(共114张PPT)
3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
(基本事实4、定理)
必备知识·自主学习
1.基本事实4
_______同一条直线的两条直线互相平行.
用符号表示为
?a∥c.
导思
1.空间中的直线有哪几种位置关系?
2.基本事实4的内容及应用有哪些?
3.如何判断两条直线是异面直线呢?
4.异面直线所成的角是如何定义的呢?
平行于
2.异面直线
(1)异面直线的定义和理解
①定义:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线.
②特点:异面直线既不相交又不平行,即不同在任何一个平面内.
(2)异面直线的表示
为了表示异面直线a,b不共面的特点,画图时,通常用一个或两个平面衬托.如图:
(3)空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种:
【思考】
没有公共点的两条直线一定是平行直线吗?
提示:没有公共点的两条直线也可能是异面直线.
【思考】
异面直线就是在两个不同平面里的两条直线,这种说法正确吗?
提示:不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线,如图,虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.所以,这种说法是不正确的.
3.等角定理
定理:如果空间中两个角的两条边分别_________,那么这两个角相等或互补.
对应平行
【思考】
当两个角的两边分别对应平行,这两个角什么时候相等,什么时候互补呢?
提示:如图:
①两个角的两条边分别平行,并且方向相同(如图(1))时,两个角相等;
②两个角的两条边分别平行,并且方向相反(如图(2))时,两个角相等;
③两个角的两条边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反时,两个角互补.
4.异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,这时a′,
b′共面,我们把a′与b′所成的___________的角称为异面直线a,b所成的角
(或夹角).
若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这两条直线_________,记作a⊥b.
不大于90°
互相垂直
【思考】
以长方体为例,如何表示空间中点、直线和平面的基本位置关系呢?
提示:如图:
位置关系
符号表示
点A在直线AA1上
A∈AA1
点A不在直线BC上
A?BC
点A在平面ABCD内
A∈平面ABCD
点A不在平面A1B1C1D1内
A?平面A1B1C1D1
直线AB与直线AA1相交于点A
AB∩AA1=A
直线AB与直线A1B1平行
AB∥A1B1
直线AB与直线CC1异面
直线AB在平面ABCD内
AB?平面ABCD
直线D1B和平面ABCD相交于点B
D1B∩平面ABCD=B
位置关系
符号表示
直线A1B1和平面ABCD平行
A1B1∥平面ABCD
平面ABCD与平面BB1C1C
相交于直线BC
平面ABCD
∩平面BB1C1C=BC
平面ABCD与平面
A1B1C1D1平行
平面ABCD∥平面
A1B1C1D1
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行.
( )
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.
( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
( )
(4)两条异面直线一定在两个不同的平面内.
( )
(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.
( )
提示:(1)×.垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面.
(2)×.分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.
(3)√.
(4)√.
(5)×.若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c可能是异面直线,也可能共面.
2.异面直线是指
( )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面,所以A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,所以B应排除.对于C,如图中的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,所以C应排除.只有D符合定义.
3.(教材二次开发:习题改编)已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是________.?
【解析】连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.
因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.
答案:45°
关键能力·合作学习
类型一 空间中两条直线位置关系的判断(直观想象、逻辑推理)
【题组训练】
1.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有
( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
2.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________.(填序号)?
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;?
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;?
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;?
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.?
【解析】1.选A.三棱锥A-BCD的六条棱所在的直线中,成异面直线的有:AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对.
2.①中PQ∥RS;②中RS∥PQ;④中RS和PQ相交.
答案:③
3.由题图可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点A1,B,B1在平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”;直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
答案:①平行 ②异面 ③相交 ④异面
【解题策略】
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).
(3)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α,B∈α,l?α,B?l?AB与l是异面直线(如图).
【补偿训练】
如图所示是正方体的平面展开图,在这个正方体中
( )
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN垂直.
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
【解析】选C.由题意画出正方体的图形如图:
显然①②不正确;
③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°正确;
④DM⊥平面BCN,所以④正确.
类型二 基本事实4的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF为平行四边形.
四步
内容
理解
题意
条件:E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.
结论:四边形B1EDF为平行四边形.
思路
探求
证明一个四边形是平行四边形,需要证明一组对边平行且相等,
或者两组对边分别平行.
