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2.1 复数的加法与减法
学生用书P105
必备知识·自主学习学生用书P105
导思
1.复数加法的法则是什么?2.复数加法与减法的几何意义是什么?
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线
加法
减法
运算法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何意义
复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应
复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应
运算律
交换律
z1+z2=z2+z1
结合律
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则.
( )
(2)复数与复数相加减后结果为复数.
( )
(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义.
( )
答案:(1)
√ (2)√ (3)
√
2.(教材二次开发:例题改编)复数(1-i)-(2+i)+3i等于
( )
A.-1+i
B.1-I
C.i
D.-i
【解析】选A.(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
3.设z1=-6-2i,z2=6-18i,其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面上对应点的坐标为________.?
【解析】z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i,
则z在复平面上对应点的坐标为(0,-20).
答案:(0,-20)
关键能力·合作学习学生用书P105
类型一 复数的加、减运算(数学运算)
1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.?
2.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.?
【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
答案:-2-i
2.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得x=1,y=0,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|=.
答案:
复数的加减法的运算技巧
复数与复数相加减,相当于多项式加减法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减).
【补偿训练】
1.(2020潍坊高一检测)若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=
( )
A.
B.-
C.-
D.5
【解析】选B.(-3a+bi)-(2b+ai)=(-3a-2b)+(b-a)i=3-5i,所以解得a=,b=-,故有a+b=-.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为
( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,所以a=-1.
类型二 复数的加、减运算的几何意义(直观想象)
【典例】1.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=.则|z1-z2|=________.?
2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求,
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
【思路导引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解.
【解析】1.由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知z1,z2,z1+z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点,所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-z2|=.
答案:
2.(1)=-,所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-.
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
2.常见结论
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB
为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
(2020·烟台高一检测)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
【解析】(1)对应的复数为zB-zA=(2+i)-1=1+i;对应的复数为zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i;对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.
(2)由(1)知||==,
||==,||==2,
所以||2+||2=||2.所以△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=||·||=××2=2.
类型三 复数模的最值问题(逻辑推理)
【典例】若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【思路导引】根据复数加减法的几何意义作出相应的图象进行求解.
【解析】如图所示,
||==2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
将本例条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.
【解析】因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.
复数模的最值的求解方法
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
若z∈C,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
【解析】由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,因此复数z对应的点Z在以z0=-2+2i对应的点Z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.
设y=|z-2-2i|,则y是Z点到2+2i对应的点A的距离.又=4所以由图知ymin=|AZ0|-1=3.
课堂检测·素养达标学生用书P106
1.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为
( )
A.1+i
B.2+I
C.3
D.-2-i
【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.
2.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.
3.计算:|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________.?
【解析】|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
答案:5
4.(教材二次开发:例题改编)若复数z满足3z+=1+i,其中i为虚数单位,则z=________.?
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则3(a+bi)+a-bi=1+i?4a=1且2b=1?z=+i.
答案:+i
5.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点间的距离.
【解析】向量+对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.因为=-,所以向量对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.所以A,B两点间的距离为|-8-2i|==2.
课时素养评价
三十七 复数的加法与减法
(15分钟 35分)
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量、对应的复数分别是3+i、-1+3i,则对应的复数是
( )
A.2+4i
B.-2+4i
C.-4+2i
D.4-2i
【解析】选D.依题意有==-,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i.
3.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为
( )
A.0
B.1
C.
D.
【解析】选C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.
4.(2020·青岛高一检测)已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= .?
【解析】因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以即所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i
5.已知z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β且z1-z2=+i,则cos(α+β)的值为 .?
【解析】因为z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,
所以z1-z2=(cos
α-cos
β)+i(sin
α+sin
β)=+i,
所以
①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.
答案:
6.(2020·天津高一检测)已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,求实数a.
【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,
所以|z|==.
2.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于
( )
A.
B.5
C.
D.5
【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.
3.(2020·泸县高一检测)z∈C,若|z|-=1+2i,则z=
( )
A.-2i
B.+2i
C.2+2i
D.2-2i
【解析】选B.设z=a+bi,则|z|-=-a+bi=1+2i,故,故,故z=+2i.
【补偿训练】
已知z∈C且=1,则(i为虚数单位)的最小值是
( )
A.2-1
B.2+1
C.
D.2
【解析】选A.因为|z|=1且z∈C,作图如图:
因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,
所以|z-2-2i|的最小值为:|OP|-1=2-1.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是
( )
A.z-=2a
B.|z|=||
C.z+=2a
D.z+=2bi
【解析】选BC.已知z=a+bi
则=a-bi
选项A,z-=-=2bi≠2a,错误.选项B,|z|=,||==,正确.选项C,z+=2a,故C正确,D错误.
