.已知tan(α+β)=7,tan
α=
,且β∈(0,π),则β的值为________.?
【解析】方法一:tan
β=tan[(α+β)-α]=
=1,
又因为β∈(0,π),所以β=
.
方法二:tan(α+β)=
,
将tan(α+β)=7,tan
α=
代入上式得7=
,解得tan
β=1.
因为β∈(0,π),所以β=
.
答案:
5.已知cos(α+β)=
,cos(α-β)=
,求tan
α·tan
β的值.
【解析】cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=
①
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=
,②
由①②整理得
则tan
αtan
β=
.
三十一 三角函数的叠加及其应用
基础通关—水平一(15分钟 35分)
1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin
的值为
( )
【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sin
α=
,cos
α=-
,
所以sin
=
课时素养评价
2.若α是锐角,且满足
,则cos
α的值为
( )
【解析】选B.因为α是锐角,且
>0,所以α-
也为锐角,所以
3.已知
,则tan
α=________.?
【解析】因为
,所以
,解得tan
α=
.
答案:
【补偿训练】
已知tan(α+β)=3,tan
=2,那么tan
β=________.?
【解析】
=2,则tan
α=
,又tan(α+β)=
=3,
所以tan
β=
.
答案:
4.已知sin
α+cos
β=1,cos
α+sin
β=0,则sin(α+β)=________.?
【解析】由sin
α+cos
β=1与cos
α+sin
β=0分别平方相加得sin2α+
2sin
αcos
β+cos2β+cos2α+2cos
αsin
β+sin2β=1即2+2sin
αcos
β
+2cos
αsin
β=1,
所以sin(α+β)=-
.
答案:-
5.已知cos
αcos
β-sin
αsin
β=0,那么sin
αcos
β+cos
αsin
β的值
为________.?
【解析】因为cos
αcos
β-sin
αsin
β=cos(α+β)=0,所以α+β=kπ+
,k∈Z,
所以sin
αcos
β+cos
αsin
β=sin(α+β)=±1.
答案:±1
6.已知tan
=2,tan
β=
,
求
的值.
【解析】由
解得tan
α=
.
所以
=tan(β-α)=
能力进阶—水平二(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan
α=
( )
A.0
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos
αcos
β-sin
αsin
β
=sin
αcos
β-cos
αsin
β,所以cos
α(sin
β+cos
β)=sin
α(cos
β
+sin
β).因为α,β均为锐角,所以sin
β+cos
β≠0,所以cos
α=sin
α,
所以tan
α=1.
2.若f(x)=3sin
x-4cos
x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以
是
( )
【解析】选D.因为f(x)=3sin
x-4cos
x=5sin(x-φ)
则sin(a-φ)=±1,
所以a-φ=kπ+
,k∈Z,即a=kπ+
+φ,k∈Z,
而tan
φ=
且0<φ<
,所以
<φ<
,
所以kπ+
.
3.设a=sin
14°+cos
14°,b=sin
16°+cos
16°,c=
,则下列结论正确的
是
( )
A.aB.bC.cD.a【解析】选D.因为a=sin
14°+cos
14°=
sin(45°+14°)=
sin
59°,
b=sin
16°+cos
16°=
sin(45°+16°)=
sin
61°,c=
=
sin
60°,又因为函数y=
sin
x在0°sin
59°<
sin
60°<
sin
61°,所以a4.已知cos
α=-
且α∈
,则tan
等于
( )
A.-
B.-7
C.
D.7
【解析】选D.因为cos
α=-
,且α∈
,
所以sin
α=
,所以tan
α=
所以
5.已知α∈
,tan
α=2,则cos
等于
( )
【解析】选C.由tan
α=2得sin
α=2cos
α,
又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=
.
因为α∈
,所以cos
α=
,sin
α=
.
因为
6.在△ABC中,cos
A=
,cos
B=
,则△ABC是
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】选B.由题意得sin
A=
,sin
B=
,所以cos
C=cos(π-A-B)=
-cos(A+B)=-cos
Acos
B+sin
Asin
B=
所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知锐角α,β满足sin
α=
,cos
β=
,则α+β=________.?
