(共108张PPT)
§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
必备知识·自主学习
1.倍角公式
(1)sin
2α=
______________(S2α).?
(2)cos
2α=
_____________
=
_________=1-2sin2α(C2α).
(3)tan
2α=___________(T2α).
导思
1.如何根据两角和差的正弦、余弦及正切公式推出二倍角公式?
2.二倍角公式有哪些变形式?
2sin
αcos
α
cos2α-sin2α
2cos2α-1
【思考】
(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗?
提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α的二倍角,3α是
α
的倍角,α是
的倍角,
是
的倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说
“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan
α有意义且分母1-tan2α≠0.
即α≠kπ+
且α≠kπ+
,k∈Z.
2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos
2α=cos2α-sin2α=(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
(2)配方变换
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
(3)升幂缩角变换
1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α=
(1+cos
2α),sin2α=
(1-cos
2α),
sinαcos
α=
sin
2α.
【思考】
以上公式的变换可以在做题中直接运用吗?
提示:可以,尤其是上面(4)应用的频率非常高.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
( )
(2)对于任意的角α,都有sin
2α=2sin
α成立.
( )
(3)存在角α,使cos
2α=2cos
α成立.
( )
(4)cos
3αsin
3α=
sin
6α对任意的角α都成立.
( )
提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠
+kπ(k∈Z)且α≠±
+kπ(k∈Z),故此说法正确.
(2)×.当α=
时,sin
2α=sin
,而2sin
α=2×
=1.
(3)√.由cos
2α=2cos
α=2cos2α-1,得cos
α=
时,cos
2α=2cos
α
成立.
(4)√.由倍角的正弦公式可得.
2.已知sin
x=
,则cos
2x的值为
( )
【解析】选A.因为sin
x=
,
所以cos
2x=1-2sin2
x=1-2×
.
3.(教材二次开发:例题改编)若tan
2α=2,则tan
4α=________.?
【解析】tan
4α=
.
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 倍角公式的求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°=________.?
2.计算:
=________.?
3.已知cos
,α∈
,则
=________.?
【解析】1.原式=cos
80°cos
60°cos
40°cos
20°=
答案:
2.原式=
.
答案:2
3.
=2cos
=2sin
,
因为0<α<
,所以0<
-α<
,
又
,所以
,
所以原式=2×
.
答案:
【解题策略】
1.倍角公式正用、逆用解题的关注点
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.
2.条件求值问题的解题实质
条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.
【补偿训练】
(2020·沈阳高一检测)已知sin
=
3cos(2π+α),其中α为锐角,
(1)求10sin2
的值;
(2)求
·tan
2α的值.
【解析】化简sin
=3cos(2π+α)得sin
α=
3cos
α,又因为sin2α+cos2α=1且α为锐角,
所以可得cos
α=
,sin
α=
.
且由sin
α=3cos
α可得tan
α=3.
(1)10sin2
=10sin2α-
cos
α-tan
α
=10×
-3=5.
(2)因为tan
2α=
;
cos
2α-sin
2α=cos2α-sin2α-2sin
αcos
α
,
所以
.
类型二 倍角公式的化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 化简问题?
【典例】化简
=________.?
【思路导引】结合二倍角公式化简求解.
【解析】原式=
=2|cos
4|-2|sin
4+cos
4|,
因为π<4<
,
所以cos
4<0,sin
4+cos
4<0.
所以原式=-2cos
4+2(sin
4+cos
4)=2sin
4.
答案:2sin
4
【变式探究】
化简
,其中θ∈(0,π).
【解析】
原式=
①当θ∈
时,
,
此时原式=sin
+cos
-cos
+sin
=2sin
.
②当θ∈
时,
∈
,cos
,
此时原式=sin
+cos
-sin
+cos
=2cos
.
角度2 恒等式证明问题?
【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
2Acos
2B.
【思路导引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.
【证明】左边=
=
=
(cos
2Acos
2B-sin
2Asin
2B+cos
2Acos
2B+
sin
2Asin
2B)=cos
2Acos
2B=右边,
所以等式成立.
【解题策略】
1.三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.
2.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
【题组训练】
1.cos4
-sin4
的化简结果为
( )
A.cos
B.cos
α
C.cos
2α
D.cos
4α
【解析】选B.cos4
-sin4
=
=cos
α.
2.化简:
.
【解析】原式=
=
=2.
3.求证:
cos2θ(1-tan2θ)=cos
2θ.
【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos
2θ=右边.故原式得证.
方法二:右边=cos
2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.
【补偿训练】
求证:
=tan
.
