(共99张PPT)
§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
(基本事实1、2、3)
必备知识·自主学习
1.空间点、直线、平面之间的位置关系及符号表示
(1)点与直线、点与平面的位置关系
①点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.如图:
导思
1.点、线、面之间有哪些关系?如何用符号表示?
2.三个基本事实及推论的内容是什么?各有什么作用?
点B在直线b上,但在直线a外,记作:B∈b,B?a.
②点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.如上图:
点B在平面α内,点A1在平面α外,记作:B∈α,A1?α.
(2)直线与直线、直线与平面的位置关系
①直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交.如图:
直线a和直线l相交,记作:a∩l=B1;直线b和直线l不相交,记作:b∩l=?.
②直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行.如上图:
直线a在平面β内,即直线上的每个点都在平面内,记作:a?β;直线l与平面α相交,记作:l∩α=A1;直线a与平面α无公共点,称直线a与平面α平行,记作:a∥α.
a∥α?a∩α=?.
在画直线和平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行,如图:
(3)平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交.如图:
平面α与平面β不相交.
如图:
平面α与平面β相交.
若两个平面α与β不相交,则称这两个平面平行,记作α∥β.
α∥β?α∩β=?.
在画两个平行的平面时,通常把表示这两个平面的平行四边形的对应边画成互相平行的.如图:
【思考】
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系呢?
提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(3)直线与平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“?”或“?”表示.
2.与平面有关的3个基本事实
(1)基本事实1:过不在一条直线上的_______,有且只有一个平面.如图:
三个点
【思考】
基本事实1有什么意义及作用呢?
提示:意义:是在空间确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化是立体几何中解决部分问题的主要的思想方法.
作用:①确定平面;②证明点、线共面.
(2)基本事实2:如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个
平面内.
两个点
【思考】
基本事实2有什么意义及作用呢?
提示:意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用:既是判断直线是否在平面内,又是检验平面的方法.
(3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个_______,那么它们有且只有一条
过该点的公共直线.
这样,基本事实3就可以用符号表示为
P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l.
公共点
【思考】
基本事实3有什么意义及作用呢?
提示:意义:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方法.
作用:①判断两个平面是否相交;
②确定两个平面的交线;
③证明若干点共线问题.
3.平面性质的三个基本事实的三个推论
推论1:一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)三角形一定是平面图形.
( )
(2)直线l与平面α有且只有两个公共点.
( )
(3)若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合.
( )
(4)四条边都相等的四边形是平面图形.
( )
提示:(1)√.
(2)×.一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个,1个或无数个,不可能只有2个公共点.
(3)×.当A,B,C,D共线时,这四个点都在这两个平面的交线上,两平面不重合.
(4)×.也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.
2.若一直线a在平面α内,则正确的图形是
( )
【解析】选A.选项B,C,D中直线a在平面α外,选项A中直线a在平面α内.
3.(教材二次开发:习题改编)下列说法正确的是
( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
【解析】选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面;B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面;C错误,四边形不一定是平面图形;D正确,两条相交直线可以确定一个平面.
关键能力·合作学习
类型一 空间点、直线、平面位置关系的刻画(直观想象、数学抽象)
【题组训练】
1.如图所示,用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系:
①点A,B在直线a上________;?
②直线a在平面α内________;?
③点D在直线b上,点C在平面α内________.?
2.将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示.
α∩β=l,A∈l,AB?α,AC?β.
3.根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=直线AB,直线a?α,直线b?β,a∥AB,b∥AB.
【解析】1.根据点、线、面位置关系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a;②a?α;③D∈b,C∈α.
答案:①A∈a,B∈a ②a?α ③D∈b,C∈α
2.文字语言叙述为:点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α,β内,图形语言表示如图所示.
3.图形如图所示.
【解题策略】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
【补偿训练】
用符号语言表示下列语句,并画出图形:
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解析】(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.
(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:如图②.
