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3.2 半
角
公
式
新课程标准
学业水平要求
能运用半角公式进行简单的恒等变换
★水平一1.能通过二倍角公式推导出半角公式.(逻辑推理)2.了解半角公式的结构形式,并能利用公式解决简单的求值问题.(数学运算)★水平二进一步掌握三角恒等变换的公式,并能利用公式解决化简、求值及证明问题.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.如何利用二倍角公式推出半角公式?2.怎样确定半角公式根号前的符号?
半角公式
名称
简记符号
公式
适用范围
半角的正弦公式
sin=±
α∈R
半角的余弦公式
cos=±
半角的正切公式
tan=±
α≠(2k+1)π,k∈Z
tan=
tan=
α≠kπ,k∈Z
(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?
提示:倍角的余弦公式.推导如下:
在倍角公式cos
2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得:
cos
α=1-2sin2=2cos2-1.
所以sin2=,cos2=,
tan2=.开方可得半角公式.
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求所在范围,然后根据所在范围选用符号.
(3)半角公式对α∈R都成立吗?
提示:公式,对α∈R都成立,但公式要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos
=.( )
(2)存在α∈R,使得cos=cos
α.( )
(3)对于任意α∈R,sin=sin
α都不成立.( )
(4)若α是第一象限角,则tan=.( )
提示:(1)×.只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),
即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos=.
(2)√.当cos
α=-+1时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角,则是第一、三象限角,此时tan=成立.
2.的值等于( )
A.sin
40°
B.sin
50°
C.cos
130°
D.±cos
50°
【解析】选B.因为=|sin
50°|,
又因为sin
50°>0,所以原式=sin
50°.
3.(教材二次开发:例题改编)若cos
α=,α∈(0,π),则cos的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为∈,所以cos>0,
cos==.
关键能力·合作学习
类型一 半角公式求值(数学运算)
角度1 给角求值?
【典例】求值:
(1)sin=________.?
(2)tan=________.
?
【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】(1)sin===.
(2)tan===-1.
答案:(1)
(2)-1
本例(1)的条件若改为“cos”,结果为什么?
【解析】cos=
==.
角度2 给值求值?
【典例】已知cos
α=,α为第四象限角,则tan的值为________.?
【解析】方法一:(用tan=±来处理)
因为α为第四象限角,
所以是第二或第四象限角.所以tan<0.
所以tan=-=-=-
=-=-=.
答案:
方法二:(用tan=来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin
α<0.
所以sin
α=-=-=-.
所以tan===.
答案:
方法三:(用tan=来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin
α<0.
所以sin
α=-=-=-.
所以tan====.
答案:
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan
==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
1.(2020·银川高一检测)已知a=cos
6°-sin
6°,b=,则有( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.不能确定
【解析】选B.因为a=cos
6°-sin
6°=sin
24°
,b==sin
25°.
又因为y=sin
x在上单调递增,
所以sin
24°25°,即a2.(2020·潍坊高一检测)sin
θ=,sin
2θ<0,则tan的值为( )
A.
B.-
C.
D.3
【解析】选D.因为sin
θ=>0,sin
2θ=2sin
θcos
θ<0,所以cos
θ=-<0,
所以tan===3.
3.(2020·福州高一检测)阿耶波多第一(Aryabhata
I)是已知的印度最早的数学家,
对三角学的发展作出了巨大的贡献,
公元6世纪初,他用勾股定理先算出30°,45°,90°的正弦值之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每隔3°45′的正弦值表.若已知38°56′的正弦值近似为,则按照阿耶波多第一的方法,可以算出19°28′的正弦值为________.?
【解析】设sin
19°28′=x,
则cos
19°28′=,
根据二倍角正弦公式得:sin
38°56′=2x=,解得x=(其他值舍去).
答案:
【补偿训练】
已知sin
α=,cos
α=,则tan
等于( )
A.2-
B.2+
C.-2
D.±(-2)
【解析】选C.因为sin
α=>0,cos
α=>0,
所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一、三象限,所以tan
>0,故tan
=
==-2.
类型二 三角函数式的化简(数学运算)
【典例】已知π<α<,化简:
+.
四步
内容
理解题意
条件:①已知π<α<,②已知要化简的表达式:+.结论:化简上面的表达式
思路探求
利用半角公式将根式里的表达式开方出来,然后统一角的形式后再整理.
