(共32张PPT)
第二课 三角函数的图象与性质
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 求函数解析式?
1.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g（x）.若g（x）的最小正周期为2π,
且g
=
,则f
=
( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以f(0)=Asin
φ=0,φ=kπ(k∈Z),
所以k=0,φ=0;
又g(x)=Asin
ωx,所以T=
=2π,
ω=2,又g
=
,所以A=2,
所以f(x)=2sin
2x,f
=
.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
）的部分图象
如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)请写出g(x)=f
的表达式,并求出函数y=g(x)的图象的对称轴和对称
中心.
【解析】(1)由题图可知A=3,
,
所以T=π?ω=2,f(x)=3sin(2x+φ),
所以
+φ=
,φ=-
,所以f(x)=3sin
.
(2)由(1)知g(x)=f
=3sin
=3sin
=3cos
2x,
令2x=kπ(k∈Z),所以所求的对称轴为直线x=
(k∈Z),令2x=
+kπ(k∈Z),
x=
+
(k∈Z),所以所求的对称中心为
(k∈Z).
【方法技巧】
由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中A,ω易
求,下面介绍求φ的几种方法.
(1)平衡点法
由y=Asin(ωx+φ)=Asin
知它的平衡点的横坐标为-
.
(2)确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方
程.
(3)利用单调性
将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin
x的图象比较,选取它们的某一个单调区间得到一个等式,解答即可求出φ.
题组训练二 三角函数图象变换问题?
1.(2020·大连高一检测)函数f（x）=Asin（ωx+φ）,其中
的图
象如图所示,为了得到f（x）的图象,则只需将g（x）=sin
2x的图象( )
A.向右平移
个长度单位
B.向左平移
个长度单位
C.向右平移
个长度单位
D.向左平移
个长度单位
【解析】选D.由三角函数f（x）的图象可知,A=1且
,即T=π,
又由T=
=π,解得w=2,即f（x）=sin(2x+φ),
又由f
=sin
=sin
=-1,
解得
+φ=
+2kπ,k∈Z,
即φ=
+2kπ,k∈Z,又由
<
,
所以φ=
,即f（x）=sin
,
故将函数g（x）=sin
2x的图象向左平移
个长度单位,
即可得到f（x）=sin
=sin
的图象.
2.函数f(x)=2sin(3x+φ)的图象向右平移
个单位长度,得到的图象关于y轴
对称,则
的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.函数f(x)=2sin(3x+φ)的图象向右平移
个单位长度得到:
f(x)=2sin
的图象关于y轴对称,即函数为偶函数,
故φ-
=kπ-
?φ=kπ-
,所以
的最小值为
.
3.将函数y=2sin
的图象向右平移
个周期后,所得图象对应的函数为
( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
【解析】选D.函数y=2sin
的周期为π,将函数y=2sin
的图象向
右平移
个周期即
个单位长度,
所得图象对应的函数为y=2sin
=2sin
.
【方法技巧】
对称变换
(1)y=f(x)的图象
y=-f(x)的图象
(2)y=f(x)的图象
y=f(-x)的图象
(3)y=f(x)的图象
y=-f(-x)的图象
题组训练三 三角函数的性质?
1.(2020·长沙高一检测)函数y=sin
是
( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
【解析】选B.设y=f(x)=sin
,由y=sin
=cos
2x,则函数的最小
正周期为T=
=π,又f(-x)=cos(-2x)=cos
2x=f(x),所以f(x)为偶函数.
2.(2020·宜宾高一检测)三角函数值sin
1,sin
2,sin
3的大小顺序是( )
A.sin
1>sin
2>sin
3
B.sin
2>sin
1>sin
3
C.sin
1>sin
3>sin
2
D.sin
3>sin
2>sin
1
【解析】选B.因为1弧度≈57°,2弧度≈114°,3弧度≈171°,
所以sin
1≈sin
57°,sin
2≈sin
114°=sin
66°,sin
3≈171°=sin
9°.
因为y=sin
x在0°所以sin
9°57°66°,即sin
2>sin
1>sin
3.
3.(2020·哈尔滨高一检测)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图
象关于直线x=
对称,它的最小正周期为π,则
( )
A.f(x)的图象过点
B.f(x)在
上单调递减
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的一个对称中心是
【解析】选C.由题意可得
=π,所以ω=2,可得f(x)=Asin(2x+φ).
再由函数图象关于直线x=
对称,
得f
=Asin
=±A,故可取φ=
.故函数f(x)=Asin
.
令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,求得kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z,
故函数的减区间为
,k∈Z,故选项B不正确.由于A不确定,
故选项A不正确.令2x+
=kπ,k∈Z,可得x=
-
,k∈Z,故函数的对称中心
为
,k∈Z,故选项C正确,选项D不正确.
4.函数y=tan
,x∈
的值域是______.?
【解析】由x∈
,所以
+
∈
结合正切函数的性质可得:1.
