(共34张PPT)
单元素养评价(四)(第五章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=
( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选C.因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数
的虚部是
( )
【解析】选D.因为
所以复数
的虚部为
3.设i是虚数单位,则复数z=
在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为1+
=1+
=1-i,
所以z=
=(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,
所以复数z=
在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2),位于第三象限.
4.(2020·天津高一检测)复数
的共轭复数是
( )
【解析】选A.
故其共轭复数为-i.
5.已知
是纯虚数,则
=
( )
A.
B.
C.3
D.5
【解析】选B.
=a2-4+4ai,
因为
是纯虚数,
所以
所以a=±2,所以
6.设z的共轭复数是
,若z+
=4,z·
=8,则
等于
( )
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),则
=x-yi,由z+
=4,z·
=8得
所以
7.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,
0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为
( )
A.3+i
B.3-i
C.1-3i
D.-1+3i
【解析】选D.
=1+2i-2+i=-1+3i,所以C对应的复数为-1+3i.
8.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是
( )
A.若
B.|z1-z2|=
C.
=0?z1=z2=0
D.z1-
是纯虚数或零
【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则
=15+8i,
=-8i,
>0,但
与-
都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故
|z1-z2|与
不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则
=3+4i,
=-3-4i,
=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则
=a-bi,
故z1-
=2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数.故D正确.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的
得0分)
9.已知i为虚数单位,复数z=
则以下真命题的是
( )
A.z的共轭复数为
B.z的虚部为
C.
=3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
【解析】选AD.z=
故
故A正确.
z的虚部为
故B错,
≠3,故C错,
z在复平面内对应的点为
故D正确.
10.(2020·三亚高一检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且
i-y=-1+2i,复数
z=
则以下结论正确的是
( )
A.z的虚部为-2i
B.z的模为2
C.z的共轭复数为2i
D.z对应的点在第四象限
【解析】选BC.因为
i-y=-1+2i,所以
所以z=
=-2i.
对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B,
=2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正
确;
对于D,z对应
不在第四象限,D错误.
11.已知i为虚数单位,则下面命题正确的是
( )
A.若复数z=3+i,则
B.复数z满足
=1,z在复平面内对应的点为
C.若复数z1,z2满足z1=
则z1z2≥0
D.复数z=1-3i的虚部是3.
【解析】选ABC.由
故A正确;由z在复平面内对应
的点为
则
=1,即
=1,则x2+
=1,
故B正确;
设复数z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R),所以z1z2=
=a2+b2≥0,故C正确;
复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.
12.已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|
=|z-i|,下列结论正确的是
( )
A.P0点的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数的虚部为-2i
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
【解析】选ACD.对于A,由复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0可得P0
故A正确;
对于B,复数z0的共轭复数为
=1-2i,
的虚部为-2,故B错误;对于C,设z=x+yi(x,y∈R),则点Z
由|z-1|=|z-i|可得
所以
整理得y=x,所以Z点在直线y=x上,故C正确;
对于D,易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z之间距离的最小值,点P0到
直线y=x的距离d=
故D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数
=________.?
【解析】
答案:3-2i
14.(2020·北京高一检测)已知i为虚数单位,若复数z满足z+
=1+
i,则
实数a的值为________.?
【解析】设z=m+ni,
=m-ni,m,n∈R,则可得2m=1+
i,所以a=5,m=
.
答案:5
15.设z-2i=
则
=________,z·
=________.?
【解析】因为z-2i=
=
=-i,
所以z=2i-i=i,则|z|=1,z·
=i·(-i)=1.
答案:1 1
16.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=
+i,则|z1-z2|=
__________.?
【解析】因为|z1|=|z2|=2,
可设z1=2cos
θ+2sin
θ·i,
z2=2cos
α+2sin
α·i,
所以z1+z2=2(cos
θ+cos
α)+2(sin
θ+sin
α)·i=
+i,
所以
两式平方作和得:
4(2+2cos
θcos
α+2sin
θsin
α)=4,
化简得cos
θcos
α+sin
θsin
α=-
,
所以|z1-z2|=|2(cos
θ-cos
α)+2(sin
θ-sin
α)·i|
=
=
答案:2
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知复数z1=1-i,z1·z2+
=2+2i,求复数z2.
