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第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
新课程标准
学业水平要求
1.了解构成空间几何体的基本元素.2.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.3.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
★水平一1.结合身边的实例了解构成空间几何体的基本元素.(直观想象)2.结合身边的实物模型,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(数学抽象)3.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道棱柱、棱锥、棱台的结构特征,并能识别.(直观想象)★水平二能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形,并解决相关问题.(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.构成空间几何体的基本元素是什么?2.棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征?3.多面体的定义是什么?
1.构成空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等.
(2)平面
①平面的概念
平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象.平面是无限延展的.
②平面的画法
一般地,用平行四边形表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.
③平面的表示方法
平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等;也可以用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示.如图中的平面AC.
平面有大小吗?
提示:平面向四周是无限延展的,没有大小.
2.简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
(1)多面体
由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的面,两个相邻的面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
(2)棱柱
①棱柱的定义:有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的几何体称为棱柱.
②相关概念:两个互相平行的面称为棱柱的底面,简称底;其余各面称为棱柱的侧面;相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点;既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离,也是两底面间的距离,即棱柱的高.如图所示:
③棱柱的表示:棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示,如图,棱柱可以表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,也可表示为棱柱AC1.
④棱柱的性质
(ⅰ)侧棱都相等;
(ⅱ)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;
(ⅲ)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.
⑤棱柱的分类
(ⅰ)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
(ⅱ)按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
⑥特殊的四棱柱
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体(如图a,b,c,d),侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体(如图b,c,d);底面是矩形的直平行六面体是长方体(如图c,d);棱长都相等的长方体是正方体(如图d).
棱柱的底面有什么关系?侧面有什么特点?
提示:棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
(3)棱锥
①棱锥的定义:由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥.如图:
多边形ABCDEF称为棱锥的底面,简称底;其余各面称为棱锥的侧面;各个侧面的公共点称为棱锥的顶点;相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱.顶点到底面的距离称为棱锥的高.
②棱锥的分类及表示:棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示,如棱锥S-ABCDEF,也可以用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示,如棱锥S-AC.
根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.
③特殊的棱锥
正棱锥:底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的斜高,如图中的SM.
棱锥有什么性质呢?
提示:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似.
(4)棱台
①棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台.原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面,其余各面称为棱台的侧面,相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱,上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.
②棱台的分类及表示:
棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示,如上图中的棱台表示为棱台ABC-A1B1或者用它的对角线端点字母来表示,如棱台AC1.
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台……由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.
1.棱台有什么特点呢?
提示:棱台的所有侧棱延长之后交于一点.
2.在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.
提示:
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥,截面与底面之间的部分叫棱台.
( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
( )
(3)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.
( )
【解析】(1)×.截面必须和底面平行,截面与底面之间的部分才叫棱台;
(2)×.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥;
(3)×.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
2.下列说法中正确的是
( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.棱柱的两底面互相平行,故A正确;
棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;
由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
3.(教材二次开发:习题改编)棱台不具备的性质是
( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
【解析】选C.当截得棱台的棱锥的侧棱不相等时,棱台的侧棱不相等.
关键能力·合作学习
类型一 棱柱的结构特征(直观想象)
1.下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.?
2.
如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
3.如图长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【解析】1.(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).
答案:(3)(4)
2.截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
3.(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义.
(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC.截面左侧部分是四棱柱.它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.
棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:
①两个面互相平行;
②其余各面是平行四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
(3)常见的几种四棱柱之间的转化关系:
类型二 棱锥、棱台的结构特征(直观想象)
【典例】下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(2)棱锥的侧面只能是三角形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.?
【思路导引】在判断空间图形的相关结论时,一定要紧扣定义.
【解析】(1)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(2)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:(1)(2)(3)
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号)?
①三角形;②四边形;③五边形.
【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.
答案:①②
类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 空间几何体的展开与折叠?
【典例】(1)如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?
(2)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是
( )
A.南
B.北
C.西
D.下
【解析】(1)图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图进行还原,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,
③为三棱台.
(2)选B.将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的为北面.
本例(2)的条件若改为里面朝上展平得到如图所示,则“△”的面的方位是什么呢?
【解析】选A.将所给图形进行还原,注意里面朝上展开,所以标“△”的面为南面.
角度2 多面体表面距离最短问题?
【典例】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
①若将C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得AC1===4.
②若将AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得AC1===3.
③若将CC1剪开,使面BC1与面AB1共面,可求得AC1==.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)
( )
【解析】选A.由选项验证可知选A.
2.
水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是
( )
A.1
B.9
C.快
D.乐
【解析】选B.由题意,将正方体的展开图还原成正方体,如图:“1”与“乐”相对,“2”与“9”相对,“0”与“快”相对,所以下面是“9”.