类型二 点、线共面问题(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
四步
内容
理解
题意
条件:需要先写出已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
结论:l1,l2,l3共面.
思路
探求
可以由任两条相交直线确定一个平面,证明第三条直线在这个平面
内,就需要找到直线上的两个点在平面内.
四步
内容
书写表达
【证明】方法一:(纳入平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,
所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二:(辅助平面法)
因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直
线l1,l2,l3在同一平面内.
注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性.
题后反思
证明题的过程一定要有理有据,层层递进,讲究逻辑性,还要注意书写的规范性.
【解题策略】
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.
【跟踪训练】
如图,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α.
【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.
所以直线a?β,点P∈β.因为P∈b,b?α,所以P∈α.
又因为a?α,所以α与β重合.所以PQ?α.
【拓展延伸】
平面在生活中的应用
平面在生活中有着广泛的应用,比如桌子放不稳,想检测是桌子的问题还是地面的问题,我们可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,说明地面不平,反之说明桌子有问题.
【拓展训练】
1.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是
( )
【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面.
2.今有一正方体木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?
【解析】作法如下:(1)连接MN并延长交DC的延长线于F,连接D1F交CC1于Q,连接QN;
(2)延长NM交DA的延长线于E,连接D1E交AA1于P,连接MP;
(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.
类型三 点共线、线共点、面共线问题(直观想象、数学抽象)
角度1 线共点与点共线问题?
【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1的中点.求证:
CE,D1F,DA三线交于一点.
【思路导引】证明三线共点,可以先证明两条直线相交,而交点在第三条直线上.
【证明】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,
F为AA1的中点,所以EF=
A1B,EF∥
A1B,
又因为A1B=D1C,A1B∥D1C,
所以EF=
D1C,EF∥
D1C,
所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.
又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据基本事实3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
【变式探究】
本例的条件“E,F分别为AB,AA1的中点”改为“E,F分别为AB,AA1上的点,且D1F∩CE=M”,求证:点D,A,M三点共线.
【证明】因为D1F∩CE=M,
且D1F?平面A1D1DA,所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.所以点D,A,M三点共线.
角度2 面共线问题?
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
【思路导引】找两个平面的交线,需要找到同时在两个平面内的点.
【解析】如图,在平面AA1D1D内,延长D1F,
因为D1F与DA不平行,
因此D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD.
又因为D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,
所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.
所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD),
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
所以连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.
【解题策略】
1.确定两平面的交线,关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据.
2.(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
【题组训练】
1.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线.
方法二:因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,
所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.
又因为Q∈平面APR,Q∈α,所以Q∈PR.
所以P,Q,R三点共线.
2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,
CD?β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
【证明】因为在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
因为AB,CD必定相交于一点.设AB∩CD=M.
又因为AB?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
即AB,CD,l共点(相交于一点).
3.若α∩β=l,A,B∈α,C∈β,试画出平面ABC与平面α,β的交线.
【解析】已知α∩β=l,A,B∈α,
所以AB是平面ABC与α的交线,
延长BA交l于D,则D∈平面ABC,
因为C∈β,所以CD是平面ABC与β的交线,
则对应的图示如图.
典例备选 点共线和线共点问题(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和
AD上的点,且
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
【思路导引】证明EH,BD,FG三条直线相交于同一点,可以证明BD经过另外两条直线的交点,利用基本事实3可证.
【证明】连接EF,GH,AC.因为
所以EF∥AC,HG∥AC且EF≠HG,
所以EH,FG共面,且EH与FG不平行,
不妨设EH∩FG=P,
则P∈EH,EH?平面ABD,
所以P∈平面ABD;
同理P∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD=BD,
所以P∈BD,
所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点P.
【解题策略】
点共线与线共点的证明方法
1.点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.
2.三线共点:证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上,此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得到三线共点.
1.(教材二次开发:练习改编)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是
( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN
C.A∈α,A∈β?α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线?α,β重合
【解析】选C.因为A∈α,A∈β,所以A∈(α∩β).
