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2.2 复数的乘法与除法
学生用书P107
必备知识·自主学习学生用书P107
导思
1.复数的乘法与除法的运算法则是什么?2.互为共轭复数的乘积是实数吗?
1.复数代数形式的乘法法则
(1)乘法法则
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1·z2=z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(3)复数范围内正整数指数幂的运算性质
对复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=
zmn,(z1·z2)n
=·.
(4)i的乘方的运算性质
一般地,对任意自然数n,有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
(5)互为共轭复数的性质
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2=||2.
2.复数代数形式的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0,a,b,c,d∈R).
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若z∈C,则|z|2=z2.
( )
(2)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0.
( )
提示:(1)×.举反例:如z=1+i,则|z|=,z2=2i,|z|2≠z2.
(2)×.例如z1=1,z2=i,显然+=0,但z1≠z2≠0.
2.已知复数z=2-i,则z·的值为
( )
A.5 B. C.3 D.
【解析】选A.z·=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.
3.(教材二次开发:例题改编)已知复数z=(i为虚数单位),则=________.?
【解析】z===-1+2i,=.
答案:
关键能力·合作学习学生用书P107
类型一 复数的乘法(数学运算)
1.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
2.若复数z=i·(a+2i)的模为4,其中i是虚数单位,则正实数a的值为________.?
3.计算:①(1-2i)(3+4i)(-2+i);
②(3+4i)(3-4i);③(1+i)2.
【解析】1.选B.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,所以解得a<-1.
2.因为z=i·(a+2i)=-2+ai,
所以=4,得a=2,或a=-2(舍去),
答案:2
3.①(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i;
②(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
③(1+i)2=1+2i+i2=2i.
1.两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
2.常用公式
(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(3)(1±i)2=±2i.
类型二 复数的除法(数学运算)
1.如图所示,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2020·合肥高一检测)已知i为虚数单位,复数z=+3i,则复数z的虚部是
( )
A.i
B.1
C.2i
D.2
3.计算:+-.
【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,所以==-1+2i,
对应的点在第二象限.
2.选D.z=+3i=+3i=1+2i,其虚部为2.
3.原式=[(1+i)2]3·+[(1-i)2]3·-=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-=8+8-16-16i=-16i.
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式;
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
【补偿训练】
若复数z=,则z的共轭复数是________.?
【解析】由题得z==,所以=-i.
所以z的共轭复数为-i.
答案:-i
类型三 i的运算性质(逻辑推理)
【典例】计算:(1)+.
(2)i+i2+…+i2
021.
【思路导引】利用i的乘方的周期性计算.
【解析】(1)原式=+
=i(1+i)+(-i)1
010=i+i2+(-1)1
010·i1
010
=i-1+i4×252+2=i-1-1=i-2.
(2)方法一:原式==
=====i.
方法二:因为in++in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N
),
所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2
017+i2
018+i2
019+i2
020)+i2
021
=i2
021=(i4)505·i=1505·i=i.
i的运算性质的应用
(1)
i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3
=0(n∈N
).
(2)记住以下结果,可提高运算速度
①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;
②=-i,=i;③=-i.
(2020·上海高一检测)已知复数z满足z=2-4i(其中i为虚数单位),则z=________.?
【解析】因为z=2-4i,
所以z===1-2i.
答案:1-2i
类型四 与共轭复数有关的运算(数学运算)
【典例】1.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·等于
( )
A.
B.
C.1
D.2
2.已知复数z满足|z|=,且(1-2i)z是实数,求.
【思路导引】可以先设复数的代数形式,再利用复数的运算性质求解;也可以利用共轭复数的性质求解.
【解析】1.选A.方法一:因为z======-+,所以=--,所以z·=.
方法二:因为z=,所以|z|====所以z·=.
2.方法一:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因为(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=,所以a2+b2=5.解得a=±1,b=±2,所以z=1+2i或-1-2i,所以=1-2i或-1+2i,即=±(1-2i).
方法二:因为(1-2i)z是实数,故可设z=b(1+2i),b∈R,由|z|=可知|b|=,所以b=±1,即=±(1-2i).
把典例2的条件“(1-2i)z是实数”换成“(1-2i)z是纯虚数”,求.
【解析】设z=a+bi,则=a-bi,由已知条件及典例2的解析可知a=-2b,b≠2a,由|z|===,得b=1,a=-2;或
b=-1,a=2.所以=-2-i,或=2+i.
1.由比较复杂的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.
2.注意共轭复数的简单性质的运用.
