(共32张PPT)
第四课 三角恒等变换
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 同角三角函数关系式的应用?
1.(1)(2020·长沙高一检测)已知cos
α=
,α∈
,则tanα等
于
( )
(2)已知sinθ+cosθ=
,θ∈
,则sinθ-cosθ的值为
( )
(3)(2020·成都高一检测)已知
则
的值是
( )
A.1
B.2
C.3
D.6
【解析】(1)选A.因为α∈
,
所以sin
α=-
=-
,
因此tan
α=
=-
.
(2)选A.因为sin
θ+cos
θ=
,
所以(sin
θ+cos
θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin
θcos
θ
=1+2sin
θcos
θ=
,所以2sin
θcos
θ=
,
又因为0<θ<
,
所以0θθ,所以sin
θ-cos
θ<0,
所以(sin
θ-cos
θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin
θcos
θ=1-2sin
θcos
θ=
,
则sin
θ-cos
θ=-
.
(3)选A.因为
所以
2.(2020·锡林郭勒高一检测)化简
【解析】原式
【方法技巧】
1.利用同角关系式求值的常见题型及方法
(1)已知一个角的某一三角函数值求它的其余三角函数值.主要是利用公式
sin
2α+cos
2α=1,tanα=
求解,解题时要注意角所在的象限.
(2)sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三个关系式,可“知一求二”,主要
是利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ来实现.
(3)已知tanθ的值,求关于sinθ,cosθ的n次齐次式的值.通常是分子、分母
同除以cosθ的n次幂,化为关于tanθ的式子,代入计算即可.
2.同角三角关系式的化简与证明的基本方法
(1)化简三角函数式时,应合理利用同角三角函数关系式及关系式的逆用.化简的基本要求:尽量减少角的个数;尽量减少三角函数的种数;尽量降低次数;尽量化同角、同名三角函数;能开方的尽量开方;分母不含根号;能求出值的尽量求出值.
(2)证明恒等式的原则是由繁到简.常用的方法:①从一边开始证得它等于另一边;②证明左右两边都等于同一个式子;③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.
题组训练二 两角和与差的三角函数公式的应用?
1.(1)(2020·洛阳高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半
轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转
后经过点(-3,4),
则cos
α=
( )
(2)已知0<α<
,-
<β<0,sin
α=
,cos
β=
,则sin
的值是
( )
【解析】(1)选D.因为将角α的终边按顺时针方向旋转
后得到的角为
α-
,
由三角函数的定义可得cos
=
,sin
=
=
,
所以cos
α=cos
=cos
cos
-sin
sin
=
.
(2)选C.因为0<α<
,-
<β<0,sin
α=
,cos
β=
,
所以cos
α=
,
sin
β=-
=-
,
因此sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=
.
2.已知tan
α和tan
是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系
是
( )
A.b=a+c
B.2b=a+c
C.c=b+a
D.c=ab
【解析】选C.tan
α+tan
=-
,tan
αtan
=
,
所以tan
=tan
=
=1,
所以-
=1-
,所以-b=a-c,所以c=a+b.
【方法技巧】
和差角公式的应用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、凑角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公
式,特别是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,
=cos
60°,
=sin
60°等,再如:0,
等均可视为某个特殊角的三角函数值,
从而将常数换为三角函数使用.
题组训练三 积化和差与和差化积公式?
1.在△ABC中,
=
,则△ABC一定是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.由正弦定理变式:
=
,
化简可得sin
B-sin
A=cos
Asin
B-sin
Acos
B=sin(B-A),
由和差化积公式及二倍角公式得2cos
sin
=2sin
cos
,
移项因式分解可得sin
=0,
由于括号内式子不等于0,
所以,sin
=0,
所以A=B,即三角形为等腰三角形.
2.(2020·浦东高一检测)求下列各式的值:
(1)已知cos(α-β)=-
,cos(α+β)=
,求cos
αcos
β,sin
αsin
β的
值;
(2)求
的值;
【解析】(1)cos
αcos
β=
=
,
sin
αsin
β=-
=-
.
(2)原式=
=
=
=tan60°=
.
