温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
2.4 积化和差与和差化积公式
新课程标准
学业水平要求
能运用积化和差与和差化积公式进行简单的恒等变换
★水平一1.能通过和差角公式推出积化和差公式,能通过积化和差公式推出和差化积公式.(逻辑推理)2.了解积化和差与和差化积公式的结构形式,并能利用公式解决简单的求值问题.(数学运算)★水平二进一步掌握三角恒等变换的公式,并能利用公式解决化简、求值及证明问题.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.积化和差公式与两角和差公式有怎样的关系?2.和差化积公式与积化和差公式有怎样的关系?
积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
sin
αcos
β=[sin(α+β)+sin(α-β)],
cos
αsin
β=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cos
αcos
β=[cos(α+β)+cos(α-β)],
sin
αsin
β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
(2)和差化积公式
sin
x+sin
y=2sincos,
sin
x-sin
y=2cossin,
cos
x+cos
y=2coscos,
cos
x-cos
y=-2sinsin.
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β
,则α=,β=
,从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin
xsin
y=[cos(x-y)-cos(x+y)].( )
(2)cos
α+cos
β=2coscos.( )
(3)已知α-β=,cos
α+cos
β=,
则cos=.( )
提示:(1)√.积化和差公式.
(2)√.和差化积公式.
(3)√.因为α-β=,cos
α+cos
β=2coscos=2coscos=,
所以cos=.
2.若cos
xcos
y+sin
xsin
y=,sin
2x+sin
2y=,则sin(x+y)=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为cos
xcos
y+sin
xsin
y=,
所以cos(x-y)=,
因为sin
2x+sin
2y=,
所以2sin(x+y)cos(x-y)=,
所以2sin(x+y)·=,
所以sin(x+y)=.
3.(教材二次开发:例题改编)=________.?
【解析】原式==tan
30°=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一 利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用积化和差、和差化积公式化简求值?
【典例】求下列各式的值:
(1)sin+sin;
(2)cos-cos;
(3)cos273°+cos247°+cos
73°cos
47°;
(4)2coscos+cos+cos.
【思路导引】
(1)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(2)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(3)利用配方法,结合积化和差公式,化简求得表达式的值.
(4)利用积化和差公式、诱导公式,化简求得表达式的值.
【解析】(1)sin+sin
=2sincos
α=cos
α.
(2)cos-cos
=-2sinsin
φ=-sin
φ.
(3)cos273°+cos247°+cos
73°cos
47°
=-cos
73°cos
47°
=4cos2
60°·cos213°-
=cos213°+-cos213°+=.
(4)2coscos+cos+cos
=cos+cos+cos+cos
=cosπ+cos+cos+cos
=cosπ+cos+cos+cos
=cosπ+cos-cos-cos=0.
本题考查三角函数式的化简求值问题,同时考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
若把本例(3)改为+,试求其值.
【解析】+=+
=
==
==2cos
30°=.
角度2 利用积化和差、和差化积公式证明恒等式?
【典例】证明:(1)=;
(2)=tan.
【思路导引】(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可;
(2)利用和差角公式展开,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果.
【证明】(1)左边=
=
=
==右边.
(2)左边=
=
==tan=右边.
(1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.
(2)在运用积化和差求值时,尽量出现特殊角,同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
总之,在进行化简求值时要看角的形式,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系,合理选择和、差角,辅助角,积化和差与和差化积公式等方法进行.
1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于( )
A.-
B.
C.-a
D.a
【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)
=(sin
αcos
β+cos
αsin
β)(sin
αcos
β-cos
αsin
β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a.
2.证明:tan-tan=.
【证明】方法一:tan-tan=-
=
===.
方法二:====-
=tan-tan.
【补偿训练】
证明下列恒等式.
(1)=tan.
(2)=.
【证明】(1)=
===tan.
(2)
=
=.
类型二 利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=-与g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3的图象在(0,π)内至少有一个公共点,求a的取值范围.
四步
内容
理解题意
条件:①已知f(x)=-;②已知g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3;③f(x)与g(x)的图象在(0,π)内至少有一个公共点.结论:求满足条件的a的取值范围.