备选类型 复数与一元二次方程问题(数学运算)
【典例】1.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则
( )
A.b=2,c=3
B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1
D.b=2,c=-1
2.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为________.?
【思路导引】1.利用根与系数的关系求解;
2.设方程的实数根,利用复数相等的条件求解.
【解析】1.选B.实系数方程虚根成对,所以1-i也是一根,所以b=-2,c=1+2=3.
2.设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等的充要条件得
解得或
所以k的值为-2或2.
答案:±2
解决实系数一元二次方程问题的注意点
(1)和在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
(2)解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p,q的值.
【解析】由根与系数的关系可得
即
因为p,q均为实数,所以
解得从而有
课堂检测·素养达标学生用书P108
1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于
( )
A.-i
B.i
C.-1
D.1
【解析】选A.z==-i.
2.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=
( )
A.2-3i
B.2+3i
C.3+2i
D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i.
3.已知复数z满足z=3+i2
020,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部为
( )
A.-i
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为i2
020==1,在等式z=3+i2
020两边同时除以3+i得z===-i,所以=+i,因此复数的虚部为.
4.计算:(1+i)2-=________.?
【解析】因为(1+i)2-=2i-=-+i.
答案:-+i
5.已知复数z=-i.则z2+z4=________.?
【解析】因为z2==-i-=-i,
所以z4==(-i)2=-1,所以z2+z4=-1-i.
答案:-1-i
课时素养评价
三十八 复数的乘法与除法
(15分钟 30分)
1.若a为实数,则复数z=在复平面内对应的点在
( )
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
D.第二象限
【解析】选B.因为z=a+i+a2i-a=i,且a2+1>0,所以复数z=在复平面内对应的点在虚轴上.
2.(2020·青岛高一检测)已知i是虚数单位,则化简的结果为
( )
A.i
B.-i
C.-1
D.1
【解析】选C.因为===i,所以=i2
022=i2=-1.
3.已知i是虚数单位,复数z满足z=i,则z的虚部是
( )
A.
B.-I
C.i
D.-
【解析】选A.因为z=i,所以z====+i,则z的虚部为.
【补偿训练】
若a为实数,且=3+i,则a=
( )
A.-4
B.-3
C.3
D.4
【解析】选D.=
=+i=3+i,所以解得a=4.
4.(2020·烟台高一检测)复数z满足z-1=i,则的值是
( )
A.1+I
B.1-i
C.i
D.-i
【解析】选D.因为z-1=i,所以z====i,所以=-i.
【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数,属于基础题.
【补偿训练】
(2020·南宁高一检测)已知复数z的共轭复数为,且=3+i(i为虚数单位),则=
( )
A.2
B.
C.
D.4
【解析】选B.因为=3+i,所以====1+i,
则===.
5.设复数z=1+i,则z2-2z= .?
【解析】因为z=1+i,
所以z2-2z=z(z-2)=(1+i)(1+i-2)
=(1+i)(-1+i)=-3.
答案:-3
6.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·= .?
【解析】由题意可知z==i,
所以=-i,所以z·=i·(-i)=1.
答案:1
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·西安高一检测)已知复数z1=cos
20°+isin
20°,z2=cos
40°+isin
40°,则z1·z2为
( )
A.-i
B.+i
C.+i
D.-i
【解析】选C.因为z1·z2=
=cos
20°cos
40°+icos
20°sin
40°+isin
20°cos
40°+isin
20°·isin
40°=(cos
20°cos
40°-sin
20°sin
40°)+
i=cos
60°+isin
60°=+i.
2.(2020·南昌高一检测)复数z=的虚部为
( )
A.-i
B.-
C.i
D.
【解析】选D.因为z===-+i,所以复数z=的虚部为.
3.若方程x2+x+m=0有两个虚根α,β,且|α-β|=3,则实数m的值为
( )
A.
B.-
C.2
D.-2
【解析】选A.因为方程x2+x+m=0是实系数一元二次方程,且有两个虚根α,β,所以α,β互为共轭虚数,
所以设α=a+bi,a,b∈R,则β=a-bi,
由|α-β|=3,得b=±.当b=时,α=a+i,
代入方程得+a+i+m=0,
即+i=0,
所以所以
当b=-时,同理
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.(2020·泰州高一检测)已知i为虚数单位,z·=1-i,则关于复数z的说法正确的是
( )
A.=1
B.z对应复平面内的点在第三象限
C.z的虚部为-i
D.z+=0
【解析】选AD.因为z·=1-i,
所以z==-i,
所以=1,
z+=0,z的虚部为-1,z所对应的点为(0,-1),在坐标轴上.