【方法技巧】
积化和差与和差化积公式的应用技巧
(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行.若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
(2)选用公式应从以下几个方面考虑:运用公式之后,能否出现特殊角;运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否并项或消项;运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)把某些常数当作三角函数值应用公式.
题组训练四 二倍角公式与半角公式?
1.(2020·郑州高一检测)已知α∈
,2sin
2α=1-cos
2α,
则tan
=
( )
【解析】选D.由2sin
2α=1-cos
2α,
得4sin
αcos
α=2sin2α,
因为α∈
,所以sin
α≠0,cos
α≠0,
所以sin
α=2cos
α,又sin2α+cos2α=1,
联立解得
所以tan
.
2.(2020·南京高二检测)已知函数f(x)=
2sin
xcos
+
sin
xcos
x+cos2x.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期和初相位;
(2)将f(x)的图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,当x∈
时,
求g(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos
+
sin
xcos
x+cos2x
=2sin
x
+
sin
xcos
x+cos2x
=2
sin
xcos
x+cos2x-sin
2x
=
sin
2x+cos
2x=2sin
,
因此函数f(x)的振幅为2,最小正周期为T=
=π,初相位为
.
(2)将函数f(x)的图象向右平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,
则g(x)=f
=2sin
=2sin
=-2cos
2x,
当x∈
时,-
≤2x≤
,-
≤cos
2x≤1,
所以-2≤g(x)≤1,
因此当x∈
时,g(x)的取值范围是
.
【方法技巧】
半角、倍角公式的应用技巧
(1)对公式进行灵活应用,正用、逆用、变形应用都要准确熟练.如公式的逆
用:2sin
xcos
x=sin
2x,sin
xcos
x=
sin
2x,cos2x-sin2x=cos
2x,
=tan
2α,再如变形应用cos2x=
,sin2x=
(降幂公式),
1+cos
2x=2cos2x,1-cos
2x=2sin2x(升幂公式).
(2)二倍角余弦公式有三种形式,在应用时要注意选择合适的形式.如
1+cos
2x?1+2cos2x-1,1-cos
2x?1-(1-2sin2x),
?
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第四课 三角恒等变换
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 同角三角函数关系式的应用?
1.(1)(2020·长沙高一检测)已知cos
α=,α∈,则tan
α等于( )
A.-2
B.2
C.-
D.
(2)已知sin
θ+cos
θ=,θ∈,则sin
θ-cos
θ的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
(3)(2020·成都高一检测)已知=1,
则的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.6
【解析】(1)选A.因为α∈,
所以sin
α=-=-,
因此tan
α==-2.
(2)选A.因为sin
θ+cos
θ=,
所以(sin
θ+cos
θ)2=sin2θ+cos2θ+2sin
θcos
θ
=1+2sin
θcos
θ=
,所以2sin
θcos
θ=,
又因为0<θ<,
所以0θθ,所以sin
θ-cos
θ<0,
所以(sin
θ-cos
θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin
θcos
θ=1-2sin
θcos
θ=,
则sin
θ-cos
θ=-.
(3)选A.因为
===tanθ=1,
所以
=
===1.
2.(2020·锡林郭勒高一检测)化简.
【解析】原式=
=
=
=-1.
1.利用同角关系式求值的常见题型及方法
(1)已知一个角的某一三角函数值求它的其余三角函数值.主要是利用公式
sin
2α+cos
2α=1,tan
α=求解,解题时要注意角所在的象限.
(2)sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三个关系式,可“知一求二”,主要是利用(sin
θ±cos
θ)2=1±2sin
θcos
θ来实现.
(3)已知tan
θ的值,求关于sin
θ,cos
θ的n次齐次式的值.通常是分子、分母同除以cos
θ的n次幂,化为关于tan
θ的式子,代入计算即可.
2.同角三角关系式的化简与证明的基本方法
(1)化简三角函数式时,应合理利用同角三角函数关系式及关系式的逆用.化简的基本要求:尽量减少角的个数;尽量减少三角函数的种数;尽量降低次数;尽量化同角、同名三角函数;能开方的尽量开方;分母不含根号;能求出值的尽量求出值.