3.一个空间图形的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是哪种多面体?
(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?
【解析】(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.
备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)
【典例】
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,将三棱锥V-ABC展开,两点之间线段最短.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4.
所以△AEF周长的最小值为4.
该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1
cm和3
cm,高为6
cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
【解析】将长方体展开,连接AB′,
因为AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6
cm,
AB′==10
cm.根据两点之间线段最短,得所用细线最短需要10
cm.
课堂检测·素养达标
1.下面的几何体中是棱柱的有
( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【解析】选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行.(2)其余各面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合,共有5个.
2.下面图形中,为棱锥的是
( )
A.①③
B.③④
C.①②④
D.①②
【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥.
3.(教材二次开发:练习改编)一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
【解析】选D.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,
每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,
因为6×60°=360°,
所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
4.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧棱长为9,则棱台的斜高等于________.?
【解析】棱台的侧面是一个梯形,上底为5,下底为7,腰为9,由勾股定理得斜高==4.
答案:4
课时素养评价
三十九 构成空间几何体的基本元素
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
(15分钟 30分)
1.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
【解析】选B.余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.
2.一个几何体有6个顶点,则这个几何体不可能是
( )
A.三棱柱
B.三棱台
C.五棱锥
D.四面体
【解析】选D.三棱柱,三棱台,五棱锥都有6个顶点,四面体有4个顶点.
3.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数共有
( )
A.20
B.15
C.12
D.10
【解析】选D.如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线均有两条,共2×5=10(条).
4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是________.?
【解析】由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积比为对应边之比的平方.
答案:1∶4
5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60
cm,则每条侧棱长为________
cm.?
【解析】因为棱柱有10个顶点,所以该棱柱为五棱柱,共有五条侧棱,所以侧棱长为=12(cm).
答案:12
6.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm.?
【解析】由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
答案:
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
( )
【解析】选D.A,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,B中两个底面在同一侧,故A,B,C不能围成棱柱.
2.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是
( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
【解析】选C.不满足==的一定不是棱台,满足==的也不一定是棱台.根据提供的数据,A,B中对应边不成比例,D中对应边相等,故A,B,D一定不是棱台,C中对应边成比例,可能是棱台.
3.如图所示是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的
( )
【解析】选A.由所给正方体可知,4,6,8分别位于相邻的三个侧面.
4.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=
( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
【解析】选B.将展开图还原为正方体,如图所示,点A,B,C是上底面正方形的三个顶点,则∠ABC=90°.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列关于棱柱的说法中不正确的是
( )
A.棱柱的侧面是平行四边形,但它一定不是矩形
B.棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D.棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行
【解析】选ABC.由棱柱的定义,知A不正确,例如长方体;只有直棱柱才满足选项B的条件,故B不正确;C不正确,例如正六棱柱的相对侧面互相平行;D显然正确.
6.观察如图所示的四个空间图形,其中判断正确的是
( )
A.①是棱柱
B.②不是棱锥
C.③不是棱锥
D.④是棱台
【解析】选ACD.结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故ACD正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是:
(1)矩形的4个顶点;(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点;(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点;(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.?
【解析】如图所示:四边形ABCD为矩形,故(1)满足条件;四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体,故(2)满足条件;四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体,故(3)满足条件;四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体,故(4)满足条件;故正确的结论有4个.
答案:4
8.在下面的四个平面图形中,是侧棱都相等的四面体的展开图的为________.(填序号)?
【解析】题图③④不能围成四面体,①②可以围成四面体.
答案:①②
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求在A,B之间的最短绳长.
【解析】作出三棱锥的侧面展开图,如图A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.
因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,
所以AB=5,即此绳在A,B之间的最短绳长为5.
10.如图,在一个长方体的容器中装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,试着讨论水面和水的形状.
【解析】(1)不对,水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对,水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体是棱柱,不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形;水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台.
【补偿训练】
给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.
【解析】如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.
如图(2)所示,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.
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第六章 立体几何初步
§1 基本立体图形
1.1 构成空间几何体的基本元素
1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
必备知识·自主学习
1.构成空间几何体的基本元素
(1)空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等.
(2)平面
①平面的概念
平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象.
平面是_________的.
导思
1.构成空间几何体的基本元素是什么?
2.棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征?
3.多面体的定义是什么?
无限延展
②平面的画法
一般地,用平行四边形表示平面.当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角
画成_____,横边长画成邻边长的_____.
③平面的表示方法
平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等;也可以
用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD,还可以用表示平行四边形顶点
的两个相对顶点的字母表示.如图中的平面AC.
45°
两倍
【思考】
平面有大小吗?
提示:平面向四周是无限延展的,没有大小.
2.简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
(1)多面体
由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的面,两
个相邻的面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点.