思路探求
由和差化积公式将sin-sin化简为2cossin
x,再利用和差角公式将sin
x换成sin展开化简,再利用积化和差化简,最后,参变量分离出a后利用基本不等式求解.
续表
四步
内容
书写表达
因为函数f(x)=-与g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3的图象在(0,π)内至少有一个公共点,所以-=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3在(0,π)内至少有一个解,即sinx-sin=2sin,所以2cosxsin
x=2sin,2cosxcos=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3,cos
2x+cos
x=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3,所以a=(1+cos
x)+,令1+cos
x=t,t∈(0,2),所以a≥2,当且仅当x=时等号成立,所以a的取值范围是[2,+∞).注意书写的规范性:注意换元后的新元的取值范围,这也是本题的易错之处.
题后反思
不同角的正余弦和差及乘积出现时,通常利用和差化积与积化和差公式进行化简与求值,此时需熟悉并能正确地应用好此公式.
(1)利用积化和差、和差化积公式,一定要清楚这些公式的形式特征,理解公式间的关系.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到的类型:
①形如y=asin
x+bcos
x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin
x+c或y=acos2x+bcos
x+c的三角函数,可先设sin
x=t或cos
x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
求函数f(x)=cos+cos,x∈的最值.
【解析】cos+cos=2coscos,
cos=cos=coscos-sinsin=.
所以f(x)=2cos·cosπ=cos.
因为x∈,
所以x+∈.
所以cos∈,
所以f(x)的最大值为,最小值为×=.
【拓展延伸】
积化和差与和差化积公式在三角形中的应用
涉及三角形的有关问题时,在化简过程中要注意隐含条件A+B=π-C及=-的利用,要注意运用三角恒等变换(切化弦、常值代换、引入辅助角、和差化积与积化和差、角的代换)来解决问题.
【典例】若△ABC的三个内角A,B,C满足cos
2A-cos
2B=2sin2C,试判断△ABC的形状.
【思路导引】利用和差化积公式得到sin(A-B)+
sin(A+B)=0,化简得到2sin
Acos
B=0,进而求得答案.
【解析】cos
2A-cos
2B=-2sinsin=2sin2C,
所以sin+sin=0,
sin+sin=2sin
Acos
B=0,
所以cos
B=0,所以B=,故△ABC为直角三角形.
判定三角形形状的基本思路
对已知三角恒等式进行化简变形,可以把三角函数关系式最终化成角之间的关系,利用角之间的关系判定形状,在变形时注意合理利用内角和公式及其变形.
【拓展训练】
已知A+B+C=π,求证:sin
A+sin
B+sin
C=4coscoscos.
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=π-,=-,
所以sin
A+sin
B+sin
C=2sincos+sin=2sincos+
2sincos
=2sin=2sin×2coscos=2sin×2coscos
=4coscoscos.
类型三 积化和差与和差化积公式在最值方面的应用(逻辑推理)
【典例】1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)=coscos-
+,则f(x)的最小正周期和最大值分别为( )
A.π,
B.π,
C.2π,
D.2π,
2.在△ABC中,若B=30°,求cos
Asin
C的取值范围.
【思路导引】1.利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解;
2.利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称,然后分析求解.
【解析】1.选B.f(x)=
-+=cos-cos
2x
=sin
2x-cos
2x=sin,
所以最小正周期为π,最大值为.
2.由题意得cos
Asin
C=
=
=-sin.
因为B=30°,所以-150°
所以-1≤sin≤1,
所以-≤-sin≤,
所以cos
Asin
C的取值范围是.
1.三角函数的“三变”
重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.
(1)变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;
(2)变名:尽可能减少函数名称;
(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.角的三种变换
(1)常见的配角变换
α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],β=[(α+β)-(α-β)],+α=-.
(2)辅助角变换
asin
x+bcos
x=sin(x+φ),其中tan
φ=.
(3)注意常值的代换
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,=sin
30°,=cos
30°等.