【解析】因为z1=1-i,所以
=1+i,
所以z1·z2=2+2i-
=2+2i-(1+i)=1+i.
设z2=a+bi(a,b∈R),由z1·z2=1+i,
得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i,
所以
解得a=0,b=1,所以z2=i.
18.(12分)已知复数z满足|z|=
,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,
解得a=b=1或a=b=-1,
所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.
19.(12分)复数z=-
+(6m-16)i.(i为虚数单位)
(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.
【解析】
(1)z=-
+(6m-16)i,
因为复数z为纯虚数,所以
所以m=-2;
(2)因为复数z对应的点在第三、四象限,
因此实数m的取值范围为
20.(12分)已知z为虚数,z+
为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)求|z-4|的取值范围.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R,y≠0).
(1)z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+
=2+yi+
=2+
i∈R,得y-
=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)因为z+
=x+yi+
=x+
i∈R,所以
y-
=0,因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
21.(12分)(2020·上海高一检测)设两复数集合M=
N={z|z=2cos
θ+i(λ+3sin
θ),θ∈R}(i为虚数单位),且M∩N≠?,求实数λ
的取值范围.
【解析】由M∩N≠?,可知至少存在一个复数z同时属于集合M和N,
即m+i
=2cos
θ+i(λ+3sin
θ),
故
从而λ=4-4cos2θ-3sin
θ=4sin2θ-3sin
θ=4
由-1≤sin
θ≤1,得-
≤λ≤7.
22.(12分)(2020·南京高一检测)已知z是复数,z+2i与
均为实数(i为虚
数单位),且复数
在复平面上对应点在第一象限.
(1)求复数z;(2)求实数a的取值范围.
【解析】(1)设z=x+yi
又z+2i=x+
i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以
因为
为实数,所以
=0,解得x=4.所以
z=4-2i.
(2)因为复数
所以
解得2
即实数a的取值范围是温馨提示：
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单元素养评价（四）
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.(2020·浙江高考)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解析】选C.因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为==+i,所以复数的虚部为.
3.设i是虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为1+=1+=1-i,
所以z==(1-i)3=1-3i+3i2-i3=-2-2i,
所以复数z=在复平面内对应的点的坐标为(-2,-2),位于第三象限.
4.(2020·天津高一检测)复数的共轭复数是( )
A.-i
B.i
C.-i
D.i
【解析】选A.==i,故其共轭复数为-i.
5.已知是纯虚数,则=( )
A.
B.
C.3
D.5
【解析】选B.=a2-4+4ai,
因为是纯虚数,
所以所以a=±2,所以==.
6.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于( )
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,由z+=4,z·=8得
??所以===±i.
7.如图所示,在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,
0,那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A.3+i
B.3-i
C.1-3i
D.-1+3i
【解析】选D.=+=1+2i-2+i=-1+3i,所以C对应的复数为-1+3i.
8.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是( )
A.若+>0,则>-
B.|z1-z2|=
C.+=0?z1=z2=0
D.z1-是纯虚数或零
【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则=15+8i,=-8i,+>0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则=3+4i,=-3-4i,+=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数.故D正确.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.已知i为虚数单位,复数z=,则以下真命题的是( )
A.z的共轭复数为-
B.z的虚部为
C.=3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
【解析】选AD.z====+,故=-,故A正确.z的虚部为,故B错,==≠3,故C错,
z在复平面内对应的点为,故D正确.
10.(2020·三亚高一检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且i-y=-1+2i,复数z=,则以下结论正确的是( )
A.z的虚部为-2i
B.z的模为2
C.z的共轭复数为2i
D.z对应的点在第四象限
【解析】选BC.因为i-y=-1+2i,所以解得所以z==-2i.