由基本事实可知,α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β=A的推理错误.
课堂检测·素养达标
2.平面α,β相交,α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.?
【解析】当四点确定的两条直线平行或相交时,则四个点确定1个平面;
当四点确定的两条直线不共面时,这四个点能确定4个平面,如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
答案:1或4
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条.?
【解析】由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1共5条.
答案:5
4.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于点E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一条直线上.
【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC.
因为AD∩α=H,所以H∈平面AC,H∈α,
由基本事实3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F,G,E都在平面AC与平面α的交线上,
因此E,F,G,H必在同一条直线上.
四十二 空间图形基本位置关系的认识
刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.下列说法:
①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50
m,宽是20
m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确说法的个数为
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
课时素养评价
【解析】选A.平面是无大小、无面积、无厚度,向四周无限延展的一个数学概念.
【补偿训练】
两个平面若有三个公共点,则这两个平面
( )
A.一定相交
B.一定重合
C.相交或重合
D.以上都不对
【解析】选C.若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.
2.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有
( )
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面β和γ平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.
3.空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定________个平面.?
【解析】可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案:7
4.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l.?
【解析】因为a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案:∈
5.如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.因为E∈AC,AC?平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
【能力进阶——水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则下列结论正确的是
( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
【解析】选A.因为M∈a,a?α,
所以M∈α,同理,N∈α,
又M∈l,N∈l,故l?α.
2.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过
( )
A.点A
B.点B
C.点C,但不过点D
D.点C和点D
【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=
DD1,NB=
BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是
( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=
DD1,NB=
BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于
点Q,连接PQ交AD于点E,AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是
五边形.
【补偿训练】
如图,已知平面α∩平面β=l,P∈β且P?l,M∈α,N∈α,又MN∩l=R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是
( )
A.直线MP
B.直线NP
C.直线PR
D.直线MR
【解析】选C.因为MN?γ,R∈MN,所以R∈γ.
又α∩β=l,MN∩l=R,所以R∈β.
又P∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ=PR.
4.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点
( )
A.一定共面
B.不一定共面
C.一定不共面
D.以上都不对
【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.
【误区警示】做此题容易忽略B,C,D共线的情况致错,所以考虑问题要全面.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.以下四个命题中,不正确的命题是
( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
【解析】选BCD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;
B不正确,从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,若A,B,C共线,则结论不正确;
C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能异面;
D不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,空间四边形的四个定点就不共面.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是
( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【解析】选ABC.在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
所以A,B,C均正确,D不正确.
【光速解题】判断点共线或者共面问题时,要看从这些点出发的直线是否相交或者平行.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.?
【解题指南】判断三点的位置关系,会有共线还是共面两种情况,需要认真领会三个基本事实,利用三点共线的判断方法进行.
【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
因为l∩α=O,所以O∈α.
又因为O∈AB?β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.
答案:共线
8.如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则M,N,K三点的位置关系是________.?
【解析】因为M∈PQ,直线PQ?平面PQR,M∈BC,直线BC?平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.
答案:共线
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m不在平面α内.
【解析】(1)A∈α,B?α,图形如图所示.
(2)l?α,m?α,图形如图所示.
或
10.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c和l共面.
【证明】如图所示,因为a∥b,由推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α,
因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以由推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,
所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
【创新迁移】
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8
cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点,设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;
(2)求PQ的长.
【解析】(1)设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B的交线为直线MP,
设MP∩A1B1=R,则RN是α与平面A1B1C1D1的交线,RN∩B1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.
(2)正方体棱长为8
cm,B1R=BM=4
cm,
又A1N=4
cm,B1Q=
A1N,
所以B1Q=
×4=
(cm).
在△PB1Q中,B1P=4
cm,B1Q=
cm,
所以PQ=
(cm).温馨提示：
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§3 空间点、直线、平面之间的位置关系
3.1 空间图形基本位置关系的认识
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)
必备知识·自主学习
导思
1.点、线、面之间有哪些关系?如何用符号表示?2.三个基本事实及推论的内容是什么?各有什么作用?