【补偿训练】
1.(2020·济南高一检测)已知集合M=,其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BC.根据题意,M=中n=4k时,in=1;n=4k+1时in=i;n=4k+2时,in=-1;
n=4k+3时,in=-i;
所以M=.
选项A中=2?M;
选项B中==-i∈M;
选项C中==i∈M;
选项D中=-2i?M.
2.(2020·济南高一检测)已知复数z=1+cos
2θ+isin
2θ(其中i为虚数单位)下列说法正确的是
( )
A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z可能为实数
C.=2cos
θ
D.的实部为
【解析】选BCD.因为-<θ<,所以-π<2θ<π,所以-1
2θ≤1,所以0<1+cos
2θ≤2,所以A选项错误;
当sin
2θ=0,θ=0∈时,复数z是实数,故B选项正确;
=
==2cos
θ,故C选项正确;
=
=
=,的实部是=故D选项正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n= .?
【解析】由题意,方程另一根为1-2i,
所以解得
故m+n=2+=.
答案:
6.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|= .?
【解析】因为a,b∈R,且=1-bi,
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
所以所以
所以|a+bi|=|2-i|==.
答案:
四、解答题
7.(10分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使az+2b=(a+2z)2.
【解析】因为z=1+i,所以az+2b=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i
=(a2+4a)+4(a+2)i.
因为a,b都是实数,所以由az+2b=(a+2z)2,
得解得a=-2或a=-4,
对应得b=-1或b=2,所以所求实数为a=-2,
b=-1或a=-4,b=2.
【补偿训练】
(2020·天津高一检测)已知a∈R,复数z=.(1)若z为纯虚数,求a的值;
(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求a的取值范围.
【解析】(1)z===-i,
因为z为纯虚数,所以=0且-≠0,则a=1.
(2)由(1)知=+i,
则点位于第二象限,
所以
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PAGE(共78张PPT)
2.2 复数的乘法与除法
必备知识·自主学习
1.复数代数形式的乘法法则
(1)乘法法则
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=
_________________.
导思
1.复数的乘法与除法的运算法则是什么?
2.互为共轭复数的乘积是实数吗?
(ac-bd)+(ad+bc)i
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1·z2=____
结合律
(z1·z2)·z3=
_________
乘法对加法的分配律
z1·(z2+z3)=_________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1·z2+z1·z3
(3)复数范围内正整数指数幂的运算性质
对复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=zm+n,(zm)n=
zmn,(z1·z2)n=
(4)i的乘方的运算性质
一般地,对任意自然数n,有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.
(5)互为共轭复数的性质
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)模的平
方.即若z=a+bi(a,b∈R),则z·
=|z|2=|
|2.
2.复数代数形式的除法法则
(a+bi)÷(c+di)=
(c+di≠0,a,b,c,d∈R).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若z∈C,则|z|2=z2.
( )
(2)若z1,z2∈C,且
=0,则z1=z2=0.
( )
提示:(1)×.举反例:如z=1+i,则|z|=
,z2=2i,|z|2≠z2.
(2)×.例如z1=1,z2=i,显然
=0,但z1≠z2≠0.
2.已知复数z=2-i,则z·
的值为
( )
A.5
B.
C.3
D.
【解析】选A.z·
=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.
3.(教材二次开发:例题改编)已知复数z=
(i为虚数单位),则
=_______.?
【解析】
答案:
关键能力·合作学习
类型一 复数的乘法(数学运算)
【题组训练】
1.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
2.若复数z=i·(a+2i)的模为4,其中i是虚数单位,则正实数a的值为________.?
3.计算:①(1-2i)(3+4i)(-2+i);
②(3+4i)(3-4i);③(1+i)2.
【解析】1.选B.z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为对应的点在第二象限,
所以
解得a<-1.
2.因为z=i·(a+2i)=-2+ai,
所以
=4,得a=2
,或a=-2
(舍去),
答案:2
3.①(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i;
②(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
③(1+i)2=1+2i+i2=2i.
【解题策略】
1.两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
2.常用公式
(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
(3)(1±i)2=±2i.
类型二 复数的除法(数学运算)
【题组训练】
1.如图所示,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是
则复数
对应的点
位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2020·合肥高一检测)已知i为虚数单位,复数z=
+3i,则复数z的虚部是( )
A.i
B.1
C.2i
D.2
3.计算:
【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,所以
=-1+2i,
对应的点在第二象限.
2.选D.z=
其虚部为2.
3.原式=[(1+i)2]3·
+[(1-i)2]3·
=(2i)3·i+(-2i)3·
(-i)-
=8+8-16-16i=-16i.