【解析】因为α,β为锐角,sin
α=
,cos
β=
,所以cos
α=
,
sin
β=
.
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
=
因为0<α+β<π,所以α+β=
π.
答案:
8.已知α,β均为锐角,且tan
β=
,则tan(α+β)=________,
α+β=________.?
【解析】因为tan
β=
所以tan
β+tan
αtan
β=1-tan
α.
所以tan
α+tan
β+tan
αtan
β=1.
所以tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β.
又因为1-tanαtan
β≠0,
所以
=1,所以tan(α+β)=1;
由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=
.
答案:1
【补偿训练】
已知tan
α=
,cos
β=
且0<α<
<β<2π,则α+β的值为
________.?
【解析】因为
<β<2π且cos
β=
,所以sin
β=-
,所以tan
β=
=-2,所以tan(α+β)=
=-1,又因为0<α<
,
所以
<α+β<
,所以α+β=
π.
答案:
π
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知
其中
求角α+β的值.
【解析】因为
,所以
-α<0.
因为
,所以
由已知可得
则cos(α+β)=cos
因为
<α+β<π,所以α+β=
.
10.已知tan(α-β)=
,tan
β=-
,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【解析】tan
α=tan[(α-β)+β]=
又因为α∈(0,π),而tan
α>0,所以α∈
.
tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=
因为tan
β=-
,β∈(0,π),
所以β∈
,所以α-β∈(-π,0).
由tan(α-β)=
>0,得α-β∈
,
所以2α-β∈(-π,0).
又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-
.
【创新迁移】
(1+tan
21°)(1+tan
22°)(1+tan
23°)(1+tan
24°)的值为
( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan
21°)(1+tan
24°)=2,(1+tan
22°)(1+tan
23°)=2,故(1+tan
21°)(1+tan
22°)(1+tan
23°)(1+tan
24°)=4.温馨提示：
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2.3 三角函数的叠加及其应用
必备知识·自主学习
导思
辅助角公式是如何推导出的?
辅助角公式:asin
x+bcos
x=·sin(x+φ)(或asin
x+bcos
x=·cos(x-φ)),其中sin
φ=,cos
φ=(或cos
φ=,sin
φ=).
1.辅助角公式是如何推导出来的?
提示:推导过程:asin
x+bcos
x
=,
令cos
φ=,sin
φ=,则asin
x+bcos
x=(sin
xcos
φ+cos
xsin
φ)=sin(x+φ).
2.形如sin
α±cos
α的式子通常如何变形?
提示:sin
α±cos
α=2
=2sin.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin
α+sin
β都不成立.( )
(2)sin
54°cos
24°-sin
36°sin
24°=sin
30°.( )
(3)tan=.( )
(4)2sin
35°-3cos
35°=sin(35°+φ)(其中tan
φ=-).( )
提示:(1)×.当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin
α+sin
β成立.
(2)√.因为sin
54°cos
24°-sin
36°sin
24°
=sin
54°cos
24°-cos
54°sin
24°=sin(54°-24°)
=sin
30°,故原式正确.
(3)×.tan
无意义,应用两角和与差的正切公式时一定要注意α,β≠kπ+(k∈Z)这一条件.
(4)×.tan
φ=-.
2.若0<α<β<,sin
α+cos
α=a,sin
β+cos
β=b,则( )
A.a>b
B.aC.ab<1
D.ab>2
【解析】选B.a=sin,b=sin.因为f(x)=sin在上是增函数,0<α<β<,所以f(α)3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=2cos
x+sin
x的最大值为________.?
【解析】f(x)=sin(x+φ)=sin(x+φ)≤.
答案:
4.若A=18°,B=27°,则(1+tan
A)(1+tan
B)的值是________.?
【解析】原式=tan
A+tan
B+tan
Atan
B+1=tan(18°+27°)·(1-tan
18°tan
27°)+tan
18°·tan
27°+1=2.
答案:2
关键能力·合作学习
类型一 辅助角公式的应用(数学抽象)
【典例】1.cos
α-sin
α化简的结果可以是( )
A.cos
B.2cos
C.cos
D.2cos
2.若函数f(x)=5cos
x+12sin
x在x=θ时取得最小值,则cos
θ等于( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】1.选B.cos
α-sin
α=2
=2=2cos.