1.空间点、直线、平面之间的位置关系及符号表示
(1)点与直线、点与平面的位置关系
①点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外.如图:
点B在直线b上,但在直线a外,记作:B∈b,B?a.
②点与平面的位置关系有两种:点在平面内和点在平面外.如上图:
点B在平面α内,点A1在平面α外,记作:B∈α,A1?α.
(2)直线与直线、直线与平面的位置关系
①直线与直线的位置关系有两种:直线与直线相交和直线与直线不相交.如图:
直线a和直线l相交,记作:a∩l=B1;直线b和直线l不相交,记作:b∩l=?.
②直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行.如上图:
直线a在平面β内,即直线上的每个点都在平面内,记作:a?β;直线l与平面α相交,记作:l∩α=A1;直线a与平面α无公共点,称直线a与平面α平行,记作:a∥α.
a∥α?a∩α=?.
在画直线和平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形内的一条线段平行或与平行四边形的一边平行,如图:
(3)平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种:平面与平面不相交和平面与平面相交.如图:
平面α与平面β不相交.
如图:
平面α与平面β相交.
若两个平面α与β不相交,则称这两个平面平行,记作α∥β.
α∥β?α∩β=?.
在画两个平行的平面时,通常把表示这两个平面的平行四边形的对应边画成互相平行的.如图:
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系呢?
提示:(1)直线可以看成无数个点组成的集合,故点与直线的关系是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素与集合的关系,用“∈”或“?”表示.
(3)直线与平面都是点集,它们之间的关系可看成集合与集合的关系,故用“?”或“?”表示.
2.与平面有关的3个基本事实
(1)基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.如图:
基本事实1有什么意义及作用呢?
提示:意义:是在空间确定一个平面位置的方法与途径,而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件,这个转化是立体几何中解决部分问题的主要的思想方法.
作用:①确定平面;②证明点、线共面.
(2)基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实2有什么意义及作用呢?
提示:意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用:既是判断直线是否在平面内,又是检验平面的方法.
(3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
这样,基本事实3就可以用符号表示为
P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈l.
基本事实3有什么意义及作用呢?
提示:意义:揭示了两个平面相交的主要特征,提供了确定两个平面交线的方法.
作用:①判断两个平面是否相交;
②确定两个平面的交线;
③证明若干点共线问题.
3.平面性质的三个基本事实的三个推论
推论1:一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)三角形一定是平面图形.( )
(2)直线l与平面α有且只有两个公共点.( )
(3)若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合.( )
(4)四条边都相等的四边形是平面图形.( )
提示:(1)√.
(2)×.一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个,1个或无数个,不可能只有2个公共点.
(3)×.当A,B,C,D共线时,这四个点都在这两个平面的交线上,两平面不重合.
(4)×.也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.
2.若一直线a在平面α内,则正确的图形是( )
【解析】选A.选项B,C,D中直线a在平面α外,选项A中直线a在平面α内.
3.(教材二次开发:习题改编)下列说法正确的是( )
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
【解析】选D.A错误,不共线的三点可以确定一个平面;B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面;C错误,四边形不一定是平面图形;D正确,两条相交直线可以确定一个平面.
关键能力·合作学习
类型一 空间点、直线、平面位置关系的刻画(直观想象、数学抽象)
1.如图所示,用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系:
①点A,B在直线a上________;?
②直线a在平面α内________;?
③点D在直线b上,点C在平面α内________.?
2.将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述,并用图形语言予以表示.
α∩β=l,A∈l,AB?α,AC?β.
3.根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=直线AB,直线a?α,直线b?β,a∥AB,b∥AB.
【解析】1.根据点、线、面位置关系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a;②a?α;③D∈b,C∈α.
答案:①A∈a,B∈a ②a?α ③D∈b,C∈α
2.文字语言叙述为:点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α,β内,图形语言表示如图所示.