(2)棱柱
①棱柱的定义:有两个面相互_____,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的
几何体称为棱柱.
平行
②相关概念:两个互相_____的面称为棱柱的底面,简称底;其余各面称为棱柱的
侧面;相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶
点;既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线.
过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面
的距离,也是两底面间的距离,即棱柱的高.如图所示:
平行
③棱柱的表示:棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示,如图,棱柱可以表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,也可表示为棱柱AC1.
④棱柱的性质
(ⅰ)侧棱都相等;
(ⅱ)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;
(ⅲ)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.
⑤棱柱的分类
(ⅰ)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
(ⅱ)按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
⑥特殊的四棱柱
底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体(如图a,b,c,d),侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体(如图b,c,d);底面是矩形的直平行六面体是长方体(如图c,d);棱长都相等的长方体是正方体(如图d).
【思考】
棱柱的底面有什么关系?侧面有什么特点?
提示:棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
(3)棱锥
①棱锥的定义:由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余各面都是有一个公共
顶点的_______,由这些面所围成的几何体称为棱锥.如图:
多边形ABCDEF称为棱锥的底面,简称底;其余各面称为棱锥的侧面;各个侧面的公
共点称为棱锥的顶点;相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱.顶点到底面的距
离称为棱锥的高.
三角形
②棱锥的分类及表示:棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示,如棱锥S-ABCDEF,也可以用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示,如棱锥S-AC.
根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.
③特殊的棱锥
正棱锥:底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且
与底面垂直的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥
各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上
的高都相等,称为正棱锥的斜高,如图中的SM.
【思考】 棱锥有什么性质呢?
提示:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似.
(4)棱台
①棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台.原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面,其余各面称为棱台的侧面,相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱,上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.
②棱台的分类及表示:
棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示,如上图中的棱台表示为棱台ABC-A1B1C1
或者用它的对角线端点字母来表示,如棱台AC1.
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台……由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高.
【思考】
1.棱台有什么特点呢?
提示:棱台的所有侧棱延长之后交于一点.
2.在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.
提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用一个平面去截棱锥,截面与底面之间的部分叫棱台.
( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
( )
(3)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.
( )
【解析】(1)×.截面必须和底面平行,截面与底面之间的部分才叫棱台;
(2)×.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥;
(3)×.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
2.下列说法中正确的是
( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
3.(教材二次开发:习题改编)棱台不具备的性质是
( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
【解析】选C.当截得棱台的棱锥的侧棱不相等时,棱台的侧棱不相等.
关键能力·合作学习
类型一 棱柱的结构特征(直观想象)
【题组训练】
1.下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.?
2.
如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
3.如图长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【解析】1.(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).
答案:(3)(4)
2.截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
3.(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义.
(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC.截面左侧部分是四棱柱.它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.
【解题策略】棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:
①两个面互相平行;
②其余各面是平行四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.
求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
(3)常见的几种四棱柱之间的转化关系:
类型二 棱锥、棱台的结构特征(直观想象)
【典例】下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(2)棱锥的侧面只能是三角形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.?
【思路导引】在判断空间图形的相关结论时,一定要紧扣定义.
【解析】(1)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(2)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:(1)(2)(3)
【解题策略】
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【跟踪训练】
用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号)?
①三角形;②四边形;③五边形.
【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.
答案:①②
类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 空间几何体的展开与折叠?
【典例】(1)如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?
(2)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是
( )
A.南 B.北 C.西 D.下
【解析】(1)图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图进行还原,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
(2)选B.将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的为北面.
【变式探究】
本例(2)的条件若改为里面朝上展平得到如图所示,则“△”的面的方位是什么呢?
【解析】选A.将所给图形进行还原,注意里面朝上展开,所以标“△”的面为南面.
角度2 多面体表面距离最短问题?
【典例】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,
有如图所示的三种剪法:
AC1＝42＋(5＋3)2＝80＝45
①若将C1D1剪开,使面AB1与面A1C1共面,可求得AC1=
.
②若将AD剪开,使面AC与面BC1共面,可求得AC1=
.
③若将CC1剪开,使面BC1与面AB1共面,可求得AC1=
.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为
.
【解题策略】
多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【题组训练】
1.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)
( )
【解析】选A.由选项验证可知选A.
2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、
下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图
(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体
的上面,则这个正方体的下面是
( )
A.1 B.9 C.快 D.乐
【解析】选B.由题意,将正方体的展开图还原成正方体,如图:“1”与“乐”相对,“2”与“9”相对,“0”与“快”相对,所以下面是“9”.
3.一个空间图形的平面展开图如图所示.
(1)该几何体是哪种多面体?
(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?
【解析】(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.