2.选B.f(x)=5cos
x+12sin
x
=13=13sin(x+α),
其中sin
α=,cos
α=,
由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z)得θ=2kπ--α(k∈Z),
所以cos
θ=cos=cos
=-sin
α=-.
辅助角公式的应用
把形如y=asin
x+bcos
x的式子化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
【补偿训练】
1.函数f(x)=sin
x-cos
x,x∈的最小值为( )
A.-2
B.-
C.-
D.-1
【解析】选D.f(x)=sin,因为0≤x≤,
所以-≤x-≤,-≤sin≤,
所以f(x)的最小值为-1.
2.已知sinx+=,则cos
x+cos的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.cos
x+cos
=cos
x+cos
x+sin
x=cos
x+sin
x
=sin=.
类型二 两角和与差的三角公式的应用(数学运算)
角度1 给角求值?
【典例】1.sin
20°cos
40°+cos
20°sin
140°=( )
A.-
B.
C.-
D.
2.求值sin
+cos
=________.?
3.tan
23°+tan
37°+tan
23°·tan
37°=________.?
【解析】1.选B.sin
20°cos
40°+cos
20°sin
140°=sin
20°·cos
40°+cos
20°sin
40°=sin(20°+40°)=sin
60°=.
2.原式=2
=2
=2sin
=2sin
=.
答案:
3.因为tan
60°==,
所以tan
23°+tan
37°=-tan
23°tan
37°,
所以tan
23°+tan
37°+tan
23°tan
37°=.
答案:
若将题2改为“sin
-cos
”,又如何求值?
【解析】sin
-cos
=2
=2=2sin
=2sin
=.
解决化简求值问题的注意事项
(1)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换,如tan
45°=1,tan
30°=,tan
60°=等.特别要注意tan=,tan=.
(2)公式的变形运用
只要见到tan
α±tan
β,tan
αtan
β时,就要有灵活变形应用公式Tα±β的意识,从而不难获得解题思路.
角度2 给值求值(角)?
【典例】1.已知cos=(α为锐角),则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
2.已知cos
α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan
β及tan(2α-β).
3.已知cos
α=,sin(α+β)=,0<α<,0<β<,求角β的值.
【解析】1.选D.因为α∈,所以α+∈.所以sin===.
所以sin
α=sin=sincos-cossin
=×-×=.
2.因为cos
α=>0,α∈(0,π),所以sin
α>0.
所以sin
α===,
所以tan
α===.
所以tan
β=tan[α-(α-β)]
==
=;
tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
===2.
3.因为0<α<,cos
α=,所以sin
α=.
又因为0<β<,所以0<α+β<π.因为sin(α+β)=α,所以cos(α+β)=-,所以sin
β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=×-×=.
又因为0<β<,所以β=.
若把题3中的“0<β<”改为“<β<π”,求角β的值.
【解析】因为0<α<,cos
α=,
所以sin
α=.
又因为<β<π,所以<α+β<.
因为sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-,
所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α=×-×=.
又因为<β<π,所以β=.
解决给值求值(角)问题的常用策略
(1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解.
(2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小.
【注意】在给值求角的问题中,根据角的范围确定角的大小.
角度3 两角和与差三角公式的综合应用?
【典例】在△ABC中,tan
B+tan
C+tan
Btan
C=,tan
A+tan
B+1=tan
Atan
B,试判断△ABC的形状.
【思路导引】将题干所给式子化简结合两角和的正切求解△ABC各个角的值进而判断△ABC的形状.
【解析】由tan
B+tan
C+tan
Btan
C=,
得tan
B+tan
C=(1-tan
Btan
C),
因为A,B,C为△ABC的内角,所以1-tan
Btan
C≠0,
所以=,
即tan(B+C)=,
因为0由tan
A+tan
B+1=tan
Atan
B,
得(tan
A+tan
B)=-(1-tan
Atan
B),
因为A,B,C为△ABC的内角,所以1-tan
Atan
B≠0,
所以=-,
即tan(A+B)=-.