3.图形如图所示.
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
【补偿训练】
用符号语言表示下列语句,并画出图形:
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解析】(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:如图①.
(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:如图②.
类型二 点、线共面问题(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
四步
内容
理解题意
条件:需要先写出已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.结论:l1,l2,l3共面.
思路探求
可以由任两条相交直线确定一个平面,证明第三条直线在这个平面内,就需要找到直线上的两个点在平面内.
书写表达
【证明】方法一:(纳入平面法)因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二:(辅助平面法)因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性.
题后反思
证明题的过程一定要有理有据,层层递进,讲究逻辑性,还要注意书写的规范性.
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.
如图,已知:a?α,b?α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ?α.
【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.
所以直线a?β,点P∈β.因为P∈b,b?α,所以P∈α.
又因为a?α,所以α与β重合.所以PQ?α.
【拓展延伸】
平面在生活中的应用
平面在生活中有着广泛的应用,比如桌子放不稳,想检测是桌子的问题还是地面的问题,我们可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,说明地面不平,反之说明桌子有问题.
【拓展训练】
1.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( )
【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面.
2.今有一正方体木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?
【解析】作法如下:(1)连接MN并延长交DC的延长线于F,连接D1F交CC1于Q,连接QN;
(2)延长NM交DA的延长线于E,连接D1E交AA1于P,连接MP;
(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.
类型三 点共线、线共点、面共线问题(直观想象、数学抽象)
角度1 线共点与点共线问题?
【典例】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.
【思路导引】证明三线共点,可以先证明两条直线相交,而交点在第三条直线上.
【证明】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,
F为AA1的中点,所以EF=A1B,EF∥A1B,
又因为A1B=D1C,A1B∥D1C,
所以EF=D1C,EF∥D1C,
所以E,F,D1,C四点共面,可设D1F∩CE=P.
又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD,
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,所以据基本事实3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.
本例的条件“E,F分别为AB,AA1的中点”改为“E,F分别为AB,AA1上的点,且D1F∩CE=M”,求证:点D,A,M三点共线.
【证明】因为D1F∩CE=M,
且D1F?平面A1D1DA,所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.所以点D,A,M三点共线.
角度2 面共线问题?
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
【思路导引】找两个平面的交线,需要找到同时在两个平面内的点.
【解析】如图,在平面AA1D1D内,延长D1F,
因为D1F与DA不平行,
因此D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD.
又因为D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,
所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.
所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD),
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
所以连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.
1.确定两平面的交线,关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据.
2.(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
1.已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知:点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线.
方法二:因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,
所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.
又因为Q∈平面APR,Q∈α,所以Q∈PR.
所以P,Q,R三点共线.
2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,
CD?β.求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
【证明】因为在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
因为AB,CD必定相交于一点.设AB∩CD=M.
又因为AB?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
即AB,CD,l共点(相交于一点).
3.若α∩β=l,A,B∈α,C∈β,试画出平面ABC与平面α,β的交线.
【解析】已知α∩β=l,A,B∈α,
所以AB是平面ABC与α的交线,
延长BA交l于D,则D∈平面ABC,
因为C∈β,所以CD是平面ABC与β的交线,
则对应的图示如图.
典例备选 点共线和线共点问题(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且==1,==2.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
【思路导引】证明EH,BD,FG三条直线相交于同一点,可以证明BD经过另外两条直线的交点,利用基本事实3可证.
【证明】连接EF,GH,AC.因为==1,
==2,所以EF∥AC,HG∥AC且EF≠HG,
所以EH,FG共面,且EH与FG不平行,
不妨设EH∩FG=P,
则P∈EH,EH?平面ABD,
所以P∈平面ABD;
同理P∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD=BD,
所以P∈BD,
所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点P.
点共线与线共点的证明方法
1.点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.
2.三线共点:证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上,此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线,证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得到三线共点.