(2020·重庆高一检测)如图,在四边形ABCD中A为锐角,2cos
Asin(A+C)
=sin.
(1)求A+C;
(2)设△ABD,△CBD的外接圆半径分别为r1,r2,若+≤恒成立,求实数m的最小值.
【解析】(1)由题知2cos
Asin(A+C)=sin[A+(A+C)]-sin[A-(A+C)]
=sin(2A+C)+sin
C=sin
C-cos
C,
即sin(2A+C)=sin
C-cos
C?sin(2A+C)
=sin,
因为2A+C>C-,
故2A+C≠C-.
所以2A+C+C-=π?A+C=.
(2)m≥+
=2sin
A+2sin
C=2sin
A+2sin
=2sin
A+2×cos
A-2×sin
A
=3sin
A+cos
A
=2sin,
因为A∈,故当A+=时,2sin有最大值2,
所以m≥2,即实数m的最小值为2.
备选类型 三角恒等式的一个推广(逻辑推理、数学运算)
【典例】求sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°的值.
【思路导引】本题中涉及到的角是非特殊的角,通常利用积化和差与和差化积公式进行计算化简.
【解析】令a=sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°,
b=cos220°+sin250°+cos20°sin
50°,
于是a+b=2+sin
70°,a-b=-cos
40°+cos
100°+sin(-30°)=-2sin
70°·
sin
30°-=-sin
70°-,两式相加可得a=,故sin2
20°+cos2
50°+sin
20°cos
50°=.
三角恒等式的一个推广
若x+y=k·360°+60°(k∈Z),
则sin2x+sin2y+sin
xsin
y为定值;
若x+y=k·360°+120°(k∈Z),
则sin2x+sin2y-sin
xsin
y为定值.
cos
2α-cos
αcos(60°+α)+sin
2(30°-α)的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.原式=cos
α·cos
α-cos
αcos(60°+α)+sin(30°-α)
·sin(30°-α)
=1+cos
2α-cos
(60°+2α)--cos
(60°-2α)
=-[cos
(60°+2α)+cos
(60°-2α)]+cos
2α
=-×2cos
60°cos
2α+cos
2α=.
课堂检测·素养达标
1.sin
37.5°cos
7.5°=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.原式=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin
45°+
sin
30°)=×=.
2.函数f(x)=2sin·sin的最大值是( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.f(x)=2sin·sin
=2×
=-cos+cos=-+cos≤-+1=,即f(x)的最大值为.
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·吴忠高一检测)已知α,β均为锐角,且
sin
2α=2sin
2β,则( )
A.tan(α+β)=3tan(α-β)
B.tan(α+β)=2tan(α-β)
C.3tan(α+β)=tan(α-β)
D.3tan(α+β)=2tan(α-β)
【解析】选A.因为sin
2α=2sin
2β,
所以====3,
即tan=3tan.
4.sin
20°·cos
70°+sin
10°·sin
50°=________.?
【解析】sin
20°·cos
70°+sin
10°·sin
50°
=+
=+
=-sin50°+cos
40°=-sin
50°+sin
50°=.
答案:
5.如果A+B+C=π,求证:cos
A+cos
B+cos
C=1+4sinsinsin.
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=π-,=-,
所以cos
A+cos
B+cos
C=2coscos-cos=2coscos-
=2cos+1=2cos·+1=1+4sin·sin·sin.
课时素养评价
三十二 积化和差与和差化积公式
(15分钟 30分)
1.求值:sin
20°+sin
40°+sin
60°-sin
80
°=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.sin
20°+sin
40°+sin
60°-sin
80°
=2sin
30°cos(-10°)+sin
60°-sin
80°
=2××sin
80°+-sin
80°=.
【补偿训练】
cos
40°+cos
60°+cos
80°+cos
160°的值为________.
【解析】原式=cos
40°+cos
80°+cos
60°-cos
20°
=2coscos+cos60°-cos20°
=2cos60°·cos+cos60°-cos20°=cos60°=.
答案:
2.在△ABC中sin
C=,则此三角形的形状是( )?