备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)
【典例】
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,将三棱锥
V-ABC展开,两点之间线段最短.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线
段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4
.
所以△AEF周长的最小值为4
.
【解题策略】
该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【跟踪训练】
如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1
cm和3
cm,高为6
cm.如果用一根细
线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
【解析】将长方体展开,连接AB′,
因为AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6
cm,
AB′=
=10
cm.根据两点之间线段最短,得所用细线最短需要10
cm.
1.下面的几何体中是棱柱的有
( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
课堂检测·素养达标
【解析】选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行.(2)其余各面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合,共有5个.
2.下面图形中,为棱锥的是
A.①③
B.③④
C.①②④
D.①②
【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥.
3.(教材二次开发:练习改编)一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.五棱锥
D.六棱锥
【解析】选D.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,
每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,
因为6×60°=360°,
所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
4.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧棱长为9,则棱台的斜高等于
________.?
【解析】棱台的侧面是一个梯形,上底为5,下底为7,腰为9,由勾股定理得斜高
=
.
答案:4
三十九 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
【基础通关-水平一】(15分钟 30分)
1.如图所示,在三棱台A′B′C′-ABC中,截去三棱锥A′-ABC,则剩余部分是
( )
A.三棱锥
B.四棱锥
C.三棱柱
D.组合体
【解析】选B.余下部分是四棱锥A′-BCC′B′.
课时素养评价
2.一个几何体有6个顶点,则这个几何体不可能是
( )
A.三棱柱
B.三棱台
C.五棱锥
D.四面体
【解析】选D.三棱柱,三棱台,五棱锥都有6个顶点,四面体有4个顶点.
3.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱对角线的条数共有
( )
A.20
B.15
C.12
D.10
【解析】选D.如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线均有两条,共2×5=10(条).
4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是________.?
【解析】由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积比为对应边之比的平方.
答案:1∶4
5.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60
cm,则每条侧棱长为________
cm.?
【解析】因为棱柱有10个顶点,所以该棱柱为五棱柱,共有五条侧棱,所以侧棱
长为
=12(cm).
答案:12
6.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________
cm.?
【解析】由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的
两直角边的长度分别为2
cm,3
cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴
展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,
故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
答案:
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是
( )
【解析】选D.A,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,B中两个底面在同一侧,故A,B,C不能围成棱柱.
2.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是
( )
A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4
B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3
C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4
D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1
【解析】选C.不满足
的一定不是棱台,满足
的也不一定是棱台.根据提供的数据,A,B中对应边不成比例,D中对应边相等,
故A,B,D一定不是棱台,C中对应边成比例,可能是棱台.
3.如图所示是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( )
【解析】选A.由所给正方体可知,4,6,8分别位于相邻的三个侧面.
4.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC=
( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
【解析】选B.将展开图还原为正方体,如图所示,点A,B,C是上底面正方形的三个顶点,则∠ABC=90°.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列关于棱柱的说法中不正确的是
( )
A.棱柱的侧面是平行四边形,但它一定不是矩形
B.棱柱的一条侧棱的长叫作棱柱的高
C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D.棱柱的所有面中,至少有两个面互相平行
【解析】选ABC.由棱柱的定义,知A不正确,例如长方体;只有直棱柱才满足选项B的条件,故B不正确;C不正确,例如正六棱柱的相对侧面互相平行;D显然正确.
6.观察如图所示的四个空间图形,其中判断正确的是
A.①是棱柱
B.②不是棱锥
C.③不是棱锥
D.④是棱台
【解析】选ACD.结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故ACD正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点,这4个顶点可能是:
(1)矩形的4个顶点;(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点;(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点;(4)有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.其中正确结论的个数为________.?
【解析】如图所示:四边形ABCD为矩形,故(1)满足条件;四面体D-A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体,故(2)满足条件;四面体D-B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体,故(3)满足条件;四面体C-B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体,故(4)满足条件;故正确的结论有4个.
答案:4
8.在下面的四个平面图形中,是侧棱都相等的四面体的展开图的为________.(填序号)
【解析】题图③④不能围成四面体,①②可以围成四面体.
答案:①②?
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两的交角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求在A,B之间的最短绳长.
【解析】作出三棱锥的侧面展开图,如图A,B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.
因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,
所以AB=5,即此绳在A,B之间的最短绳长为5.
10.如图,在一个长方体的容器中装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,
也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,试着讨论水面和水的形状.
【解析】(1)不对,水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对,水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体是棱柱,不可能是棱台或棱锥.
(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形;水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台.
【补偿训练】
给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.
【解析】如图(1)所示,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三
角形的三棱锥.如图(2)所示,在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其
较长的一组邻边边长为三角形边长的
,有一组对角为直角,余下部分按虚
线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的
四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.