四步
内容
书写
表达
【证明】如图所示,取DD1的中点Q,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所
以EQ?
A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中,A1D1
?B1C1,
所以EQ?
B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E?
C1Q.又Q,
F分别是D1D,C1C的中点,所以QD?
C1F,
所以四边形DQC1F为平行四边形,
所以C1Q?
FD.又B1E?
C1Q,所以B1E?
FD,故四边形B1EDF为平行四边
形.
注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言
的规范性.
四步
内容
题后
反思
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【解题策略】
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)利用基本事实4即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
【跟踪训练】
如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形EBFD1是菱形.
【证明】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取棱BB1的中点G,连接C1G,EG.因
为E,G分别为棱AA1,BB1的中点,
所以EG?
A1B1.
又A1B1?
C1D1,所以EG?
C1D1,
从而四边形EGC1D1为平行四边形,所以D1E?
C1G.
因为F,G分别为棱CC1,BB1的中点,
所以C1F?
BG,从而四边形BGC1F为平行四边形,
所以BF?
C1G,又D1E?
C1G,
所以D1E?
BF,从而四边形EBFD1为平行四边形.
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,
易知BE=BF=
a,故平行四边形EBFD1是菱形.
【拓展延伸】
平行直线在生活中的应用
平行直线在生活中有着广泛的应用,有时候要利用平行直线去解决实际问题,基本事实4就是很好的工具.
【拓展训练】
如图所示为一长方体木料,经过木料的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.
【解析】如图所示,
在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
类型三 等角定理的应用及异面直线所成的角(逻辑推理)
角度1 等角定理的应用?
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
【思路导引】证明两个角相等,只需要证明两个角的两条边分别平行,且方向相同即可.
【证明】因为F为BB1的中点,所以BF=
BB1,
因为G为DD1的中点,所以D1G=
DD1.
又BB1∥DD1,BB1=DD1,
所以BF∥D1G,BF=D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.
【变式探究】
在本例中,将条件改为“E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.”求证:△EFG∽△C1DA1.
【证明】如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C且GF=
B1C.
又ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CD∥AB且CD=AB,A1B1∥AB且A1B1=AB,
由基本事实4知CD∥A1B1且CD=A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D∥B1C且A1D=B1C.
又B1C∥FG,
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证:A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1C1D与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1C1D=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.
角度2 异面直线所成的角?
【典例】在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【思路导引】想求EF与AB所成角的大小,需要找到EF与AB所成的角,并将其放到三角形中进行求解,关键是找异面直线的平行线,找到异面直线所成的角.
【解析】如图所示,取AC的中点G,
连接EG,FG,则EG∥AB且EG=
AB,
GF∥CD且GF=
CD.由AB=CD知EG=FG从而可知∠GEF为
EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
因为AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时∠GEF=75°,
当∠EGF=150°时∠GEF=15°,
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
【解题策略】
1.认识理解异面直线所成角的注意点
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线a,b所成的角与a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
2.求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
【题组训练】
1.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.?
【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,
则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,
所以∠MPN=90°,PN=
AC=4,
PM=
BD=3,所以MN=5.
答案:5
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)EF?
E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【证明】(1)如图,连接BD,B1D1,
在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EF?
BD.同理,E1F1?
B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1?
DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD?
B1D1.
又EF?
BD,E1F1?
B1D1,
所以EF?
E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,
则MF1?
B1C1.
又B1C1?
BC,所以MF1?
BC,
所以四边形BMF1C为平行四边形,
所以BM?
CF1.
因为A1M=
A1B1,BE=
AB,且A1B1?
AB,
所以A1M?
BE,所以四边形BMA1E为平行四边形,
所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为棱BC和棱CC1的中点,求异面直线AC和EF所成的角.
【解析】连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:
根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).因为BC1=A1C1=A1B,
所以△A1C1B为等边三角形,故∠A1C1B=60°,即异面直线AC和EF所成的角为60°.
【补偿训练】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
【解析】(1)如图所示,连接AC,AB1.
由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中由AB1=AC=B1C,
可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,
所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.
又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1,
即A1C1与EF所成的角为90°.
典例备选 异面直线所成的角(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①AC和DD1所成的角是________;?
②AC和D1C1所成的角是________;?