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.因为C=π-(A+B),
所以sin
C=sin(A+B)=,
所以2sincos=,
所以2cos2=1,即cos(A+B)=0,
所以A+B=,所以C=.
故此三角形为直角三角形.
3.函数y=sincos
x的最大值为( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.因为y=sincos
x
=
==sin-,
所以ymax=-=.
4.函数y=cos
x+cos的最大值是________.?
【解析】y=2coscos=cos,
所以ymax=.
答案:
5.已知sin
α+sin
β=,cos
α+cos
β=,求tan的值.
【解析】由sin
α+sin
β=,cos
α+cos
β=得,
2sincos=,
2coscos=,
两式相除得tan=,
则tan===.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin
α+sin
β=(cos
β-cos
α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
A.-π B.-
C.
D.π
【解析】选D.
因为α,β∈(0,π),
所以sin
α+sin
β>0.
所以cos
β-cos
α>0,cos
β>cos
α,
又在(0,π)上,y=cos
x是减函数.
所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知2sin·
cos=,
所以tan=,所以=,
所以α-β=.
2.在△ABC中,若B=45°,则cos
Asin
C的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【解析】选B.在△ABC中B=45°,
所以cos
Asin
C=
==-sin,
因为-1≤sin≤1,
所以≤cos
Asin
C≤.
3.函数f(x)=sincos是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】选D.f(x)=
==sin+,
所以T==π,f(x)为非奇非偶函数.
【补偿训练】
已知函数f(x)=g(x)cos
,若函数f(x)是周期为π的偶函数,则g(x)可以是( )
A.cos
x
B.sin
x
C.cos
D.sin
【解析】选D.当g(x)=cos
x时,f(x)=cos
xcos=cos+
,
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=sin
x时,f(x)=sin
xcos=sin-,
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=cos时,
f(x)=coscos=-sin
2x+,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=sin时,
f(x)=sincos=sin=cos
2x,
此时f(x)是偶函数,周期为π.
4.(2020·长沙高二检测)在△ABC中,sin
A+sin
Bsin
C的最大值为( )
A.+
B.2
C.
D.
【解析】选B.sin
A+sin
Bsin
C=sin
A+≤
sin
A+=sin
A+cos
A+≤+=2,
当且仅当sin
B=sin
C=,sin
A=时,等号成立,因此sin
A+sin
Bsin
C的最大值为2.
【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现多变角转化为一变角形式.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设函数f(x)=sin+cos,则( )
A.y=f(x)的最小值为-,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称
【解析】选AD.f(x)=sin
=sin=cos
2x,
所以y=f(x)在内单调递减,周期为π,
又f=cos
π=-是最小值,
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
6.满足sin
3x=cos
x的x的值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AB.由题意可得sin
3x-sin=0,由和差化积公式可得
2cossin=0,
则方程的根满足:=kπ或=kπ+,
整理可得x=π+或x=kπ+,
即方程的根为或.
【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知A+B=,那么1+(cos
2A+cos
2B)的最大值是________,最小值是________.?
【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后根据已知角及角对应三角函数值的范围求解.
【解析】因为A+B=,所以1+(cos
2A+cos
2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)
=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,
原式取得最大值;
当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.
答案:
8.(2020·温州高一检测)函数y=sin-sinx的值域是________.?
【解析】y=sin-sin
x=2cos·sin=cos.
因为x∈,所以x+∈.
故y∈.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列各式的值:
(1)cos+cos-2sincos;
(2)sin
138°-cos
12°+sin
54°.
【解析】(1)cos+cos-2sincos
=2cos·cos-cos
=2coscos-cos
=cos-cos=0.
(2)sin
138°-cos
12°+sin
54°
=sin
42°-cos
12°+sin
54°
=sin
42°-sin
78°+sin
54°
=-2cos
60°sin
18°+sin
54°
=sin
54°-sin
18°=2cos
36°sin
18°
==
===.
10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan+,若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?并证明你的结论.
【解析】不变.因为A,B,C是△ABC的三个内角,
所以A+B+C=π,=-.
所以y=tan
+
=tan+
=tan+tan+tan.