书写表达
原式=+.①因为π<α<,所以<<,所以cos
<0,sin
>0,②所以原式=+
四步
内容
书写表达
=-+=-cos
.注意书写的规范性:①将根式进行开方时要注意带绝对值;
②去绝对值时一定写上角的范围,这也是本题的易错之处.
题后反思
在进行三角函数式的化简的时候,遇见根式通常选择将根式里面化为完全平方后再开出来,亦可用含有根式的公式.遇到1+sin
α,1-sin
α通常利用二倍角公式将其化为完全平方和(差)形式,遇到1+cos
α,1-cos
α通常利用二倍角公式将
“1”消掉.
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
已知α∈(π,2π),则等于( )
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以∈,
所以=
==-cos.
【拓展延伸】
万能公式
(1)万能公式:sin
α=,cos
α=,
tan
α=.
(2)万能公式的推导:
sin
α=2sin
·cos
==,
cos
α=cos
2-sin
2==,tan
α=tan=.
上面三个公式不论α的哪一种三角函数,都可以表示成tan的“有理式”,这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”,实现了三角问题向代数问题的转化,有利于问题的解决.
(3)公式的适用范围:sin
α=,α≠2kπ+π,k∈Z;
cos
α=,α≠2kπ+π,k∈Z;
tan
α=,α≠2kπ+π且α≠2kπ+,k∈Z.
【拓展训练】
1.(2020·石家庄高一检测)已知α为锐角,且tan
α=m,cos
2α=-,则sin2=( )
A.
B.+
C.
D.
【解题指南】利用万能公式的余弦公式、同角的三角函数关系化简已知等式,解得m2=2,可求cos
2α的值,根据同角三角函数关系可求sin
2α的值,进而利用二倍角公式化简所求即可.
【解析】选B.因为cos
2α===
-,解得m2=2,
所以cos
2α=-,
因为0<α<,所以0<2α<π,
所以sin
2α==,
所以sin2==+=+.
2.(2020·上海高一检测)已知α,β∈(0,π),tan=,sin
(α-β)=,求cos
β.
【解析】因为tan=,
所以sin
α=
==,
cos
α===,
因为α,β∈,cos
α>0,
所以α∈,
所以α-β∈,
因为sin
(α-β)=>0,
所以α-β∈,
所以cos(α-β)=,
所以cos
β=cos(-β)=cos(α-β-α)
=cos(α-β)cos
α+sin(α-β)sin
α
=×+×=.
答案:
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证:=sin
2α.
2.求证:=1-.
【思路导引】1.从左边入手,按照“角统一的原则”,将利用半角公式转化为α,再转化为2α即可;
2.方法一:从左边入手,利用和差角公式展开整理得到右边形式;方法二:从右边入手,切化弦后通分再利用和差角公式的逆用得到左边的形式.
【证明】1.左边==
=sin
αcos
α=sin
2α=右边,故原式成立.
2.方法一:左边
=
==1-
=1-=右边,所以原等式成立.
方法二:右边=1-=
=
==左边,所以原等式成立.
证明三角恒等式的原则
(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.
(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.
(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.
(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.
【补偿训练】
求证:2sin4x+sin22x+5cos4x-(cos
4x+cos
2x)=2(1+cos2x).
【证明】左边=2+sin22x+
5-(cos
4x+cos
2x)
=2×+sin22x+5×
-(2cos22x-1+cos
2x)
=+2×+5×-cos
2x+2×+5×-×2cos22x+sin22x=+cos
2x+cos22x+sin22x=+cos
2x+=3+cos
2x=3+(2cos2x-1)=
2(1+cos2x)=右边,所以原式成立.
备选类型 半角公式的综合应用(数学运算)
【典例】(2020·大同高一检测)已知x0,x0+是函数f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.
(1)求f的值;
(2)若对任意x∈,都有f(x)-m≤0,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)-m=1在x∈上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
【思路导引】(1)利用半角公式的平方形式以及辅助角公式将函数表达式转化为正弦型函数形式,然后代值求解;
(2)利用参变量分离的方法将本题转化为最值问题求解;
(3)可结合函数的图象分析得结论.
【解析】(1)f(x)=-
=
=
=
=
=sin.
由题意可知,f(x)的最小正周期T=π,
所以=π,
又因为ω>0,
所以ω=1,
所以f(x)=sin.
