(共68张PPT)
1.3 简单旋转体——球、
圆柱、圆锥和圆台
必备知识·自主学习
(一)球的结构特征
1.定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为
球面,球面所围成的几何体称为球体,简称球.
如图所示,半圆的圆心称为_____,连接球心和球面上任意一点的线段称为球的
_____,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的_____.
导思
1.球、圆柱、圆锥和圆台有哪些结构特征?
2.什么是旋转体?
球心
半径
直径
2.表示方法:用表示它球心的字母来表示,图中的球可表示为球O.
3.球的性质:
(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的_____;
(2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是___,其中过球心的平面截球面得
到的_________最大,等于球的半径.
半径
圆
圆的半径
【思考】 球和球面一样吗?
提示:球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
(二)圆柱的结构特征
1.定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围
成的几何体称为圆柱.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆柱的___;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面
称为圆柱的_____,平行于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的_____,无论转
到什么位置,这条边都称为圆柱侧面的母线.
高
底面
侧面
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆柱O1O.
【思考】圆柱的母线有什么特点?
提示:圆柱有无数条母线,所有的母线平行且相等,圆柱的母线也是圆柱的高.
(三)圆锥的结构特征
1.定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而
形成的面所围成的几何体称为圆锥.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆锥的___;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面
称为圆锥的_____,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的_____,无论
转到什么位置,这条边都称为圆锥的母线.
高
底面
侧面
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆锥SO.
【思考】圆锥的母线有什么特点,它是圆锥的高吗?
提示:圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
(四)圆台的结构特征
1.定义:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而
形成的面所围成的几何体称为圆台.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆台的___;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面
称为圆台的_____,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆台的_____,无论
转到什么位置,这条边都称为圆台的母线.
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,
如圆台O1O.
高
底面
侧面
(五)圆柱、圆锥、圆台具有的性质和旋转体定义
1.性质:
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆;
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
【思考】圆台还可以由圆锥得到吗?
提示:圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的.
2.旋转体的定义
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴.球面是旋转面,球、圆柱、圆锥、圆台都是旋转体.
【思考】
(1)旋转体最大的特点是什么?
提示:旋转体不同于多面体,一定有一个面是曲面.
(2)在运动变化的观点下,圆柱、圆锥、圆台有什么关系呢?
提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.
( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.
( )
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.
( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.
( )
【解析】(1)×.直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周才得到圆锥,若是绕斜边所在的直线旋转一周会得到两个同底的圆锥扣在一起;
(2)×.当两个平行截面与底面平行时才是圆柱;
(3)×.应该是球面;
(4)√.
2.下列几何体中不是旋转体的是
( )
【解析】选D.由旋转体的概念可知,选项D不是旋转体.
3.(教材二次开发:练习改编)用一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是
( )
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
【解析】选C.由球的性质可知,用平面截球所得截面都是圆面.
关键能力·合作学习
类型一 旋转体的结构特征(直观想象)
【题组训练】
1.给出下列命题:
①用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是________(只填序号).?
2.下列命题正确的是________(只填序号).?
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;
③球面上四个不同的点一定不在同一平面内;
④球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
3.给出下列说法:
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.
其中说法正确的是________.(填序号)?
【解析】1.①错.只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台;②正确
③错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
④由圆柱的定义可知正确.
答案:②④
2.①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;②正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故③错误;根据球的半径定义,知④正确.
答案:②④
3.①正确,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;
③不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
答案:①
【解题策略】由简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确:
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
【补偿训练】
下列几何体是台体的是
( )
【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一点;
B的错误在于截面与圆锥底面不平行;C是棱锥;结合圆台的定义可知D正确.
类型二 与旋转体的轴截面有关的计算问题(数学运算)
角度1 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题?
【典例】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这
个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的
圆锥的母线长是3
cm,求圆台O′O的母线长.
【思路导引】求圆台的母线长,需要将空间图形中的计算问题转化到平面图形中.
【解析】设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,
可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3
cm,
所以
,
所以
,
解得l=9,即圆台的母线长为9
cm.