因此,任意交换两个角的位置,y的值不变.
形如的符号叫二阶行列式,现规定=a11a22-a21a12,如果f(θ)==,0<θ<π,求θ的值.
【解析】因为=,
所以f(θ)==cos
θsin-sin
θcos
=cos
θ-sin
θ=sin=,
因为-<-θ<,
所以-θ=,所以θ=.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共96张PPT)
2.4 积化和差与和差化积公式
必备知识·自主学习
导思
1.积化和差公式与两角和差公式有怎样的关系?
2.和差化积公式与积化和差公式有怎样的关系?
积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
sin
αcos
β=
[sin(α+β)+sin(α-β)],
cos
αsin
β=
[sin(α+β)-sin(α-β)],
cos
αcos
β=
[cos(α+β)+cos(α-β)],
sin
αsin
β=-
[cos(α+β)-cos(α-β)].
(2)和差化积公式
sin
x+sin
y=2sin
cos
,
sin
x-sin
y=2cos
sin
,
cos
x+cos
y=2cos
cos
,
cos
x-cos
y=-2sin
sin
.
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β
,则α=
,β=
,从而可以由积化和差
公式得到和差化积公式.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)sin
xsin
y=
[cos(x-y)-cos(x+y)].( )
(2)cos
α+cos
β=2cos
cos
.( )
(3)已知α-β=
,cos
α+cos
β=
,
则cos
=
.( )
提示:(1)√.积化和差公式.
(2)√.和差化积公式.
(3)√.因为α-β=
,cos
α+cos
β=2cos
cos
=2cos
cos
=
,
所以cos
=
.
2.若cos
xcos
y+sin
xsin
y=
,sin
2x+sin
2y=
,则sin(x+y)=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为cos
xcos
y+sin
xsin
y=
,
所以cos(x-y)=
,
因为sin
2x+sin
2y=
,
所以2sin(x+y)cos(x-y)=
,
所以2sin(x+y)·
=
,
所以sin(x+y)=
.
3.(教材二次开发:例题改编)
=________.?
【解析】原式=
答案:
关键能力·合作学习
类型一 利用积化和差、和差化积公式化简、求值、证明(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用积化和差、和差化积公式化简求值?
【典例】求下列各式的值:
(1)sin
+sin
;
(2)cos
-cos
;
(3)cos273°+cos247°+cos
73°cos
47°;
(4)2cos
cos
+cos
+cos
.
【思路导引】
(1)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(2)利用和差化积公式,进行化简所求表达式.
(3)利用配方法,结合积化和差公式,化简求得表达式的值.
(4)利用积化和差公式、诱导公式,化简求得表达式的值.
【解析】(1)sin
+sin
=2sin
cos
α=
cos
α.
(2)cos
-cos
=-2sin
sin
φ=-
sin
φ.
(3)cos273°+cos247°+cos
73°cos
47°
=
-cos
73°cos
47°
=4cos2
60°·cos213°-
=cos213°+
-cos213°+
=
.
【变式探究】
本题考查三角函数式的化简求值问题,同时考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
若把本例(3)改为
试求其值.
【解析】
角度2 利用积化和差、和差化积公式证明恒等式?
【典例】证明:(1)
(2)
【思路导引】(1)利用和差化积公式证明左边式子等于右边式子即可;
(2)利用和差角公式展开,之后再利用和差化积公式化简整理得到结果.
【证明】
(1)
(2)
【解题策略】 (1)套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不同名,要先化为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.
(2)在运用积化和差求值时,尽量出现特殊角,同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
总之,在进行化简求值时要看角的形式,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系,合理选择和、差角,辅助角,积化和差与和差化积公式等方法进行.
【题组训练】
1.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于( )
A.-
B.
C.-a
D.a
【解析】选C.sin(α+β)sin(α-β)
=(sin
αcos
β+cos
αsin
β)(sin
αcos
β-cos
αsin
β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β
=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)
=cos2β-cos2α=-a.
2.证明:
【证明】方法一:
方法二:
【补偿训练】
证明下列恒等式.