对于A,z的虚部为-2,A错误;对于B,=2,B正确;对于C,z的共轭复数为2i,C正确;
对于D,z对应,不在第四象限,D错误.
11.已知i为虚数单位,则下面命题正确的是( )
A.若复数z=3+i,则=-
B.复数z满足=1,z在复平面内对应的点为,则x2+=1
C.若复数z1,z2满足z1=,则z1z2≥0
D.复数z=1-3i的虚部是3.
【解析】选ABC.由===-,故A正确;由z在复平面内对应的点为,则==1,即=1,则x2+=1,故B正确;
设复数z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R),所以z1z2==a2+b2≥0,故C正确;
复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.
12.已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )
A.P0点的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数的虚部为-2i
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
【解析】选ACD.对于A,由复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0可得P0,故A正确;
对于B,复数z0的共轭复数为=1-2i,的虚部为-2,故B错误;对于C,设z=x+yi(x,y∈R),则点Z,由|z-1|=|z-i|可得
=,
所以=,整理得y=x,所以Z点在直线y=x上,故C正确;
对于D,易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z之间距离的最小值,点P0到直线y=x的距离d==,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数=________.?
【解析】===3-2i.
答案:3-2i
14.(2020·北京高一检测)已知i为虚数单位,若复数z满足z+=1+i,则实数a的值为________.?
【解析】设z=m+ni,=m-ni,m,n∈R,则可得2m=1+i,所以a=5,m=.
答案:5
15.设z-2i=,则=________,z·=________.?
【解析】因为z-2i===-i,
所以z=2i-i=i,则|z|=1,z·=i·(-i)=1.
答案:1 1
16.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=__________.?
【解析】因为|z1|=|z2|=2,
可设z1=2cos
θ+2sin
θ·i,
z2=2cos
α+2sin
α·i,
所以z1+z2=2(cos
θ+cos
α)+2(sin
θ+sin
α)·i=
+i,
所以,两式平方作和得:
4(2+2cos
θcos
α+2sin
θsin
α)=4,
化简得cos
θcos
α+sin
θsin
α=-,
所以|z1-z2|=|2(cos
θ-cos
α)+2(sin
θ-sin
α)·i|
=
===2.
答案:2
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知复数z1=1-i,z1·z2+=2+2i,求复数z2.
【解析】因为z1=1-i,所以=1+i,
所以z1·z2=2+2i-=2+2i-(1+i)=1+i.
设z2=a+bi(a,b∈R),由z1·z2=1+i,
得(1-i)(a+bi)=1+i,所以(a+b)+(b-a)i=1+i,
所以解得a=0,b=1,所以z2=i.
18.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,
解得a=b=1或a=b=-1,
所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.
19.(12分)复数z=-+(6m-16)i.(i为虚数单位)
(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.
【解析】
(1)z=-+(6m-16)i,
因为复数z为纯虚数,所以
所以m=-2;
(2)因为复数z对应的点在第三、四象限,
所以解得
因此实数m的取值范围为∪∪.
20.(12分)已知z为虚数,z+为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;
(2)求|z-4|的取值范围.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R,y≠0).
(1)z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,所以y-=0,因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
==∈(1,5).
21.(12分)(2020·上海高一检测)设两复数集合M=,N={z|z=2cos
θ+i(λ+3sin
θ),θ∈R}(i为虚数单位),且M∩N≠?,求实数λ的取值范围.
【解析】由M∩N≠?,可知至少存在一个复数z同时属于集合M和N,
即m+i=2cos
θ+i(λ+3sin
θ),
故
从而λ=4-4cos2θ-3sin
θ=4sin2θ-3sin
θ
=4-,
由-1≤sin
θ≤1,得-≤λ≤7.
22.(12分)(2020·南京高一检测)已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.
(1)求复数z;(2)求实数a的取值范围.
【解析】(1)设z=x+yi,
又z+2i=x+i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以==
=,因为为实数,所以=0,解得x=4.所以z=4-2i.