因为0又A+B+C=π,所以A=,B=C=,所以△ABC为等腰三角形.
公式应用的常见问题类型及处理策略
(1)方程中的应用:两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积,往往会与一元二次方程联系在一起,利用根与系数的关系解决有关问题.
(2)判断三角形形状:利用公式及其变形形式,结合题中所给的条件找到角之间的关系.
1.=( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.==tan
30°=.
2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos
2α与cos
2β的值.
【解析】因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<.
所以sin(α-β)==
=,
cos(α+β)=-=-=-.
所以cos
2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=×-×=-;
cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-.
3.已知tan
α=,sin
β=,且α,β为锐角,求α+2β的值.
【解析】因为tan
α=<1且α为锐角,所以0<α<.
又因为sin
β=<=且β为锐角.
所以0<β<,所以0<α+2β<.①
由sin
β=,β为锐角,得cos
β=,所以tan
β=.所以tan(α+β)===,
所以tan(α+2β)=
==1.②
由①②可得α+2β=.
4.已知tan
α,tan
β是关于x的方程x2-4px-3=0(p∈R)的两个实数根,且α+β≠kπ+(k∈Z),求cos2(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)的值.
【解析】因为tan
α,tan
β是方程x2-4px-3=0的两实根,所以根据根与系数的关系,
得tan
α+tan
β=4p,tan
αtan
β=-3,
所以tan(α+β)===p,
即sin(α+β)=pcos(α+β).
原式=(1+p2)cos2(α+β)===1.
【补偿训练】
cos
cos
-sin
sin
=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.cos
cos
-sin
sin
=cos
=cos
=.
课堂检测·素养达标
1.tan
15°+tan
105°等于( )
A.-2
B.2+
C.4
D.
【解析】选A.tan
15°+tan
105°=tan(45°-30°)+tan(45°+60°)
=+=-2.
2.(教材二次开发:练习改编)sin
347°cos
148°+sin
77°cos
58°=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.原式=sin(360°-13°)·cos(180°-32°)+sin(90°-13°)
cos(90°-32°)=sin
13°cos
32°+cos
13°sin
32°=sin(13°+32°)=
sin
45°=.
3.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos
x-sin
x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】选A.f(x)=cos
x-sin
x=cos在上单调递减,所以[-a,a]?,故-a≥-且a≤,解得04.已知tan(α+β)=7,tan
α=,且β∈(0,π),则β的值为________.?
【解析】方法一:tan
β=tan[(α+β)-α]
===1,
又因为β∈(0,π),所以β=.
方法二:tan(α+β)=,
将tan(α+β)=7,tan
α=代入上式得7=,解得tan
β=1.
因为β∈(0,π),所以β=.
答案:
5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan
α·tan
β的值.
【解析】cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=①
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=,②
由①②整理得
则tan
αtan
β=
==-.
课时素养评价
三十一 三角函数的叠加及其应用
(15分钟 35分)
1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为( )
A. B.- C. D.-
【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sin
α=,cos
α=-,
所以sin=sin
αcos+cos
αsin
=×-×=.
2.若α是锐角,且满足sin=,则cos
α的值为( )
A. B.
C.
D.
【解析】选B.因为α是锐角,且sin=>0,所以α-也为锐角,所以cos===,
cos
α=cos=cos·cos
-sinsin
=×-×=.
3.已知tan=,则tan
α=________.?
【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan
α=.
答案:
【补偿训练】
已知tan(α+β)=3,tan=2,那么tan
β=________.?
【解析】tan==2,则tan
α=,又tan(α+β)==3,
所以tan
β=.
答案:
4.已知sin
α+cos
β=1,cos
α+sin
β=0,则sin(α+β)=________.?
【解析】由sin
α+cos
β=1与cos
α+sin
β=0分别平方相加得sin2α+
2sin
αcos
β+cos2β+cos2α+2cos
αsin
β+sin2β=1即2+2sin
αcos
β+2cos
αsin
β=1,
所以sin(α+β)=-.
答案:-
5.已知cos
αcos
β-sin
αsin
β=0,那么sin
αcos
β+cos
αsin
β的值为________.?