【解题策略】
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式;
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
【补偿训练】
若复数z=
,则z的共轭复数是________.?
【解析】由题得z=
所以
所以z的共轭复数为
答案:
类型三 i的运算性质(逻辑推理)
【典例】计算:(1)
(2)i+i2+…+i2
021.
【思路导引】利用i的乘方的周期性计算.
【解析】(1)原式=
=i(1+i)+(-i)1
010=i+i2+(-1)1
010·i1
010
=i-1+i4×252+2=i-1-1=i-2.
(2)方法一:原式=
方法二:因为in+
+in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N
),
所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2
017+i2
018+i2
019+i2
020)+i2
021
=i2
021=(i4)505·i=1505·i=i.
【解题策略】
i的运算性质的应用
(1)
i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3
=0(n∈N
).
(2)记住以下结果,可提高运算速度
①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;
②
③
=-i.
【跟踪训练】
(2020·上海高一检测)已知复数z满足
=2-4i(其中i为虚数单位),则
z=________.?
【解析】因为
=2-4i,
所以
答案:1-2i
类型四 与共轭复数有关的运算(数学运算)
【典例】1.已知复数z=
,
是z的共轭复数,则z·
等于
( )
A.
B.
C.1
D.2
2.已知复数z满足|z|=
,且(1-2i)z是实数,求
.
【思路导引】可以先设复数的代数形式,再利用复数的运算性质求解;也可以利用共轭复数的性质求解.
【解析】1.选A.方法一:因为z=
所以
所以z·
=
.
方法二:因为z=
所以|z|=
所以z·
=
.
2.方法一:设z=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因
为(1-2i)z是实数,所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=
,所以a2+b2=5.解得
a=±1,b=±2,所以z=1+2i或-1-2i,所以
=1-2i或-1+2i,即
=±(1-2i).
方法二:因为(1-2i)z是实数,故可设z=b(1+2i),b∈R,由|z|=
可知|b|
=
,所以b=±1,即
=±(1-2i).
【变式探究】
把典例2的条件“(1-2i)z是实数”换成“(1-2i)z是纯虚数”,求
.
【解析】设z=a+bi,则
=a-bi,由已知条件及典例2的解析可知a=-2b,b≠2a,由
|z|=
得b=1,a=-2;或
b=-1,a=2.所以
=-2-i,或
=2+i.
【解题策略】
1.由比较复杂的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.
2.注意共轭复数的简单性质的运用.
备选类型 复数与一元二次方程问题(数学运算)
【典例】1.若1+
i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则
( )
A.b=2,c=3
B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1
D.b=2,c=-1
2.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,则实数k的值为________.?
【思路导引】1.利用根与系数的关系求解;
2.设方程的实数根,利用复数相等的条件求解.
【解析】1.选B.实系数方程虚根成对,所以1-
i也是一根,所以b=-2,c=1+2=3.
2.设x0是方程的实数根,代入方程并整理得(
+kx0+2)+(2x0+k)i=0.
由复数相等的充要条件得
解得
或
所以k的值为-2
或2
.
答案:±2
【解题策略】
解决实系数一元二次方程问题的注意点
(1)和在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
(2)解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
【跟踪训练】
已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根,求p,q的值.
【解析】由根与系数的关系可得
即
因为p,q均为实数,所以
解得
从而有
1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于
( )
A.-i
B.i
C.-1
D.1
【解析】选A.z=
=-i.
课堂检测·素养达标
2.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则
=
( )
A.2-3i
B.2+3i
C.3+2i
D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以
=2-3i.
3.已知复数z满足z
=3+i2
020,其中i为虚数单位,则z的共轭复数
的虚部
为( )
【解析】选D.因为i2
020=
=1,在等式z
=3+i2
020两边同时除以3+i得
所以
因此复数
的虚部为
.
4.计算:(1+i)2-
=________.?
【解析】因为(1+i)2-
答案:
5.已知复数z=
则z2+z4=________.?
【解析】因为z2=
所以z4=
=(-i)2=-1,所以z2+z4=-1-i.
答案:-1-i
三十八 复数的乘法与除法
【基础通关--水平一】(15分钟 30分)
1.若a为实数,则复数z=
在复平面内对应的点在
( )
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
D.第二象限
【解析】选B.因为z=a+i+a2i-a=
i,且a2+1>0,所以复数z=
在复
平面内对应的点在虚轴上.