所以f=sin=sin=.
(2)由f(x)-m≤0得,f(x)≤m,
所以m≥f(x)max,
因为-≤x≤0,
所以-≤2x+≤,
所以-1≤sin≤,
所以-≤sin≤,
即f(x)max=,
所以m≥,所以m∈.
(3)原方程可化为·sin
=m+1,
即2sin=m+1,0≤x≤,
记y=2sin,
则当x=0时,y=2sin=,又y的最大值为2,
所以要使方程在x∈上有两个不同的解,
即≤m+1<2,即-1≤m<1,
所以m∈.
求与已知角或边有关的参数的范围或者最值问题,要建立参数与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要把角或边的范围找完备.避免结果的范围过大,求最值时,经常用到参变量分离、基本不等式等方法.
已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
===
=2cos
2x.
所以f=2cos=2cos=-.
(2)由(1)知f(x)=2cos
2x,
g(x)=f(x)+sin
2x=cos
2x+sin
2x
=sin.
因为x∈,所以≤2x+≤,
所以g(x)max=,g(x)min=-1.
课堂检测·素养达标
1.已知cos
θ=-(-180°<θ<-90°),则cos=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,
所以-90°<<-45°.又cos
θ=-,
所以cos===.
2.(教材二次开发:练习改编)若cos
22°=a,则sin
11°=________,
cos
11°=________.?
【解析】cos
22°=2cos211°-1=1-2sin211°,
所以cos
11°==.
sin
11°==.
答案:
3.化简:=________.?
【解析】原式==,
因为<θ<2π,所以<<π,
所以sin>0,故原式=sin.
答案:sin
4.(2020·广州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,,求cos+sin+tan的值.
【解析】依题意,得cos
α=,cos
β=.因为α,β为锐角,
所以cos+sin+tan=++
=++=.
三十四 半
角
公
式
(15分钟 35分)
1.已知cos
θ=-,θ∈,则sin+cos=( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.因为θ∈,所以∈,
所以sin==,cos
=-=-,
所以sin+cos=.
2.(2020·西安高一检测)已知cos
α=-,α∈,则=( )
A.-
B.-2
C.
D.2
【解析】选B.由cos
α=-,α∈,
得sin
α=-,====-,所以=-2.
3.(2020·济南高一检测)在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos
2,则下面等式一定成立的为( )
A.A=B
B.A=C
C.B=C
D.A=B=C
【解析】选C.在△ABC中,因为sin
Bsin
C=cos
2=,
所以2sin
Bsin
C=-cos
Bcos
C+sin
Bsin
C+1,
所以cos
Bcos
C+sin
Bsin
C=cos(B-C)=1,
因为-π4.(2020·福州高一检测)已知sin-cos
=-,450°<α<540°,则tan的值为________.?
【解析】由题意得=,
即1-sin
α=,所以sin
α=,
因为450°<α<540°,所以cos
α=-,
所以tan===2.
答案:2
5.(2020·永安高二检测)若α∈,
化简:=________.?
【解析】因为α∈,
所以∈,
所以cos
α<0,sin>0,
所以==-cos
α.
所以原式===sin.
答案:sin
6.(2020·浦东高二检测)已知α,β∈且α<β,若sin
α=,cos(α-β)=,
求:(1)cos
β的值;(2)tan的值.
【解析】(1)因为α,β∈,sin
α=,
所以cos
α=,
因为α<β,所以α-β∈,
又cos=,
所以sin
=-,
所以cos
β=cos
=cos
αcos+sin
αsin
=×-×=.
(2)由(1)得cos
β=,所以sin
β=,
所以tan===.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·洛阳高二检测)已知cos
=,α∈,则sin=( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.因为角是的2倍,
所以sin2===,
因为α∈,
所以∈,
所以sin==,
所以cos===,
所以sin=sin
=sin·cos+cossin
=×+×=.
2.(2020·延安高一检测)设cos(x+y)sin
x-sin(x+y)cos
x=,且y是第四象限角,则tan的值是( )
A.-
B.±
C.-
D.±
【解析】选A.因为cos(x+y)sin
x-sin(x+y)cos
x=,所以sin
y=sin
=sin(x+y)cos
x-cos(x+y)sin
x=-,
因为y是第四象限角,所以cos
y===,由半角公式得tan===-×=-.