【证明】左边=
=
=
=
=右边,故原式得证.
类型三 倍角公式与三角函数性质的综合问题(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2
,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间
上的最大值和最小值.
【解题策略】
倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=
Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=2
sin
xcos
x-2cos2x+1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值.
(2)若f(x0)=
,x0∈
,求cos
2x0的值.
【解析】(1)由f(x)=2
sin
xcos
x-2cos2x+1,
得f(x)=
(2sin
xcos
x)-(2cos2x-1)
=
sin
2x-cos
2x=2sin
,
所以函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)=2sin
在区间
上为增函数,
在区间
上为减函数,
又f(0)=-1,f
=2,f
=-1,所以函数f(x)在
上的最大值为2,
最小值为-1.
(2)因为2sin
,所以sin
.
又x0∈
,所以2x0-
∈
,
所以cos
.
所以cos
2x0=cos
=cos
=
.
【拓展延伸】
倍角公式的广义理解
对于二倍角公式有广义上的理解.如8α是4α的二倍角;6α是3α的二倍角;3α
是
α的二倍角;
α是
α的二倍角;…….又如:α=2·
,
=2·
,…,
=2·
(n∈N
),
所以sin
=2sin
cos
(n∈N
),
cos
=cos2
-sin2
(n∈N
),
tan
=
(n∈N
).一般情况下,sin
2α≠2sin
α,
只有当α=nπ(n∈Z)时,sin
2α=2sin
α才成立,同样的cos
2α=2cos
α,
tan
2α=2tan
α在一般
情况下也不成立.
【拓展训练】
(2020·扬州高一检测)已知sin
α+cos
α=
,则sin
2α+cos
4α的
值为________.?
【思路导引】先平方求出sin
2α,再利用二倍角公式求出cos
4α,即可求解.
【解析】因为sin
α+cos
α=
,
所以
=1+sin
2α=
,
即sin
2α=-
,
cos
4α=1-2sin22α=1-2×
,
sin
2α+cos
4α=-
.
答案:
1.(2020·杭州高一检测)已知cos
x=
,则cos
2x=
( )
【解析】选D.由cos
x=
得cos
2x=2cos2x-1=2×
-1=
.
课堂检测·素养达标
2.若
,则tan
2α等于
( )
【解析】选B.因为
,
所以
,故tan
α=-3,
所以根据倍角公式,得tan
2α=
.
3.(教材二次开发:练习改编)(多选题)(2020·福州高一检测)若sin
α>sin
β
>0,则下列不等式中不一定成立的是
( )
A.sin
2α>sin
2β
B.cos
2α2β
C.cos
2α>cos
2β
D.sin
2α2β
【解析】选AD.因为cos
2α=1-2sin2α,
cos
2β=1-2sin2β,
因为sin
α>sin
β>0,
所以sin2α>sin2β>0,-2sin2α<-2sin2β,
则1-2sin2α<1-2sin2β,
即cos
2α2β,
则B一定成立,C一定不成立;
当α=
,β=
时,
sin
α>sin
β>0,sin
2α=1>
=sin
2β,
当α=
,β=
时,sin
α>sin
β>0,sin
2α=0<
=sin
2β,
则AD可能成立,也可能不成立.
4.函数f(x)=sin
-2
·sin2x的最小正周期是________.?
【解析】f(x)=sin
-2
sin2x
=
sin
2x-
cos
2x-2
×
=
sin
2x+
cos
2x-
=sin
,
故最小正周期为π.
答案:π
5.(2020·铜川高一检测)已知cos
β=
,sin(α-β)=
,且0<β<α<
.
(1)求tan
2β的值;(2)求sin
α的值.
【解析】(1)由cos
β=
,0<β<
,得sin
β=
则tan
2β=
.
(2)由0<β<α<
,得0<α-β<
,
所以cos(α-β)=
.
sin
α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β
=
.
三十三 二倍角公式
【基础通关——水平一】
(15分钟 35分)
1.(2020·成都高一检测)设单位向量e=
,则cos
2α的值为
( )
【解析】选A.由题设可得cos2α+
=1?cos2α=
,则cos
2α=2cos2α-
1=
.
课时素养评价
2.已知sin
2θ=-
,则tan
θ+
=
( )
【解析】选D.因为sin
2θ=2sin
θcos
θ=-
,
所以sin
θcos
θ=-
,
所以tan
θ+
.
【补偿训练】
设sin
α=
,tan(π-β)=
,则tan(α-2β)=( )
【解析】选D.因为sin
α=
,α∈
,
所以cos
α=-
,所以tan
α=-
.