【补偿训练】
1.已知复数z1=2+ai,z2=a+i,且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值可以是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选CD.由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,
因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,所以,所以a>2.故CD正确.
2.(2020·苏州高一检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是
( )
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若=,则⊥
【解析】选CD.满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;
在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由=的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.设复数z满足z+|z|=2+i,则z= .?
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=.所以x+yi+=2+i.
所以解得
所以z=+i.
答案:+i
6.若|z|=2,则|z-1|的最小值是 .?
【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.
答案:1
四、解答题
7.(10分)已知复数z满足|z|=2,求复数1+i+z的模的最大值、最小值.
【解析】由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,设w=1+i+z,所以z=w-1-i,所以|z|=|w-(1+i)|=2.
于是复数w对应的点在复平面内以(1,)为圆心,半径为2的圆上,如图所示,此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值,圆上的点B对应的复数wB的模有最小值,故|1+i+z|max=4,=0.
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)由于=+=+,所以=-.故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)由于=-=-,
所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,
==(-1,2),==(4,3),
所以cos∠DAB===.
因此sin∠DAB==.
于是平行四边形ABCD的面积
S?ABCD=||||sin∠DAB=×5×=11.
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PAGE(共58张PPT)
2.1 复数的加法与减法
必备知识·自主学习
导思
1.复数加法的法则是什么?
2.复数加法与减法的几何意义是什么?
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1,z2,z3∈C,设
,
分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且
,
不共线
加法
减法
运算
法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=
_____________
(a-c)+(b-d)i
几何
意义
复数的和z1+z2与向量
+
=
的坐标对应
复数的差z1-z2与向量
-
=
的坐标对应
运算律
交换律
z1+z2=z2+z1
结合律
(z1+z2)+z3=__________
z1+(z2+z3)
【思考】
若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能,例如可取z1=3+2i,z2=2i.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则.
( )
(2)复数与复数相加减后结果为复数.
( )
(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义.
( )
答案:(1)
√ (2)√ (3)
√
2.(教材二次开发:例题改编)复数(1-i)-(2+i)+3i等于
( )
A.-1+i
B.1-i
C.i
D.-i
【解析】选A.(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
3.设z1=-6-2i,z2=6-18i,其中i为虚数单位.若z=z1+z2,则z在复平面上对应点的坐标为________.?
【解析】z=z1+z2=-6-2i+6-18i=-20i,
则z在复平面上对应点的坐标为(0,-20).
答案:(0,-20)
关键能力·合作学习
类型一 复数的加、减运算(数学运算)
【题组训练】
1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.?
2.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.?
【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
答案:-2-i
2.z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-
2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以
解得x=1,y=0,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|=
.
答案:
【解题策略】
复数的加减法的运算技巧
复数与复数相加减,相当于多项式加减法的合并同类项,将两个复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减).
【补偿训练】
1.(2020潍坊高一检测)若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=
( )
【解析】选B.(-3a+bi)-(2b+ai)=(-3a-2b)+(b-a)i=3-5i,所以
解得a=
,b=-
,故有a+b=-
.
2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为
( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,所以a=-1.
类型二 复数的加、减运算的几何意义(直观想象)
【典例】1.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=
.则|z1-z2|=________.?
2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求,
(1)
所表示的复数,
所表示的复数;
(2)对角线
所表示的复数;
(3)对角线
所表示的复数及
的长度.
【思路导引】利用复数的几何意义以及向量的运算求解.
【解析】1.由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=
,知z1,z2,z1+z2对应的点是一个边长为1
的正方形的三个顶点,所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-
z2|=
.
答案:
2.(1)
所以
所表示的复数为-3-2i.
因为
所以
所表示的复数为-3-2i.
(2)因为
所以
所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)对角线
它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,|
|=
【解题策略】
1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.
(2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
2.常见结论
在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB
为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
【跟踪训练】
(2020·烟台高一检测)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求
对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
【解析】(1)
对应的复数为zB-zA=(2+i)-1=1+i;
对应的复数为zC-zB=(
-1+2i)-(2+i)=-3+i;
对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.
(2)由(1)知
所以
所以△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=
类型三 复数模的最值问题(逻辑推理)
【典例】若复数z满足|z+
+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【思路导引】根据复数加减法的几何意义作出相应的图象进行求解.
【解析】如图所示,
|
|=
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
【变式探究】
将本例条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.