【变式探究】本例的条件“截去的圆锥的母线长是3
cm”若改为“截得圆台
的圆锥的母线长为12
cm”,求圆台O′O的母线长.
【解析】设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA=12
cm,
所以
,所以
,
解得l=9,即圆台的母线长为9
cm.
角度2 球的截面问题?
【典例】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
【思路导引】精读题目挖已知条件,球的两个平行截面位于球心的同侧,且距离等于1,将条件与球的半径建立联系寻解题思路.
【解析】如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为
d1,d2,球的半径为R,则π
=5π,π
=8π,所以
=5,
=8,
又因为R2=
,所以
=8-5=3,
即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,
所以
所以R=
=3,即球的半径等于3.
【解题策略】
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:r=
.
【题组训练】
1.圆锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此圆
锥的高被分成的两段之比为
( )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶(
+1)
D.1∶(
-1)
【解析】选D.根据相似性,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则对应小圆锥
与原圆锥高之比为1∶
,那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(
-1).
2.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面面积为________.?
【解析】由圆锥的结构特征可知,轴截面为等腰直角三角形,其高为r,
所以S=
×2r2=r2.
答案:r2
3.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π
cm,如图所示,则该地球仪的半径是________
cm.?
【解析】如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12π,
则该小圆的半径r=6,其中∠ABO=30°,
所以该地球仪的半径R=
cm.
答案:4
备选类型 旋转体的轴截面图(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.
【思路导引】求圆台的高被截面分成的两部分的比就是求在轴截面图中求两段线段的比,利用比例求解.
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下
底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,
则
所以
即h1∶h2=2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
【解题策略】
旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.将立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
【跟踪训练】
已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.
【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示:其中AB,AC为母线,BC为底面直
径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱
长为x,则DG=EF=x,DE=GF=
x.
依题意,得△ABC∽△ADE,所以
,
所以x=
,即此正方体的棱长为
.
1.如图是由哪个平面图形旋转得到的
( )
【解析】选D.题图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,故是由上部是直角三角形,下部为直角梯形的组合图形旋转得到的,故选D.
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2.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体由下面哪些简单几何体构成
( )
A.一个圆台和两个圆锥
B.两个圆台和一个圆锥
C.两个圆柱和一个圆锥
D.一个圆柱和两个圆锥
【解析】选D.把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,由旋转体的定义可知所得几何体是由一个圆柱和两个圆锥构成.
3.(教材二次开发:练习改编)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边
旋转一周所得到的几何体是
( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.如图,以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
4.一个圆锥的母线长为20
cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为________
cm.?
【解析】h=20cos
30°=20×
=10
(cm).
答案:10
5.观察下列四个几何体,其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).?
【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成.
答案:①④
四十 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
【基础通关—水平一】(15分钟 25分)
1.圆柱的母线长为10,则其高等于
( )
A.5
B.10
C.20
D.不确定
【解析】选B.圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.
课时素养评价
2.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是
( )
A.圆锥
B.圆锥和球组成的简单组合体
C.球
D.一个圆锥内部挖去一个球后得到的简单几何体
【解析】选D.三角形旋转一周形成圆锥,三角形中的圆旋转一周形成一个球,
故选D.
3.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是
________.?
【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.
答案:两个同底的圆锥组合体
4.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是下面哪
几种:________(填序号).?
①棱柱;②棱锥;③棱台;④圆柱;⑤圆锥;⑥圆台;⑦球.
【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.
答案:①②③⑤
5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为_______.?
【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则4π=πl2,所以母线长l=2,
又半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr=2π,
所以底面圆半径r=1,所以该圆锥的高h=
.
答案:
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图所示的几何体的结构特征是
( )
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
【解析】选C.图中几何体可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的简单几何体,故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.
2.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离
为
( )
A.4
B.3
C.2
D.2
【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式
l2=h2+(R-r)2,求得h=2
,即两底面之间的距离为2
.
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
,则这个圆锥的母线长为
( )
A.4
B.2
C.3
D.
【解析】选B.如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母
线长即为△ABC的边长且S△ABC=
AB2,
所以
=
AB2,所以AB=2.