【解析】因为cos
αcos
β-sin
αsin
β=cos(α+β)=0,所以α+β=kπ+,k∈Z,
所以sin
αcos
β+cos
αsin
β=sin(α+β)=±1.
答案:±1
6.已知tan=2,tan
β=,
求的值.
【解析】由tan==2,
解得tan
α=.
所以
=
==
=tan(β-α)=
==.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan
α=( )
A.0
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos
αcos
β-sin
αsin
β=sin
αcos
β-cos
αsin
β,所以cos
α(sin
β+cos
β)=sin
α(cos
β+sin
β).因为α,β均为锐角,所以sin
β+cos
β≠0,所以cos
α=sin
α,所以tan
α=1.
2.若f(x)=3sin
x-4cos
x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是
( )
A. B.
C.
D.
【解析】选D.因为f(x)=3sin
x-4cos
x=5sin(x-φ)
,
则sin(a-φ)=±1,
所以a-φ=kπ+,k∈Z,即a=kπ++φ,k∈Z,
而tan
φ=且0<φ<,所以<φ<,
所以kπ+3.设a=sin
14°+cos
14°,b=sin
16°+cos
16°,c=,则下列结论正确的是
( )
A.aB.bC.cD.a【解析】选D.因为a=sin
14°+cos
14°=sin(45°+14°)=sin
59°,b=
sin
16°+cos
16°=sin(45°+16°)=sin
61°,c==sin
60°,又因为函数y=sin
x在0°59°60°61°,所以a4.已知cos
α=-且α∈,则tan等于( )
A.-
B.-7
C.
D.7
【解析】选D.因为cos
α=-,且α∈,
所以sin
α=,所以tan
α==-,
所以tan==7.
5.已知α∈,tan
α=2,则cos等于( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.由tan
α=2得sin
α=2cos
α,
又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.
因为α∈,所以cos
α=,sin
α=.
因为cos=cos
αcos+sin
αsin
=×+×=.
6.在△ABC中,cos
A=,cos
B=,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】选B.由题意得sin
A=,sin
B=,所以cos
C=cos(π-A-B)
=-cos(A+B)=-cos
Acos
B+sin
Asin
B=-×+×=-=-=-<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知锐角α,β满足sin
α=,cos
β=,则α+β=________.?
【解析】因为α,β为锐角,sin
α=,cos
β=,所以cos
α=,
sin
β=.
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
=×-×=-.因为0<α+β<π,所以α+β=π.
答案:
8.已知α,β均为锐角,且tan
β=,则tan(α+β)=________,
α+β=________.?
【解析】因为tan
β==.所以tan
β+tan
αtan
β=1-tan
α.
所以tan
α+tan
β+tan
αtan
β=1.
所以tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β.
又因为1-tanαtan
β≠0,
所以=1,所以tan(α+β)=1;
由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=.
答案:1
【补偿训练】
已知tan
α=,cos
β=且0<α<,<β<2π,则α+β的值为________.?
【解析】因为<β<2π且cos
β=,所以sin
β=-,所以tan
β==-2,所以tan(α+β)===-1,又因为0<α<,所以<α+β<π,所以
α+β=π.
答案:π
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知sin=-,sin=,其中<α<,<β<,求角α+β的值.
【解析】因为<α<,所以-<-α<0.
因为<β<,所以<+β<.
由已知可得cos=,cos=-,
则cos(α+β)=cos
=coscos+sinsin
=×+×=-.
因为<α+β<π,所以α+β=.
10.已知tan(α-β)=,tan
β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【解析】tan
α=tan[(α-β)+β]=
==.
又因为α∈(0,π),而tan
α>0,所以α∈.
tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
===1.
因为tan
β=-,β∈(0,π),
所以β∈,所以α-β∈(-π,0).
由tan(α-β)=>0,得α-β∈,
所以2α-β∈(-π,0).
又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-.
(1+tan
21°)(1+tan
22°)(1+tan
23°)(1+tan
24°)的值为( )
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan
21°)(1+tan
24°)=2,(1+tan
22°)(1+tan
23°)=2,故(1+tan
21°)(1+tan
22°)(1+tan
23°)(1+tan
24°)=4.
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