(2)因为复数==16-+8i
=+i,
所以,解得2即实数a的取值范围是.
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第四课 三角恒等变换
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 同角三角函数关系式的应用?
1.(1)(2020·长沙高一检测)已知cos
α=
,α∈
,则tanα等
于
( )
(2)已知sinθ+cosθ=
,θ∈
,则sinθ-cosθ的值为
( )
(3)(2020·成都高一检测)已知
则
的值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.6
【解析】(1)选A.因为α∈
,
所以sin
α=-
=-
,
因此tan
α=
=-
.
(2)选A.因为sin
θ+cos
θ=
,
所以(sin
θ+cos
θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin
θcos
θ
=1+2sin
θcos
θ=
,所以2sin
θcos
θ=
,
又因为0<θ<
,
所以0θθ,所以sin
θ-cos
θ<0,
所以(sin
θ-cos
θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin
θcos
θ=1-2sin
θcos
θ=
,
则sin
θ-cos
θ=-
.
(3)选A.因为
所以
2.(2020·锡林郭勒高一检测)化简
【解析】原式
【方法技巧】
1.利用同角关系式求值的常见题型及方法
(1)已知一个角的某一三角函数值求它的其余三角函数值.主要是利用公式
sin
2α+cos
2α=1,tanα=
求解,解题时要注意角所在的象限.
(2)sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三个关系式,可“知一求二”,主要
是利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ来实现.
(3)已知tanθ的值,求关于sinθ,cosθ的n次齐次式的值.通常是分子、分母
同除以cosθ的n次幂,化为关于tanθ的式子,代入计算即可.
2.同角三角关系式的化简与证明的基本方法
(1)化简三角函数式时,应合理利用同角三角函数关系式及关系式的逆用.化简的基本要求:尽量减少角的个数;尽量减少三角函数的种数;尽量降低次数;尽量化同角、同名三角函数;能开方的尽量开方;分母不含根号;能求出值的尽量求出值.
(2)证明恒等式的原则是由繁到简.常用的方法:①从一边开始证得它等于另一边;②证明左右两边都等于同一个式子;③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.
题组训练二 两角和与差的三角函数公式的应用?
1.(1)(2020·洛阳高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半
轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转
后经过点(-3,4),
则cos
α=
( )
(2)已知0<α<
,-
<β<0,sin
α=
,cos
β=
,则sin
的值是
( )
【解析】(1)选D.因为将角α的终边按顺时针方向旋转
后得到的角为
α-
,
由三角函数的定义可得cos
=
,sin
=
=
,
所以cos
α=cos
=cos
cos
-sin
sin
=
.
(2)选C.因为0<α<
,-
<β<0,sin
α=
,cos
β=
,
所以cos
α=
,
sin
β=-
=-
,
因此sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=
.
2.已知tan
α和tan
是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系
是
( )
A.b=a+c
B.2b=a+c
C.c=b+a
D.c=ab
【解析】选C.tan
α+tan
=-
,tan
αtan
=
,
所以tan
=tan
=
=1,
所以-
=1-
,所以-b=a-c,所以c=a+b.
【方法技巧】
和差角公式的应用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、凑角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公
式,特别是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,
=cos
60°,
=sin
60°等,再如:0,
等均可视为某个特殊角的三角函数值,
从而将常数换为三角函数使用.
题组训练三 积化和差与和差化积公式?
1.在△ABC中,
=
,则△ABC一定是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.由正弦定理变式:
=
,
化简可得sin
B-sin
A=cos
Asin
B-sin
Acos
B=sin(B-A),
由和差化积公式及二倍角公式得2cos
sin
=2sin
cos
,
移项因式分解可得sin
=0,
由于括号内式子不等于0,
所以,sin
=0,
所以A=B,即三角形为等腰三角形.
2.(2020·浦东高一检测)求下列各式的值:
(1)已知cos(α-β)=-
,cos(α+β)=
,求cos
αcos
β,sin
αsin
β的
值;
(2)求
的值;
【解析】(1)cos
αcos
β=
=
,
sin
αsin
β=-
=-
.