3.(2020·三亚高一检测)若3πA.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
【解析】选C.因为3π所以<<2π,sin
<0,cos
>0.
于是+=+=cos-sin=
=sin.
【补偿训练】
给出下列等式:
(1)-tan=-;
(2)=tan(α-β);
(3)=-;
(4)tan2=.
其中正确的等式序号是________.(将你认为正确的等式序号全部写出来)?
【解析】对于等式(1),左边==2×=,等式(1)不成立;
对于等式(2),左边=
=
=-
=-=-tan,等式(2)不成立;
对于等式(3),左边=
=tan=tan
=tan=-tan=-,等式(3)成立;
对于等式(4),等式右边===tan2,等式(4)成立.
答案:(3)(4)
4.已知函数f(α)=4(sin
2α-cos
2α)+2,在锐角三角形ABC中f(A)=6,且cos
2B=cos
2C,则tan
B的值为( )
A.1
B.-1
C.+1
D.
【解析】选C.因为函数f(α)=4(sin
2α-cos
2α)+2
=4sin
+2,
又因为在锐角三角形ABC中,f(A)=6,
所以f(A)=4sin
+2=6,
即sin
=,所以2A-=或
2A-=,解得A=或A=(舍去),
又因为cos
2B=cos
2C,
所以2B=2C
,即B=C=,
所以tan
B===+1.
【误区警示】注意本题中锐角三角形的限制,产生多解后要对其进行检验.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·长沙高一检测)下列三角式中,值为1的是( )
A.4sin
15°cos
15°
B.2
C.
D.
【解析】选ABC.A.4sin
15°cos
15°=2sin(2×15°)=2sin
30°=1,本选项符合题意;
B.2=2cos=2cos=1,本选项符合题意;
C.=tan(2×22.5°)=tan
45°=1,本选项符合题意;
D.==cos≠1,本选项不符合题意.
6.已知函数f(x)=-2sin
xcos
x,则下列选项正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于x=-对称
【解析】选AD.因为f(x)=-2sin
xcos
x
=cos
2x-sin
2x=cos,
对选项A,函数的最小正周期为T==π,故正确;
对选项B,因为-≤x≤?0≤2x+≤,
所以f(x)在上单调递减,故错误;
对选项C,f=cos=,函数不关于点对称,故错误.
对选项D,f=cos=,函数f(x)的图象关于x=-对称,故正确.
【光速解题】B选项可以将区间端点值代入验证得
f>f,故不成立,由对称中心在平衡位置处及对称轴对应的函数值为最大或最小值易知C错D对.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·杭州高一检测)若α的终边上的点(x,y)满足y=2x,则sin
α-cos
α=________,tan=________.?
【解析】在α的终边上,任意取一点,
则sin
α==-,
cos
α==-,
则sin
α-cos
α=-=-,
tan==-.
答案:- -
8.(2020·上海高一检测)若△ABC为等腰三角形,顶角为A,cos
A=-,则sin
B=________.?
【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由A角的函数值得B角的函数值.
【解析】因为△ABC为等腰三角形,顶角为A,
所以B=,sin
B=sin
=cos
,
由半角公式得cos
=±=±,
又cos
A<0,故A为钝角,∈,
所以sin
B=cos=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求g(x)=f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
===
=2cos
2x.
所以f=2cos=2cos=-.
(2)由(1)知f(x)=2cos
2x,
g(x)=f(x)+sin
2x=cos
2x+sin
2x
=sin.
因为x∈,所以≤2x+≤,
所以g(x)max=,g(x)min=-1.
10.(2020·上海高一检测)如图,在xOy平面上,点A(1,0),点B在单位圆上,∠AOB=θ(0<θ<π).
(1)若点B,求tan的值;
(2)若+=,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+·的取值范围.
【解析】(1)因为B,∠AOB=θ,
所以cos
θ=-,sin
θ=.
所以tan===2.
所以tan===-3.
(2)Sθ=sin
θ=sin
θ,
因为=,=,
所以=+=,
所以·=1+cos
θ,
所以Sθ+·=sin
θ+cos
θ+1
=sin+1(0<θ<π),
因为<θ+<,
所以-所以0 已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为________.?
【解析】因为coscos
=
=(cos2θ-sin2θ)=cos
2θ=.所以cos
2θ=.