答案:(1,
]
5.(2020·宁波高一检测)已知函数f(x)=
cos
,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间
上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
【解析】(1)因为f(x)=
cos
,
所以该函数的最小正周期为T=
=π.
解不等式-π+2kπ≤2x-
≤2kπk∈Z
,
得-
+kπ≤x≤
+kπk∈Z
.
因此,函数f(x)的最小正周期为π,单调递增区间为
k∈Z
;
(2)因为x∈
,所以-
≤2x-
≤
.
当2x-
=0时,即当x=
时,函数f(x)取得最大值,即f
=
;
当2x-
=
时,即当x=
时,函数f（x）取得最小值,即f
=
cos
=-1.
【方法技巧】
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面
一看函数的定义域是否关于原点对称;
二看f(x)与f(-x)的关系.
2.求三角函数周期的方法
(1)定义法:利用周期函数的定义求解.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,
A≠0,ω≠0)的函数,T=
.
(3)图象法:通过观察函数图象求其周期.
3.函数单调区间的求解方法
(1)求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
(2)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时,用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
题组训练四 三角函数的实际应用?
1.(2020·重庆高一检测)如图,重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”,其旋转半径为50米,最高点距离地面120米,开启后按逆时针方向旋转,旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面,在该平面内,以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴,该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱,摩天轮开始启动,并记该时刻为t=0,则此人距离地面的高度f(t)与摩天轮运行时间t(单位:分钟)的函数关系式为( )
A.f(t)=50sin
t+20(t≥0)
B.f(t)=50sin
+70(t≥0)
C.f(t)=50sin
+20(t≥0)
D.f(t)=50sin
+70(t≥0)
【解析】选B.设f(t)=Asin(ωt+φ)+
,
?
,T=18,ω=
=
,
当t=0时sin
φ=-1,φ=-
,
f(t)=50sin
+70(t≥0).
2.(2020·北京高一检测)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近
似地用三角函数y=Acos
+B（x=1,2,…，12
）来表示.已知6月份的
月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平
均气温为______℃.
【解析】根据题意得28=A+B,18=-A+B,
解得A=5,B=23,所以y=23+5cos
,令x=10得y=23+5cos
=23+5cos
=20.5.
答案:20.5
3.(2020·宁波高一检测)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示:
日期
1月
1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月
6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
存活时间y小时
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式.
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时.
【解析】(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y=Asin(ωx+φ)+t,由表格可知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,
所以19.4-5.4=14,故A=7.
又19.4+5.4=24.8,故t=12.4.
又T=365,所以ω=
.当x=172时,
+φ=
,
所以φ=-
,
所以y=7sin
+12.4(1≤x≤365,x∈N).
(2)由y>15.9得sin
,
所以
,可得111.17所以这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.
【方法技巧】
三角函数模型构建的步骤
1.收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象.
2.制作散点图,选择函数模型进行拟合.
3.利用三角函数模型解决实际问题.
4.根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.温馨提示：
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阶段提升课
第二课 三角函数的图象与性质
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 求函数解析式?
1.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g.若g的最小正周期为2π,且g=,则f=
( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以f(0)=Asin
φ=0,φ=kπ(k∈Z),所以k=0,φ=0;
又g(x)=Asinωx,所以T==2π,ω=2,又g=,所以A=2,
所以f(x)=2sin
2x,f=.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中x∈R,A>0,ω>0,|φ|<）的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)请写出g(x)=f的表达式,并求出函数y=g(x)的图象的对称轴和对称中心.
【解析】(1)由题图可知A=3,=-,
所以T=π?ω=2,f(x)=3sin(2x+φ),
所以+φ=,φ=-,所以f(x)=3sin.
(2)由(1)知g(x)=f=3sin
=3sin=3cos
2x,令2x=kπ(k∈Z),所以所求的对称轴为直线x=(k∈Z),令2x=+kπ(k∈Z),
x=+(k∈Z),所以所求的对称中心为(k∈Z).
由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中A,ω易求,下面介绍求φ的几种方法.
(1)平衡点法
由y=Asin(ωx+φ)=Asin知它的平衡点的横坐标为-.
(2)确定最值法
这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方程.
(3)利用单调性
将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin
x的图象比较,选取它们的某一个单调区间得到一个等式,解答即可求出φ.
题组训练二 三角函数图象变换问题?
1.(2020·大连高一检测)函数f=Asin,其中的图象如图所示,为了得到f的图象,则只需将g=sin
2x的图象
( )
A.向右平移个长度单位
B.向左平移个长度单位
C.向右平移个长度单位
D.向左平移个长度单位
【解析】选D.由三角函数f的图象可知,A=1且=-=,即T=π,
又由T==π,解得w=2,即f=sin(2x+φ),
又由f=sin=sin=-1,
解得+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=+2kπ,k∈Z,又由<,
所以φ=,即f=sin,
故将函数g=sin
2x的图象向左平移个长度单位,
即可得到f=sin
=sin的图象.