(2)原式=
=
=
=tan60°=
.
【方法技巧】
积化和差与和差化积公式的应用技巧
(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行.若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
(2)选用公式应从以下几个方面考虑:运用公式之后,能否出现特殊角;运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否并项或消项;运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)把某些常数当作三角函数值应用公式.
题组训练四 二倍角公式与半角公式?
1.(2020·郑州高一检测)已知α∈
,2sin
2α=1-cos
2α,
则tan
=
( )
【解析】选D.由2sin
2α=1-cos
2α,
得4sin
αcos
α=2sin2α,
因为α∈
,所以sin
α≠0,cos
α≠0,
所以sin
α=2cos
α,又sin2α+cos2α=1,
联立解得
所以tan
.
2.(2020·南京高二检测)已知函数f(x)=
2sin
xcos
+
sin
xcos
x+cos2x.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期和初相位;
(2)将f(x)的图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,当x∈
时,
求g(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos
+
sin
xcos
x+cos2x
=2sin
x
+
sin
xcos
x+cos2x
=2
sin
xcos
x+cos2x-sin
2x
=
sin
2x+cos
2x=2sin
,
因此函数f(x)的振幅为2,最小正周期为T=
=π,初相位为
.
(2)将函数f(x)的图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,
则g(x)=f
=2sin
=2sin
=-2cos
2x,
当x∈
时,-
≤2x≤
,-
≤cos
2x≤1,
所以-2≤g(x)≤1,
因此当x∈
时,g(x)的取值范围是
.
【方法技巧】
半角、倍角公式的应用技巧
(1)对公式进行灵活应用,正用、逆用、变形应用都要准确熟练.如公式的逆
用:2sin
xcos
x=sin
2x,sin
xcos
x=
sin
2x,cos2x-sin2x=cos
2x,
=tan
2α,再如变形应用cos2x=
,sin2x=
(降幂公式),
1+cos
2x=2cos2x,1-cos
2x=2sin2x(升幂公式).
(2)二倍角余弦公式有三种形式,在应用时要注意选择合适的形式.如
1+cos
2x?1+2cos2x-1,1-cos
2x?1-(1-2sin2x),
?
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第四课 三角恒等变换
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题组训练一 同角三角函数关系式的应用?
1.(1)(2020·长沙高一检测)已知cos
α=,α∈,则tan
α等于( )
A.-2
B.2
C.-
D.
(2)已知sin
θ+cos
θ=,θ∈,则sin
θ-cos
θ的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
(3)(2020·成都高一检测)已知=1,
则的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.6
【解析】(1)选A.因为α∈,
所以sin
α=-=-,
因此tan
α==-2.
(2)选A.因为sin
θ+cos
θ=,
所以(sin
θ+cos
θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin
θcos
θ
=1+2sin
θcos
θ=
,所以2sin
θcos
θ=,
又因为0<θ<,
所以0θθ,所以sin
θ-cos
θ<0,
所以(sin
θ-cos
θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin
θcos
θ=1-2sin
θcos
θ=,
则sin
θ-cos
θ=-.
(3)选A.因为
===tanθ=1,
所以
=
===1.
2.(2020·锡林郭勒高一检测)化简.
【解析】原式=
=
=
=-1.
1.利用同角关系式求值的常见题型及方法
(1)已知一个角的某一三角函数值求它的其余三角函数值.主要是利用公式
sin
2α+cos
2α=1,tan
α=求解,解题时要注意角所在的象限.
(2)sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三个关系式,可“知一求二”,主要是利用(sin
θ±cos
θ)2=1±2sin
θcos
θ来实现.
(3)已知tan
θ的值,求关于sin
θ,cos
θ的n次齐次式的值.通常是分子、分母同除以cos
θ的n次幂,化为关于tan
θ的式子,代入计算即可.