故sin4θ+cos4θ=+
=+=.
答案:
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PAGE(共111张PPT)
3.2 半
角
公
式
必备知识·自主学习
导思
1.如何利用二倍角公式推出半角公式?
2.怎样确定半角公式根号前的符号?
半角公式
【思考】
(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?
提示:倍角的余弦公式.推导如下:
在倍角公式cos
2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以
代替α,即得:
cos
α=1-2sin2
=2cos2
-1.
所以sin2
=
,cos2
=
,
tan2
=
.开方可得半角公式.
(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求
所在范围,然后根据
所在范围选用符号.
(3)半角公式对α∈R都成立吗?
提示:公式
对α∈R都成立,但公式
要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos
.
( )
(2)存在α∈R,使得cos
cos
α.
( )
(3)对于任意α∈R,sin
sin
α都不成立.
( )
(4)若α是第一象限角,则tan
.
( )
提示:(1)×.只有当-
+2kπ≤
≤
+2kπ(k∈Z),
即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos
.
(2)√.当cos
α=-
+1时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角,则
是第一、三象限角,此时tan
成立.
2.
的值等于
( )
A.sin
40°
B.sin
50°
C.cos
130°
D.±cos
50°
【解析】选B.因为
=|sin
50°|,
又因为sin
50°>0,所以原式=sin
50°.
3.(教材二次开发:例题改编)若cos
α=
,α∈(0,π),则cos
的值为
( )
【解析】选C.因为
,所以cos
>0,
cos
.
关键能力·合作学习
类型一 半角公式求值(数学运算)
角度1 给角求值?
【典例】求值:
(1)sin
=________.?
(2)tan
=________.
?
【思路导引】利用半角公式求解.
【解析】(1)sin
.
(2)tan
.
答案:(1)
(2)
-1
【变式探究】
本例(1)的条件若改为“cos
”,结果为什么?
【解析】cos
=
=
.
角度2 给值求值?
【典例】已知cos
α=
,α为第四象限角,则tan
的值为________.?
【解析】方法一:(用tan
来处理)
因为α为第四象限角,
所以
是第二或第四象限角.所以tan
<0.
所以tan
=
=
.
答案:
方法二:(用tan
来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin
α<0.
所以sin
α=
.
所以tan
.
答案:
方法三:(用tan
来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin
α<0.
所以sin
α=
.
所以tan
.
答案:
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan
,其优点是
计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常
先利用sin2
,cos2
计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
【题组训练】
1.(2020·银川高一检测)已知a=
cos
6°-
sin
6°,b=
,
则有
( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.不能确定
【解析】选B.因为a=
cos
6°-
sin
6°=sin
24°
,b=
=sin
25°.
又因为y=sin
x在
上单调递增,
所以sin
24°25°,即a2.(2020·潍坊高一检测)sin
θ=
,sin
2θ<0,则tan
的值为
( )
A.
B.-
C.
D.3
【解析】选D.因为sin
θ=
>0,sin
2θ=2sin
θcos
θ<0,所以cos
θ
=-
<0,
所以tan
=3.
3.(2020·福州高一检测)阿耶波多第一(Aryabhata
I)是已知的印度最早的数
学家,
对三角学的发展作出了巨大的贡献,
公元6世纪初,他用勾股定理先算出
30°,45°,90°的正弦值之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每
隔3°45′的正弦值表.若已知38°56′的正弦值近似为
,则按照阿耶波多
第一的方法,可以算出19°28′的正弦值为________.?
【解析】设sin
19°28′=x,
则cos
19°28′=
,
根据二倍角正弦公式得:sin
38°56′=2x
=
,解得x=
(其他值舍去).
答案:
【补偿训练】
已知sin
α=
,cos
α=
,则tan
等于
( )
A.2-
B.2+
C.
-2
D.±(
-2)
【解析】选C.因为sin
α=
>0,cos
α=
>0,
所以α的终边落在第一象限,
的终边落在第一、三象限,所以tan
>0,故
tan
=
=
.
类型二 三角函数式的化简(数学运算)
【典例】已知π<α<
,化简:
.
【解题策略】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
已知α∈(π,2π),则
等于
( )
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
【解析】选D.因为α∈(π,2π),所以
∈
,
所以
=
=-cos
.
【拓展延伸】
万能公式
(1)万能公式:sin
α=
,cos
α=
,
tan
α=
.