(2)证明恒等式的原则是由繁到简.常用的方法:①从一边开始证得它等于另一边;②证明左右两边都等于同一个式子;③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.
题组训练二 两角和与差的三角函数公式的应用?
1.(1)(2020·洛阳高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转后经过点(-3,4),则cos
α=( )
A.
B.
C.
D.-
(2)已知0<α<,-<β<0,sin
α=,cos
β=,则sin的值是( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】(1)选D.因为将角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α-,
由三角函数的定义可得cos
==-,sin==,
所以cos
α=cos
=coscos-sin
sin
=×-×=-.
(2)选C.因为0<α<,-<β<0,sin
α=,cos
β=,
所以cos
α==,
sin
β=-=-,
因此sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=×+×=-.
2.已知tan
α和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a,b,c的关系
是( )
A.b=a+c
B.2b=a+c
C.c=b+a
D.c=ab
【解析】选C.tan
α+tan
=-,tan
αtan
=,
所以tan=tan
===1,
所以-=1-,所以-b=a-c,所以c=a+b.
和差角公式的应用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用及变形应用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式左右的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、凑角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.
(3)注意常值代换:用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关公式,特别是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α,1=sin
90°,=cos
60°,
=sin
60°等,再如:0,,,等均可视为某个特殊角的三角函数值,从而将常数换为三角函数使用.
题组训练三 积化和差与和差化积公式?
1.在△ABC中,=,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.由正弦定理变式:=,
化简可得sin
B-sin
A=cos
Asin
B-sin
Acos
B=sin(B-A),
由和差化积公式及二倍角公式得2cossin
=2sincos
,
移项因式分解可得sin=0,
由于括号内式子不等于0,
所以,sin
=0,
所以A=B,即三角形为等腰三角形.
2.(2020·浦东高一检测)求下列各式的值:
(1)已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,求cos
αcos
β,sin
αsin
β的值;
(2)求的值;
【解析】(1)cos
αcos
β=
=×=-,
sin
αsin
β=-
=-×=-.
(2)原式=
=
==tan60°=.
积化和差与和差化积公式的应用技巧
(1)和差化积公式必须是一次同名三角函数方可施行.若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
(2)选用公式应从以下几个方面考虑:运用公式之后,能否出现特殊角;运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否并项或消项;运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)把某些常数当作三角函数值应用公式.
题组训练四 二倍角公式与半角公式?
1.(2020·郑州高一检测)已知α∈,2sin
2α=1-cos
2α,则tan=( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选D.由2sin
2α=1-cos
2α,
得4sin
αcos
α=2sin2α,
因为α∈,所以sin
α≠0,cos
α≠0,
所以sin
α=2cos
α,又sin2α+cos2α=1,
联立解得
所以tan==-.
2.(2020·南京高二检测)已知函数f(x)=2sin
xcos+
sin
xcos
x+cos2x.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期和初相位;
(2)将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求g(x)的取值范围.
【解析】(1)f(x)=2sin
xcos+sin
xcos
x+cos2x
=2sin
x+sin
xcos
x+cos2x
=2sin
xcos
x+cos2x-sin
2x
=sin
2x+cos
2x=2sin,
因此函数f(x)的振幅为2,最小正周期为T==π,初相位为.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,
则g(x)=f=2sin
=2sin=-2cos
2x,
当x∈时,-≤2x≤,-≤cos
2x≤1,
所以-2≤g(x)≤1,
因此当x∈时,g(x)的取值范围是.
半角、倍角公式的应用技巧
(1)对公式进行灵活应用,正用、逆用、变形应用都要准确熟练.如公式的逆用:2sin
xcos
x=sin
2x,sin
xcos
x=
sin
2x,cos2x-sin2x=cos
2x,=tan
2α,再如变形应用cos2x=,sin2x=(降幂公式),1+cos
2x=2cos2x,1-cos
2x=2sin2x(升幂公式).
(2)二倍角余弦公式有三种形式,在应用时要注意选择合适的形式.如
1+cos
2x?1+2cos2x-1,1-cos
2x?1-(1-2sin2x),?等.
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