2.同角三角关系式的化简与证明的基本方法
(1)化简三角函数式时,应合理利用同角三角函数关系式及关系式的逆用.化简的基本要求:尽量减少角的个数;尽量减少三角函数的种数;尽量降低次数;尽量化同角、同名三角函数;能开方的尽量开方;分母不含根号;能求出值的尽量求出值.
(2)证明恒等式的原则是由繁到简.常用的方法:①从一边开始证得它等于另一边;②证明左右两边都等于同一个式子;③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.
题组训练二 两角和与差的三角函数公式的应用?
1.(1)(2020·洛阳高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转后经过点(-3,4),则cos
α=( )
A.
B.
C.
D.-
(2)已知0<α<,-<β<0,sin
α=,cos
β=,则sin的值是( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】(1)选D.因为将角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α-,
由三角函数的定义可得cos
==-,sin==,
所以cos
α=cos
=coscos-sin
sin
=×-×=-.
(2)选C.因为0<α<,-<β<0,sin
α=,cos
β=,
所以cos
α==,
sin
β=-=-,
因此sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=×+×=-.
2.已知tan
α和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系
是( )
A.b=a+c
B.2b=a+c
C.c=b+a
D.c=ab
【解析】选C.tan
α+tan
=-,tan
αtan
=,
所以tan=tan
===1,
所以-=1-,所以-b=a-c,所以c=a+b.
和差角公式的应用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、凑角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,特别是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,=cos
60°,
=sin
60°等,再如:0,,,等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.
题组训练三 积化和差与和差化积公式?
1.在△ABC中,=,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.由正弦定理变式:=,
化简可得sin
B-sin
A=cos
Asin
B-sin
Acos
B=sin(B-A),
由和差化积公式及二倍角公式得2cossin
=2sincos
,
移项因式分解可得sin=0,
由于括号内式子不等于0,
所以,sin
=0,
所以A=B,即三角形为等腰三角形.
2.(2020·浦东高一检测)求下列各式的值:
(1)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,求cos
αcos
β,sin
αsin
β的值;
(2)求的值;
【解析】(1)cos
αcos
β=
=×=-,
sin
αsin
β=-
=-×=-.
(2)原式=
=
==tan60°=.
积化和差与和差化积公式的应用技巧
(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行.若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
(2)选用公式应从以下几个方面考虑:运用公式之后,能否出现特殊角;运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否并项或消项;运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)把某些常数当作三角函数值应用公式.
题组训练四 二倍角公式与半角公式?
1.(2020·郑州高一检测)已知α∈,2sin
2α=1-cos
2α,则tan=( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选D.由2sin
2α=1-cos
2α,
得4sin
αcos
α=2sin2α,
因为α∈,所以sin
α≠0,cos
α≠0,
所以sin
α=2cos
α,又sin2α+cos2α=1,
联立解得
所以tan==-.
2.(2020·南京高二检测)已知函数f(x)=2sin
xcos+
sin
xcos
x+cos2x.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期和初相位;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求g(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos+sin
xcos
x+cos2x
=2sin
x+sin
xcos
x+cos2x
=2sin
xcos
x+cos2x-sin
2x
=sin
2x+cos
2x=2sin,
因此函数f(x)的振幅为2,最小正周期为T==π,初相位为.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,
则g(x)=f=2sin
=2sin=-2cos
2x,
当x∈时,-≤2x≤,-≤cos
2x≤1,
所以-2≤g(x)≤1,
因此当x∈时,g(x)的取值范围是.
半角、倍角公式的应用技巧
(1)对公式进行灵活应用,正用、逆用、变形应用都要准确熟练.如公式的逆用:2sin
xcos
x=sin
2x,sin
xcos
x=
sin
2x,cos2x-sin2x=cos
2x,=tan
2α,再如变形应用cos2x=,sin2x=(降幂公式),1+cos
2x=2cos2x,1-cos
2x=2sin2x(升幂公式).
(2)二倍角余弦公式有三种形式,在应用时要注意选择合适的形式.如
1+cos
2x?1+2cos2x-1,1-cos
2x?1-(1-2sin2x),?等.
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