2.函数f=2sin的图象向右平移个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.函数f=2sin的图象向右平移个单位长度得到:f(x)=2sin的图象关于y轴对称,即函数为偶函数,故φ-=kπ-?φ=kπ-,所以的最小值为.
3.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为
( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
【解析】选D.函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,
所得图象对应的函数为y=2sin
=2sin.
对称变换
(1)y=f(x)的图象y=-f(x)的图象
(2)y=f(x)的图象y=f(-x)的图象
(3)y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象
题组训练三 三角函数的性质?
1.(2020·长沙高一检测)函数y=sin是
( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
【解析】选B.设y=f(x)=sin,由y=sin=cos
2x,则函数的最小正周期为T==π,又f(-x)=cos(-2x)=cos
2x=f,所以f为偶函数.
2.(2020·宜宾高一检测)三角函数值sin
1,sin
2,sin
3的大小顺序是
( )
A.sin
1>sin
2>sin
3
B.sin
2>sin
1>sin
3
C.sin
1>sin
3>sin
2
D.sin
3>sin
2>sin
1
【解析】选B.因为1弧度≈57°,2弧度≈114°,3弧度≈171°,所以sin
1≈sin
57°,sin
2≈sin
114°=sin
66°,
sin
3≈171°=sin
9°.
因为y=sin
x在0°所以sin
9°57°66°,即sin
2>sin
1>sin
3.
3.(2020·哈尔滨高一检测)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则
( )
A.f(x)的图象过点
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的一个对称中心是
【解析】选C.由题意可得=π,
所以ω=2,可得f(x)=Asin(2x+φ).
再由函数图象关于直线x=对称,
得f=Asin=±A,故可取φ=.
故函数f(x)=Asin.
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故函数的减区间为,k∈Z,故选项B不正确.由于A不确定,故选项A不正确.令2x+=kπ,k∈Z,可得x=-,k∈Z,故函数的对称中心为,k∈Z,故选项C正确,选项D不正确.
4.函数y=tan,x∈的值域是______.?
【解析】由x∈,所以+∈
结合正切函数的性质可得:1答案:(1,]
5.(2020·宁波高一检测)已知函数f=cos,x∈R.
(1)求函数f的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.
【解析】(1)因为f=cos,
所以该函数的最小正周期为T==π.
解不等式-π+2kπ≤2x-≤2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ.
因此,函数f的最小正周期为π,单调递增区间为;
(2)因为x∈,所以-≤2x-≤.
当2x-=0时,即当x=时,函数f取得最大值,即f=;
当2x-=时,即当x=时,函数f取得最小值,即f=cos=-1.
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面
一看函数的定义域是否关于原点对称;
二看f(x)与f(-x)的关系.
2.求三角函数周期的方法
(1)定义法:利用周期函数的定义求解.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=.
(3)图象法:通过观察函数图象求其周期.
3.函数单调区间的求解方法
(1)求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
(2)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时,用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
题组训练四 三角函数的实际应用?
1.(2020·重庆高一检测)如图,重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”,其旋转半径为50米,最高点距离地面120米,开启后按逆时针方向旋转,旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面,在该平面内,以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴,该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱,摩天轮开始启动,并记该时刻为t=0,则此人距离地面的高度f(t)与摩天轮运行时间t(单位:分钟)的函数关系式为
( )
A.f(t)=50sint+20(t≥0)
B.f(t)=50sin+70(t≥0)
C.f(t)=50sin+20(t≥0)
D.f(t)=50sin+70(t≥0)
【解析】选B.设f(t)=Asin(ωt+φ)+B,
?,T=18,ω==,
当t=0时sin
φ=-1,φ=-,
f(t)=50sin+70(t≥0).
2.(2020·北京高一检测)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=Acos+B来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平均气温为________℃.?
【解析】根据题意得28=A+B,18=-A+B,
解得A=5,B=23,所以y=23+5cos,令x=10得y=23+5cos=23+5cos=20.5.
答案:20.5
3.(2020·宁波高一检测)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示:
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
6月21日
8月13日
9月20日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
存活时间y小时
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数来近似描述一年(按365天计)中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式.
(2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时.
【解析】(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足y=Asin(ωx+φ)+t,由表格可知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,所以19.4-5.4=14,故A=7.
又19.4+5.4=24.8,故t=12.4.
又T=365,所以ω=.当x=172时,+φ=,
所以φ=-,
所以y=7sin+12.4(1≤x≤365,x∈N).
(2)由y>15.9得sin>,
所以所以这种细菌一年中大约有121天(或122天)的存活时间大于15.9小时.
三角函数模型构建的步骤
1.收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象.
2.制作散点图,选择函数模型进行拟合.
3.利用三角函数模型解决实际问题.
4.根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.
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