课堂检测·素养达标
1.(教材二次开发:练习改编)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN
C.A∈α,A∈β?α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线?α,β重合
【解析】选C.因为A∈α,A∈β,所以A∈(α∩β).
由基本事实可知,α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β=A的推理错误.
2.平面α,β相交,α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.?
【解析】当四点确定的两条直线平行或相交时,则四个点确定1个平面;
当四点确定的两条直线不共面时,这四个点能确定4个平面,如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
答案:1或4
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条.?
【解析】由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1共5条.
答案:5
4.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于点E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一条直线上.
【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC.
因为AD∩α=H,所以H∈平面AC,H∈α,
由基本事实3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F,G,E都在平面AC与平面α的交线上,
因此E,F,G,H必在同一条直线上.
课时素养评价
四十二 空间图形基本位置关系的认识
刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)
(15分钟 30分)
1.下列说法:
①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50
m,宽是20
m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确说法的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.平面是无大小、无面积、无厚度,向四周无限延展的一个数学概念.
【补偿训练】
两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.一定相交
B.一定重合
C.相交或重合
D.以上都不对
【解析】选C.若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.
2.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面β和γ平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.
3.空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定________个平面.?
【解析】可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
答案:7
4.设平面α与平面β相交于l,直线a?α,直线b?β,a∩b=M,则M________l.?
【解析】因为a∩b=M,a?α,b?β,所以M∈α,M∈β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案:∈
5.如图,在梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.因为E∈AC,AC?平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则下列结论正确的是( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
【解析】选A.因为M∈a,a?α,
所以M∈α,同理,N∈α,
又M∈l,N∈l,故l?α.
2.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C?l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过( )
A.点A
B.点B
C.点C,但不过点D
D.点C和点D
【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ交AD于点E,AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是五边形.
【补偿训练】
如图,已知平面α∩平面β=l,P∈β且P?l,M∈α,N∈α,又MN∩l=R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )
A.直线MP
B.直线NP
C.直线PR
D.直线MR
【解析】选C.因为MN?γ,R∈MN,所以R∈γ.
又α∩β=l,MN∩l=R,所以R∈β.
又P∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ=PR.
4.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点( )
A.一定共面
B.不一定共面
C.一定不共面
D.以上都不对
【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.
【误区警示】做此题容易忽略B,C,D共线的情况致错,所以考虑问题要全面.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.以下四个命题中,不正确的命题是( )
A.不共面的四点中,其中任意三点不共线
B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面
C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D.依次首尾相接的四条线段必共面
【解析】选BCD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;
B不正确,从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,若A,B,C共线,则结论不正确;
C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能异面;
D不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,空间四边形的四个定点就不共面.
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
【解析】选ABC.在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.
所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,
所以A,B,C均正确,D不正确.
【光速解题】判断点共线或者共面问题时,要看从这些点出发的直线是否相交或者平行.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.?
【解题指南】判断三点的位置关系,会有共线还是共面两种情况,需要认真领会三个基本事实,利用三点共线的判断方法进行.
【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.
因为l∩α=O,所以O∈α.
又因为O∈AB?β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.
答案:共线
8.如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则M,N,K三点的位置关系是________.?
【解析】因为M∈PQ,直线PQ?平面PQR,M∈BC,直线BC?平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.
答案:共线
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;
(2)直线l在平面α内,直线m不在平面α内.
【解析】(1)A∈α,B?α,图形如图所示.
(2)l?α,m?α,图形如图所示.
或
10.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c和l共面.
【证明】如图所示,因为a∥b,由推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α,
因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以由推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,
所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8
cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点,设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;
(2)求PQ的长.
【解析】(1)设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B的交线为直线MP,
设MP∩A1B1=R,则RN是α与平面A1B1C1D1的交线,RN∩B1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.
(2)正方体棱长为8
cm,B1R=BM=4
cm,
又A1N=4
cm,B1Q=A1N,
所以B1Q=×4=(cm).
在△PB1Q中,B1P=4
cm,B1Q=
cm,
所以PQ==(cm).
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