又tan(π-β)=
,所以tan
β=-
,
所以tan
2β=
.
所以tan(α-2β)=
.
3.(2020·大理高一检测)已知角α+
的终边与单位圆x2+y2=1交于P
,
则sin
2α等于
( )
【解析】选A.由任意角三角函数定义可得sin
,则sin
2α=
-cos
=2sin2
-1=-
.
4.已知tan
α=
,则cos2α+sin
2α的结果为________.?
【解析】因为tan
α=
,所以
,
即2sin
α=cos
α,
所以sin2α+cos2α=
cos2α+cos2α=1,
即cos2α=
,所以cos2α+sin
2α=cos2α+2sin
α·cos
α=2cos2α=
.
答案:
5.(2020·广州高一检测)若sin
,则
cos
=________.?
【解析】已知sin
,且
,则cos
=
sin
,故cos
=2cos2
-1=-
.
答案:-
6.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)=
2sin
x(
cos
x+sin
x)-1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若f
,求sin
的值.
【解析】(1)f(x)=2
sin
xcos
x+2sin2x-1=
sin
2x-cos
2x=2sin
,
令-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,k∈Z,解得-
+kπ≤x≤
+kπ,
k∈Z,
故单调递增区间为
(k∈Z).
(2)由f
得sin
,
则sin
=sin
=cos
=1-2sin2
.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin
α+cos
α=
,0<α<π,则sin
2α+cos
2α=
( )
【解析】选A.因为sin
α+cos
α=
,①
所以1+2sin
αcos
α=
,
即2sin
αcos
α=sin
2α=-
,
所以1-2sin
αcos
α=(sin
α-cos
α)2=
.
因为sin
αcos
α<0,且0<α<π,
所以sin
α>0,cos
α<0,
所以sin
α-cos
α=
.②
①×②变形得cos2α-sin2α=cos
2α=-
,
所以sin
2α+cos
2α=-
.
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos
2α-8cos
α=5,则sin
α=
( )
【解析】选A.由3cos
2α-8cos
α=5,
得6cos2α-8cos
α-8=0,
即3cos2α-4cos
α-4=0,
解得cos
α=-
或cos
α=2(舍去),
又因为α∈(0,π),所以sin
α=
.
【补偿训练】
(2020·合肥高一检测)若cos
,则cos
=
( )
【解析】选C.cos
=cos
=cos
=cos
=2cos2
-1=2×
-1=-
.
3.(2020·石家庄高一检测)若角α∈
,β∈
,
sin
β=cos
-sin
,sin
α=
,则cos
β=
( )
【解析】选A.由题意可得sin
β=sin
.
因为
∈
,β∈
,
所以
=β,则2β=
-α,
所以cos
2β=cos
=sin
α=
,
又cos
2β=2cos2β-1=
,解得cos2β=
,
又β∈
,所以cos
β=
.
4.(2020·合肥高一检测)已知函数f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直线x=π对称,其中0<φ<π,-
<θ<0,且tan
θ=-2,则sin
2φ的值为
( )
【解析】选D.因为函数f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直线x=π对称,所以由正弦函数的图象与性质可知π+φ+θ=
+kπ,k∈Z,
则θ=-
-φ+kπ,k∈Z,
所以tan
θ=
=-2,
即tan
=2,故
=2,化简得cos
φ=-2sin
φ,又sin2φ+cos2φ=1
,
解得sin2φ=
,
因为0<φ<π,所以sin
φ>0,则sin
φ=
,而由cos
φ=-2sin
φ,可得cos
φ
=
,
所以sin
2φ=2sin
φcos
φ=2×
×
=-
.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.(2020·盐城高一检测)下列各式中,值为
的是
( )
A.sin
15°cos
15°
B.cos2
-sin2
C.
D.
【解析】选CD.因为sin
15°cos
15°=
sin
30°
=
×
=
,所以A不正确;
因为cos2
-sin2
=cos
,所以B不正确;
因为
,所以C正确;
因为
,所以D正确.
6.在△ABC中,若acos
A=bcos
B,则△ABC的形状可能为
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选ABCD.根据正弦定理
,
因为
acos
A=bcos
B,
所以sin
Acos
A=sin
Bcos
B,
即sin
2A=sin
2B.
因为2A,2B∈(0,2π),
所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=
,
所以△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=sin
xcos
x+
cos2x-
的图象的一个对称中心为________.?
【解析】y=
sin
2x+
(1+cos
2x)-
=
sin
2x+
cos
2x-
=sin
-
,
令2x+
=kπ,x=
(k∈Z),
当k=1时,x=
,对称中心是
;
当k=2时,x=
,对称中心是
.
答案:
(答案不唯一)
【补偿训练】
已知函数f(x)=
cos2x-sin
xcos
x-
,则f
=________;函数f(x)
在
上的值域为________.?
【解析】由题可知f(x)=
cos2x-sin
xcos
x-
,
则f(x)=
=
cos
2x-
sin
2x,
所以f(x)=cos
,
则f
=cos
=0,
因为x∈
,所以2x+
∈
,
又函数y=cos
t在
上单调递减,在
上单调递增,当2x+
=π,
即x=
时,f(x)min=cos
π=-1.
当2x+
=
,
即x=0时,f(x)max=cos
=
.
所以函数f(x)在
上的值域为
.
答案:0
8.已知cos
,
,则sin
2x=________,
=________.?
【解析】
=
=sin
2x·tan
,
因为
,所以
<2π,
又因为cos
,
所以sin
.
所以tan
.
所以cos
x=cos
=cos
cos
+sin
sin
=
.
sin
x=sin
=sin
cos
-sin
cos
=
,
可得sin
2x=2sin
xcos
x=2×
.
所以
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知sin
-2cos
=0.
求
的值.
【解析】由sin
-2cos
=0,知cos
≠0,
所以tan
=2,
所以tan
x=
.
所以
=
=
=
=
.
10.(2020·扬州高一检测)从秦朝统一币制到清朝末年,圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1,这是一枚清朝同治年间的铜钱,其边框是由大小不等的两同心圆围成的,内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合,正方形外部,圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图2所示,小圆直径1厘米,内嵌一个大正方形孔,四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小),每个正方形有两个顶点在圆周上,另两个顶点在孔边上,四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设∠OAB=θ,五个正方形的面积和为S.
(1)求面积S关于θ的函数表达式,并求定义域;
(2)求面积S的最小值及此时tan
θ的值.
【解析】(1)过点O分别作小正方形边、大正方形边的垂线,垂足分别为E,F,
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合,所以点E,F分别为小正方
形和大正方形边的中点,所以小正方形的边长为
×2=sin
θ,大正方形
的边长为
×2=cos
θ-2sin
θ,
所以五个正方形的面积和为S=4sin2θ+
=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ,
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长,
所以sin
θθ-2sin
θ,tan
θ<
,令tan
θ0=
,θ0∈
,
所以θ的取值范围为
,
所以面积S关于θ的函数表达式为S=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ,
θ的取值范围为
,tanθ0=
,θ0∈
.
(2)方法一:S=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ
=8×
-2sin
2θ
=
=
,其中tan
φ=
,φ∈
,
所以Smin=
,此时sin
=1,因为θ∈
,
所以0<2θ+φ<2θ0+
<
π,
所以2θ+φ=
,
所以tan
2θ=tan
,
则tan
2θ=
,
化简得:2tan2θ+7tan
θ-2=0,由此解得tan
θ=
,
因为0θ<
,
所以tan
θ=
.
故面积S最小值为
,此时tan
θ=
.
【创新迁移】
1.(2020·合肥高一检测)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符
号:sin,tan,sec(正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符
号:cos,cot,csc(余割),但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用
起来,其中secθ=
,csc
θ=
.若α∈(0,π),且
=2,则
tan
α=
( )
【解析】选D.因为3sin
α+2cos
α=2,
所以
=2,
所以
=2,
所以3tan
+1-tan2
=tan2
+1,解得tan
=0或
.
又因为α∈(0,π),
所以tan
>0,
所以tan
=
,
则tan
α=
.
2.在△ABC中,设向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,m≠n.
(1)求证:A+B=
.
(2)求sin
A+sin
B的取值范围.
(3)若(sin
Asin
B)x=sin
A+sin
B,试确定实数x的取值范围.
【解析】(1)因为向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,
所以sin
Acos
A-sin
Bcos
B=0,即sin
2A=sin
2B,解得2A=2B或2A+2B=π,
化简可得A=B,或A+B=
,但A=B时有m=n,与已知矛盾,故舍去,故有A+B=
.
(2)由(1)可知A+B=
,故sin
A+sin
B
=sin
A+sin
=sin
A+cos
A
=
sin
,
因为0,所以
<
,
所以1<
sin
≤
,故sin
A+sin
B的取值范围是(1,
].