③AC和B1D1所成的角是________;?
④AC和A1B所成的角是________.?
【思路导引】在正方体中找异面直线所成的角,在找平行线时要首先考虑正方体的棱和面对角线,还要注意正方体的结构特征.
【解析】①根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
②因为D1C1∥DC,所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角,由正方体的性质得∠ACD=45°.
③因为BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.
④因为A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,所以AC和A1B所成的角是60°.
答案:①90° ②45° ③90° ④60°
【解题策略】
求两异面直线所成的角的一般步骤
(1)作角:根据两异面直线所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;
(2)证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行;
(3)计算:求角的值,常在三角形中求解;
(4)结论.也可用“一作”“二证”“三求解”来概括.
【跟踪训练】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.?
【解析】取A1B1的中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,所以EF与GH所成的角等于60°.
答案:60°
1.若空间中三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c
( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
【解析】选D.空间中三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,若a,b,c在同一平面内,可得a∥c;若a,b,c不同在一个平面内,可得a,c相交或异面.
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2.两等角的一组对应边平行,则
( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
【解析】选D.另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补)的区别.
3.(教材二次开发:练习改编)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
,
则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为
( )
【解析】选A.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,D1B1∥DB,
所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角,
因为AB=BC=1,AA1=
,所以DB=
,
BC1=2,DC1=2,由余弦定理得
cos∠DBC1=
所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为
4.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线l∥a,那么直线l与直线b的位置关系为________.?
【解析】以正方体为例,如图,当直线l位于图中两位置时,直线l与b的位置关系是相交或异面.
答案:异面或相交
5.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.?
【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.
答案:②④
四十三 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、定理)
【基础通关—水平一】(15分钟 30分)
1.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是
( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
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【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,
所以EF∥HG.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=
BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是
( )
A.60°
B.75°
C.90°
D.105°
【解析】选C.设BB1=1,
如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,
连接B1C2,则B1C2∥BC1,
所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角),
连接AC2,
因为AB1=
,B1C2=
,AC2=
,
所以
则∠AB1C2=90°.
3.已知直线a,b,c,下列三个命题:
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.
其中,正确命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确,可能平行,可能相交也可能异面.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是________.?
【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中BC∥B1C1,
所以EF∥B1C1.
答案:平行
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).?
【解析】因为A,M,C,C1四点不共面,
所以直线AM与CC1是异面直线,故①错误;
同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误;
同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;
易得∠DAH=∠CBN,故④正确.
答案:③④
6.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
【解析】(1)因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又在△BEF中,∠EBF=45°,
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图,连接FH,
因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,
又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD,
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.
【能力进阶—水平二】(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,
则E,F分别为AD1,CD1的中点.
由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH.
2.已知在空间四边形ABCD中M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则
( )
A.1B.2C.1≤MN≤5
D.2【解析】选A.取AD的中点H,连接MH,NH,
则MH∥BD,且MH=
BD,NH∥AC,且NH=
AC,且M,N,H三点构成三角形,
由三角形中三边关系,可得MH-NH3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,
则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”,反之不成立.
所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
【补偿训练】
已知a,b,c是三条直线,则
( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c相交
C.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
D.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
【解析】选A.由基本事实4可知选项A正确.
4.空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=
,则异面直线AD,BC所成的角为
( )
A.45°
B.120°
C.60°
D.60°或120°
【解析】选C.如图取AC的中点H,连接EH,HF,则易得EH∥BC,FH∥AD,
所以∠EHF就是异面直线AD,BC所成的角(或所成角的补角),
因为AD=BC=2,所以EH=HF=1,
则△EHF是等腰三角形,
又EF=
,所以∠EHF=120°,则异面直线AD,BC所成的角为60°.
【误区警示】做此题容易忽略异面直线所成角的范围致错.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在空间四面体ABCD中,如图,E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点,则下列结论一定正确的为
( )
A.EG=FH
B.EF=GH
C.EH与FG相交
D.EG=HG
【解析】选ABC.由题意知,EG?
BD,FH?
BD,
所以EG?
FH,所以四边形EGHF为平行四边形.
所以EG=FH,EF=GH.
