温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
1.1 复数的概念
学生用书P101
必备知识·自主学习学生用书P101
导思
1.实数集与复数集之间的关系是什么?2.两个复数相等的条件是什么?
1.虚数单位
为了使得像方程x2=-1有解,我们引进一个新数i,叫作虚数单位,并规定:
(1)它的平方等于-1,即i2=-1;
(2)实数与它进行四则运算时,原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数的概念及表示
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=
a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re
z,b称为复数z的虚部,记作Im
z.
3.复数的分类
复数a+bi(a,b∈R)
4.复数集
全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
显然R?C.
(1)两个复数一定能比较大小吗?
提示:不一定,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小.
(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,对于复数z=
a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.
(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系?
提示:
5.两个复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
若复数z1,z2为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a-b的值为多少?
提示:因为z1=z2,所以a=1,b=3,故a-b=-2.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.
( )
(2)
若a为实数,则z=a一定不是虚数.
( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.
( )
提示:(1)×.当b=0时,
z=a+bi为实数.
(2)√.
(3)√.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚数分别相等,则这两个复数相等.
2.复数z=a+i的虚部为
( )
A.1
B.i
C.-1
D.-i
【解析】选A.根据定义可得z的虚部b=1.
3.(教材二次开发:例题改编)已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则x+yi=
( )
A.3+5i
B.-4+5i
C.4-5i
D.-4-5i
【解析】选B.因为x,y∈R,所以利用两复数相等的充要条件可得
解得所以x+yi=-4+5i.
4.若复数z=+i为纯虚数,则实数a的值等于________.?
【解析】由纯虚数的定义可知
由①可解得a=0,或a=2,
但a=2与a2-a-2≠0矛盾.
答案:0
关键能力·合作学习学生用书P102
类型一 复数的概念(数学抽象)
1.已知下列命题:
(1)复数a+bi不是实数;(2)当z∈C时,z2≥0;(3)若复数z=a+bi,当且仅当b≠0时,z为虚数;(4)若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是________.?
【思路导引】根据复数的有关概念判断命题的真假.
【解析】(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时,
a+bi是实数.(2)是假命题,如当z=i时,则z2=-1<0.(3)是假命题,因为没有说明a,b∈R.(4)是假命题,只有当a,b,c,d∈R时,结论才成立.
答案:0
2.请说出下列复数的实部和虚部.
(1)2+3i;(2)-3+i;(3)+i;(4)π;(5)-i;(6)0.
【解析】(1)的实部为2,虚部为3;(2)的实部为-3,虚部为;(3)的实部为,虚部为1;(4)的实部为π,虚部为0;(5)的实部为0,
虚部为-;(6)的实部为0,虚部为0.
复数a+bi(a,b∈R)中,实数a,b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,虚部是b,而不是bi.
类型二 复数的分类(数学抽象)
【典例】实数x分别取什么值时,复数z=+(x2-2x-15)i是(1)实数?(2)虚数?
【思路导引】(1)
若复数z是实数,
则虚部为0,同时注意分式的分母不等于0;(2)若复数z是虚数,则虚部不等于0,同时注意使分式有意义.
【解析】(1)当x满足
即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数?b=0;
②z为虚数?b≠0;
③z为纯虚数?a=0且b≠0.
已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,
(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?
【解析】(1)要使z为实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z为虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z为纯虚数,m需满足=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
类型三 复数相等的条件及应用(数学运算)
【典例】1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于__________.?
2.已知实数x满足x2+x-2xi=-3m+i,求实数m的值.
【思路导引】1.等价转化为虚部为零,且实部小于零;
2.根据复数相等的充要条件求解.
【解析】1.因为z<0,所以所以m=-3.
答案:-3
2.
所以x=-且-+3m=0,所以m=.
复数相等问题的解题技巧
1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的取值分别为________.?
【解析】因为x2-y2+2xyi=2i,
所以解得或
答案:1,1或-1,-1
课堂检测·素养达标学生用书P102
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,则b的值为
( )
A.2
B.
C.-
D.-2
【解析】选A.由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,得2-b=0,即b=2.
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数z的虚部为
( )
A.1
B.2i
C.±1
D.2
【解析】选D.由已知解得a=1,故z=2i,其虚部为2.
3.(教材二次开发:练习改编)以i-的虚部为实部,以8i2+i的实部为虚部的复数是________.?
【解析】i-的虚部为,8i2+i=-8+i的实部为-8.
答案:-8i
4.若实数x,y满足x+yi=-1+i(i是虚数单位),则xy=________.?
【解析】因为x+yi=-1+i,所以解得因此,xy=.
答案:
课时素养评价
三十五 复数的概念
(15分钟 30分)
1.(2020·武威高一检测)i2+i是
( )
A.实数
B.虚数
C.0
D.1
【解析】选B.因为i2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i为虚数.
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为
( )
A.-2
B.3
C.-3
D.±3
【解析】选B.由题知解得m=3.
3.设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R.a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数.复数a+bi是纯虚数,则a=0一定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
【补偿训练】
设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .
?
【解析】?m=-2.
答案:-2
4.z1=m2-3m+m2i,z2=4+i,m为实数,若z1=z2,则m的值为
( )
A.4
B.-1
C.6
D.0
【解析】选B.由题意解得m=-1.
5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为 .?
【解析】由题意得
解得m=2.
答案:2
6.(2020·沈阳高一检测)若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a+b= .?
【解析】由a+bi=i2?a+bi=-1
?a=-1,b=0?a+b=-1.
答案:-1
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·南宁高一检测)若复数z满足z=1-2i,i为虚数单位,则z的虚部为
( )
A.-2i
B.2
C.-2
D.2i
【解析】选C.因为z=1-2i,所以z的虚部为-2.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
( )
A.,1
B.,5
C.±,5
D.±,1
【解析】选C.令得a=±,b=5.
3.(2020·济南高一检测)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a=
( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
【解析】选D.由题意解得a=-4.
【补偿训练】
(2020·哈尔滨高一检测)已知复数z=sin
θ-+i为纯虚数,则tan
θ=
( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选A.因为z=sin
θ-+i为纯虚数,
所以解得sin
θ=,根据sin2θ+cos2θ=1,cos
θ≠,
可得cos
θ=-.则tan
θ==-2.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列命题错误的是
( )
A.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
B.-i2=-1
C.若a>b,则a+i>b+i
D.若z∈C,则z2>0
【解析】选BCD.?a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正确;-i2=-=1,B错误;
虚数无法比较大小,C错误;
若z=i,则z2=-1<0,D错误.
【补偿训练】
(多选题)(2020·潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
( )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【解析】选BCD.对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·巴楚高一检测)如果+i=+i,其中x,y为实数,则2x+y= .?
【解析】因为+i=+i,x,y∈R,所以,解得,所以2x+y=6.
答案:6
6.复数z=cos+isin,且θ∈,若z是实数,则θ的值为 ;若z为纯虚数,则θ的值为 .
?
【解析】若z为实数,则sin=cos
θ=0,
又因为θ∈,所以θ=±.若z为纯虚数,则有
所以θ=0.
答案:± 0
四、解答题
7.(10分)(2020·阳江高一检测)设复数z=+i,其中a∈R,当a取何值时:(1)z∈R;
(2)z是纯虚数;(3)z是零.
【解析】(1)当a2-7a+6=0,即a=1或a=6时,z∈R;
(2)当即a=-2时z是纯虚数;
(3)当即a=1时,z是零.
【补偿训练】
(2020·上海高一检测)设z=+i(m∈R),若Re
z≥Im
z,求实数m的取值范围.
【解析】由题意可知Re
z=m2-2m-2,Im
z=2m2+3m+4,
因为Re
z≥Im
z,所以m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0解得-3≤m≤-2.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共51张PPT)
1.1 复数的概念
必备知识·自主学习
1.虚数单位
为了使得像方程x2=-1有解,我们引进一个新数i,叫作_________,并规定:
(1)它的平方等于-1,即i2=-1;
(2)实数与它进行四则运算时,原有的_________________仍然成立.
导思
1.实数集与复数集之间的关系是什么?
2.两个复数相等的条件是什么?
虚数单位
加法、乘法运算律
2.复数的概念及表示
形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作_____,通常用字母z表示,即z=
a+bi(a,b∈R),
其中a称为复数z的_____,记作Re
z,b称为复数z的_____,记作Im
z.
3.复数的分类
复数a+bi(a,b∈R)
4.复数集
全体复数构成的集合称为复数集,记作C.
显然R?
C.
复数
实部
虚部
?
【思考】
(1)两个复数一定能比较大小吗?
提示:不一定,只有当这两个复数都是实数时,才能比较大小.
(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,对于复数z=
a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.
(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系?
提示:
5.两个复数相等
两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.
【思考】
若复数z1,z2为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a-b的值为多少?
提示:因为z1=z2,所以a=1,b=3,故a-b=-2.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.
( )
(2)
若a为实数,则z=a一定不是虚数.
( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.
( )
提示:(1)×.当b=0时,
z=a+bi为实数.
(2)√.
(3)√.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,则这两个复数的实部和虚数分别相等,则这两个复数相等.
2.复数z=a+i(a∈R)的虚部为
( )
A.1
B.i
C.-1
D.-i
【解析】选A.根据定义可得z的虚部b=1.
3.(教材二次开发:例题改编)已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则
x+yi=
( )
A.3+5i
B.-4+5i
C.4-5i
D.-4-5i
【解析】选B.因为x,y∈R,所以利用两复数相等的充要条件可得
解得
所以x+yi=-4+5i.
4.若复数z=
为纯虚数,则实数a的值等于________.?
【解析】由纯虚数的定义可知
由①可解得a=0,或a=2,
但a=2与a2-a-2≠0矛盾.
答案:0
关键能力·合作学习
类型一 复数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.已知下列命题:
(1)复数a+bi不是实数;(2)当z∈C时,z2≥0;(3)若复数z=a+bi,当且仅当b≠0时,z为虚数;(4)若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是________.?
【思路导引】根据复数的有关概念判断命题的真假.
【解析】(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时,
a+bi是实数.(2)是假命题,如当z=i时,则z2=-1<0.(3)是假命题,因为没有说明a,b∈R.(4)是假命题,只有当a,b,c,d∈R时,结论才成立.
答案:0
2.请说出下列复数的实部和虚部.
(1)2+3i;(2)-3+
i;(3)
+i;(4)π;(5)-
i;(6)0.
【解析】(1)的实部为2,虚部为3;(2)的实部为-3,虚部为
;(3)的实部为
,
虚部为1;(4)的实部为π,虚部为0;(5)的实部为0,
虚部为-
;(6)的实部为0,
虚部为0.
【解题策略】
复数a+bi(a,b∈R)中,实数a,b分别叫作复数的实部和虚部.特别注意,虚部是b,而不是bi.
类型二 复数的分类(数学抽象)
【典例】实数x分别取什么值时,复数z=
+(x2-2x-15)i是(1)实数?
(2)虚数?
【思路导引】(1)
若复数z是实数,
则虚部为0,同时注意分式的分母不等于
0;(2)若复数z是虚数,则虚部不等于0,同时注意使分式有意义.
【解析】(1)当x满足
即x=5时,z是实数.
(2)当x满足
即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
【解题策略】
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数?b=0;
②z为虚数?b≠0;
③z为纯虚数?a=0且b≠0.
【跟踪训练】
已知m∈R,复数z=
+(m2+2m-3)i,当m为何值时,
(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?
【解析】(1)要使z为实数,m需满足m2+2m-3=0,且
有意义即m-1≠0,解得
m=-3.
(2)要使z为虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且
有意义,即m-1≠0,解得m≠1
且m≠-3.
(3)要使z为纯虚数,m需满足
=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
类型三 复数相等的条件及应用(数学运算)
【典例】1.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于__________.?
2.已知实数x满足x2+x-2xi=-3m+i,求实数m的值.
【思路导引】1.等价转化为虚部为零,且实部小于零;
2.根据复数相等的充要条件求解.
【解析】1.因为z<0,所以
所以m=-3.
答案:-3
2.
所以x=-
且
+3m=0,所以m=
.
【解题策略】
复数相等问题的解题技巧
1.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
2.根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的取值分别为________.?
【解析】因为x2-y2+2xyi=2i,
所以
解得
或
答案:1,1或-1,-1
1.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,则b的值为
( )
A.2
B.
C.-
D.-2
【解析】选A.由复数2-bi(b∈R)的实部与虚部之和为零,得2-b=0,即b=2.
课堂检测·素养达标
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数z的虚部为( )
A.1
B.2i
C.±1
D.2
【解析】选D.由已知
解得a=1,故z=2i,其虚部为2.
3.(教材二次开发:练习改编)以
i-
的虚部为实部,以8i2+
i的实部为虚
部的复数是________.?
【解析】
i-
的虚部为
,8i2+
i=-8+
i的实部为-8.
答案:
-8i
4.若实数x,y满足x+yi=-1+
i(i是虚数单位),则xy=________.?
【解析】因为x+yi=-1+
i,所以
解得
因此,xy=
.
答案:
三十五 复数的概念
【基础通关--水平一】
(15分钟 30分)
1.(2020·武威高一检测)i2+i是
( )
A.实数
B.虚数
C.0
D.1
【解析】选B.因为i2=-1所以i2+i=-1+i,-1+i为虚数.
课时素养评价
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为
( )
A.-2
B.3
C.-3
D.±3
【解析】选B.由题知
解得m=3.
3.设a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的
( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R.a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数.复数a+bi是纯虚数,则a=0一定成立.所以a,b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.
【补偿训练】
设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .
?
【解析】
?m=-2.
答案:-2
4.z1=m2-3m+m2i,z2=4+
i,m为实数,若z1=z2,则m的值为
( )
A.4
B.-1
C.6
D.0
【解析】选B.由题意
解得m=-1.
5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1则实数m的值为 .?
【解析】由题意得
解得m=2.
答案:2
6.(2020·沈阳高一检测)若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a+b= .?
【解析】由a+bi=i2?a+bi=-1
?a=-1,b=0?a+b=-1.
答案:-1
【基础通关--水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·南宁高一检测)若复数z满足z=1-2i,i为虚数单位,则z的虚部为( )
A.-2i
B.2
C.-2
D.2i
【解析】选C.因为z=1-2i,所以z的虚部为-2.
2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
( )
A.
,1
B.
,5
C.±
,5
D.±
,1
【解析】选C.令
得a=±
,b=5.
3.(2020·济南高一检测)若4-3a-a2i=a2+4ai
,则实数a=
( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
【解析】选D.由题意
解得a=-4.
【补偿训练】
(2020·哈尔滨高一检测)已知复数z=sin
θ-
为纯虚数,则
tan
θ=( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选A.因为z=sin
θ-
为纯虚数,
所以
解得sin
θ=
,根据sin2θ+cos2θ=1,cos
θ≠
,
可得cos
θ=-
.则tan
θ=
=-2
.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列命题错误的是
( )
A.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
B.-i2=-1
C.若a>b,则a+i>b+i
D.若z∈C,则z2>0
【解析】选BCD.?a∈R,a2+1>0恒成立,所以A正确;-i2=-
=1,B错误;
虚数无法比较大小,C错误;
若z=i,则z2=-1<0,D错误.
【补偿训练】
(多选题)(2020·潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是
( )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-
的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【解析】选BCD.对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部
为-
的虚数可以表示为m-
i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,
判断C正确;
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不
出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·巴楚高一检测)如果
其中x,y为实
数,则2x+y= .?
【解析】因为
x,y∈R,所以
解得
所以2x+y=6.
答案:6
6.复数z=cos
+isin
,且θ∈
,若z是实数,则θ的值
为 ;若z为纯虚数,则θ的值为 .
?
【解析】若z为实数,则sin
=cos
θ=0,
又因为θ∈
,所以θ=±
.若z为纯虚数,则有
所以θ=0.
答案:±
0
四、解答题
7.(10分)(2020·阳江高一检测)设复数z=
其中a∈R,当
a取何值时:(1)z∈R;
(2)z是纯虚数;(3)z是零.
【解析】(1)当a2-7a+6=0,即a=1或a=6时,z∈R;
(2)当
即a=-2时z是纯虚数;
(3)当
即a=1时,z是零.
【补偿训练】
(2020·上海高一检测)设z=
(m∈R),若Re
z≥
Im
z,求实数m的取值范围.
【解析】由题意可知Re
z=m2-2m-2,Im
z=2m2+3m+4,
因为Re
z≥Im
z,所以m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0解得-3≤m≤-2.