课时素养评价
2.(2020·青岛高一检测)已知i是虚数单位,则化简
的结果为( )
A.i
B.-i
C.-1
D.1
【解析】选C.因为
所以
3.已知i是虚数单位,复数z满足
z=i,则z的虚部是
( )
【解析】选A.因为
z=i,所以z=
则z的虚部为
.
【补偿训练】
若a为实数,且
=3+i,则a=
( )
A.-4
B.-3
C.3
D.4
【解析】选D.
4.(2020·烟台高一检测)复数z满足z-1=
i,则
的值是
( )
A.1+i
B.1-i
C.i
D.-i
【解析】选D.因为z-1=
i,所以z=
【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数,属于基础题.
【补偿训练】
(2020·南宁高一检测)已知复数z的共轭复数为
,且
=3+i(i为虚
数单位),则
=
( )
A.2 B.
C.
D.4
【解析】选B.因为
5.设复数z=1+
i,则z2-2z= .?
【解析】因为z=1+
i,
所以z2-2z=z(z-2)=(1+
i)(1+
i-2)
=(1+
i)(-1+
i)=-3.
答案:-3
6.已知i为虚数单位,若复数z=
z的共轭复数为
,则
z·
= .?
【解析】由题意可知z=
所以
=-i,所以z·
=i·(-i)=1.
答案:1
【能力进阶--水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.(2020·西安高一检测)已知复数z1=cos
20°+isin
20°,z2=cos
40°+
isin
40°,则z1·z2为
( )
【解析】选C.因为z1·z2=
=cos
20°cos
40°+icos
20°sin
40°+isin
20°cos
40°+
isin
20°·isin
40°=(cos
20°cos
40°-sin
20°sin
40°)+
i
=cos
60°+isin
60°=
2.(2020·南昌高一检测)复数z=
的虚部为
( )
【解析】选D.因为z=
所以复数z=
的虚部为
.
3.若方程x2+x+m=0有两个虚根α,β,且|α-β|=3,则实数m的值为( )
【解析】选A.因为方程x2+x+m=0是实系数一元二次方程,且有两个虚根α,β,
所以α,β互为共轭虚数,
所以设α=a+bi,a,b∈R,则β=a-bi,
由|α-β|=3,得b=±
.当b=
时,α=a+
i,
代入方程得
二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.(2020·泰州高一检测)已知i为虚数单位,z·
=1-i,则关于复数z的说法
正确的是
( )
A.
=1
B.z对应复平面内的点在第三象限
C.z的虚部为-i
D.z+
=0
【解析】选AD.因为z·
=1-i,
所以
所以
=1,
z+
=0,z的虚部为-1,z所对应的点为(0,-1),在坐标轴上.
【补偿训练】
1.(2020·济南高一检测)已知集合M=
其中i为虚数单位,则
下列元素属于集合M的是
( )
【解析】选BC.根据题意,M=
中n=4k
时,in=1;n=4k+1
时in=i;n=4k+2
时,in=-1;
n=4k+3
时,in=-i;
所以M=
选项A中
=2?M;
选项B中
=-i∈M;
选项C中
=i∈M;
选项D中
=-2i?M.
2.(2020·济南高一检测)已知复数z=1+cos
2θ+isin
2θ
(其中i为
虚数单位)下列说法正确的是
( )
A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B.z可能为实数
C.
=2cos
θ
D.
的实部为
【解析】选BCD.因为
所以-π<2θ<π,所以-12θ≤1,所以0<1+cos
2θ≤2,所以A选项错误;
当sin
2θ=0,θ=0∈
时,复数z是实数,故B选项正确;
故C选项正确;
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一个根,则m+n= .?
【解析】由题意,方程另一根为1-2i,
所以
解得
故m+n=2
答案:
6.若
=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|= .?
【解析】因为a,b∈R,且
=1-bi,
则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
所以
所以
所以|a+bi|=|2-i|=
答案:
四、解答题
7.(10分)已知复数z=1+i,求实数a,b,使az+2b
=(a+2z)2.
【解析】因为z=1+i,所以az+2b
=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+
4(a+2)i
=(a2+4a)+4(a+2)i.
因为a,b都是实数,所以由az+2b
=(a+2z)2,
得
解得a=-2或a=-4,
对应得b=-1或b=2,所以所求实数为a=-2,
b=-1或a=-4,b=2.
【补偿训练】
(2020·天津高一检测)已知a∈R,复数z=
(1)若z为纯虚数,求a的值;
(2)在复平面内,若
对应的点位于第二象限,求a的取值范围.
【解析】(1)z=
因为z为纯虚数,所以
=0且-
≠0,则a=1.
(2)由(1)知
=
则点
位于第二象限,
所以
得-1