温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
§2 直 观 图
新课程标准
学业水平要求
1.掌握斜二测画法的步骤.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
★水平一1.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图(直观想象)2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象)★水平二会根据斜二测画法规则进行相关运算.(直观想象、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则?2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么?
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则:
(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°,它们确定的平面表示水平面.
(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解?
提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.用斜二测画法画空间图形的直观图,其规则是:
(1)在空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy,再取Oz轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度为原来的一半.
在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量?
提示:(1)平面图形用其直观图表示时,一般说来,平行关系不变;
(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化);
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横不变、纵折半,平行位置不改变.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.
( )
(2)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
( )
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时,相等的角在直观图中仍相等.
( )
(4)用斜二测画法画空间几何体的直观图时,平行于z轴的线段在直观图中平行于z′轴且保持原长度不变.
( )
提示:(1)×.平行的线段在直观图中仍平行,但长度可能改变.
(2)×.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
(3)×.用斜二测画法画平面图形的直观图时,相等的角在直观图中可能会不相等,如同样是直角,可能一个是45°,一个是135°;
(4)√.
2.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′轴,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为
( )
A.90°,90°
B.45°,90°
C.135°,90°
D.45°或135°,90°
【解析】选D.根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角,所以度数为90°.
3.(教材二次开发:练习改编)利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图,正确的是图中的
( )
【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
关键能力·合作学习
类型一 画水平放置的平面图形的直观图(直观想象)
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于
( )
A.45° B.135° C.90° D.45°或135°
2.
如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.?
3.用斜二测画法画如图所示边长为4
cm的水平放置的正三角形的直观图.
【解析】1.选D.因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,由斜二测画法的规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.
2.画出直观图,BC对应B′C′且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为.
答案:
3.(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.
在x′轴上截取O′B′=OB=2
cm,
O′C′=OC=2
cm,在y′轴上取O′A′=OA,连接A′B′,A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图②所示.
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;
(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定;
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
【补偿训练】
画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解析】画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.
(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
类型二 空间图形直观图的画法(直观想象)
【典例】用斜二测画法画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【思路导引】严格按照斜二测画法的要求和步骤进行作图.
【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴,Oy轴,Oz轴,∠xOy=45°(或135°),
∠xOz=90°,如图.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP.
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系,并且把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面,再作z′轴与平面x′O′y′垂直.
(2)作空间图形的直观图时,平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变.
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段,且线段长度画成原来的一半.
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变.
用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
【解析】画法步骤:
(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4
cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=
cm.
分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
【补偿训练】
已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
【解析】步骤:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.
(4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).
类型三 直观图的还原与计算(逻辑推理、数学运算)
角度1 直观图还原为原图形?
【典例】如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形.
【思路导引】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).
本例的条件“A1D1∥O′y′”若改为“A1D1⊥O′x′”,试画出原四边形.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
经过计算,O′B1=.
在y轴上截取OB=2.
在过点B与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,AD,便得到了原图形(如图).
角度2 直观图和原图形的计算问题?
【典例】如图所示的直观图直角梯形,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,求原图形的面积.
【思路导引】方法一:根据直观图画出原图形再求面积.方法二:求直观图的面积之后利用面积关系S原=2S直进行求解.
【解析】方法一:如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,
则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,所以BE=.
而四边形AECD为矩形,AD=1,所以EC=AD=1.
所以BC=BE+EC=+1.
由此可画出原图形如图②,是一个直角梯形.
在原图形中A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1,
且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,
所以原图形的面积S=(A′D′+B′C′)·A′B′
=××2=2+.
方法二:四边形ABCD的面积S直=×=,
而原图形的面积S原=2S直,所以S原=2×=2+.
直观图与原图形的面积问题
方法1:由直观图还原出原图形,进而确定相关的量,从而求出原图形的面积.
方法2:不作图,直接根据面积关系S直=S原求解.
1.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为
( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【解析】选D.方法一:建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
2.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm,则在直角坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________
cm2.?
【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2
cm,OC=4
cm,所以OABC的面积S=2×4=8(
cm2).
答案:矩形 8
3.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.
【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,所以其直观图的面积S′=×(1+1+)×=.可得原平面图形的面积S==2+.
课堂检测·素养达标
1.若把一个高为10
cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成
( )
A.平行于z′轴且大小为10
cm
B.平行于z′轴且大小为5
cm
C.与z′轴成45°且大小为10
cm
D.与z′轴成45°且大小为5
cm
【解析】选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
2.(教材二次开发:习题改编)如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是
( )
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
【解析】选D.还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
3.已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为
( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5
cm.
4.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为________.?
【解析】因为∠D′A′B′=45°,由斜二测画法的规则知∠DAB=90°,
又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形,且A′B′=2B′C′,
所以AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
答案:正方形
课时素养评价
四十一 直 观 图
(20分钟 35分)
1.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=A′C′,那么△ABC是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.因为A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,
所以AB⊥AC.又AC=2A′C′=2AB,
所以△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC中
( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
【解析】选C.因为A′D′∥y′轴,
所以在△ABC中,AD⊥BC,
又因为D′是B′C′的中点,
所以D是BC中点,
所以AB=AC>AD.
3.如图,一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB,斜边长OB=1,那么原平面图形的面积是
( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选B.因为OB=1,△OAB为等腰直角三角形,所以OA=,
点A在原平面图形中的对应点为A′,据斜二测画法可知,在原系中点A′在y′轴上,且O′A′=,
故原三角形的面积为.
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为________.?
【解析】由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,计算得AB=5,所求中线长为2.5.
答案:2.5
5.有一个长为5
cm,宽为4
cm的矩形,则其直观图的面积为________
cm2.?
【解析】该矩形的面积S=5×4=20(
cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积S′=S=5(
cm2).
答案:5
6.按如图的建系方法,画水平放置的五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H;
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于O′,使∠x′O′y′=45°;
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取O′E′=OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取G′A′=GA,H′D′=HD;
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,点O′,便得到水平放置的五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的
( )
【解析】选C.题干直观图中有两边分别与坐标轴平行,所以原图中这两边必垂直,符合条件的只有C.
2.已知直角梯形OABC上下两底分别为2和4,高为2,则利用斜二测画法所得其直观图的面积为
( )
A.6
B.3
C.3
D.6
【解析】选C.根据斜二测画法可知,y轴上的OC,在新系中的y′轴上且OC′=OC=,
作C′D⊥x轴于D,则C′D=1,又C′B′=CB,C′B′∥OA,
所以SOC′B′A=×(2+4)×1=3.
3.如图,已知等腰三角形ABC,则在如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是
( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
【解析】选D.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别在∠x′O′y′为135°和45°的坐标系中的直观图.
4.如图,A′B′∥O′y′,B′C′∥O′x′,则直观图所示的平面图形是
( )
A.任意三角形
锐角三角形
C.直角三角形
钝角三角形
【解析】选C.设A′B′,B′C′分别与原图形的AB,BC相对应.因为A′B′∥O′y′,且B′C′∥O′x′,所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形.
【误区警示】由平面图形的直观图判断平面图形的形状,一定要注意与坐标轴平行的边,易受到直观图形的影响.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法错误的是
( )
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
【解析】选ACD.根据斜二测画法的要求知,正方形的直观图为平行四边形.其他选项均错误.
6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积可能为( )
A.16 B.64 C.32 D.无法确定
【解析】选AB.等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.正方形O′A′B′C′的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________,面积是________.?
【解题指南】将直观图进行还原,得到原图形,进而求周长、面积.
【解析】如图,OA=1
cm,
在Rt△OAB中OB=2
cm,
所以AB==3(cm).
所以四边形OABC的周长为8
cm.面积是2
cm2
答案:8 2
8.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,点B′在x′轴上,A′O′与x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________.?
【解析】设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等,
及S原图=2S直观图,
得OB×h=2××A′O′×O′B′,
则h=4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案:4
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
【解析】画法:
(1)如图a所示,在梯形ABCD中,
以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示,
画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.
(2)在图a中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在图b中,在x′轴上取A′B′=AB=4
cm,
A′E′=AE=
cm;过点E′作E′D′∥y′轴,
使E′D′=ED=×=0.75
cm;
再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2
cm.
(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图c所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
10.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示,
在直观图中,O′D′=OD,梯形的高D′E′=,于是,梯形A′B′C′D′的面积S=×(1+2)×=.
关闭Word文档返回原板块
PAGE(共73张PPT)
§2 直 观 图
必备知识·自主学习
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则:
(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把
它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=_____,它们
确定的平面表示水平面.
(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于
x′轴或y′轴的线段.
(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行
于y轴的线段,长度为原来的_____.
导思
1.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则?
2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么?
45°
不变
一半
【思考】
斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解?
提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x′轴成45°或135°;
“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.用斜二测画法画空间图形的直观图,其规则是:
(1)在空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox,Oy,再取Oz轴,使∠xOz=90°,
且∠yOz=90°.
(2)画直观图时,把Ox,Oy,Oz画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,使∠x′O′y′
=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′O′y′所确定的平面表示水平平面.
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′
轴、y′轴或z′轴的线段.
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y
轴的线段长度为原来的_____.
不变
一半
【思考】
在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量?
提示:(1)平面图形用其直观图表示时,一般说来,平行关系不变;
(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化);
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为:横不变、纵折半,平行位置不改变.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.
( )
(2)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.
( )
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时,相等的角在直观图中仍相等.
( )
(4)用斜二测画法画空间几何体的直观图时,平行于z轴的线段在直观图中平行于z′轴且保持原长度不变.
( )
提示:(1)×.平行的线段在直观图中仍平行,但长度可能改变.
(2)×.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
(3)×.用斜二测画法画平面图形的直观图时,相等的角在直观图中可能会不相等,如同样是直角,可能一个是45°,一个是135°;
(4)√.
2.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,
O′y′,O′z′轴,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为
( )
A.90°,90°
B.45°,90°
C.135°,90°
D.45°或135°,90°
【解析】选D.根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或
135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角,所以度数为90°.
3.(教材二次开发:练习改编)利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观
图,正确的是图中的
( )
【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
关键能力·合作学习
类型一 画水平放置的平面图形的直观图(直观想象)
【题组训练】
1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于
( )
A.45° B.135° C.90° D.45°或135°
2.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,
点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,
顶点B′到x′轴的距离为________.?
3.用斜二测画法画如图所示边长为4
cm的水平放置的正三角形的直观图.
【解析】1.选D.因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,
由斜二测画法的规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.
2.画出直观图,BC对应B′C′且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到
x′轴的距离为
.
答案:
3.(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为
y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.
在x′轴上截取O′B′=OB=2
cm,O′C′=OC=2
cm,在y′轴上取O′A′=
OA,
连接A′B′,A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图②所
示.
【解题策略】
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;
(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定;
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
【补偿训练】
画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解析】画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y轴上取O′E′=
OE,以E′为中点
画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.
(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形
ABCD的直观图.
类型二 空间图形直观图的画法(直观想象)
【典例】用斜二测画法画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【思路导引】严格按照斜二测画法的要求和步骤进行作图.
【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴,Oy轴,Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP.
(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.
【解题策略】
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系,并且把它们画成对应的x′轴与
y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面,再作z′轴与平面x′O′y′垂直.
(2)作空间图形的直观图时,平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变.
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段,且线段长度画成原来的一半.
(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】
用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm
、3
cm
、2
cm的长方体ABCD-
A′B′C′D′的直观图.
【解析】画法步骤:
(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4
cm;在y轴上取线段PQ,使
PQ=
cm.
分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为
A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取
2
cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
【补偿训练】
已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画
法画出此正四棱台的直观图.
【解析】步骤:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得
GH=3,再过G,H分别作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接
AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
(3)画上底面.
在z轴上截取线段
OO1=4,过O1
作
O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使
∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底
面A1B1C1D1的直观图.
(4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,得到的图形就是所
求的正四棱台的直观图(如图②).
类型三 直观图的还原与计算(逻辑推理、数学运算)
角度1 直观图还原为原图形?
【典例】如图所示,梯形
A1
B1
C1
D1是一平面图形ABCD的直观图.
若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1=
C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形.
【思路导引】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或
线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为
直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取
AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).
【变式探究】
本例的条件“A1D1∥O′y′”若改为“A1D1⊥O′x′”,试画出原四边形.
【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
经过计算,O′B1=
.
在y轴上截取OB=2
.
在过点B与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,AD,便得到了原图形(如图).
角度2 直观图和原图形的计算问题?
【典例】如图所示的直观图直角梯形,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,求原图形
的面积.
【思路导引】方法一:根据直观图画出原图形再求面积.方法二:求直观图的面
积之后利用面积关系S原=2
S直进行求解.
【解析】方法一:如图①,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,
则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,所以BE=
.
而四边形AECD为矩形,AD=1,所以EC=AD=1.
所以BC=BE+EC=
+1.
由此可画出原图形如图②,是一个直角梯形.
在原图形中A′D′=1,A′B′=2,B′C′=
+1,
且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,
所以原图形的面积S=
(A′D′+B′C′)·A′B′
=
×1+1+
×2=2+
.
方法二:四边形ABCD的面积S直=
（1+1+
）×
=
,
而原图形的面积S原=2
S直,所以S原=2
×
=2+
.
【解题策略】
直观图与原图形的面积问题
方法1:由直观图还原出原图形,进而确定相关的量,从而求出原图形的面积.
方法2:不作图,直接根据面积关系S直=
S原求解.
【题组训练】
1.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的
面积为
( )
A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a2
【解析】选D.方法一:建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示,建立坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,
由直观图画法,知A′B′=AB=a,O′C′
=OC=
a.
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′,则C′D′=
O′C′=
a.
所以△A′B′C′的面积
S=
·A′B′·C′D′=
·a·
a=
a2.
方法二:S△ABC=
a2,而
=
,
所以S△A′B′C′
=
S△ABC=
×
a2=
a2.
2.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm,则在直角坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________
cm2.?
【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2
cm,OC=
4
cm,所以OABC的面积S=2×4=8(
cm2).
答案:矩形 8
3.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均
为1的等腰梯形,求原图形的面积.
【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均
为1的等腰梯形,所以其直观图的面积S′=
×(1+1+
)×
=
.可得
原平面图形的面积S=
.
1.若把一个高为10
cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成
( )
A.平行于z′轴且大小为10
cm
B.平行于z′轴且大小为5
cm
C.与z′轴成45°且大小为10
cm
D.与z′轴成45°且大小为5
cm
【解析】选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原
来保持一致.
课堂检测·素养达标
2.(教材二次开发:习题改编)如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直
观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
【解析】选D.还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
3.已知两个圆锥底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底
面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个
顶点之间的距离为
( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),
在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5
cm.
4.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为
________.?
【解析】因为∠D′A′B′=45°,由斜二测画法的规则知∠DAB=90°,
又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形,且A′B′=2B′C′,
所以AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
答案:正方形
四十一 直 观 图
【基础通关-水平一】
(20分钟 35分)
1.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=A′C′,那么△ABC是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
课时素养评价
【解析】选B.因为A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,所以AB⊥AC.
又AC=2A′C′=2AB,所以△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC中
( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
【解析】选C.因为A′D′∥y′轴,
所以在△ABC中,AD⊥BC,
又因为D′是B′C′的中点,
所以D是BC中点,
所以AB=AC>AD.
3.如图,一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形OAB,斜边长OB=1,
那么原平面图形的面积是
( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选B.因为OB=1,△OAB为等腰直角三角形,所以OA=
,
点A在原平面图形中的对应点为A′,据斜二测画法可知,在原系中点A′在y′
轴上,且O′A′=
,故原三角形的面积为
.
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的
中线的实际长度为________.?
【解析】由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC=A′C′=3,
BC=2B′C′=4,计算得AB=5,所求中线长为2.5.
答案:2.5
5.有一个长为5
cm,宽为4
cm的矩形,则其直观图的面积为________
cm2.?
【解析】该矩形的面积S=5×4=20(
cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间
的关系,可得直观图的面积S′=
S=5
(
cm2).
答案:5
6.按如图的建系方法,画水平放置的五边形ABCDE的直观图.
【解析】画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H;
(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于O′,使∠x′O′y′=45°;
(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴
上取O′E′=
OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上
取G′A′=
GA,H′D′=
HD;
(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴
与y′轴,点O′,便得到水平放置的五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′
(如图③).
【能力进阶-水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的( )
【解析】选C.题干直观图中有两边分别与坐标轴平行,所以原图中这两边必垂
直,符合条件的只有C.
2.已知直角梯形OABC上下两底分别为2和4,高为2
,则利用斜二测画法所得
其直观图的面积为
( )
A.6
B.3
C.3
D.6
【解析】选C.根据斜二测画法可知,y轴上的OC,在新系中的y′轴上且
OC′=
OC=
,
作C′D⊥x轴于D,则C′D=1,又C′B′=CB,C′B′∥OA,
所以SOC′B′A=
×(2+4)×1=3.
3.如图,已知等腰三角形ABC,则在如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是
( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
【解析】选D.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别在∠x′O′y′为135°和45°的坐标系中的直观图.
4.如图,A′B′∥O′y′,B′C′∥O′x′,则直观图所示的平面图形是( )
A.任意三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选C.设A′B′,B′C′分别与原图形的AB,BC相对应.
因为A′B′∥O′y′,且B′C′∥O′x′,所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形.
【误区警示】由平面图形的直观图判断平面图形的形状,一定要注意与坐标轴平行的边,易受到直观图形的影响.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法错误的是
( )
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
【解析】选ACD.根据斜二测画法的要求知,正方形的直观图为平行四边形.其他选项均错误.
6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积可能为( )
A.16 B.64 C.32 D.无法确定
【解析】选AB.等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.正方形O′A′B′C′的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________,面积是________.?
【解题指南】将直观图进行还原,得到原图形,进而求周长、面积.
【解析】如图,OA=1
cm,
在Rt△OAB中OB=2
cm,
所以AB=
=3(cm).
所以四边形OABC的周长为8
cm.面积是2
cm2
答案:8 2
8.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,点B′在x′轴上,A′O′与x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________.?
【解析】设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长
度相等,及S原图=2
S直观图,
得
OB×h=2
×
×A′O′×O′B′,
则h=4
.故△AOB的边OB上的高为4
.
答案:4
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
【解析】画法:
(1)如图a所示,在梯形ABCD中,
以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示,
画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.
(2)在图a中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在图b中,在x′轴上取A′B′=AB=4
cm,
A′E′=AE=
cm;过点E′作E′D′∥y′轴,
使E′D′=
ED=
×
=0.75
cm;
再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2
cm.
(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图c所示,
则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
10.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.
如图所示,在直观图中,O′D′=
OD,梯形的高D′E′=
,于是,梯形
A′B′C′D′的面积S=
×(1+2)×
=
.