4.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是
( )
A.2
B.2π
C.
或
D.
或
【解析】选C.如图所示,设底面半径为r,若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周
长,则2πr=8,所以r=
;同理,若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长,则
2πr=4,所以r=
.
【误区警示】旋转体特别是圆柱一定要找准母线和底面半径,在将硬纸卷起时容易忽略分类讨论.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示的图形中有
( )
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
【解析】选ABC.根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台.
6.下列命题中正确的是( ).
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径;
C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合.
【解析】选BC.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故A错;B正确;C正确;球是几何体,而D描述的是球面的概念.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为
________(用Q表示).?
【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.
所以4r2=Q,解得r=
,所以此圆柱的底面半径为
.
答案:
【补偿训练】
已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半
径为________(用Q表示).?
【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2πr.所以4π2r2=Q,解得r=
,
所以此圆柱的底面半径为
.
答案:
8.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周
所得空间图形是________,母线长l=________.?
【解析】所得几何体是圆锥,母线长l=AC=
=5.
答案:圆锥 5
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.一个圆台的母线长为12
cm,两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,
设圆台的高为h
cm,由条件可得圆台上底面半径r′=2
cm,下底面半径r=5
cm.
(1)由勾股定理得h=
(cm).
(2)设圆锥的母线长为x,由三角形相似得:
,
解得x=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
10.如图所示,圆台母线AB长为20
cm,上、下底面半径分别为5
cm和10
cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳长的最小值.
【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,
由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似,得
,可求得OA=20
cm.
设∠BOB′=α,由于
的长与底面圆Q的周长相等,而底面圆Q的周长为
2π×10
cm.扇形OBB′的半径为OA+AB=20+20=40
cm,扇形OBB′所在圆的周长
为2π×40=80π
cm.
所以
的长度20π
cm为所在圆周长的
.所以OB⊥OB′.
所以在Rt△B′OM中,B′M2=402+302,
所以B′M=50
cm,即所求绳长的最小值为50
cm.
【创新迁移】
如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面圆的直径构成边长为6
m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)
【解析】因为△ABC为正三角形,所以BC=6,
所以圆锥底面周长=2π×3=6π(m),
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得:
=6π,
故n=180°,则∠B′AC=90°,
所以B′P=
=3
(m),
所以小猫所经过的最短路程是3
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1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
新课程标准
学业水平要求
1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形,认识球、柱、锥、台的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.
★水平一1.结合身边已有的实物模型,认识球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征,发现圆柱、圆锥、圆台的联系,理解共性和个性.(数学抽象)2.理解球、圆柱、圆锥、圆台的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象)★水平二会根据旋转体的几何特征进行相关运算.(直观想象、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.球、圆柱、圆锥和圆台有哪些结构特征?2.什么是旋转体?
(一)球的结构特征
1.定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面,球面所围成的几何体称为球体,简称球.
如图所示,半圆的圆心称为球心,连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径,连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.
2.表示方法:用表示它球心的字母来表示,图中的球可表示为球O.
3.球的性质:
(1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径;
(2)用任何一个平面去截球面,得到的截面都是圆,其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大,等于球的半径.
球和球面一样吗?
提示:球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
(二)圆柱的结构特征
1.定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆柱.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆柱的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆柱的底面,平行于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆柱的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为圆柱侧面的母线.
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆柱O1O.
圆柱的母线有什么特点?
提示:圆柱有无数条母线,所有的母线平行且相等,圆柱的母线也是圆柱的高.
(三)圆锥的结构特征
1.定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆锥.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆锥的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为圆锥的母线.
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆锥SO.
圆锥的母线有什么特点,它是圆锥的高吗?
提示:圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
(四)圆台的结构特征
1.定义:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体称为圆台.
在旋转轴上的这条边的长度称为圆台的高;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面,不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为圆台的侧面,无论转到什么位置,这条边都称为圆台的母线.
2.表示方法:用表示它的旋转轴的字母来表示,如圆台O1O.
(五)圆柱、圆锥、圆台具有的性质和旋转体定义
1.性质:
(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆;
(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.
圆台还可以由圆锥得到吗?
提示:圆台可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的.
2.旋转体的定义
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴.球面是旋转面,球、圆柱、圆锥、圆台都是旋转体.
(1)旋转体最大的特点是什么?
提示:旋转体不同于多面体,一定有一个面是曲面.
(2)在运动变化的观点下,圆柱、圆锥、圆台有什么关系呢?
提示:
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.
( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.
( )
(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.
( )
(4)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.
( )
【解析】(1)×.直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周才得到圆锥,若是绕斜边所在的直线旋转一周会得到两个同底的圆锥扣在一起;
(2)×.当两个平行截面与底面平行时才是圆柱;
(3)×.应该是球面;
(4)√.
2.下列几何体中不是旋转体的是
( )
【解析】选D.由旋转体的概念可知,选项D不是旋转体.
3.(教材二次开发:练习改编)用一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是
( )
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
【解析】选C.由球的性质可知,用平面截球所得截面都是圆面.
关键能力·合作学习
类型一 旋转体的结构特征(直观想象)
1.给出下列命题:
①用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和圆台;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是________(只填序号).?
2.下列命题正确的是________(只填序号).?
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
②以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;
③球面上四个不同的点一定不在同一平面内;
④球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
3.给出下列说法:
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;
③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.
其中说法正确的是________.(填序号)?
【解析】1.①错.只有在平面平行于圆锥底面时,才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台;②正确
③错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
④由圆柱的定义可知正确.
答案:②④
2.①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;②正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故③错误;根据球的半径定义,知④正确.
答案:②④
3.①正确,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;
③不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
答案:①
由简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确:
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
【补偿训练】
下列几何体是台体的是
( )
【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一点;B的错误在于截面与圆锥底面不平行;C是棱锥;结合圆台的定义可知D正确.
类型二 与旋转体的轴截面有关的计算问题(数学运算)
角度1 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题?
【典例】
如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3
cm,求圆台O′O的母线长.
【思路导引】求圆台的母线长,需要将空间图形中的计算问题转化到平面图形中.
【解析】设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3
cm,
所以=,
所以==,
解得l=9,即圆台的母线长为9
cm.
本例的条件“截去的圆锥的母线长是3
cm”若改为“截得圆台的圆锥的母线长为12
cm”,求圆台O′O的母线长.
【解析】设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA=12
cm,
所以=,所以==,
解得l=9,即圆台的母线长为9
cm.
角度2 球的截面问题?
【典例】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
【思路导引】精读题目挖已知条件,球的两个平行截面位于球心的同侧,且距离等于1,将条件与球的半径建立联系寻解题思路.
【解析】如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,则
π=5π,π=8π,所以=5,=8,
又因为R2=+=+,所以-=8-5=3,
即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,
所以解得
所以R===3,即球的半径等于3.
球的截面的性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面;
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:r=.
1.圆锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此圆锥的高被分成的两段之比为
( )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶(+1)
D.1∶(-1)
【解析】选D.根据相似性,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶,那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(-1).
2.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面面积为________.?
【解析】由圆锥的结构特征可知,轴截面为等腰直角三角形,其高为r,
所以S=×2r2=r2.
答案:r2
3.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π
cm,如图所示,则该地球仪的半径是________
cm.?
【解析】如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12π,
则该小圆的半径r=6,其中∠ABO=30°,
所以该地球仪的半径R==4
cm.
答案:4
备选类型 旋转体的轴截面图(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.
【思路导引】求圆台的高被截面分成的两部分的比就是求在轴截面图中求两段线段的比,利用比例求解.
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,
则
所以即h1∶h2=2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.将立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.
【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示:其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,
则DG=EF=x,DE=GF=x.
依题意,得△ABC∽△ADE,所以=,
所以x=,即此正方体的棱长为.
课堂检测·素养达标
1.如图是由哪个平面图形旋转得到的
( )
【解析】选D.题图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的,故是由上部是直角三角形,下部为直角梯形的组合图形旋转得到的,故选D.