(2)万能公式的推导:
sin
α=2sin
·cos
=
=
,
cos
α=cos
2
-sin
2
=
=
,
tan
α=tan
=
.
上面三个公式不论α的哪一种三角函数,都可以表示成tan
的“有理式”,这
样就可以把问题转化为以tan
为变量的“一元有理函数”,实现了三角问题
向代数问题的转化,有利于问题的解决.
(3)公式的适用范围:sin
α=
,α≠2kπ+π,k∈Z;
cos
α=
,α≠2kπ+π,k∈Z;
tan
α=
,α≠2kπ+π且α≠2kπ+
,k∈Z.
【拓展训练】
1.(2020·石家庄高一检测)已知α为锐角,且tan
α=m,cos
2α=-
,
则sin2
=
( )
【解题指南】利用万能公式的余弦公式、同角的三角函数关系化简已知等式,解得m2=2,可求cos
2α的值,根据同角三角函数关系可求sin
2α的值,进而利用二倍角公式化简所求即可.
【解析】选B.因为cos
2α=
=
,
解得m2=2,
所以cos
2α=-
,
因为0<α<
,所以0<2α<π,
所以sin
2α=
,
所以sin2
.
2.(2020·上海高一检测)已知α,β∈(0,π),tan
,sin
(α-β)=
,求cos
β.
【解析】因为tan
,
所以sin
α=
,
cos
α=
,
因为α,β∈
,cos
α>0,
所以α∈
,
所以α-β∈
,
因为sin
(α-β)=
>0,
所以α-β∈
,
所以cos(α-β)=
,
所以cos
β=cos(-β)=cos(α-β-α)
=cos(α-β)cos
α+sin(α-β)sin
α
=
.
答案:
类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)
【典例】1.求证:
.
2.求证:
.
【思路导引】1.从左边入手,按照“角统一的原则”,将
利用半角公式转化为α,再转化为2α即可;
2.方法一:从左边入手,利用和差角公式展开整理得到右边形式;方法二:从右边入手,切化弦后通分再利用和差角公式的逆用得到左边的形式.
【证明】1.左边=
=
sin
αcos
α=
sin
2α=右边,故原式成立.
2.方法一:左边
=
=
=1-
=右边,所以原等式成立.
方法二:右边=1-
=
=
=
=左边,所以原等式成立.
【解题策略】
证明三角恒等式的原则
(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.
(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.
(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.
(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.
【补偿训练】
求证:2sin4x+
sin22x+5cos4x-
(cos
4x+cos
2x)=2(1+cos2x).
【证明】左边=2
+
sin22x+
5
-
(cos
4x+cos
2x)
=2×
+
sin22x+5×
-
(2cos22x-1+cos
2x)
=
=
+cos
2x+
cos22x+
sin22x=
+cos
2x+
=3+cos
2x=3+(2cos2x-1)
=2(1+cos2x)=右边,所以原式成立.
备选类型 半角公式的综合应用(数学运算)
【典例】(2020·大同高一检测)已知x0,x0+
是函数f(x)=cos2
-
sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.
(1)求f
的值;
(2)若对任意x∈
,都有f(x)-m≤0,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程
f(x)-m=1在x∈
上有两个不同的解,求实数m的
取值范围.
【思路导引】(1)利用半角公式的平方形式以及辅助角公式将函数表达式转化为正弦型函数形式,然后代值求解;
(2)利用参变量分离的方法将本题转化为最值问题求解;
(3)可结合函数的图象分析得结论.
【解析】(1)f(x)=
=
=
=
=
=
sin
.
由题意可知,f(x)的最小正周期T=π,
所以
=π,
又因为ω>0,
所以ω=1,
所以f(x)=
.
所以f
.
(2)由f(x)-m≤0得,f(x)≤m,
所以m≥f(x)max,
因为
≤x≤0,
所以-
≤2x+
≤
,
所以-1≤sin
≤
,
所以-
≤
sin
≤
,
即f(x)max=
,
所以m≥
,所以m∈
.
(3)原方程可化为
·
sin
=m+1,
即2sin
=m+1,0≤x≤
,
记y=2sin
,
则当x=0时,y=2sin
=
,又y的最大值为2,
所以要使方程在x∈
上有两个不同的解,
即
≤m+1<2,即
-1≤m<1,
所以m∈
.