(3)由题意可知x=
,
设sin
A+cos
A=t∈(1,
],则t2=1+2sin
Acos
A,
故sin
Acos
A=
,代入得x=
,
故实数x的取值范围为[2
,+∞).温馨提示：
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§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
新课程标准
学业水平要求
能从两角和的正弦公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式
★水平一1.能利用两角和的正弦、余弦公式、正切公式推导证明倍角公式.(逻辑推理)2.掌握倍角公式及变形,能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题.(逻辑推理、数学运算)★水平二灵活掌握倍角公式,能利用公式进行三角函数式的化简以及解决实际问题.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.如何根据两角和差的正弦、余弦及正切公式推出二倍角公式?2.二倍角公式有哪些变形式?
1.倍角公式
(1)sin
2α=2sin
αcos
α(S2α).?
(2)cos
2α=cos2α-sin2α
=2cos2α-1
=1-2sin2α(C2α).
(3)tan
2α=(T2α).
(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗?
提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α的二倍角,3α是α的倍角,α是的倍角,是的倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan
α有意义且分母1-tan2α≠0.
即α≠kπ+且α≠kπ+,k∈Z.
2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos
2α=cos2α-sin2α=(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
(2)配方变换
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
(3)升幂缩角变换
1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α=(1+cos
2α),sin2α=(1-cos
2α),
sinαcos
α=sin
2α.
以上公式的变换可以在做题中直接运用吗?
提示:可以,尤其是上面(4)应用的频率非常高.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角.( )
(2)对于任意的角α,都有sin
2α=2sin
α成立.( )
(3)存在角α,使cos
2α=2cos
α成立.( )
(4)cos
3αsin
3α=sin
6α对任意的角α都成立.( )
提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此说法正确.
(2)×.当α=时,sin
2α=sin=,而2sin
α=2×=1.
(3)√.由cos
2α=2cos
α=2cos2α-1,得cos
α=时,cos
2α=2cos
α成立.
(4)√.由倍角的正弦公式可得.
2.已知sin
x=,则cos
2x的值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为sin
x=,
所以cos
2x=1-2sin2
x=1-2×=.
3.(教材二次开发:例题改编)若tan
2α=2,则tan
4α=________.?
【解析】tan
4α===-.
答案:-
关键能力·合作学习
类型一 倍角公式的求值问题(数学运算)
1.sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°=________.?
2.计算:=________.?
3.已知cos=,α∈,则=________.?
【解析】1.原式=cos
80°cos
60°cos
40°cos
20°=
===.
答案:
2.原式===2.
答案:2
3.==2cos
=2cos=2sin,
因为0<α<,所以0<-α<,
又cos=,所以sin===,
所以原式=2×=.
答案:
1.倍角公式正用、逆用解题的关注点
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.
2.条件求值问题的解题实质
条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.
【补偿训练】
(2020·沈阳高一检测)已知sin=
3cos(2π+α),其中α为锐角,
(1)求10sin2-sin+tan的值;
(2)求·tan
2α的值.
【解析】化简sin=3cos(2π+α)得sin
α=
3cos
α,又因为sin2α+cos2α=1且α为锐角,
所以可得cos
α=,sin
α=.
且由sin
α=3cos
α可得tan
α=3.
(1)10sin2-sin+tan
=10sin2α-cos
α-tan
α
=10×-×-3=5.
(2)因为tan
2α===-;
cos
2α-sin
2α=cos2α-sin2α-2sin
αcos
α
=--2××=-,
所以·tan
2α=×=.
类型二 倍角公式的化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 化简问题?
【典例】化简-2=________.?
【思路导引】结合二倍角公式化简求解.
【解析】原式=-2
=2|cos
4|-2|sin
4+cos
4|,
因为π<4<,
所以cos
4<0,sin
4+cos
4<0.
所以原式=-2cos
4+2(sin
4+cos
4)=2sin
4.
答案:2sin
4
化简-,其中θ∈(0,π).
【解析】原式=
-
=-
=-.
①当θ∈时,∈,cos≥sin,
此时原式=sin+cos-cos+sin=2sin.
②当θ∈时,∈,cos此时原式=sin+cos-sin+cos=2cos.
角度2 恒等式证明问题?
【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
2Acos
2B.
【思路导引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.
【证明】左边=-
=
=(cos
2Acos
2B-sin
2Asin
2B+cos
2Acos
2B+
sin
2Asin
2B)=cos
2Acos
2B=右边,
所以等式成立.
1.三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.
2.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
1.cos4
-sin4
的化简结果为( )
A.cos
B.cos
α
C.cos
2α
D.cos
4α
【解析】选B.cos4
-sin4
=·=cos
α.
2.化简:-tan·.
【解析】原式=-·
=·=·=2.
3.求证:
cos2θ(1-tan2θ)=cos
2θ.
【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos
2θ=右边.故原式得证.
方法二:右边=cos
2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.
【补偿训练】
求证:
=tan.
【证明】左边=
==
==
==tan=右边,故原式得证.
类型三 倍角公式与三角函数性质的综合问题(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
四步
内容
理解题意
条件:f(x)=sin2x-sin2,x∈R.结论:(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
思路探求
先利用倍角公式把解析式化简为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再解答.
书写表达
(1)
由已知,有f(x)=-①=-cos
2x=sin
2x-cos
2x=sin.②所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.注意书写的规范性:①注意二倍角公式的整体运用;②必须化成正弦型函数才能研究其性质.
题后反思
研究形如f(x)=asin2ωx+bsin
ωxcos
ωx的性质时,先化成f(x)=sin(ωx+φ)+c的形式再解答.
倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=
Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
已知函数f(x)=2sin
xcos
x-2cos2x+1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos
2x0的值.
【解析】(1)由f(x)=2sin
xcos
x-2cos2x+1,
得f(x)=(2sin
xcos
x)-(2cos2x-1)
=sin
2x-cos
2x=2sin,
所以函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)=2sin在区间上为增函数,
在区间上为减函数,
又f(0)=-1,f=2,f=-1,所以函数f(x)在上的最大值为2,最小值为-1.
(2)因为2sin=,所以sin=.
又x0∈,所以2x0-∈,
所以cos=.
所以cos
2x0=cos
=coscos
-sinsin
=×-×=.
【拓展延伸】
倍角公式的广义理解
对于二倍角公式有广义上的理解.如8α是4α的二倍角;6α是3α的二倍角;3α是α的二倍角;α是α的二倍角;…….又如:α=2·,=2·,…,=2·(n∈N
),
所以sin=2sincos(n∈N
),
cos=cos2-sin2(n∈N
),
tan=(n∈N
).一般情况下,sin
2α≠2sin
α,只有当α=nπ(n∈Z)时,sin
2α=2sin
α才成立,同样的cos
2α=2cos
α,tan
2α=2tan
α在一般情况下也不成立.
【拓展训练】
(2020·扬州高一检测)已知sin
α+cos
α=,则sin
2α+cos
4α的值为________.?
【思路导引】先平方求出sin
2α,再利用二倍角公式求出cos
4α,即可求解.
【解析】因为sin
α+cos
α=,
所以=1+sin
2α=,
即sin
2α=-,
cos
4α=1-2sin22α=1-2×=,
sin
2α+cos
4α=-+=.
答案:
课堂检测·素养达标
1.(2020·杭州高一检测)已知cos
x=,则cos
2x=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.由cos
x=得cos
2x=2cos2x-1=2×-1=.
2.若=,则tan
2α等于( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为=,
所以=,故tan
α=-3,
所以根据倍角公式,得tan
2α=.
3.(教材二次开发:练习改编)(多选题)(2020·福州高一检测)若sin
α>
sin
β>0,则下列不等式中不一定成立的是( )
A.sin
2α>sin
2β
B.cos
2α2β
C.cos
2α>cos
2β
D.sin
2α2β
【解析】选AD.因为cos
2α=1-2sin2α,
cos
2β=1-2sin2β,
因为sin
α>sin
β>0,
所以sin2α>sin2β>0,-2sin2α<-2sin2β,
则1-2sin2α<1-2sin2β,
即cos
2α2β,
则B一定成立,C一定不成立;
当α=,β=时,
sin
α>sin
β>0,sin
2α=1>=sin
2β,
当α=,β=时,sin
α>sin
β>0,sin
2α=0<=sin
2β,
则AD可能成立,也可能不成立.
4.函数f(x)=sin-2·sin2x的最小正周期是________.?
【解析】f(x)=sin-2sin2x
=sin
2x-cos
2x-2×
=sin
2x+cos
2x-
=sin-,
故最小正周期为π.
答案:π
5.(2020·铜川高一检测)已知cos
β=,sin(α-β)=,且0<β<α<.
(1)求tan
2β的值;(2)求sin
α的值.
【解析】(1)由cos
β=,0<β<,得sin
β==,tan
β==7.
则tan
2β===-.
(2)由0<β<α<,得0<α-β<,
所以cos(α-β)===.
sin
α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos
β+cos(α-β)sin
β
=×+×=.
三十三 二倍角公式
(15分钟 35分)
1.(2020·成都高一检测)设单位向量e=,则cos
2α的值为( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选A.由题设可得cos2α+=1?cos2α=,则cos
2α=2cos2α-1=.
2.已知sin
2θ=-,则tan
θ+=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为sin
2θ=2sin
θcos
θ=-,
所以sin
θcos
θ=-,
所以tan
θ+=+===-.
【补偿训练】
设sin
α=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=( )
A.- B.
- C.
D.
【解析】选D.因为sin
α=,α∈,
所以cos
α=-,所以tan
α=-.
又tan(π-β)=,所以tan
β=-,
所以tan
2β==-.所以tan(α-2β)===.
3.(2020·大理高一检测)已知角α+的终边与单位圆x2+y2=1交于P,则sin
2α等于( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.由任意角三角函数定义可得sin=,则sin
2α=-cos
=2sin2-1=-.
4.已知tan
α=,则cos2α+sin
2α的结果为________.?
【解析】因为tan
α=,所以=,
即2sin
α=cos
α,
所以sin2α+cos2α=cos2α+cos2α=1,
即cos2α=,所以cos2α+sin
2α=cos2α+2sin
α·cos
α=2cos2α=.
答案:
5.(2020·广州高一检测)若sin=,则
cos=________.?
【解析】已知sin=,且+=,则cos=sin=,故cos=2cos2-1=-.
答案:-
6.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)=
2sin
x(cos
x+sin
x)-1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若f=,求sin的值.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos
x+2sin2x-1=sin
2x-cos
2x=2sin,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f=得sin=,
则sin=sin=cos=1-2sin2=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若sin
α+cos
α=,0<α<π,则sin
2α+cos
2α=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为sin
α+cos
α=,①
所以1+2sin
αcos
α=,
即2sin
αcos
α=sin
2α=-,
所以1-2sin
αcos
α=(sin
α-cos
α)2=.
因为sin
αcos
α<0,且0<α<π,
所以sin
α>0,cos
α<0,
所以sin
α-cos
α=.②
①×②变形得cos2α-sin2α=cos
2α=-,
所以sin
2α+cos
2α=--=.
2.(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos
2α-8cos
α=5,则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由3cos
2α-8cos
α=5,
得6cos2α-8cos
α-8=0,
即3cos2α-4cos
α-4=0,
解得cos
α=-或cos
α=2(舍去),
又因为α∈(0,π),所以sin
α==.
【补偿训练】
(2020·合肥高一检测)若cos=,则cos=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选C.cos=cos
=cos=cos
=2cos2-1=2×-1=-.
3.(2020·石家庄高一检测)若角α∈,β∈,sin
β=cos-sin,sin
α=,则cos
β=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意可得sin
β=sin.
因为-∈,β∈,
所以-=β,则2β=-α,
所以cos
2β=cos=sin
α=,
又cos
2β=2cos2β-1=,解得cos2β=,
又β∈,所以cos
β=.
4.(2020·合肥高一检测)已知函数f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直线x=π对称,其中0<φ<π,-<θ<0,且tan
θ=-2,则sin
2φ的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.因为函数f(x)=sin(x+φ+θ)的图象关于直线x=π对称,所以由正弦函数的图象与性质可知π+φ+θ=+kπ,k∈Z,
则θ=--φ+kπ,k∈Z,
所以tan
θ=tan=tan=-2,
即tan=2,故=2,化简得cos
φ=-2sin
φ,又sin2φ+cos2φ=1
,解得sin2φ=,
因为0<φ<π,所以sin
φ>0,则sin
φ=,而由cos
φ=-2sin
φ,可得cos
φ=,
所以sin
2φ=2sin
φcos
φ=2××=-.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·盐城高一检测)下列各式中,值为的是( )
A.sin
15°cos
15°
B.cos2-sin2
C.
D.
【解析】选CD.因为sin
15°cos
15°=sin
30°
=×=,所以A不正确;
因为cos2-sin2
=cos=,所以B不正确;
因为=×=tan
60°=,所以C正确;
因为==,所以D正确.
6.在△ABC中,若acos
A=bcos
B,则△ABC的形状可能为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选ABCD.根据正弦定理=,
因为
acos
A=bcos
B,
所以sin
Acos
A=sin
Bcos
B,
即sin
2A=sin
2B.
因为2A,2B∈(0,2π),
所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,
所以△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.函数y=sin
xcos
x+cos2x-的图象的一个对称中心为________.?
【解析】y=sin
2x+(1+cos
2x)-
=sin
2x+cos
2x-=sin-,
令2x+=kπ,x=-(k∈Z),
当k=1时,x=,对称中心是;
当k=2时,x=,对称中心是.
答案:(答案不唯一)
【补偿训练】
已知函数f(x)=cos2x-sin
xcos
x-,则f=________;函数f(x)在上的值域为________.?
【解析】由题可知f(x)=cos2x-sin
xcos
x-,
则f(x)=-sin
2x-
=cos
2x-sin
2x,
所以f(x)=cos,
则f=cos=0,
因为x∈,所以2x+∈,
又函数y=cos
t在上单调递减,在上单调递增,当2x+=π,
即x=时,f(x)min=cos
π=-1.
当2x+=,
即x=0时,f(x)max=cos=.
所以函数f(x)在上的值域为.
答案:0
8.已知cos=,2x=________,=________.?
【解析】=
==
=sin
2x·tan,
因为又因为cos=,
所以sin=-.
所以tan=-.
所以cos
x=cos
=coscos+sinsin=×+×=-.
sin
x=sin
=sincos-sincos
=×-×=-,
可得sin
2x=2sin
xcos
x=2××=.
所以=×=-.
答案: -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知sin-2cos=0.
求的值.
【解析】由sin-2cos=0,知cos≠0,
所以tan=2,
所以tan
x===-.
所以
=
=
==×
=×=.
10.(2020·扬州高一检测)从秦朝统一币制到清朝末年,圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1,这是一枚清朝同治年间的铜钱,其边框是由大小不等的两同心圆围成的,内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合,正方形外部,圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图2所示,小圆直径1厘米,内嵌一个大正方形孔,四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小),每个正方形有两个顶点在圆周上,另两个顶点在孔边上,四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设∠OAB=θ,五个正方形的面积和为S.
(1)求面积S关于θ的函数表达式,并求定义域;
(2)求面积S的最小值及此时tan
θ的值.
【解析】(1)过点O分别作小正方形边、大正方形边的垂线,垂足分别为E,F,
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合,所以点E,F分别为小正方形和大正方形边的中点,所以小正方形的边长为×2=sin
θ,大正方形的边长为×2=cos
θ-2sin
θ,
所以五个正方形的面积和为S=4sin2θ+
=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ,
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长,
所以sin
θθ-2sin
θ,tan
θ<,令tan
θ0=,θ0∈,
所以θ的取值范围为,
所以面积S关于θ的函数表达式为S=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ,
θ的取值范围为,tanθ0=,θ0∈.
(2)方法一:S=8sin2θ+cos2θ-4sin
θcos
θ
=8×+-2sin
2θ
=-
=-sin,其中tan
φ=,φ∈,
所以Smin=,此时sin=1,因为θ∈,
所以0<2θ+φ<2θ0+<π,
所以2θ+φ=,
所以tan
2θ=tan==,
则tan
2θ==,化简得:2tan2θ+7tan
θ-2=0,由此解得tan
θ=,
因为0θ<,
所以tan
θ=.
故面积S最小值为,此时tan
θ=.
1.(2020·合肥高一检测)1626年,阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号:sin,tan,sec(正割),1675年,英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号:cos,cot,csc(余割),但直到1748年,经过数学家欧拉的引用后,才逐渐通用起来,其中secθ=,csc
θ=.若α∈(0,π),且+=2,则tan
α=( )
A. B. C.0
D.-
【解析】选D.因为3sin
α+2cos
α=2,
所以=2,
所以=2,
所以3tan+1-tan2=tan2+1,解得tan=0或.
又因为α∈(0,π),
所以tan>0,
所以tan=,
则tan
α==-.
2.在△ABC中,设向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,m≠n.
(1)求证:A+B=.
(2)求sin
A+sin
B的取值范围.
(3)若(sin
Asin
B)x=sin
A+sin
B,试确定实数x的取值范围.
【解析】(1)因为向量m=(sin
A,cos
B),n=(sin
B,cos
A)且m∥n,
所以sin
Acos
A-sin
Bcos
B=0,即sin
2A=sin
2B,解得2A=2B或2A+2B=π,
化简可得A=B,或A+B=,但A=B时有m=n,与已知矛盾,故舍去,故有A+B=.
(2)由(1)可知A+B=,故sin
A+sin
B
=sin
A+sin=sin
A+cos
A
=sin,
因为0所以1A+sin
B的取值范围是(1,].
(3)由题意可知x==,
设sin
A+cos
A=t∈(1,],则t2=1+2sin
Acos
A,
故sin
Acos
A=,代入得x===≥=2,故实数x的取值范围为[2,+∞).
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