【证明】
类型二 利用积化和差、和差化积公式解决三角函数问题(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=
与g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3的图象在(0,π)内至少有一个公共点,求a的取值范围.
四步
内容
理解
题意
条件:①已知f(x)=
;
②已知g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3;
③f(x)与g(x)的图象在(0,π)内至少有一个公共点.
结论:求满足条件的a的取值范围.
四步
内容
思路
探求
由和差化积公式将sin
-sin
化简为
2cos
sin
x,再利用和差角公式将sin
x换成
sin
展开化简,再利用积化和差化简,最后,参变量分
离出a后利用基本不等式求解.
四步
内容
书写
表达
因为函数f(x)=
与g(x)=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3的图象在
(0,π)内至少有一个公共点,
所以
=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3在(0,π)内至少有一个解,
即sin
x-sin
=
所以
四步
内容
书写
表达
2cos
xcos
=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3,
cos
2x+cos
x=cos2x+a(1+cos
x)-cos
x-3,
所以a=(1+cos
x)+
,
令1+cos
x=t,t∈(0,2),
所以a≥2,当且仅当x=
时等号成立,所以a的取值范围是[2,+∞).
注意书写的规范性:注意换元后的新元的取值范围,这也是本题的易错
之处.
题后
反思
不同角的正余弦和差及乘积出现时,通常利用和差化积与积化和差公式进行化简与求值,此时需熟悉并能正确地应用好此公式.
【解题策略】
(1)利用积化和差、和差化积公式,一定要清楚这些公式的形式特征,理解公式间的关系.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到的类型:
①形如y=asin
x+bcos
x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c或y=Acos(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
②形如y=asin2x+bsin
x+c或y=acos2x+bcos
x+c的三角函数,可先设sin
x=t或cos
x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【题组训练】
求函数
的最值.
【解析】
因为x∈
所以
所以
所以f(x)的最大值为
,最小值为
【拓展延伸】
积化和差与和差化积公式在三角形中的应用
涉及三角形的有关问题时,在化简过程中要注意隐含条件A+B=π-C及
的利用,要注意运用三角恒等变换(切化弦、常值代换、引入
辅助角、和差化积与积化和差、角的代换)来解决问题.
【典例】若△ABC的三个内角A,B,C满足cos
2A-cos
2B=2sin2C,试判断△ABC的
形状.
【思路导引】利用和差化积公式得到sin(A-B)+sin(A+B)=0,化简得到2sin
A
cos
B=0,进而求得答案.
【解析】cos
2A-cos
2B
=-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C,
所以sin(A-B)+sin(A+B)=0,
sin(A-B)+sin(A+B)=2sin
Acos
B=0,
所以cos
B=0,所以B=
,故△ABC为直角三角形.
【解题策略】
判定三角形形状的基本思路
对已知三角恒等式进行化简变形,可以把三角函数关系式最终化成角之间的关系,利用角之间的关系判定形状,在变形时注意合理利用内角和公式及其变形.
【拓展训练】
已知A+B+C=π,求证:sin
A+sin
B+
sin
C=4cos
cos
cos
.
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=π-（A+B）,
=
,
所以
类型三 积化和差与和差化积公式在最值方面的应用(逻辑推理)
【典例】1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)=
则f(x)的最小正周期和最大值分别为( )
A.π,
B.π,
C.2π,
D.2π,
2.在△ABC中,若B=30°,求cos
Asin
C的取值范围.
【思路导引】1.利用积化和差公式化简并整理成正弦型函数再求解;
2.利用积化和差公式将两个角的两种名称改为两个角的一种名称,然后分析求解.
【解析】1.选B.f(x)
所以最小正周期为π,最大值为
.
2.由题意得
因为B=30°,所以-150°所以-1≤sin(A-C)≤1,
所以-
≤
-
sin(A-C)≤
,
所以cos
Asin
C的取值范围是
.
【解题策略】
1.三角函数的“三变”
重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.
(1)变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;
(2)变名:尽可能减少函数名称;
(3)变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.角的三种变换
(1)常见的配角变换
α=2·
,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=
[(α+β)+(α-β)],
β=
[(α+β)-(α-β)],
+α=
-
.
(2)辅助角变换
asin
x+bcos
x=
sin(x+φ),其中tan
φ=
.
(3)注意常值的代换
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,
=sin
30°,
=cos
30°等.
【跟踪训练】
(2020·重庆高一检测)如图,在四边形ABCD中A为锐角,2cos
Asin(A+C)=
sin
.
(1)求A+C;
(2)设△ABD,△CBD的外接圆半径分别为r1,r2,若
恒成立,求实数
m的最小值.
【解析】(1)由题知2cos
Asin(A+C)=sin[A+(A+C)]-sin[A-(A+C)]
=sin(2A+C)+sin
C=
sin
C-
cos
C,
即sin(2A+C)=
sin
C-
cos
C?sin(2A+C)
=sin
,
因为2A+C>C-
,
故2A+C≠C-
.
所以2A+C+C-
=π?A+C=
.
(2)
=2sin
A+2sin
C=2sin
A+2sin
=2sin
A+2×
cos
A-2×
sin
A
=3sin
A+
cos
A
=2
sin
,
因为A∈
,故当A+
=
时,2
sin
有最大值2
,
所以m≥2
,即实数m的最小值为2
.
备选类型 三角恒等式的一个推广(逻辑推理、数学运算)
【典例】求sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°的值.
【思路导引】本题中涉及到的角是非特殊的角,通常利用积化和差与和差化积公式进行计算化简.
【解析】令a=sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°,
b=cos220°+sin250°+cos20°sin
50°,
于是a+b=2+sin
70°,a-b=-cos
40°+cos
100°+sin(-30°)
=-2sin
70°·sin
30°-
=-sin
70°-
,两式相加可得a=
,
故sin2
20°+cos2
50°+sin
20°cos
50°=
.
【解题策略】
三角恒等式的一个推广
若x+y=k·360°+60°(k∈Z),
则sin2x+sin2y+sin
xsin
y为定值
;
若x+y=k·360°+120°(k∈Z),
则sin2x+sin2y-sin
xsin
y为定值
.
【跟踪训练】
cos
2α-cos
αcos(60°+α)+sin
2(30°-α)的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.原式=cos
α·cos
α-cos
αcos(60°+α)+
sin(30°-α)·sin(30°-α)
=1+
cos
2α-
cos
(60°+2α)-
-
cos
(60°-2α)
=
-
[cos
(60°+2α)+cos
(60°-2α)]+
cos
2α
=
-
×2cos
60°cos
2α+
cos
2α=
.
1.sin
37.5°cos
7.5°=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.原式=
[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]
=
(sin
45°+sin
30°)=
课堂检测·素养达标
2.函数f(x)=2sin
·sin
的最大值是( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.
即f(x)的最大值为
.
3.(教材二次开发:练习改编)(2020·吴忠高一检测)已知α,β均为锐角,且sin
2α=2sin
2β,则( )
A.tan(α+β)=3tan(α-β)
B.tan(α+β)=2tan(α-β)
C.3tan(α+β)=tan(α-β)
D.3tan(α+β)=2tan(α-β)
【解析】选A.因为sin
2α=2sin
2β,
所以
即tan(α+β)=3tan(α-β).
4.sin
20°·cos
70°+sin
10°·sin
50°=________.?
【解析】sin
20°·cos
70°+sin
10°·sin
50°
答案:
5.如果A+B+C=π,求证:cos
A+cos
B+cos
C=1+4
【证明】因为A+B+C=π,
所以C=
所以
课时素养评价
三十二 积化和差与和差化积公式
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.求值:sin
20°+sin
40°+sin
60°-sin
80
°=( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选C.sin
20°+sin
40°+sin
60°-sin
80°
=2sin
30°cos(-10°)+sin
60°-sin
80°
=2×
×sin
80°+
-sin
80°=
.
【补偿训练】
cos
40°+cos
60°+cos
80°+cos
160°的值为________.
【解析】原式=cos
40°+cos
80°+cos
60°-cos
20°
=2cos
cos
+cos60°-cos20°
=2cos60°·cos
+cos60°-cos20°=cos60°=
.
答案:
2.在△ABC中sin
C=
,则此三角形的形状是
( )?
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.因为C=π-(A+B),
所以sin
C=sin(A+B)=
,
所以
所以2cos2
=1,即cos(A+B)=0,
所以A+B=
,所以C=
.
故此三角形为直角三角形.
3.函数y=sin
cos
x的最大值为
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.因为
4.函数y=cos
x+cos
的最大值是________.
【解析】
所以ymax=
.
答案:
?
5.已知sin
α+sin
β=
,cos
α+cos
β=
,求tan
的值.
【解析】由sin
α+sin
β=
,cos
α+cos
β=
得,
两式相除得
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin
α+sin
β=
(cos
β-cos
α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则
α-β等于
( )
A.-
π B.-
C.
D.
π
【解析】选D.
因为α,β∈(0,π),
所以sin
α+sin
β>0.
所以cos
β-cos
α>0,cos
β>cos
α,
又在(0,π)上,y=cos
x是减函数.
所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知2sin
·
2.在△ABC中,若B=45°,则cos
Asin
C的取值范围是
( )
【解析】选B.在△ABC中B=45°,
所以
因为-1≤
≤1,
所以
≤cos
Asin
C≤
.
3.函数f(x)=
是
( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【解析】选D.
所以T=
=π,f(x)为非奇非偶函数.
【补偿训练】
已知函数f(x)=g(x)cos
,若函数f(x)是周期为π的偶函数,则g(x)可以
是
( )
A.cos
x
B.sin
x
C.cos
D.sin
【解析】选D.当g(x)=cos
x时,f(x)=
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
当g(x)=sin
x时,f(x)=
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;
此时f(x)是偶函数,周期为π.
4.(2020·长沙高二检测)在△ABC中,
sin
A+sin
Bsin
C的最大值为
( )
A.
+
B.2
C.
D.
【解析】选B.
sin
A+sin
Bsin
C=
sin
A+
当且仅当sin
B=sin
C=
,sin
A=
时,等号成立,因此
sin
A+
sin
Bsin
C的最大值为2.
【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现多变角转化为一变角形式.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.设函数f(x)=sin
+cos
,则
( )
A.y=f(x)的最小值为-
,其周期为π
B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为
C.y=f(x)在
单调递增,其图象关于直线x=
对称
D.y=f(x)在
单调递减,其图象关于直线x=
对称
【解析】选AD.
所以y=f(x)在
内单调递减,周期为π,
又f
=
cos
π=-
是最小值,
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=
对称.
6.满足sin
3x=cos
x的x的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AB.由题意可得sin
3x-sin
=0,由和差化积公式可得
则方程的根满足:
整理可得
即方程的根为
【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知A+B=
,那么1+
(cos
2A+cos
2B)的最大值是________,最小值是
________.?
【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后根据
已知角及角对应三角函数值的范围求解.
【解析】因为A+B=
,所以1+
(cos
2A+cos
2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos
cos(A-B)
=1-
cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,
原式取得最大值
;
当cos(A-B)=1时,原式取得最小值
.
答案:
8.(2020·温州高一检测)函数
的值域是________.?
【解析】
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列各式的值:
(1)cos
+cos
-2sin
cos
;
(2)sin
138°-cos
12°+sin
54°.
【解析】
(2)sin
138°-cos
12°+sin
54°
=sin
42°-cos
12°+sin
54°
=sin
42°-sin
78°+sin
54°
=-2cos
60°sin
18°+sin
54°
=sin
54°-sin
18°=2cos
36°sin
18°
10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=
,若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?并证明你的结论.
【解析】不变.因为A,B,C是△ABC的三个内角,
所以A+B+C=π,
所以
因此,任意交换两个角的位置,y的值不变.
【创新迁移】形如
的符号叫二阶行列式,现规定
=a11a22-a21a12,
如果f(θ)=
,0<θ<π,求θ的值.
【解析】因为
所以f(θ)=
因为
所以