2.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体由下面哪些简单几何体构成
( )
A.一个圆台和两个圆锥
B.两个圆台和一个圆锥
C.两个圆柱和一个圆锥
D.一个圆柱和两个圆锥
【解析】选D.把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,由旋转体的定义可知所得几何体是由一个圆柱和两个圆锥构成.
3.(教材二次开发:练习改编)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是
( )
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.如图,以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
4.一个圆锥的母线长为20
cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为________
cm.?
【解析】h=20cos
30°=20×=10(cm).
答案:10
5.观察下列四个几何体,其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).?
【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成,④可看作由两个四棱柱组合而成.
答案:①④
课时素养评价
四十 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
(15分钟 25分)
1.圆柱的母线长为10,则其高等于
( )
A.5
B.10
C.20
D.不确定
【解析】选B.圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.
2.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是
( )
A.圆锥
B.圆锥和球组成的简单组合体
C.球
D.一个圆锥内部挖去一个球后得到的简单几何体
【解析】选D.三角形旋转一周形成圆锥,三角形中的圆旋转一周形成一个球,故选D.
3.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.?
【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.
答案:两个同底的圆锥组合体
4.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是下面哪几种:________(填序号).?
①棱柱;②棱锥;③棱台;④圆柱;⑤圆锥;⑥圆台;⑦球.
【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.
答案:①②③⑤
5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________.?
【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则4π=πl2,所以母线长l=2,
又半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr=2π,
所以底面圆半径r=1,所以该圆锥的高h===.
答案:
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图所示的几何体的结构特征是
( )
A.一个棱柱中截去一个棱柱
B.一个棱柱中截去一个圆柱
C.一个棱柱中截去一个棱锥
D.一个棱柱中截去一个棱台
【解析】选C.图中几何体可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱锥后得到的简单几何体,故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.
2.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为
( )
A.4
B.3
C.2
D.2
【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为
( )
A.4
B.2
C.3
D.
【解析】选B.如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,
由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长且S△ABC=AB2,
所以=AB2,所以AB=2.
4.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是
( )
A.2
B.2π
C.或
D.或
【解析】选C.如图所示,设底面半径为r,若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,所以r=;同理,若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=.
【误区警示】旋转体特别是圆柱一定要找准母线和底面半径,在将硬纸卷起时容易忽略分类讨论.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示的图形中有
( )
A.圆柱
B.圆锥
C.球
D.圆台
【解析】选ABC.根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台.
6.下列命题中正确的是( ).
A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;
B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径;
C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;
D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合.
【解析】选BC.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故A错;B正确;C正确;球是几何体,而D描述的是球面的概念.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).?
【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.
所以4r2=Q,解得r=,所以此圆柱的底面半径为.
答案:
【补偿训练】
已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).?
【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2πr.所以4π2r2=Q,解得r=,
所以此圆柱的底面半径为.
答案:
8.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是________,母线长l=________.?
【解析】所得几何体是圆锥,
母线长l=AC===5.
答案:圆锥 5
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.一个圆台的母线长为12
cm,两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,
设圆台的高为h
cm,由条件可得圆台上底面半径r′=2
cm,下底面半径r=5
cm.
(1)由勾股定理得h==3(cm).
(2)设圆锥的母线长为x,由三角形相似得:=,
解得x=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
10.如图所示,圆台母线AB长为20
cm,上、下底面半径分别为5
cm和10
cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳长的最小值.
【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,
由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,可求得OA=20
cm.
设∠BOB′=α,由于的长与底面圆Q的周长相等,而底面圆Q的周长为2π×10
cm.扇形OBB′的半径为OA+AB=20+20=40
cm,扇形OBB′所在圆的周长为2π×40=80π
cm.
所以的长度20π
cm为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.
所以在Rt△B′OM中,B′M2=402+302,
所以B′M=50
cm,即所求绳长的最小值为50
cm.
如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面圆的直径构成边长为6
m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)
【解析】因为△ABC为正三角形,所以BC=6,
所以圆锥底面周长=2π×3=6π(m),
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得:
=6π,
故n=180°,则∠B′AC=90°,
所以B′P==3(m),
所以小猫所经过的最短路程是3m.
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