【解题策略】
求与已知角或边有关的参数的范围或者最值问题,要建立参数与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,参数作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要把角或边的范围找完备.避免结果的范围过大,求最值时,经常用到参变量分离、基本不等式等方法.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=
.
(1)求f
的值;
(2)当x∈
时,求g(x)=
f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
=
=
=2cos
2x.
所以f
=2cos
=2cos
=-
.
(2)由(1)知f(x)=2cos
2x,
g(x)=
f(x)+sin
2x=cos
2x+sin
2x
=
sin
.
因为x∈
,所以
≤2x+
≤
,
所以g(x)max=
,g(x)min=-1.
1.已知cos
θ=-
(-180°<θ<-90°),则cos
=
( )
【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,
所以-90°<
<-45°.又cos
θ=-
,
所以cos
.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:练习改编)若cos
22°=a,则sin
11°=________,
cos
11°=________.?
【解析】cos
22°=2cos211°-1=1-2sin211°,
所以cos
11°=
.
sin
11°=
.
答案:
3.化简:
=________.?
【解析】原式=
,
因为
<θ<2π,所以
<
<π,
所以sin
>0,故原式=sin
.
答案:sin
4.(2020·广州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,以x轴的非负半轴为始边作两
个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别
为
,求cos
+sin
+tan
的值.
【解析】依题意,得cos
α=
,cos
β=
.因为α,β为锐角,
所以cos
+sin
+tan
=
=
.
三十四 半
角
公
式
【基础通关——水平一】
(15分钟 35分)
1.已知cos
θ=-
,θ∈
,则sin
+cos
=
( )
课时素养评价
【解析】选D.因为θ∈
,所以
,
所以sin
,cos
,
所以sin
+cos
=
.
2.(2020·西安高一检测)已知cos
α=-
,α∈
,则
=
( )
A.-
B.-2
C.
D.2
【解析】选B.由cos
α=-
,α∈
,
得sin
α=-
,
,所以
=-2.
3.(2020·济南高一检测)在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos
2
,则下面等式一定
成立的为( )
A.A=B
B.A=C
C.B=C
D.A=B=C
【解析】选C.在△ABC中,因为sin
Bsin
C=cos
2
,
所以2sin
Bsin
C=-cos
Bcos
C+sin
Bsin
C+1,
所以cos
Bcos
C+sin
Bsin
C=cos(B-C)=1,
因为-π4.(2020·福州高一检测)已知sin
-cos
=-
,450°<α<540°,则
tan
的值为________.?
【解析】由题意得
,
即1-sin
α=
,所以sin
α=
,
因为450°<α<540°,所以cos
α=-
,
所以tan
=2.
答案:2
5.(2020·永安高二检测)若α∈
,
化简:
=________.?
【解析】因为α∈
,
所以
,
所以cos
α<0,sin
>0,
所以
=-cos
α.
所以原式=
.
答案:sin
6.(2020·浦东高二检测)已知α,β∈
且α<β,若sin
α=
,
cos(α-β)=
,
求:(1)cos
β的值;(2)tan
的值.
【解析】(1)因为α,β∈
,sin
α=
,
所以cos
α=
,
因为α<β,所以α-β∈
,
又cos
,
所以sin
,
所以cos
β=cos
=cos
αcos
+sin
αsin
=
.
(2)由(1)得cos
β=
,所以sin
β=
,
所以tan
.
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·洛阳高二检测)已知cos
,α∈
,则sin
=( )
【解析】选C.因为角
是
的2倍,
所以sin2
,
因为α∈
,
所以
,
所以sin
,
所以cos
,
所以sin
=sin
=sin
·cos
+cos
sin
=
.
2.(2020·延安高一检测)设cos(x+y)sin
x-sin(x+y)cos
x=
,且y是第四象
限角,则tan
的值是
( )
【解析】选A.因为cos(x+y)sin
x-sin(x+y)cos
x=
,所以sin
y=
sin
=sin(x+y)cos
x-cos(x+y)sin
x=-
,
因为y是第四象限角,所以cos
y=
,由半角公式得
tan
.
3.(2020·三亚高一检测)若3π=
( )
【解析】选C.因为3π所以
<2π,sin
<0,cos
>0.
于是
=
.
【补偿训练】
给出下列等式:
(1)
;
(2)
=tan(α-β);
(3)
;
(4)tan2
.