所以EH与FG共面且相交,故A,B,C正确,但EG不一定与HG相等.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是
( )
A.直线EF,OD1是异面直线且EF=OD1
B.直线OD1,B1B是异面直线且OD1≠B1B
C.直线EF,OD1是相交直线且EF=OD1
D.直线OD1,B1B是相交直线且OD1=B1B
【解析】选ABD.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,
如图:四边形D1EOF是矩形,直线EF,OD1是相交直线,A错误,直线OD1,B1B是相交直线,B错误;EF=OD1,OD1≠B1B,D错误.
【光速解题】利用已知条件,画出图形,判断直线EF,OD1是异面直线还是相交直线,判断EF=OD1,OD1=B1B是否成立.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在四棱锥P-ABCD中E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=________.?
【解题指南】找GH与已知长度的线段之间的关系.
【解析】由题意知EF?
AC,GH?
AC,
故EF?
GH,故GH=2.
答案:2
【补偿训练】
在空间四边形ABCD中,
则EH与FG的位置关系是________.?
【解析】如图,连接BD,在△ABD中
则EH∥BD,
同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.
答案:平行
8.如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________,异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.?
【解析】因为AA1∥DD1,所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角,连接BD,
在Rt△D1DB中,sin∠DD1B=
因为AD∥BC,所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角),
连接D1C,在△D1BC中,
因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,
高为4,所以D1B=2
,BC=2,D1C=2
,
D1B2=BC2+D1C2,
所以∠D1CB=90°,
所以sin∠D1BC=
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
【证明】(1)如题图,在△ABD中因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形,所以EH⊥GH.故AC⊥BD.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点.求异面直线A1M与DN所成的角的大小.
【解析】如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=
a,ME=
a,A1E=
a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线
A1M与DN所成的角为90°.
【创新迁移】
1.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,则EF=________.?
【解析】如图,设BF=2FA,连接EF,CF,
因为A1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,故EF=
A1B=
a.
答案:
a
2.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若
试判断四边形EFGH的形状.
【解析】在△ABD中,因为
所以EH∥BD且EH=
BD.
在△BCD中,因为
所以FG∥BD且FG=
BD,所以EH∥FG且EH>FG,所以四边形EFGH为梯形.温馨提示：
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3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
(基本事实4、定理)
必备知识·自主学习
导思
1.空间中的直线有哪几种位置关系?2.基本事实4的内容及应用有哪些?3.如何判断两条直线是异面直线呢?4.异面直线所成的角是如何定义的呢?
1.基本事实4
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
用符号表示为?a∥c.
2.异面直线
(1)异面直线的定义和理解
①定义:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线.
②特点:异面直线既不相交又不平行,即不同在任何一个平面内.
(2)异面直线的表示
为了表示异面直线a,b不共面的特点,画图时,通常用一个或两个平面衬托.如图:
(3)空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种:
没有公共点的两条直线一定是平行直线吗?
提示:没有公共点的两条直线也可能是异面直线.
异面直线就是在两个不同平面里的两条直线,这种说法正确吗?
提示:不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线,如图,虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.所以,这种说法是不正确的.
3.等角定理
定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
当两个角的两边分别对应平行,这两个角什么时候相等,什么时候互补呢?
提示:如图:
①两个角的两条边分别平行,并且方向相同(如图(1))时,两个角相等;
②两个角的两条边分别平行,并且方向相反(如图(2))时,两个角相等;
③两个角的两条边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反时,两个角互补.
4.异面直线所成的角
如图,已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,这时a′,b′共面,我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a,b所成的角(或夹角).
若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作a⊥b.
以长方体为例,如何表示空间中点、直线和平面的基本位置关系呢?
提示:如图:
位置关系
符号表示
点A在直线AA1上
A∈AA1
点A不在直线BC上
A?BC
点A在平面ABCD内
A∈平面ABCD
点A不在平面A1B1C1D1内
A?平面A1B1C1D1
直线AB与直线AA1相交于点A
AB∩AA1=A
直线AB与直线A1B1平行
AB∥A1B1
直线AB与直线CC1异面
直线AB在平面ABCD内
AB?平面ABCD
直线D1B和平面ABCD相交于点B
D1B∩平面ABCD=B
直线A1B1和平面ABCD平行
A1B1∥平面ABCD
平面ABCD与平面BB1C1C相交于直线BC
平面ABCD∩平面BB1C1C=BC
平面ABCD与平面A1B1C1D1平行
平面ABCD∥平面A1B1C1D1
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行.( )
(2)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.( )
(3)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.( )
(4)两条异面直线一定在两个不同的平面内.( )
(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.( )
提示:(1)×.垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面.
(2)×.分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.
(3)√.
(4)√.
(5)×.若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c可能是异面直线,也可能共面.
2.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面,所以A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,所以B应排除.对于C,如图中的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,所以C应排除.只有D符合定义.
3.(教材二次开发:习题改编)已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是________.?
【解析】连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.
因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.
答案:45°
关键能力·合作学习
类型一 空间中两条直线位置关系的判断(直观想象、逻辑推理)
1.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有( )
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
2.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________.(填序号)?
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;?
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;?
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;?
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.?
【解析】1.选A.三棱锥A-BCD的六条棱所在的直线中,成异面直线的有:AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对.
2.①中PQ∥RS;②中RS∥PQ;④中RS和PQ相交.
答案:③
3.由题图可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点A1,B,B1在平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”;直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以③应该填“相交”.
答案:①平行 ②异面 ③相交 ④异面
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).
(3)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α,B∈α,l?α,B?l?AB与l是异面直线(如图).
【补偿训练】
如图所示是正方体的平面展开图,在这个正方体中( )
①BM与ED平行;
②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成60°角;
④DM与BN垂直.
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
【解析】选C.由题意画出正方体的图形如图:
显然①②不正确;
③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°正确;
④DM⊥平面BCN,所以④正确.
类型二 基本事实4的应用(直观想象、逻辑推理)
【典例】如图,E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF为平行四边形.
四步
内容
理解题意
条件:E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.结论:四边形B1EDF为平行四边形.
思路探求
证明一个四边形是平行四边形,需要证明一组对边平行且相等,或者两组对边分别平行.
书写表达
【证明】如图所示,取DD1的中点Q,连接EQ,QC1.因为E是AA1的中点,所以EQA1D1.因为在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C1,所以EQB1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1EC1Q.又Q,F分别是D1D,C1C的中点,所以QDC1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,所以C1QFD.又B1EC1Q,所以B1EFD,故四边形B1EDF为平行四边形.注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性.
题后反思
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.
(2)利用基本事实4即找到一条直线c,使得a∥c,同时b∥c,由基本事实4得到a∥b.
如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形EBFD1是菱形.
【证明】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取棱BB1的中点G,连接C1G,EG.因为E,G分别为棱AA1,BB1的中点,
所以EGA1B1.
又A1B1C1D1,所以EGC1D1,
从而四边形EGC1D1为平行四边形,所以D1EC1G.
因为F,G分别为棱CC1,BB1的中点,
所以C1FBG,从而四边形BGC1F为平行四边形,
所以BFC1G,又D1EC1G,
所以D1EBF,从而四边形EBFD1为平行四边形.
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,
易知BE=BF=a,故平行四边形EBFD1是菱形.
【拓展延伸】
平行直线在生活中的应用
平行直线在生活中有着广泛的应用,有时候要利用平行直线去解决实际问题,基本事实4就是很好的工具.
【拓展训练】
如图所示为一长方体木料,经过木料的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.
【解析】如图所示,
在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
类型三 等角定理的应用及异面直线所成的角(逻辑推理)
角度1 等角定理的应用?
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明:∠BGC=∠FD1E.
【思路导引】证明两个角相等,只需要证明两个角的两条边分别平行,且方向相同即可.
【证明】因为F为BB1的中点,所以BF=BB1,
因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.
又BB1∥DD1,BB1=DD1,
所以BF∥D1G,BF=D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.
在本例中,将条件改为“E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.”求证:
△EFG∽△C1DA1.
【证明】如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C且GF=B1C.
又ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CD∥AB且CD=AB,A1B1∥AB且A1B1=AB,
由基本事实4知CD∥A1B1且CD=A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D∥B1C且A1D=B1C.
又B1C∥FG,
由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证:A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1C1D与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1C1D=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.
角度2 异面直线所成的角?
【典例】在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成锐角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
【思路导引】想求EF与AB所成角的大小,需要找到EF与AB所成的角,并将其放到三角形中进行求解,关键是找异面直线的平行线,找到异面直线所成的角.
【解析】如图所示,取AC的中点G,
连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,
GF∥CD且GF=CD.由AB=CD知EG=FG从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
因为AB与CD所成角为30°,所以∠EGF=30°或150°,
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时∠GEF=75°,
当∠EGF=150°时∠GEF=15°,
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
1.认识理解异面直线所成角的注意点
(1)任意性与无关性:在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直线a,b所成的角与a′,b′所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.
(2)转化求角:异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
2.求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
1.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=________.?
【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,
则BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角,
所以∠MPN=90°,PN=AC=4,
PM=BD=3,所以MN=5.
答案:5
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)EFE1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【证明】(1)如图,连接BD,B1D1,
在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EFBD.同理,E1F1B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BDB1D1.
又EFBD,E1F1B1D1,
所以EFE1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,
则MF1B1C1.
又B1C1BC,所以MF1BC,
所以四边形BMF1C为平行四边形,
所以BMCF1.
因为A1M=A1B1,BE=AB,且A1B1AB,
所以A1MBE,所以四边形BMA1E为平行四边形,
所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为棱BC和棱CC1的中点,求异面直线AC和EF所成的角.
【解析】连接BC1,A1C1,A1B,如图所示:
根据正方体的结构特征,可得EF∥BC1,AC∥A1C1,
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).因为BC1=A1C1=A1B,
所以△A1C1B为等边三角形,故∠A1C1B=60°,即异面直线AC和EF所成的角为
60°.
【补偿训练】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小;
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
【解析】(1)如图所示,连接AC,AB1.
由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中由AB1=AC=B1C,
可知∠B1CA=60°,即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)连接BD.由(1)知AC∥A1C1,
所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
因为EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.
又因为AC⊥BD,所以AC⊥EF,所以EF⊥A1C1,
即A1C1与EF所成的角为90°.
典例备选 异面直线所成的角(直观想象、逻辑推理、数学运算)
【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
①AC和DD1所成的角是________;?
②AC和D1C1所成的角是________;?
③AC和B1D1所成的角是________;?
④AC和A1B所成的角是________.?
【思路导引】在正方体中找异面直线所成的角,在找平行线时要首先考虑正方体的棱和面对角线,还要注意正方体的结构特征.
【解析】①根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
②因为D1C1∥DC,所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角,由正方体的性质得∠ACD=
45°.
③因为BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1所成的角是90°.
④因为A1B∥D1C,△ACD1是等边三角形,所以AC和A1B所成的角是60°.
答案:①90° ②45° ③90° ④60°
求两异面直线所成的角的一般步骤
(1)作角:根据两异面直线所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;
(2)证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行;
(3)计算:求角的值,常在三角形中求解;
(4)结论.也可用“一作”“二证”“三求解”来概括.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.?
【解析】取A1B1的中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,所以EF与GH所成的角等于60°.
答案:60°
课堂检测·素养达标
1.若空间中三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】选D.空间中三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,若a,b,c在同一平面内,可得a∥c;若a,b,c不同在一个平面内,可得a,c相交或异面.
2.两等角的一组对应边平行,则( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
【解析】选D.另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补)的区别.
3.(教材二次开发:练习改编)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,D1B1∥DB,
所以∠DBC1是异面直线BC1与D1B1所成的角,
因为AB=BC=1,AA1=,所以DB=,
BC1=2,DC1=2,由余弦定理得
cos∠DBC1==.
所以异面直线BC1与D1B1所成角的余弦值为.
4.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线l∥a,那么直线l与直线b的位置关系为________.?
【解析】以正方体为例,如图,当直线l位于图中两位置时,直线l与b的位置关系是相交或异面.
答案:异面或相交
5.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.?
【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.
答案:②④
课时素养评价
四十三 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、定理)
(15分钟 30分)
1.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面
D.平行或异面
【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,
所以EF∥HG.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A.60°
B.75°
C.90°
D.105°
【解析】选C.设BB1=1,
如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,
连接B1C2,则B1C2∥BC1,
所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角),
连接AC2,
因为AB1=,B1C2=,AC2=,
所以A=A+B1,则∠AB1C2=90°.
3.已知直线a,b,c,下列三个命题:
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.
其中,正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确,可能平行,可能相交也可能异面.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是________.?
【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中BC∥B1C1,
所以EF∥B1C1.
答案:平行
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).?
【解析】因为A,M,C,C1四点不共面,
所以直线AM与CC1是异面直线,故①错误;
同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误;
同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;
易得∠DAH=∠CBN,故④正确.
答案:③④
6.如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
【解析】(1)因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又在△BEF中,∠EBF=45°,
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图,连接FH,
因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,
又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD,
所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,
则E,F分别为AD1,CD1的中点.
由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH.
2.已知在空间四边形ABCD中M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则( )
A.1C.1≤MN≤5
D.2【解析】选A.取AD的中点H,连接MH,NH,
则MH∥BD,且MH=BD,NH∥AC,且NH=AC,且M,N,H三点构成三角形,
由三角形中三边关系,可得MH-NH3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,
则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”,反之不成立.
所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
【补偿训练】
已知a,b,c是三条直线,则( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c相交
C.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
D.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
【解析】选A.由基本事实4可知选项A正确.
4.空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD,BC所成的角为( )
A.45°
B.120°
C.60°
D.60°或120°
【解析】选C.如图取AC的中点H,连接EH,HF,则易得EH∥BC,FH∥AD,
所以∠EHF就是异面直线AD,BC所成的角(或所成角的补角),
因为AD=BC=2,所以EH=HF=1,
则△EHF是等腰三角形,
又EF=,所以∠EHF=120°,则异面直线AD,BC所成的角为60°.
【误区警示】做此题容易忽略异面直线所成角的范围致错.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在空间四面体ABCD中,如图,E,F,G,H分别是AB,BC,AD,DC的中点,则下列结论一定正确的为( )
A.EG=FH
B.EF=GH
C.EH与FG相交
D.EG=HG
【解析】选ABC.由题意知,EGBD,FHBD,
所以EGFH,所以四边形EGHF为平行四边形.
所以EG=FH,EF=GH.
所以EH与FG共面且相交,故A,B,C正确,但EG不一定与HG相等.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是( )
A.直线EF,OD1是异面直线且EF=OD1
B.直线OD1,B1B是异面直线且OD1≠B1B
C.直线EF,OD1是相交直线且EF=OD1
D.直线OD1,B1B是相交直线且OD1=B1B
【解析】选ABD.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AD,C1D1的中点,O为正方形ABCD的中心,
如图:四边形D1EOF是矩形,直线EF,OD1是相交直线,A错误,直线OD1,B1B是相交直线,B错误;EF=OD1,OD1≠B1B,D错误.
【光速解题】利用已知条件,画出图形,判断直线EF,OD1是异面直线还是相交直线,判断EF=OD1,OD1=B1B是否成立.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在四棱锥P-ABCD中E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=________.?
【解题指南】找GH与已知长度的线段之间的关系.
【解析】由题意知EFAC,GHAC,
故EFGH,故GH=2.
答案:2
【补偿训练】
在空间四边形ABCD中,=,=,则EH与FG的位置关系是________.?
【解析】如图,连接BD,在△ABD中=,则EH∥BD,
同理可得FG∥BD.所以EH∥FG.
答案:平行
8.如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________,异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.?
【解析】因为AA1∥DD1,所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角,连接BD,
在Rt△D1DB中,sin∠DD1B===.
因为AD∥BC,所以∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角(或其补角),
连接D1C,在△D1BC中,
因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,
高为4,所以D1B=2,BC=2,D1C=2,
D1B2=BC2+D1C2,
所以∠D1CB=90°,
所以sin∠D1BC===,
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
【证明】(1)如题图,在△ABD中因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形,所以EH⊥GH.故AC⊥BD.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点.求异面直线A1M与DN所成的角的大小.
【解析】如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
1.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,则EF=________.?
【解析】如图,设BF=2FA,连接EF,CF,
因为A1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,故EF=A1B=a.
答案:a
2.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若==,==,试判断四边形EFGH的形状.
【解析】在△ABD中,因为==,
所以EH∥BD且EH=BD.
在△BCD中,因为==,
所以FG∥BD且FG=BD,所以EH∥FG且EH>FG,所以四边形EFGH为梯形.
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