【解析】因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆
上,由几何性质得|z|的最大值是
+1=6.
【解题策略】
复数模的最值的求解方法
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
【跟踪训练】
若z∈C,i为虚数单位,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
【解析】由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,因此复数z对应的点Z在以z0=-2+2i对应
的点Z0为圆心,1为半径的圆上,如图所示.
设y=|z-2-2i|,则y是Z点到2+2i对应的点A的距离.又
=4所以由图知ymin=|AZ0|-
1=3.
1.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为
( )
A.1+i
B.2+i
C.3
D.-2-i
【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.
课堂检测·素养达标
2.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.
3.计算:|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________.?
【解析】|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=
=5.
答案:5
4.(教材二次开发:例题改编)若复数z满足3z+
=1+i,其中i为虚数单位,则
z=________.?
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则3(a+bi)+a-bi=1+i?4a=1且2b=1?z=
答案:
5.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是
其中O是原点,求向量
对应的复数及A,B两点间的距离.
【解析】向量
对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.因为
所以向量
对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.所以A,B两点间的距离为|-8-
2i|=
三十七 复数的加法与减法
【基础通关--水平一】
(15分钟 35分)
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.
课时素养评价
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量
对应的复数
分别是3+i、-1+3i,则
对应的复数是
( )
A.2+4i
B.-2+4i
C.-4+2i
D.4-2i
【解析】选D.依题意有
而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即
对应的
复数为4-2i.
3.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为
( )
A.0
B.1
C.
D.
【解析】选C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)
和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的
点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为
.
4.(2020·青岛高一检测)已知i为虚数单位,设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且
z1+z2=5-6i,则z1-z2= .?
【解析】因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以
即
所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
答案:-1+10i
5.已知z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β且z1-z2=
则cos(α+β)的值为 .?
【解析】因为z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,
所以z1-z2=(cos
α-cos
β)+i(sin
α+sin
β)=
所以
①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=
.
答案:
6.(2020·天津高一检测)已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,求实
数a.
【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以
解得a=3.
【基础通关--水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,
所以|z|=
2.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于
( )
【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5
.
3.(2020·泸县高一检测)z∈C,若|z|-
=1+2i,则z=
( )
【解析】选B.设z=a+bi,则|z|-
=
-a+bi=1+2i,故
故
,故z=
+2i.
【补偿训练】
已知z∈C且
=1,则
(i为虚数单位)的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选A.因为|z|=1且z∈C,作图如图:
因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,
所以|z-2-2i|的最小值为:|OP|-1=2
-1.
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是( )
A.z-
=2a
B.|z|=|
|
C.z+
=2a
D.z+
=2bi
【解析】选BC.已知z=a+bi
则
=a-bi
选项A,z-
=
=2bi≠2a,错误.选项B,|z|=
正确.选项C,z+
=2a,故C正确,D错误.
【补偿训练】
1.已知复数z1=2+ai,z2=a+i
,且复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,则a的取值可以是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选CD.由题得z1-z2=(2-a)+(a-1)i,
因为复数z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,所以
所以a>2.故CD正确.
2.(2020·苏州高一检测)已知i为虚数单位,下列说法中正确的是
( )
A.若复数z满足|z-i|=
,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,
为半径的圆
上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应
的向量的模
D.复数z1对应的向量为
,复数z2对应的向量为
,若
,则
⊥
【解析】选CD.满足|z-i|=
的复数z对应的点在以(0,1)为圆心,
为半径
的圆上,A错误;
在B中,设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=
由z+|z|=2+8i,得a+bi+
=2+8i,所以
解得
所以z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由
的几何意
义知,以
,
为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.设复数z满足z+|z|=2+i,则z= .?
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=
.所以x+yi+
=2+i.
所以
解得
所以z=
+i.
答案:
+i
6.若|z|=2,则|z-1|的最小值是 .?
【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1.
答案:1
四、解答题
7.(10分)已知复数z满足|z|=2,求复数1+
i+z的模的最大值、最小值.
【解析】由已知,复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心,半径为2的圆上,
设w=1+
i+z,所以z=w-1-
i,所以|z|=|w-(1+
i)|=2.
于是复数w对应的点在复平面内以(1,
)为圆心,半径为2的圆上,如图所示,
此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值,圆上的点B对应的复数wB的模有最
小值,故|1+
i+z|max=4,
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中,已知
对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求
对应的复数;
(2)求
对应的复数;
(3)求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)由于
故
对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)由于
所以
对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,
所以cos∠DAB=
因此sin∠DAB=
于是平行四边形ABCD的面积
S?ABCD=