其中正确的等式序号是________.(将你认为正确的等式序号全部写出来)?
【解析】对于等式(1),左边=
,等式(1)不成立;
对于等式(2),
左边=
=
=
,等式(2)不成立;
对于等式(3),左边=
=
=tan
,等式(3)成立;
对于等式(4),等式右边=
,等式(4)成立.
答案:(3)(4)
4.已知函数f(α)=4(sin
2α-cos
2α)+2,在锐角三角形ABC中f(A)=6,且cos
2B=cos
2C,则tan
B的值为
( )
【解析】选C.因为函数f(α)=4(sin
2α-cos
2α)+2
=
,
又因为在锐角三角形ABC中,f(A)=6,
所以f(A)=
,
即sin
,所以2A-
=
或
2A-
=
,解得A=
或A=
(舍去),
又因为cos
2B=cos
2C,
所以2B=2C
,即B=C=
,
所以tan
B=
.
【误区警示】注意本题中锐角三角形的限制,产生多解后要对其进行检验.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.(2020·长沙高一检测)下列三角式中,值为1的是
( )
【解析】选ABC.A.4sin
15°cos
15°=2sin(2×15°)=2sin
30°=1,本选项
符合题意;
B.
,本选项符合题意;
C.
=tan(2×22.5°)=tan
45°=1,本选项符合题意;
D.
,本选项不符合题意.
6.已知函数f(x)=
-2sin
xcos
x,则下列选项正确的是
( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)在区间
上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点
对称
D.函数f(x)的图象关于x=-
对称
【解析】选AD.因为f(x)=
-2sin
xcos
x
=cos
2x-sin
2x=
cos
,
对选项A,函数的最小正周期为T=
=π,故正确;
对选项B,因为-
≤x≤
?0≤2x+
≤
,
所以f(x)在
上单调递减,故错误;
对选项C,f
=
cos
,函数不关于点
对称,故错误.
对选项D,f
=
cos
,函数f(x)的图象关于x=-
对称,
故正确.
【光速解题】B选项可以将区间端点值代入验证得
f
>f
,故不成立,由对称中心在平衡位置处及对称轴对应的函数值
为最大或最小值易知C错D对.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·杭州高一检测)若α的终边上的点(x,y)满足y=2x
,
则sin
α-cos
α=________,tan
=________.?
【解析】在α的终边上,任意取一点
,
则sin
α=
,
cos
α=
,
则sin
α-cos
α=
,
tan
.
答案:-
-
8.(2020·上海高一检测)若△ABC为等腰三角形,顶角为A,cos
A=-
,则
sin
B=________.?
【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由A角的函数值得B角的函数值.
【解析】因为△ABC为等腰三角形,顶角为A,
所以B=
,sin
B=sin
=cos
,
由半角公式得cos
,
又cos
A<0,故A为钝角,
,
所以sin
B=cos
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=
.
(1)求f
的值;
(2)当x∈
时,求g(x)=
f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
【解析】(1)f(x)=
=
=
=2cos
2x.
所以f
=2cos
=2cos
=-
.
(2)由(1)知f(x)=2cos
2x,
g(x)=
f(x)+sin
2x=cos
2x+sin
2x
=
.
因为x∈
,所以
≤2x+
≤
,
所以g(x)max=
,g(x)min=-1.
10.(2020·上海高一检测)如图,在xOy平面上,点A(1,0),点B在单位圆
上,∠AOB=θ(0<θ<π).
(1)若点B
,求tan
的值;
(2)若
,四边形OACB的面积用Sθ表示,求Sθ+
的取值
范围.
【解析】(1)因为B
,∠AOB=θ,
所以cos
θ=-
,sin
θ=
.
所以tan
.
所以tan
.
(2)Sθ=
sin
θ=sin
θ,
因为
,
所以
,
所以
=1+cos
θ,
所以Sθ+
=sin
θ+cos
θ+1
=
+1(0<θ<π),
因为
<θ+
<
,
所以-
≤1,
所以0≤
+1.
【创新迁移】
已知cos
cos
=
,则sin4θ+cos4θ的值为________.?
【解析】因为cos
cos
=
=
(cos2θ-sin2θ)=
cos
2θ=
.所以cos
2θ=
.
故sin4θ+cos4θ=
=
.
答案:
